小學(xué)奧數(shù)三年級(jí)教材

第一部分?jǐn)?shù)字與計(jì)算第一講速算與巧算【專題知識(shí)點(diǎn)概述】本講知識(shí)點(diǎn)屬于計(jì)算板塊的部分，難度并不大。要求學(xué)生熟記加減法運(yùn)算規(guī)則和運(yùn)算律，并在計(jì)算中運(yùn)用湊整的技巧。巧算的幾種方法：分組湊整法：就是將算式中的數(shù)分成若干組，使每組的運(yùn)算結(jié)果都是整十、整百、整千......的數(shù)，再將各組的結(jié)果求和（差）加補(bǔ)湊整法1、移位湊整法：先把加在一起為整十、整百、整千……的數(shù)相加，然后再與其它的數(shù)相加。2、借數(shù)湊整法：有些算式中直接湊整不明顯，這時(shí)可“借數(shù)”或“拆數(shù)”湊整。其他類型的巧算二、基本運(yùn)算律及公式：兩個(gè)運(yùn)算律：一、加法加法交換律：兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，他們的和不變。即：a＋b＝b＋a其中a，b各表示任意一數(shù)．例如，7＋8＝8＋7＝15.總結(jié)：多個(gè)數(shù)相加，任意交換相加的次序，其和不變．加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再與第一個(gè)數(shù)相加，他們的和不變。即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）其中a，b，c各表示任意一數(shù)．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).總結(jié)：多個(gè)數(shù)相加，也可以把其中的任意兩個(gè)數(shù)或者多個(gè)數(shù)相加，其和不變。二、減法在連減或者加減混合運(yùn)算中，如果算式中沒有括號(hào)，那么計(jì)算時(shí)要帶數(shù)字前面的運(yùn)算符號(hào)“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c各表示一個(gè)數(shù)．在加減法混合運(yùn)算中，去括號(hào)時(shí)：如果括號(hào)前面是“＋”號(hào)，那么去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的數(shù)的運(yùn)算符號(hào)不變；如果括號(hào)前面是“－”號(hào)，那么去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的數(shù)的運(yùn)算符號(hào)“＋”變?yōu)椤埃?，“－”變?yōu)椤埃保纾篴＋（b－c）＝a＋b－ca－（b＋c）＝a－b－ca－（b－c）＝a－b＋c在加、減法混合運(yùn)算中，添括號(hào)時(shí)：如果添加的括號(hào)前面是“＋”，那么括號(hào)內(nèi)的數(shù)的原運(yùn)算符號(hào)不變；如果添加的括號(hào)前面是“－”，那么括號(hào)內(nèi)的數(shù)的原運(yùn)算符號(hào)“＋”變?yōu)椤埃保埃弊優(yōu)椤埃?。如：a＋b－c＝a＋（b－c）a－b＋c＝a－（b－c）a－b－c＝a－（b＋c）【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】找出題目中可以進(jìn)行“湊整”的數(shù)。利用運(yùn)算律或者公式調(diào)整運(yùn)算順序?！靖?jìng)賽考點(diǎn)挖掘】做復(fù)雜、多個(gè)數(shù)的連加計(jì)算時(shí)，利用運(yùn)算律或者公式，盡量避免進(jìn)位。適當(dāng)調(diào)整運(yùn)算順序。【習(xí)題精講】【例1】（難度等級(jí)※）計(jì)算：（1）117＋229＋333＋471＋528＋622（2）（1350＋249＋468）＋（251＋332＋1650）（3）756－248－352（4）894－89－111－95－105－94【分析與解】在這個(gè)例題中，主要讓學(xué)生掌握加、減法分組湊整的方法。幾個(gè)數(shù)相加，可以先把可以湊整的幾個(gè)數(shù)分成一組；一個(gè)數(shù)連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)，可以先把后兩個(gè)數(shù)相加湊整，再用這個(gè)數(shù)減去后兩個(gè)數(shù)的和．