高中數(shù)學(xué)人教A版2019必修第二冊(cè) 6 2 《平面向量的運(yùn)算》教材分析

6.2平面向量的運(yùn)算

一、本節(jié)知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖

向量的數(shù)量積

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：向量加、減運(yùn)算的運(yùn)算法則及其幾何意義，向量數(shù)乘運(yùn)算的定義及其幾

何意義，向量數(shù)量積的概念與運(yùn)算律.

難點(diǎn)：對(duì)向量加法運(yùn)算法則與向量減法定義的理解，對(duì)向量數(shù)量積的概念及運(yùn)

算律的理解，向量數(shù)量積的應(yīng)用.

三、教科書(shū)編寫(xiě)意圖及教學(xué)建議

對(duì)于“運(yùn)算”學(xué)生并不陌生，他們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式的運(yùn)算、集合

的運(yùn)算等，針對(duì)每一種代數(shù)運(yùn)算無(wú)外乎要研究運(yùn)算的背景、意義、法則、性質(zhì)、應(yīng)

用等，從而建立相應(yīng)的運(yùn)算體系.平面向量運(yùn)算內(nèi)容的編寫(xiě)關(guān)注了以下兩個(gè)方面：一

是引導(dǎo)學(xué)生從物理、幾何、代數(shù)三個(gè)角度理解向量運(yùn)算；二是引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比數(shù)的運(yùn)

算研究向量的運(yùn)算.

向量運(yùn)算的學(xué)習(xí)過(guò)程是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象素養(yǎng)的重要載

體，中學(xué)數(shù)學(xué)中的平面向量運(yùn)算主要包括向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積晌量的線

性運(yùn)算包括向量的加法、向量的減法、向量的數(shù)乘運(yùn)算.在向量的加、減運(yùn)算中，加

法運(yùn)算是基本運(yùn)算，減法運(yùn)算是向量加法運(yùn)算的逆運(yùn)算，它們有各自的幾何意義，

并且可以互相統(tǒng)一；向量的數(shù)乘運(yùn)算反映了一類(lèi)向量一一共線向量間的關(guān)系.

向量的概念源自物理學(xué)，所以向量運(yùn)算也有相應(yīng)的物理背景.本節(jié)引言首先從學(xué)

生最為熟悉的數(shù)及其運(yùn)算談起，數(shù)有了運(yùn)算才威力無(wú)窮.類(lèi)似地，引入向量后也要研

究其運(yùn)算.對(duì)于向量的加法運(yùn)算，教科書(shū)通過(guò)類(lèi)比數(shù)的加法，以位移的合成為背景引

入向量加法的三角形法則，以力的合成為背景引入向量加法的平行四邊形法則.這樣

做的主要目的是使加法運(yùn)算的學(xué)習(xí)建立在物理背景之上，并關(guān)注學(xué)生對(duì)向量的和要

從大小、方向兩個(gè)方面來(lái)規(guī)定的理解，體會(huì)向量運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的區(qū)別與聯(lián)系，以

幫助學(xué)生理解向量加法的本質(zhì).

對(duì)于向量的減法，類(lèi)比數(shù)的減法，減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，教科

書(shū)先引入了相反向量的概念，然后引入向量的減法：減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向

量的相反向量.

對(duì)于向量的數(shù)乘，通過(guò)類(lèi)比數(shù)的乘法，教科書(shū)從相同向量的連加入手引入了向

量數(shù)乘運(yùn)算晌量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義明顯，通過(guò)這一幾何意義討論向量共線的條件,

為后繼學(xué)習(xí)平面向量基本定理奠定基礎(chǔ).

以物理中力所做的功為背景，教科書(shū)引入了向量的數(shù)量積.向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)

果是實(shí)數(shù)，它不僅滿(mǎn)足交換律，而且對(duì)加法滿(mǎn)足分配律晌量數(shù)量積可以刻畫(huà)兩個(gè)向

量的夾角和向量的長(zhǎng)度（可以看成兩點(diǎn)間的距離），而距離和角又是刻畫(huà)幾何元素

（點(diǎn)、線、面）之間度量關(guān)系的基本量，因此，向量數(shù)量積在解決平面幾何問(wèn)題中

發(fā)揮著獨(dú)到的作用.

