高三數(shù)學(xué)單元知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)試題27

第1講導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算★知識(shí)梳理★1.用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟.（1）求函數(shù)的改變量Δy；（2）求平均變化率.（3）取極限，得導(dǎo)數(shù)（x0）=.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義幾何意義：曲線f（x）在某一點(diǎn)（x0，y0）處的導(dǎo)數(shù)是過點(diǎn)（x0，y0）的切線的物理意義：若物體運(yùn)動(dòng)方程是s=s（t），在點(diǎn)P（i0，s（t0））處導(dǎo)數(shù)的意義是t=t0處的解析：斜率.；瞬時(shí)速度.3.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（為常數(shù)）；（）；；；；；；.解析：4.運(yùn)算法則=1\*GB3①求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：；；.解析：；=2\*GB3②復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：或★重難點(diǎn)突破★1.重點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算法則，熟練掌握常見函數(shù)的計(jì)算和曲線的切線方程的求法2.難點(diǎn)：切線方程的求法及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)3.重難點(diǎn)：借助于計(jì)算公式先算平均增長(zhǎng)率,再利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)的問題.（1）平均變化率的實(shí)際含義是改變量與自變量的改變量的比。問題1.比較函數(shù)與,當(dāng)時(shí),平均增長(zhǎng)率的大小.點(diǎn)撥:解題規(guī)律技巧妙法總結(jié):計(jì)算函數(shù)的平均增長(zhǎng)率的基本步驟是(1)計(jì)算自變量的改變量(2)計(jì)算對(duì)應(yīng)函數(shù)值的改變量(3)計(jì)算平均增長(zhǎng)率:對(duì)于,又對(duì)于,故當(dāng)時(shí),的平均增長(zhǎng)率大于的平均增長(zhǎng)率.（2）求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要堅(jiān)持“將求導(dǎo)進(jìn)行到底”的原則,問題2.已知,則.點(diǎn)撥：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)計(jì)算不熟練,其與系數(shù)不一樣也是一個(gè)復(fù)合的過程,有的同學(xué)忽視了,導(dǎo)致錯(cuò)解為:.設(shè),,則.（3）求切線方程時(shí)已知點(diǎn)是否切點(diǎn)至關(guān)重要。問題3.求在點(diǎn)和處的切線方程。點(diǎn)撥：點(diǎn)在函數(shù)的曲線上，因此過點(diǎn)的切線的斜率就是在處的函數(shù)值；點(diǎn)不在函數(shù)曲線上，因此不能夠直接用導(dǎo)數(shù)求值，要通過設(shè)切點(diǎn)的方法求切線．切忌直接將，看作曲線上的點(diǎn)用導(dǎo)數(shù)求解。即過點(diǎn)的切線的斜率為4，故切線為：．設(shè)過點(diǎn)的切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，又，故，。即切線的斜率為4或12，從而過點(diǎn)的切線為：★熱點(diǎn)考點(diǎn)題型探析★考點(diǎn)1:導(dǎo)數(shù)概念題型1.求函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)函數(shù)值[例1]設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則等于A．B．C．D．【解題思路】由定義直接計(jì)算[解析].故選【名師指引】求解本題的關(guān)鍵是變換出定義式考點(diǎn)2.求曲線的切線方程[例2](高明一中2009屆高三上學(xué)期第四次月考)如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線方程是 ，則=.【解題思路】區(qū)分過曲線處的切線與過點(diǎn)的切線的不同，后者的點(diǎn)不一定在曲線上.解析:觀察圖形,設(shè),過P點(diǎn)的切線方程為即它與重合,比較系數(shù)知:故=2【名師指引】求切線方程時(shí)要注意所給的點(diǎn)是否是切點(diǎn)．若是，可以直接采用求導(dǎo)數(shù)的方法求；不是則需設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)．題型3.求計(jì)算連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率[例3]一球沿一斜面從停止開始自由滾下，10s內(nèi)其運(yùn)動(dòng)方程是s=s(t)=t2(位移單位：m，時(shí)間單位：s)，求小球在t=5時(shí)的加速度.【解題思路】計(jì)算連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率實(shí)際上就是在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù).解析：加速度v=(10+Δt)=10m/s.∴加速度v=2t=2×5=10m/s.【名師指引】計(jì)算連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率的基本步驟是1.計(jì)算2.計(jì)算【新題導(dǎo)練】.1.曲線和在它們交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形面積是.解析：曲線和在它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是(1，1)，兩條切線方程分別是y=－x+2和y=2x－1，它們與軸所圍成的三角形的面積是.點(diǎn)撥::與切線有關(guān)的問題,應(yīng)有運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的意識(shí),求兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)只要聯(lián)立解方程組即可.2.某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是，則在t=1s時(shí)的瞬時(shí)速度為 （） A．－1 B．－3 C．7 D．13解:B點(diǎn)撥:計(jì)算即可3.已知曲線C1:y=x2與C2:y=－(x－2)2,直線l與C1、C2都相切，求直線l的方程.