第13講函數(shù)的應(yīng)用（二）（5大考點(diǎn)）-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)考試滿(mǎn)分全攻略（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

第13講函數(shù)的應(yīng)用(二)(5大考點(diǎn))

但考點(diǎn)考向

一.函數(shù)的零點(diǎn)

【函數(shù)的零點(diǎn)】

一般地，對(duì)于函數(shù)(x)(x€R),我們把方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根x叫作函數(shù)y=f

(x)(xeD)的零點(diǎn).即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為0的直變量的值.函數(shù)的零點(diǎn)不是一個(gè)

點(diǎn)，而是一個(gè)實(shí)數(shù).

【解法--二分法】

①確定區(qū)間3,b］,驗(yàn)證/(“)*/")<0,給定精確度；②求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)xi；

③計(jì)算/(XI)；

④若f(xi)=0,則xi就是函數(shù)的零點(diǎn)；⑤若/(a)f(xi)<0,則令6=xi(此時(shí)零點(diǎn)

xoG(.a,xi))；⑥若/(xi)f(/>)<0,則令a=xi.(此時(shí)零點(diǎn)(xi,b)⑦判斷是

否滿(mǎn)足條件，否則重復(fù)(2)?(4)

【總結(jié)】

零點(diǎn)其實(shí)并沒(méi)有多高深，簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是某個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)其實(shí)就是這個(gè)函數(shù)與x軸的交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)，另外如果在(小b)連續(xù)的函數(shù)滿(mǎn)足<0,則(a,b)至少有一

個(gè)零點(diǎn).這個(gè)考點(diǎn)屬于了解性的，知道它的概念就行了.

二.函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

1、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：

一般地，如果函數(shù))，=/(x)在區(qū)間［a,回上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有/(a)

?/(b)<0,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在(a,b),使得/(c)

=0,這個(gè)c也就是『(x)=0的根.

特別提醒：

(1)根據(jù)該定理，能確定/(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，但零點(diǎn)不一定唯一.

(2)并不是所有的零點(diǎn)都可以用該定理來(lái)確定，也可以說(shuō)不滿(mǎn)足該定理的條件，并不能說(shuō)

明函數(shù)在(a,b)上沒(méi)有零點(diǎn)，例如，函數(shù)/(x)=7-3戶(hù)2有/(0"/(3)>0,但函數(shù)

于(x)在區(qū)間(0,3)上有兩個(gè)零點(diǎn).

(3)若/(x)在［a,回上的圖象是連續(xù)不斷的，且是單調(diào)函數(shù)，/(a).f(b)<0,則/(x)

在(a,b)上有唯一的零點(diǎn).

2、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法:

(1)幾何法：對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y=/(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并

利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn).

特別提醒：

①“方程的根”與“函數(shù)的零點(diǎn)”盡管有密切聯(lián)系，但不能混為一談，如方程7-2%+1=0

在［0,2］上有兩個(gè)等根，而函數(shù)=/-2/1在［0,2］上只有一個(gè)零點(diǎn)；

②函數(shù)的零點(diǎn)是實(shí)數(shù)而不是數(shù)軸上的點(diǎn).

(2)代數(shù)法：求方程/(x)=0的實(shí)數(shù)根.

三.函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

【函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系】

函數(shù)的零點(diǎn)表示的是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一

樣的.但是，他們的解法其實(shí)質(zhì)是一樣的.

【解法】

求方程的根就是解方程，把所有的解求出來(lái)，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不

多講了.我們重點(diǎn)來(lái)探討一下函數(shù)零點(diǎn)的求法(配方法).

例題：求函數(shù)/(x)=/+5?-27?-101x-70的零點(diǎn).

解：,:f(x)=X4+5?-27?-101x-70

=(x-5)*(x4-7)*(x+2)<(x+l)

...函數(shù)/'(x)=)+5x3-277-101X-70的零點(diǎn)是：5、-7、-2、-1.

通過(guò)這個(gè)題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點(diǎn)常用的方法就是配方法，把他配成若干個(gè)一次函數(shù)的

乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點(diǎn)或者說(shuō)求基本函數(shù)等于0

時(shí)的解即可.

【考查趨勢(shì)】

考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可.

四.二分法的定義與應(yīng)用

【二分法的定義】

二分法即一分為二的方法.設(shè)函數(shù)f(x)在［小切上連續(xù)，且滿(mǎn)足了(“)?/(6)<0,

我們假設(shè)/(a)<0,f(b)>0,那么當(dāng)xi=3士且時(shí)，若f(xi)=0,這說(shuō)xi為零點(diǎn)；若

2

不為0,假設(shè)大于0,那么繼續(xù)在［XI,切區(qū)間取中點(diǎn)驗(yàn)證它的函數(shù)值為0,一直重復(fù)下去，

直到找到滿(mǎn)足要求的點(diǎn)為止.這就是二分法的基本概念.