綜上可知，與數(shù)的運(yùn)算類(lèi)比，借助物理背景引入向量的相關(guān)運(yùn)算是學(xué)習(xí)向量運(yùn)

算的重要方法.教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算，借助物理背景，給學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提

出向量運(yùn)算的機(jī)會(huì)，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

6.2.1向量的加法運(yùn)算

1.向量加法的定義

教科書(shū)從位移的合成與力的合成出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生考慮能否受它們的啟發(fā)引進(jìn)向

量的加法.具體地，教科書(shū)以學(xué)生熟悉的位移的合成為背景，設(shè)置了思考欄目.首先讓

學(xué)生回憶并感知物理中位移的合成，它可以看作是向量加法的物理模型；進(jìn)而類(lèi)比

數(shù)的加法，給出向量加法的三角形法則.在此基礎(chǔ)上，教科書(shū)給出向量加法的定義.

教科書(shū)進(jìn)一步挖掘?qū)W生的已有認(rèn)知，以力的合成為背景，設(shè)置了思考欄目.教學(xué)

中，教師要讓學(xué)生回憶相關(guān)的物理知識(shí)，想到力的合成的平行四邊形法則，畫(huà)出力可

與F?的合力F（圖6-3）,進(jìn)而誘發(fā)學(xué)生從向量的角度看力的合成，引出向量加法的

平行四邊形法則.

圖6-4

既然向量加法有兩個(gè)法則，討論兩者是否一致順理成章.如圖6-4,由向量加法

的三角形法則，a+b=c.過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線，所作的兩條

直線相交于點(diǎn)D,四邊形ABCD是平行四邊形.由平行四邊形的性質(zhì)得AD=BC,所以

A。=b.由向量加法的平行四邊形法則也可得出a+b=c,所以向量加法的三角形法

則與平行四邊形法則是一致的.

與數(shù)零的加法運(yùn)算的規(guī)定類(lèi)似，對(duì)任意向量a與零向量0相加，教科書(shū)中給出

了相應(yīng)的規(guī)定：a+O=O+a=a.

2.例1的教學(xué)

例1是通過(guò)具體的例子幫助學(xué)生理解向量加法的概念，規(guī)范作兩個(gè)向量的和的方

法.本例分別用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個(gè)向量的和.在向量加

法的作圖中，要讓學(xué)生體會(huì)作法中任取一點(diǎn)0的依據(jù)——我們研究的向量是自由向

量.教學(xué)中，教師還要引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)對(duì)于向量的有關(guān)作圖，常常需要平移向量.運(yùn)用向

量加法的三角形法則作圖時(shí)，要“首尾相接，再首尾連”；運(yùn)用向量加法的平行四邊

形法則作圖時(shí)，則要強(qiáng)調(diào)兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同.

3.共線向量的加法

共線向量的加法與實(shí)數(shù)的加法非常類(lèi)似，教科書(shū)安排學(xué)生探究共線向量的加法

符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，既讓學(xué)生體會(huì)向量的加法與數(shù)的加法的聯(lián)系與區(qū)別，也加強(qiáng)

了學(xué)生對(duì)共線向量加法的理解.

當(dāng)兩個(gè)向量共線時(shí)，

（1）如果其中有一個(gè)向量為零向量，不妨設(shè)a=0,貝iJa+b=O+b=b,這與

實(shí)數(shù)的加法類(lèi)似；

（2）如果兩個(gè)向量均不為零，則它們可以看作在數(shù)軸上的兩個(gè)向量相加，其結(jié)

果是一個(gè)向量，對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線段，而兩個(gè)數(shù)相加，其結(jié)果是一個(gè)數(shù)，

對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上唯一的一個(gè)點(diǎn).

容易看出，當(dāng)向量a,b共線時(shí)，以a的終點(diǎn)作為b的起點(diǎn)作出b,a+b就是連接

a的起點(diǎn)與b的終點(diǎn)的向量（即首尾相接，再首尾相連），此時(shí)也符合向量加法的

三角形法則.