具體分析如下：（1）式＝（117＋333）＋（229＋471）＋（528＋622）＝450＋700＋1150＝（450＋1150）＋700＝1600＋700＝2300（2）式＝1350＋249＋468＋251＋332＋1650＝（1350＋1650）＋（249＋251）＋（468＋332）＝3000＋500＋800＝4300（3）式＝756－（248＋352）＝756－600＝156（4）式＝（894－94）－（89＋111）－（95＋105）＝800－200－200＝400【例2】（難度等級(jí)※）計(jì)算：（1）1348－234－76＋2234－48－24（2）1847－1936＋536－154－46（3）1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+……+2006（4）2003+2002-2001-2000+1999+1998-1997-1996+3+2-1【分析與解】在這個(gè)例題中，主要讓學(xué)生掌握加減法混合運(yùn)算分組湊整的方法，在湊整的過程中，要注意運(yùn)算符號(hào)的變化或者帶著符號(hào)搬家．具體分析如下：（1）式＝（1348－48）＋（2234－234）－（76＋24）＝1300＋2000－100＝3200（2）式＝1847－（1936－536）－（154＋46）＝1847－1400－200＝247（3）式＝1+（2-3-4+5）+（6-7-8+9）+（10-11-12+13）+……+（2002-2003-2004+2005）+2006＝2007（4）式＝（2003+2002-2001-2000）+（1999+1998-1997-1996）+……+（3+2-1-0）＝4×（2004÷4）＝2004【例3】（難度等級(jí)※）計(jì)算6472－(4476－2480)＋5319－(3323－1327)＋9354－(7358－5362)＋6839－(4843－2847)【分析與解】原式＝（6472＋5318＋1）＋（9354＋6836＋3）－（4480－2480－4）－(3327－1327－4)－(7362－5362－4)－(4847－2847－4)＝11790＋16190－2000－2000－2000－2000＋20＝27980－8000＋20＝20000【例4】（難度等級(jí)※）乒乓球訓(xùn)練所為了方便乒乓球的管理與取放，將乒乓球放在如右圖所示的容器中，已知這個(gè)容器可以放20層乒乓球，最下面一層可以放12個(gè)，每層都比上一層多1個(gè)，問這個(gè)容器可以盛放多少個(gè)乒乓球？【分析與解】因?yàn)檫@些乒乓球從下向上看，從第2層起，每層比下一層多1根，共有20層，所以這個(gè)容器中的乒乓球總數(shù)為：12+13+14+…+29+30+31=（12+31）+（13+30）+（14+29）+…+（21+22）=43×10=430【例5】（難度等級(jí)※※）有一個(gè)掛鐘，一點(diǎn)鐘敲1下，兩點(diǎn)鐘敲2下，三點(diǎn)鐘敲3下，…十二點(diǎn)鐘敲12下，每逢分針指向6時(shí)敲1下。問：這個(gè)掛鐘一晝夜共敲多少下？【分析與解】一晝夜有24個(gè)小時(shí)，把整點(diǎn)的與分針指向6時(shí)的分開算，整點(diǎn)一共敲：1+2+3+…+10+11+12+1+2+3+…+10+11+12=（1+2+3+…+10+11+12）×21+2+3+…+10+11+12=（1+12）+（2+11）+（3+10）+…+（6+7）=13×6=7878×2=156指向6時(shí)一共敲24下，所以，一晝夜一共敲156+24=180（下）【例6】（難度等級(jí)※※）計(jì)算（1）298＋396＋495＋691＋799＋21（2）195＋196＋197＋198＋199＋15（3）98－96－97－105＋102＋101（4）399＋403＋297－501【分析與解】在這個(gè)例題中，主要讓學(xué)生掌握加法運(yùn)算加補(bǔ)湊整的方法．具體分析如下：（1）（法1）原式＝298＋396＋495＋691＋799＋2＋4＋5＋9＋1＝（298＋2）＋（396＋4）＋（495＋5）＋（691＋9）＋（799＋1）＝300＋400＋500＋700＋800＝2700（法2）原式＝（300－3）＋（400－4）＋（500－5）＋（700－9）＋（800－1）＋21＝300＋400＋500＋700＋800－3－4－5－9－1＋21＝2700（2）（法1）原式＝（195＋5）＋（196＋4）＋（197＋3）＋（198＋2）＋（199＋1）＝200＋200＋200＋200＋200＝1000（法2）原式＝（200－5）＋（200－4）＋（200－3）＋（200－2）＋（200－1）＋15＝200＋200＋200＋200＋200＝1000（3）原式＝（100－2）－（100－4）－（100－3）－（100＋5）＋（100＋2）＋（100＋1）＝100－100－100－100＋100＋100－2＋4＋3－5＋2＋1＝3（4）原式＝（400－1）＋（400＋3）＋（300－3）－（500＋1）＝400－1＋400＋3＋300－3－500－1＝598注：在（1）中，在加100時(shí)多加了1，所以要減去，這樣保證結(jié)果不變，所以“多加的要減去”；（2）中，少加了2，在后面要加上，所以“少加的要加上”；（3）中，多減了2，所以要加上，所以“多減的要加上”；（4）中，少減了3，后面要再減去3，所以“少減的要再減”．