【二分法的應(yīng)用】

我們以具體的例子來(lái)說(shuō)說(shuō)二分法應(yīng)用的一個(gè)基本條件：

例題：下列函數(shù)圖象均與x軸有交點(diǎn)，其中能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是

解：能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù)，在零點(diǎn)的左右兩側(cè)的函數(shù)值符號(hào)相反，

有圖象可得，只有③能滿(mǎn)足此條件，

故答案為③.

在這個(gè)例題當(dāng)中，所要求的能力其實(shí)就是對(duì)概念的理解，這也是二分法它慣用的考查形

式，通過(guò)這個(gè)例題，希望同學(xué)們能清楚二分法的概念和常考題型.

【二分法求方程的近似解】

二分法在高中主要屬于了解性的內(nèi)容，拿二分法求近似解思路也比較固定，這里我們主

要以例題來(lái)做講解.

例：用二分法求方程inx=±iU，21上的近似解，取中點(diǎn)c=1.5,則下一個(gè)有根區(qū)間是11.5,

X

2］_.

解：令函數(shù)/（x）—Inx-A,由于1.5）=/〃（1.5）-——Unl.52-2）<AUne2

x1.533

-2）=0,BP/（1.5）<0,

而/（2）=ln2-A=/n2-/nVe=/?-^=—/?—>—/?!=0,即f（2）>0,

2yQ282

故函數(shù)/（無(wú)）在［1.52］上存在零點(diǎn)，故方程inx=2在口S2］上有根，

x

故答案為［1.5,2J.

通過(guò)這個(gè)例題，我們可以發(fā)現(xiàn)二分法的步奏，第一先確定了<0的a,人點(diǎn)；

第二，尋找區(qū)間（a,b）的中點(diǎn)，并判斷它的函數(shù)值是否為0；第三，若不為0,轉(zhuǎn)第一步.

五.函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用

【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題.方程思想，是從

問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方

程與不等式的混合組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解.有時(shí)，還實(shí)

現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問(wèn)題的目的.笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題一

數(shù)學(xué)問(wèn)題f代數(shù)問(wèn)題一方程問(wèn)題.宇宙世界，充斥著等式和不等式.

六.分段函數(shù)的應(yīng)用

【分段函數(shù)的應(yīng)用】

分段函數(shù)顧名思義指的是一個(gè)函數(shù)在不同的定義域內(nèi)的函數(shù)表達(dá)式不一樣，有些甚至不是

連續(xù)的.這個(gè)在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中是很常見(jiàn)的，比如說(shuō)水的階梯價(jià)，購(gòu)物的時(shí)候買(mǎi)的商品的量不同，

商品的單價(jià)也不同等等，這里面都涉及到分段函數(shù).

【具體應(yīng)用】

正如前面多言，分段函數(shù)與我們的實(shí)際聯(lián)系比較緊密，那么在高考題中也時(shí)常會(huì)以應(yīng)用題

的形式出現(xiàn).下面我們通過(guò)例題來(lái)分析一下分段函數(shù)的解法.

例：市政府為招商引資，決定對(duì)外資企業(yè)第一年產(chǎn)品免稅.某外資廠(chǎng)該年4型產(chǎn)品出廠(chǎng)價(jià)

為每件60元，年銷(xiāo)售量為11.8萬(wàn)件.第二年，當(dāng)?shù)卣_(kāi)始對(duì)該商品征收稅率為〃％（0V

p<100,即銷(xiāo)售100元要征收p元）的稅收，于是該產(chǎn)品的出廠(chǎng)價(jià)上升為每件遜元，

100-P

預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量將減少P萬(wàn)件.

（I）將第二年政府對(duì)該商品征收的稅收y（萬(wàn)元）表示成P的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定

義域；

（11）要使第二年該廠(chǎng)的稅收不少于16萬(wàn)元，則稅率0％的范圍是多少？

（W）在第二年該廠(chǎng)的稅收不少于16萬(wàn)元的前提下，要讓廠(chǎng)家獲得最大銷(xiāo)售金額，則p應(yīng)

為多少？

解：（I）依題意，第二年該商品年銷(xiāo)售量為（11.8-p）萬(wàn)件，

年銷(xiāo)售收入為800°（11.8-p）萬(wàn)元，

100-P

政府對(duì)該商品征收的稅收丫=幽2_（11,8-p）p%（萬(wàn)元）

■100-P

故所求函數(shù)為y=———（11.8-/?）p

100-D

由及p>0得定義域?yàn)?VpV11.8…（4分）

（//）由y216得-*°_（11.8-p）pN16

100-p

化簡(jiǎn)得p2-12p+20W0,即（p-2）（p-10）<0,解得2WpW10.

故當(dāng)稅率在［0.02,0.1］內(nèi)時(shí)，稅收不少于16萬(wàn)元.…（9分）

（///）第二年，當(dāng)稅收不少于16萬(wàn)元時(shí)，

廠(chǎng)家的銷(xiāo)售收入為g（p）=80°°（11.8-p）（2WpW10）

100-p

???g（p）/L（11.8-p）=800（10點(diǎn)一）在［2,1。］是減函數(shù)

100-p100-p

（p）mac—g（2）=800（萬(wàn)元）

故當(dāng)稅率為2%時(shí)，廠(chǎng)家銷(xiāo)售金額最大.