教科書(shū)安排第9頁(yè)“探究”（2）的目的是幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)向量的三角不等式.在數(shù)的

加法中，有+6兇+且當(dāng)且僅當(dāng)他20時(shí)等號(hào)成立.對(duì)于向量的加法來(lái)說(shuō)，

探討不等式|a+b|W|a|+|b|是否還成立是十分必要的，這個(gè)三角不等式是歐氏空間

中距離的一個(gè)重要性質(zhì).

學(xué)生借助例1及第9頁(yè)“探究”（1）的圖形直觀，不難得到下列結(jié)論.

①當(dāng)a,b不共線時(shí)，根據(jù)三角形兩邊的和大于第三邊，|a+b|<|a|+|b|.

②如圖6-5,當(dāng)a,b方向相同時(shí)，|a+b|=|a|+|b|.

如圖66當(dāng)a,b方向相反時(shí),|a+b|=|a|-|b|（或|b|-|a|）,其中當(dāng)向量a的

長(zhǎng)度大于向量b的長(zhǎng)度時(shí)，|a+b|=|a|-|b|,當(dāng)向量b的長(zhǎng)度大于向量a的長(zhǎng)度時(shí),

|a+b|=|a|-|b|,

因而當(dāng)a,b共線時(shí)，|a+b|W|a|+|b|.

由①②得，對(duì)于向量a,b,|a+b|<|a|+|b|.

2一b

a+ba+b

a與b方向相同時(shí)a與b方向相反時(shí)

圖6-5圖6-6

教學(xué)中，可以借助信息技術(shù)來(lái)探究不等式|a+b國(guó)a|+|b|,通過(guò)改變a,b的

位置（共線、不共線和大小不同動(dòng)態(tài)演示|a+b|與|a|+|b|的關(guān)系，從直觀上加強(qiáng)

對(duì)兩個(gè)向量和的長(zhǎng)度，與這兩個(gè)向量各自長(zhǎng)度的和的關(guān)系的理解.

在第9頁(yè)“探究”（2）中，學(xué)生還可能發(fā)現(xiàn)一些類(lèi)似的關(guān)系式.例如，當(dāng)向量a,

b不共線時(shí)，不等式|a|-|b|<|a+b|成立等.由于本節(jié)課容量較大，有些相關(guān)問(wèn)題課

上可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出來(lái)，但不必作過(guò)多的討論，可以作為課后作業(yè)完成，或者

等學(xué)習(xí)了向量的減法之后，再一并提出更多相關(guān)的問(wèn)題加以討論.

4.向量加法的運(yùn)算律

定義了一種運(yùn)算，就要進(jìn)一步認(rèn)識(shí)它有怎

樣的運(yùn)算性質(zhì).定義了向量的加法后，一個(gè)自然

的想法是要研究它有哪些運(yùn)算規(guī)律.類(lèi)比數(shù)的

加法運(yùn)算律，教科書(shū)提出探究向量的加法是否

有交換律和結(jié)合律，這符合學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和

探究欲望.在教學(xué)中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生從向

量加法的定義與幾何意義出發(fā)，通過(guò)畫(huà)圖驗(yàn)證

圖6-7

向量加法的交換律和結(jié)合律.本探究要在學(xué)生獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，組織學(xué)生交流研討,

分享探索運(yùn)算律驗(yàn)證思路的經(jīng)驗(yàn)，必要時(shí)用信息技術(shù)工具作圖，以幫助學(xué)生明確運(yùn)

算律的驗(yàn)證思路，從而理解運(yùn)算律.

需要說(shuō)明的是，對(duì)于向量加法的結(jié)合律，教科書(shū)中給出的方法運(yùn)用了向量加法

的三角形法則，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中也可能有學(xué)生運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則，

圖6-7中提供了一個(gè)驗(yàn)證思路，供教師參考.教師還可以借助信息技術(shù)工具改變向量a,

b,c的位置，動(dòng)態(tài)地幫助學(xué)生理解向量加法的結(jié)合律成立.