【例7】（難度等級(jí)※※）計(jì)算：（1）19+199+1999+……+199……91999個(gè)9（2）2002+2001-2000-1999+…+6+5-4-3+2+1【分析與解】原式＝2222……0-1999×11999個(gè)2＝22……202211996個(gè)2（2）原式＝2002-2000+2001-1999+…+6-4+5-3+2-1＝2×1001+1=2003＝2002+1＝2003【例8】（難度等級(jí)※※※）計(jì)算9+99+999+……+9999999999個(gè)9【分析與解】本題可以把所有的加數(shù)均看成整十、整百、整千……的數(shù)，最后再進(jìn)行補(bǔ)數(shù)原式＝10+100+1000+……+10000000000-99個(gè)0＝1111111110-9＝1111111101【例9】（難度等級(jí)※※※）計(jì)算（1）19971997＋9971997＋971997＋71997＋1997＋997＋97＋7（2）83＋86＋95－85＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋93＋100－89＋83＋96＋98【分析與解】（1）（法1）原式＝（19972000－3）＋（9972000－3）＋（972000－3）＋（72000－3）＋（2000－3）＋（1000－3）＋（100－3）＋（10－3）＝19972000＋9972000＋972000＋72000＋2000＋1000＋100＋10－8×3＝30991110－24＝30991086（法2）原式＝10000000+9000000×2+900000×3+70000×4+1000×5+900×6+90×7+7×8＝10000000+18000000+2700000+280000+5000+5400+630+56＝30991086（2）原式＝83＋86＋95－83-2＋86－94＋95＋94＋86＋92＋87＋80＋93＋100－87-2＋83＋96＋98＝90×12-4+5-2-4+5-4+2-10+3+10-2-7+6+8＝1080+6＝1086總結(jié):找“基準(zhǔn)數(shù)”法：當(dāng)幾個(gè)數(shù)比較接近于某一整數(shù)的數(shù)相加時(shí)，選這個(gè)整數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)”（要注意把多加的數(shù)減去，把少加的數(shù)加上）【例10】（難度等級(jí)※※※）加法金字塔，計(jì)算右面數(shù)的和【分析與解】這一列數(shù)的前九行是從上到下、從小到大排，后九行是從下到上、從大到小排，所以從中間對(duì)折，上、下對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)字之和是10，由此推知，個(gè)位的18個(gè)數(shù)之和是（1+9）+（3+7）+（4+6）+…+（1+9）=10×9=90，同理，十位的16個(gè)數(shù)之和是80，百位的14個(gè)數(shù)之和是70……億位的兩個(gè)數(shù)之和是10，按照加法進(jìn)位的法則，上面的金字塔的結(jié)果是1234567890?！纠?1】（難度等級(jí)※※※）計(jì)算（1）100－101＋102－103＋104－105＋106－107＋108（2）123＋234＋345－456＋567－678＋789【分析與解】（1）原式＝100＋（102－101）＋（104－103）＋（106－105）＋（108－107）＝100＋1＋1＋1＋1＝104（2）（法1）原式＝123＋234＋345＋（567－456）＋（789－678）＝123＋234＋345＋111＋111＝234＋（123＋567）＝234＋690＝924（法2）原式＝123+（123+111）+（123+222）-（123+333）+（123+444）-（123+555）+（123+666）＝123×3+（111+222-333+444-555+666）＝369+555＝924【例12】（難度等級(jí)※※※）計(jì)算：1234＋3142＋4321＋2413