解：設(shè)l與C1相切于點(diǎn)P(x1,x12),與C2相切于Q(x2,－(x2－2)2)對(duì)于C1：y′=2x,則與C1相切于點(diǎn)P的切線方程為y－x12=2x1(x－x1),即y=2x1x－x12 ①對(duì)于C2：y′=－2(x－2),與C2相切于點(diǎn)Q的切線方程為y+(x2－2)2=－2(x2－2)(x－x2),即y=－2(x2－2)x+x22－4 ②∵兩切線重合，∴2x1=－2(x2－2)且－x12=x22－4,解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0∴直線l方程為y=0或y=4x－4點(diǎn)撥:利用解方程組求交點(diǎn),利用直線間的位置和待定系數(shù)法求斜率.考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算題型1:求導(dǎo)運(yùn)算[例1]求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）（2）（3）【解題思路】按運(yùn)算法則進(jìn)行[解析]（1）（2）（3）【名師指引】注意復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法（分解求導(dǎo)回代）；注意問題的變通：如的導(dǎo)數(shù)容易求錯(cuò)，但的導(dǎo)數(shù)不易求錯(cuò).題型2:求導(dǎo)運(yùn)算后求切線方程例2.(廣州市2008屆二月月考)已知函數(shù)（1）若，點(diǎn)P為曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線斜率取最小值時(shí)的切線方程；（2）若函數(shù)上為單調(diào)增函數(shù)，試求滿足條件的最大整數(shù)a.【解題思路】先按運(yùn)算法則求導(dǎo),再按幾何意義求切線方程.解析：（1）設(shè)切線的斜率為k，則 又，所以所求切線的方程為：即 【名師指引】求三次函數(shù)圖象的切線在高考中經(jīng)常出現(xiàn).與曲線相切于P處的切線方程是（D）A．B．C．D．題型3:求導(dǎo)運(yùn)算后的小應(yīng)用題例3.某市在一次降雨過程中,降雨量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為,則在時(shí)刻的降雨強(qiáng)度為()A.B.C.D.【解題思路】先對(duì)的求導(dǎo),再代的數(shù)值.解析:選D【名師指引】求某一時(shí)刻的降雨量相當(dāng)于求瞬時(shí)變化率,即那一時(shí)刻的導(dǎo)數(shù)值.【新題導(dǎo)練】.4.設(shè)函數(shù)，且，則A．0B．-1C．3D．-6思路分析:按導(dǎo)數(shù)乘積運(yùn)算法則先求導(dǎo),然后由已知條件構(gòu)造關(guān)于的方程求解.解:+++故又,故5.設(shè)函數(shù)，（、、是兩兩不等的常數(shù)），則．解析:代入即得0..6.質(zhì)量為的物體按的規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),動(dòng)能,則物體在運(yùn)動(dòng)后的動(dòng)能是解析:先求瞬時(shí)速度后,再代入公式求解提3125J★搶分頻道★基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1.(廣東省六校2009屆高三第二次聯(lián)考試卷)是的導(dǎo)函數(shù)，則的值是．解析:故=32.(廣東省2008屆六校第二次聯(lián)考)在處的導(dǎo)數(shù)值是___________.解析：故填3.已知直線x+2y－4=0與拋物線y2=4x相交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P是拋物線的弧上求一點(diǎn)P，當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為.解析：|AB|為定值，△PAB面積最大，只要P到AB的距離最大，只要點(diǎn)P是拋物線的平行于AB的切線的切點(diǎn)，設(shè)P（x,y）.由圖可知，點(diǎn)P在x軸下方的圖象上∴y=－2,∴y′=－,∵kAB=－,∴－∴x=4,代入y2=4x(y<0)得y=－4.∴P(4,－4)4.(廣東省深圳市2008年高三年級(jí)第一次調(diào)研考試)已知，（），直線與函數(shù)、的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．求直線的方程及的值；解：依題意知：直線是函數(shù)在點(diǎn)處的切線，故其斜率，所以直線的方程為． 又因?yàn)橹本€與的圖像相切，所以由，得（不合題意，舍去）；5.(湛江市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2009屆高三第四次月考)已知函數(shù)的圖象都相切，且l與函數(shù)圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,求直線l的方程及a的值；解由，故直線l的斜率為1，切點(diǎn)為即（1，0）∴①又∵∴即②比較①和②的系數(shù)得綜合拔高訓(xùn)練6.對(duì)于三次函數(shù)，定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”?，F(xiàn)已知,請(qǐng)解答下列問題:（1）求函數(shù)的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo);（2）求證的圖象關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱;并寫出對(duì)于任意的三次函數(shù)都成立的有關(guān)“拐點(diǎn)”的一個(gè)結(jié)論（此結(jié)論不要求證明）.[解析]（1），.令得，.EMBEDEquation.DSMT4拐點(diǎn)（2）設(shè)是圖象上任意一點(diǎn)，則，因?yàn)殛P(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，把代入得左邊,右邊EMBEDEquation.DSMT4右邊=右邊在圖象上EMBEDEquation.DSMT4關(guān)于A對(duì)稱7.已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中。設(shè)兩曲線有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同。（1）若，求的值；（2）用表示，并求的最大值。解：（1）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同 由題意知 ，∴由得，，或（舍去） 即有 （2）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同由題意知 ，∴由得，，或（舍去） 即有 令，則，于是當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)， 故在的最大值為，故的最大值為 8.設(shè)三次函數(shù)在處取得極值，其圖象在處的切線的斜率為。求證：；解：(Ⅰ)方法一、.由題設(shè)，得①②