5?例2的教學(xué)

例2結(jié)合一個(gè)實(shí)際問(wèn)題反映向量的加法在實(shí)際生活中的應(yīng)用，這樣的問(wèn)題在物理

中已有涉及.這里的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為向量加法運(yùn)算的過(guò)程，

體會(huì)要解決的問(wèn)題是向量的大小及方向（與某一方向的夾角的大?。?教學(xué)時(shí)，可以

讓學(xué)生閱讀理解題意，分析解題思路，將實(shí)際問(wèn)題用向量的圖形語(yǔ)言表征，從而與

初中學(xué)習(xí)過(guò)的解直角三角形建立聯(lián)系.需要說(shuō)明的是，雖然本章中最后一節(jié)安排了平

面向量的應(yīng)用，但在本節(jié)的教學(xué)中也要滲透相關(guān)的平面向量運(yùn)算的簡(jiǎn)單應(yīng)用，目的

是及時(shí)讓學(xué)生體會(huì)研究向量運(yùn)算的意義，同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的

能力.

6.2.2向量的減法運(yùn)算

1.類(lèi)比數(shù)的減法運(yùn)算定義向量的減法運(yùn)算

對(duì)于向量的減法，可以直接從它是向量加法的逆運(yùn)算的角度“直觀”地進(jìn)行定

義，也就是，如果x+b=a,那么X稱(chēng)為a與b的差，記作a-b.這樣，在平面內(nèi)任取

一點(diǎn)O,作。4=a,OB=b,則BA就是a-b（圖6-8）.事實(shí)上，由向量加法的三角

形法則易見(jiàn)b+3A=a,所以，BA=a-b.

圖6-8圖6-9

為了便于學(xué)生理解，類(lèi)比數(shù)的減法可以看作“減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相

反數(shù)”，教科書(shū)先定義了相反向量，然后把a(bǔ)-b定義為a+(-b).如圖6-9,在這種

定義下，OC=a+(-b).而四邊形OCAB是平行四邊形，所以=由此可見(jiàn)，上

述兩種定義向量減法的方式是等價(jià)的.

通常稱(chēng)含有向量的等式為向量等式，在向量等式的兩邊都加上或減去一個(gè)相同

的向量，等號(hào)仍成立，移項(xiàng)法則對(duì)向量等式也是適用的.對(duì)這些性質(zhì)教科書(shū)未作專(zhuān)門(mén)

介紹，實(shí)際上通過(guò)作圖很容易驗(yàn)證，教學(xué)時(shí)，對(duì)這些內(nèi)容可不作專(zhuān)門(mén)介紹，需要時(shí)

能正確運(yùn)用即可.

2.向量減法的幾何意義

對(duì)于向量減法的幾何意義，教科書(shū)設(shè)置了一個(gè)探究欄目.教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)

手操作，交流畫(huà)圖依據(jù).先結(jié)合向量加法的平行四邊形法則，作出從同一點(diǎn)出發(fā)的兩

個(gè)向量尢⑼的差a+(-b),進(jìn)而得出a-b可以表示為從向量b的終點(diǎn)指向向量a的終

點(diǎn)的向量.

3.例3、例4的教學(xué)

本小節(jié)中安排了兩個(gè)例題.例3是作出兩對(duì)向量的差向量.教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生結(jié)

合向量減法的幾何意義，注意差向量的方向，它指向被減向量的終點(diǎn).例4是借助向

量的加、減運(yùn)算的幾何意義來(lái)表示圖形中的其他向量，這是用向量解決幾何問(wèn)題的

基礎(chǔ).教學(xué)中要注意這方面的訓(xùn)練，特別要掌握本例中所求向量與已知向量的關(guān)系.

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算

1.向量數(shù)乘運(yùn)算的定義

為引入向量的數(shù)乘運(yùn)算，教科書(shū)設(shè)置了探究欄目，引導(dǎo)學(xué)生作出幾個(gè)相同向量

的和，得出和的長(zhǎng)度與方向與原向量的長(zhǎng)度與方向

的關(guān)系.學(xué)生容易作出a+a+a,也容易類(lèi)比實(shí)數(shù)的

aaa

累加將a+a+a寫(xiě)成3a的形式，進(jìn)而得出3a的長(zhǎng)6*C

度與方向與a的長(zhǎng)度與方向的關(guān)系.教學(xué)時(shí)，教師要..-a.一〃

重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生對(duì)于(-a)+(-a)+(-a)的大小NMQP

和方向的理解，給學(xué)生充足的時(shí)間探究這個(gè)和的結(jié)

果如何表示.教科書(shū)把(-a)+(-a)+(-a)記作圖6-10

-3a,可以類(lèi)比式的運(yùn)算(-a)+(-a)+(-a)=-3a

理解上述規(guī)定.教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖6-10說(shuō)明-3a的方向與a的方向相反,-3a的長(zhǎng)度

是a的長(zhǎng)度的3倍.