這個(gè)典型的例題當(dāng)中，我們發(fā)現(xiàn)分段函數(shù)首先還是要有函數(shù)的功底，要有一定的建模能力，

這個(gè)與分不分段其實(shí)無(wú)關(guān).我們重點(diǎn)看看分段函數(shù)要注意的地方.第一，要明確函數(shù)的定義

域和其相對(duì)的函數(shù)表達(dá)式;第二注意求的是整個(gè)一大段的定義域內(nèi)的值域還是分段函數(shù)某段

內(nèi)部的值；第三，注意累加的情況和僅僅某段函數(shù)的討論.

【考查預(yù)測(cè)】

修煉自己的內(nèi)功，其實(shí)分不分段影響不大，審清題就可以了，另外，最好畫(huà)個(gè)圖來(lái)解答.

七.根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型

【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

1.實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)刻畫(huà)

在現(xiàn)實(shí)世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫(huà).用函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)疊

實(shí)際問(wèn)題,是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容.

2.用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題

（1）數(shù)據(jù)擬合：

通過(guò)一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過(guò)繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀(guān)察這些點(diǎn)的

整體特征,看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個(gè)

函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式,再做必要的檢驗(yàn)，基本符合實(shí)際，就可以確定

這個(gè)函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱(chēng)為數(shù)據(jù)擬合.

（2）常用到的五種函數(shù)模型：

①直線(xiàn)模型：一次函數(shù)模型丫=丘+匕（后#0）,圖象增長(zhǎng)特點(diǎn)是直線(xiàn)式上升（x的系數(shù)%>0）,

通過(guò)圖象可以直觀(guān)地認(rèn)識(shí)它，特例是正比例函數(shù)模型丫=日（k>0）.

②反比例函數(shù)模型：y=Ka>0）型，增長(zhǎng)特點(diǎn)是y隨X的增大而減小.

x

③指數(shù)函數(shù)模型：y=aW+c（Q0,且。#0）,其增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函

數(shù)值增大的速度越來(lái)越快（底數(shù)b>l,?>0）,常形象地稱(chēng)為指數(shù)爆炸.

④對(duì)數(shù)函數(shù)模型，即〉二〃?1。8d+〃（a>0,a^\,用#0）型，增長(zhǎng)特點(diǎn)是隨著自變量的增大，

函數(shù)值增大越來(lái)越慢（底數(shù),”>（））.

⑤幕函數(shù)模型，即y^a-x"+b（aWO）型，其中最常見(jiàn)的是二次函數(shù)模型：y^a^+bx+c（?

#0）,其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a>0）.

在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時(shí)，要注意函數(shù)圖象的直觀(guān)運(yùn)用，分析圖象特點(diǎn)，分析變

量x的范圍，同時(shí)還要與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合，如取整等.

3.函數(shù)建模

（1）定義：用數(shù)學(xué)思想、方法、知遲解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，叫作數(shù)學(xué)建模.

（2）過(guò)程：如下圖所示.

境J

頃怙

問(wèn)題）

（提M

不

）

模型

合（函數(shù)

乎

實(shí)

）

結(jié)果

際［數(shù)學(xué)

實(shí)際

下乎

）

結(jié)果

何用

】

分析

例題

【典型

：

方案

獎(jiǎng)勵(lì)

員的

售人

勵(lì)銷(xiāo)

一個(gè)激

備制定

，準(zhǔn)

目標(biāo)

利潤(rùn)

元的

0萬(wàn)

100

實(shí)現(xiàn)

為了

公司

1：某

典例

潤(rùn)X

售利

）隨銷(xiāo)

萬(wàn)元

位：

（單

數(shù)額y

獎(jiǎng)金

勵(lì)，且

行獎(jiǎng)

潤(rùn)進(jìn)

售利

，按銷(xiāo)

元時(shí)

10萬(wàn)

達(dá)到

利潤(rùn)

銷(xiāo)售

5%,

潤(rùn)的2

過(guò)利

不超

數(shù)額

獎(jiǎng)金

，同時(shí)

萬(wàn)元

超過(guò)5

額不

金數(shù)

，但獎(jiǎng)

增加

加而

的增

元）

：萬(wàn)

（單位

）

（

02）

22.3

"102

45,1

pl.9

,1〃7

0°七6

：1.0036

數(shù)據(jù)

（參考

的是

要求

司的

合公

能符

模型

其中

2

x

_x

―-

D.y—

gix

l+\o

.y—

003C

=1.

B.y

25x

=0.0

A.y

4000

函

；②

函數(shù)

為增

函數(shù)

，①

0］時(shí)

,100

在［10

：當(dāng)

滿(mǎn)足

只需

模型

求的

司要

符合公

題意，

：由

分析

可.