一般地，向量數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果4a是一個(gè)向量，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：

(1)|2a|=|A||a|；

(2)當(dāng)；1>0時(shí)，/la的方向與的方向相同；當(dāng);1<0時(shí)，/la的方向與a的方向相

反.

當(dāng)；1=0時(shí),由(1)可知，|2aH0aH0lla|=0,因而Aa=0.

當(dāng)幾=-1時(shí)，由(1)可知，|(—l)a|=|—l||a|=|a|.由(2)可知，(-1)a的方向

與a的方向相反，因而(-1)a=-a.

由向量數(shù)乘運(yùn)算的定義，學(xué)生對(duì)于零向量和相反向量會(huì)有一些新的認(rèn)識(shí)，如零

乘任何向量的結(jié)果為零向量，-1乘任何向量得到這個(gè)向量的相反向量.

教科書(shū)第14頁(yè)思考欄目設(shè)置的目的是鞏固向量數(shù)乘運(yùn)算的定義.由向量數(shù)乘運(yùn)

算的定義得b=3.5a,向量b的長(zhǎng)度是向量a的長(zhǎng)度的3.5倍，向量b的方向與向量a

的方向相同.

2.向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律

與學(xué)習(xí)向量的加法運(yùn)算一樣，定義了向量數(shù)乘運(yùn)算以后，考察它的運(yùn)算律是一

個(gè)自然的問(wèn)題.教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律，讓學(xué)生先猜想向量數(shù)乘

有哪些運(yùn)算律，并寫(xiě)出來(lái).學(xué)生可能寫(xiě)不全，甚至寫(xiě)出錯(cuò)誤的結(jié)論，教師可以組織學(xué)

生討論，引導(dǎo)學(xué)生一起進(jìn)行驗(yàn)證.為了降低學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，教科書(shū)沒(méi)有給出三個(gè)

運(yùn)算律的證明.對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，可以介紹證明方法，如運(yùn)用相似三角形的判定

與性質(zhì)證明分配律X(a+b)=/la+/lb.

向量運(yùn)算律證明的依據(jù)是相等向量的定義，即要證明等式兩邊的向量長(zhǎng)度相等,

且方向相同.為了證明這些運(yùn)算律在任何情況下都成立，還需對(duì)各種可能的情況進(jìn)行

討論，下面的證明供教師參考.

設(shè)尢⑼為實(shí)數(shù)，a,b為向量，貝1J

(1)2(〃a)=(初)a；①

(2)(2+//)a=2a+//a；②

(3)2(a+b)=2a+2b；(f)

證明：(1)當(dāng)2=0或〃=0或a=0時(shí)，①式顯然成立.

當(dāng);［加，〃網(wǎng)且awO時(shí)，由向量數(shù)乘運(yùn)算的定義，得

lU^aHA/z||a|=|2IIAllah

所以12(/za)|=|(2//)a|.

當(dāng)同號(hào)時(shí)，①式兩邊向量的方向都與a的方向相同；當(dāng)凡4異號(hào)時(shí)，①式

兩邊向量的方向都與a的方向相反.

因此，向量九(，a)與(沏)a有相等的長(zhǎng)度和相同的方向，所以①式成立.

(2)當(dāng);1=0或〃=0或a=0時(shí)，②式顯然成立.

當(dāng)無(wú)彳0,〃彳0且awO時(shí)，可分如下兩種情況：

當(dāng)2,4同號(hào)時(shí)，布的方向與的方向相同，所以

|(2+〃)a|=|2+4||a|=(|2|+|〃|)|a|,

"a+〃a|="a|+|〃a|="||a|+|〃||a|=("|+|〃|)|a|,

即有I（彳+4）a|=|2a+//a|.

由同號(hào)，知②式兩邊向量的方向或都與a的方向相同，或都與a的方向相

反，即②式兩邊向量的方向相同.因此，（幾+Ma與/la+Ma有相等的長(zhǎng)度和相同的方

向，所以②式成立.

如果異號(hào)，當(dāng)時(shí)，②式兩邊向量的方向都與2a的方向相同；當(dāng)幾<，

時(shí)，②式兩邊向量的方向都與4a的方向相同.因此，（幾+Ma與/la+Ma有相等的長(zhǎng)

度和相同的方向，所以②式成立.

（3）當(dāng)a,b共線，或;1=0,2=1時(shí)，③式顯然成立.

當(dāng)a,b不共線，且以0,以1時(shí)，可分如下兩種情

況：

當(dāng)九＞0且時(shí)，如圖6-11,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)。，

作(M=a,AB=b,出=2a，A§=4b.則OB=a+b,

OBX=Aa+/lb.

由作法知ABIIA.B,,有

所以

ZOAB=ZOA1B1,\OA[\=A\OA\,\\B^=X\AB\,圖6-11

\OA\4用

J—L=l——1=2,因此△AOBS/AQ4.所以

1041\AB\

\OBA

J~'-=A,ZAOB=ZA.OB.,因此0,3,用在同一條

\OB\

直線上，|。同=/1|03|,04與力?3的方向也相同.

所以|。4卜/1|08|,所以2(a+b)=2a+Xb.

當(dāng)2<0時(shí)，由圖6-12可類(lèi)似證明

2（a+b）=2a+2b.所以③式也成立.圖6-12

3.向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為向量的線性運(yùn)算.有了向量的線性運(yùn)算,

平面上的點(diǎn)（相對(duì)于一個(gè)定點(diǎn)）、線段（直線）就可以用向量表示，這就為向量法解

決幾何問(wèn)題奠定了基礎(chǔ).線性運(yùn)算的運(yùn)算律包含了向量加法、向量數(shù)乘的運(yùn)算律，教

學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生體會(huì)到這一點(diǎn).

4.例5、例6的教學(xué)

例5要求學(xué)生運(yùn)用向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律進(jìn)行運(yùn)算，掌握向量的線性運(yùn)算.設(shè)置

例6的目的，一方面是鞏固向量線性運(yùn)算知識(shí),另一方面是用向量表示幾何元素(點(diǎn)、

線段等).這是用向量方法證明幾何問(wèn)題的重要步驟，解答該題時(shí)要用到平行四邊形

的性質(zhì)“平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分”.

5.向量共線定理

在學(xué)生對(duì)向量數(shù)乘運(yùn)算已經(jīng)有所了解的基礎(chǔ)上，教科書(shū)設(shè)置了探究欄目，目的

是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)向量數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果與原向量之間的位置關(guān)系.教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)

生依據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算展開(kāi)討論，發(fā)現(xiàn)并提出一些新問(wèn)題，如對(duì)于向量a(aHO),b,

如果有一個(gè)實(shí)數(shù)九，使b=/la,那么向量a與b共線嗎？為什么？反過(guò)來(lái)，已知向量

a(awO),b,如果b與向量a共線，那么向量b能用向量a表示嗎？鼓勵(lì)學(xué)生嘗試用

自己的語(yǔ)言表示共線向量定理，發(fā)展學(xué)生的思維能力，體會(huì)數(shù)學(xué)的研究思路.最后師

生共同概括出向量共線定理：

向量a(awO)與b共線的充要條件是：存在唯----個(gè)實(shí)數(shù)入，使b=/la.

對(duì)于基礎(chǔ)較好的學(xué)生，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用反證法證明定理中九的值的唯一性：

假設(shè)還存在另一個(gè)實(shí)數(shù)使得b=〃a，則/ja=Aa,從而(//-2)a=0,由4中0,

得a=0.這與(a#0)矛盾，所以4=2.

教學(xué)時(shí)，要對(duì)向量共線定理中有關(guān)“充要條件”“存在”“唯一”等文字表述給

予解釋?zhuān)詭椭鷮W(xué)生理解.同時(shí)，在教學(xué)中，教師還要揭示：數(shù)學(xué)中，人們總是追求

用最少的量來(lái)表示一類(lèi)問(wèn)題.向量共線定理表明，對(duì)任意與非零向量a共線的向量b,

都存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九，使b=%.這實(shí)際上就是說(shuō)，任何非零向量a構(gòu)成一維向量

空間的一個(gè)基.這種研究方法具有普遍性，也為后繼學(xué)習(xí)平面向量基本定理奠定基礎(chǔ).

6.例7、例8的教學(xué)

例7給出利用向量共線判定三點(diǎn)共線的方法，這是證明三點(diǎn)共線常用的方法.教

學(xué)中可以先讓學(xué)生作圖，通過(guò)觀察圖形得到A,B,C三點(diǎn)共線的猜想，再將平面幾

何中判斷三點(diǎn)共線的方法轉(zhuǎn)化為用向量共線證明三點(diǎn)共線.教學(xué)時(shí)，教師要啟發(fā)學(xué)生

分析題意，厘清思路，鼓勵(lì)學(xué)生自行完成.另外，本題提供了一個(gè)很好的與信息技術(shù)

整合的題材，教學(xué)中也可以通過(guò)信息技術(shù)工具作圖，進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，揭示a,b變

化過(guò)程中，A,B,C三點(diǎn)始終在同一直線上的規(guī)律.

例8是向量共線的充要條件的一個(gè)應(yīng)用，也體現(xiàn)向量線性運(yùn)算與方程組的綜合

應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是依據(jù)向量共線的充要條件，先列出向量的關(guān)系式

bTa=4；a-Tb］，再轉(zhuǎn)化為解方程組求t.教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思,

體會(huì)其中嚴(yán)密的邏輯推理過(guò)程，積累運(yùn)用向量運(yùn)算解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn).

6.2.4向量的數(shù)量積

1.向量數(shù)量積的定義

為引入向量的數(shù)量積運(yùn)算，教科書(shū)首先啟發(fā)學(xué)生思考：向量除了可以進(jìn)行加、

減運(yùn)算以外，能否作乘法運(yùn)算？如果能，運(yùn)算如何規(guī)定？

教科書(shū)以物理中力做功為背景引入向量的

數(shù)量積.一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s（圖

6-13）,那么力F所做的功W=|F||s|cos。其中。

是F與s的夾角.功W是一個(gè)數(shù)量，由向量F,s確

定，其中涉及“長(zhǎng)度”和“角”.因此，教科書(shū)

先給出了向量的夾角的概念.教學(xué)時(shí)，注意讓學(xué)

生討論兩個(gè)向量的夾角的取值范圍.受功由向量

F,s確定的啟發(fā)，引進(jìn)向量的數(shù)量積的定義

ab=|a||b|cos6.

向量的數(shù)量積是一種新的向量運(yùn)算，與向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣，它

也有明顯的物理意義、幾何意義，用途廣泛.但與向量的線性運(yùn)算不同的是，它的運(yùn)

算結(jié)果不是向量而是數(shù)量，正是這個(gè)不同點(diǎn)溝通了向量運(yùn)算與數(shù)量之間的關(guān)系.教學(xué)

時(shí)，教師要強(qiáng)調(diào)：兩個(gè)非零向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它的值是兩個(gè)向量

的長(zhǎng)度與兩個(gè)向量夾角的余弦的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值決定；并且規(guī)定，零

向量與任一非零向量的數(shù)量積為0.

2.例9、例10的教學(xué)

在例9中,給出a,b的長(zhǎng)度及a與b的夾角，就可以由向量數(shù)量積的定義求出a.b.

在例10中，給出a,b的長(zhǎng)度及a與b的數(shù)量積，由向量數(shù)量積的定義可以求出a與b

的夾角的余弦，進(jìn)而求出a與b的夾角.

3.向量的投影

為了理解向量數(shù)量積的定義和幾何意義，研究向量數(shù)量積的運(yùn)算律，教科書(shū)引

入了向量投影及投影向量的概念.需要注意的是，向量a在向量b上的投影向量，不

是線段的長(zhǎng)度，它是與向量b平行的向量.教學(xué)時(shí)，教師可以讓學(xué)生說(shuō)出向量b在向

量a上的投影向量是什么，并通過(guò)圖形加以直觀解釋.

教科書(shū)第18頁(yè)的探究欄目設(shè)置的目的，是想引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步

探討向量a在向量b上的投影向量與e（與b方向相同的單位

向量），a,夕之間的關(guān)系（圖6-14）,以加深對(duì)投影向量的理解，

進(jìn)而會(huì)求一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影向量.

教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生體會(huì)分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合是研究投影向量

等問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)思想.讓學(xué)生分向量a,b的夾角0為銳角、直角、

鈍角以及0=0,0=兀等情況進(jìn)行討論，得出如下關(guān)系成立：

OM{=|a|cos6e.

___圖6-14

在討論向量a在向量b上的投影向量OM［與e（與b方向相同

的單位向量），a,0的之間的關(guān)系時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)，如果兩個(gè)向量平行或垂直，向量a

在向量b上的投影向量具有特殊性，由此需要討論此時(shí)向量a與向量b數(shù)量積有怎樣

的特殊性.教學(xué)中，教師要讓學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)相關(guān)的特殊結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合及一

般到特殊的思維方法.這是教科書(shū)安排第19頁(yè)探究欄目的目的.

4.向量數(shù)量積的性質(zhì)

向量的數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是實(shí)數(shù)，可以用它來(lái)更加簡(jiǎn)潔地表述幾何中的許多結(jié)

果.例如，

（1）a.a=|a|2（長(zhǎng)度，由此可以導(dǎo)出兩點(diǎn)間的距離公式）；

（2）a?b=0oa，b（直線垂直的條件）.

對(duì)于教科書(shū)中給出的平面向量數(shù)量積的四條性質(zhì)，教師要強(qiáng)調(diào)各自的作用，如

a.a=|a/或|a|=Va^a是求向量的長(zhǎng)度的工具，應(yīng)用非常廣泛.向量a,b的數(shù)量積a.b

與數(shù)a,b的乘積ab(或a?b)不同，所以書(shū)寫(xiě)時(shí)一定要把它們嚴(yán)格區(qū)分開(kāi)，以免影響

后面的學(xué)習(xí).另外，還應(yīng)要求學(xué)生會(huì)證明這些性質(zhì)，培養(yǎng)他們的推理能力.

向量的數(shù)量積是學(xué)生沒(méi)有遇到過(guò)的一種新的運(yùn)算，與數(shù)的乘法有聯(lián)系，但也有

很大的區(qū)別.教科書(shū)第19頁(yè)邊空中的問(wèn)題，是讓學(xué)生思考向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算的一個(gè)

不同之處.教學(xué)中，要讓學(xué)生先獨(dú)立思考，并從數(shù)量積的定義中想清楚：當(dāng)a#0時(shí)，

由a,b=O,不能推出b一定是零向量.這是因?yàn)槿我慌ca垂直的非零向量b,都滿(mǎn)足a,b=O.

5.向量數(shù)量積運(yùn)算的運(yùn)算律

與引進(jìn)向量的線性運(yùn)算時(shí)的做法一致，引進(jìn)向量的數(shù)量積以后，考察這種運(yùn)算

的運(yùn)算律是非常自然的.教科書(shū)通過(guò)“探究”，讓學(xué)生類(lèi)比數(shù)的乘法運(yùn)算律探索向

量數(shù)量積的運(yùn)算律.教科書(shū)就分配律給出了詳細(xì)證明，向量投影在證明過(guò)程中起到了

關(guān)鍵作用.教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)先讓學(xué)生獨(dú)立完成三個(gè)運(yùn)算律的證明，然后教師做適當(dāng)點(diǎn)撥

和評(píng)價(jià).

關(guān)于運(yùn)算(a+b)。c=a-c+b-c的證明，關(guān)鍵是要引導(dǎo)學(xué)生得出向量a+b在向量

c上的投影向量等于向量a,b在向量c上的投影向量的和.為了說(shuō)明這一點(diǎn)，如圖

6-15(1)(2),關(guān)鍵在于證明OR，由圖容