【分析與解】原式＝（1000＋200＋30＋4）＋（3000＋100＋40＋2）＋（4000＋300＋20＋1）＋（2000＋400＋10＋3）＝（1000＋2000＋3000＋4000）＋（100＋200＋300＋400）＋（10＋20＋30＋40）＋（1＋2＋3＋4）＝10000＋1000＋100＋10＝11110【例13】（難度等級(jí)※※※）在右圖的36個(gè)格子中各有一個(gè)數(shù)，最上面一橫行和最左面一豎列中的數(shù)已經(jīng)填好，其余每個(gè)格子中的數(shù)等于每個(gè)格子同一橫行最左面數(shù)與同一豎列最上面數(shù)之和（例如：a＝14＋17＝31），問這36個(gè)數(shù)的總和是多少？【分析與解】（法1）第二橫行的空格應(yīng)該填的數(shù)字分別是11＋12，13＋12，15＋12，17＋12，19＋12，同理，下面每一橫行都是用豎列的一個(gè)數(shù)與橫行的每一個(gè)數(shù)相加．我們最后要求這36個(gè)格子中的所有數(shù)字之和，第一橫行的和為：10＋11＋13＋15＋17＋19＝（10＋15）＋（11＋19）＋（13＋17）＝85，第二橫行的和為：12＋11＋12＋13＋12＋15＋12＋17＋12＋19＋12＝12×6＋（11＋13＋15＋17＋19）＝147，同理，第三橫行的和為：14＋11＋14＋13＋14＋15＋14＋17＋14＋19＋14＝14×6＋（11＋13＋15＋17＋19）＝159，第四橫行的和為16×6＋75＝171，第五橫行的和為：18×6＋75＝183，第六橫行的和為：20×6＋75＝195.所以36個(gè)格子的和為85＋147＋159＋171＋183＋195＝940.（法2）法1比較笨拙，沒有體現(xiàn)該題解法的精髓，在我們解這道題之前，我們看看下面的例子：2345468上表空格處的數(shù)等于每個(gè)格子同一橫行最左面數(shù)與同一豎列最上面數(shù)之和，求這16個(gè)數(shù)之和。每列第一個(gè)數(shù)為a,所填每列和＝3a+4+6+8，所填寫各列總和＝3×(3+4+5)+(4+6+8)×3，所以除角上2以外的所有數(shù)之和為4×(4+6+8+3+4+5)，所以16格總和為4×(4+6+8+3+4+5)+2＝122.再類推到原題，則有：所有數(shù)之和＝（11+13+15+17+19+12+14+16+18+20）×6+10＝940.【例14】（難度等級(jí)※※※）在134＋7，134＋14，134＋21，……，134＋210這30個(gè)算式中，每個(gè)算式的計(jì)算結(jié)果都是三位數(shù)，求這些三位數(shù)的百位數(shù)字之和．【分析與解】我們只要求百位數(shù)字之和，仔細(xì)觀察這些計(jì)算結(jié)果，發(fā)現(xiàn)百位數(shù)字最小是1，最大是3，當(dāng)134＋7×9＝134＋63時(shí)，前面的和的百位數(shù)都是1，這一共有9個(gè)數(shù)；從134＋7×10＝134＋70開始，到134＋7×23＝134＋161，這些和的百位數(shù)是2，一共有14個(gè)數(shù)；從134＋7×24＝134＋168到134＋7×30，這些和的百位數(shù)都是3，一共有7和數(shù)．所以這些算式的和的百位數(shù)字之和為：1×9＋2×14＋3×7＝58.【例15】（難度等級(jí)※※※）魔術(shù)師有6粒骰子，每粒骰子的6個(gè)面上寫的數(shù)字如下：256，850，157，553，454，652；814，616，319，715，418，913；585，387，882，189，684，783；437，635，129，833，536，734；168，663，267，564，762，861；671，374，572，473，176，275這36個(gè)數(shù)沒有一個(gè)相同的，魔術(shù)師將6粒骰子隨意灑在桌面上，請(qǐng)觀眾將6粒骰子頂面上的6個(gè)數(shù)相加，每次魔術(shù)師都比觀眾加的快，你知道為什么嗎？你能做到嗎？【分析與解】仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，在每粒骰子的6個(gè)數(shù)中，十位數(shù)都相同，個(gè)位數(shù)與百位數(shù)之和也相同，6粒骰子的十位數(shù)依次為：5，1，8，3，6，7，個(gè)位數(shù)與百位數(shù)之和依次為：8，12，10，11，9，7。當(dāng)6粒骰子擲在桌面上，頂面的6個(gè)數(shù)相加，十位數(shù)之和是：5+1+8+3+6+7=30，個(gè)位數(shù)與百位數(shù)之和是：8+12+10+11+9+7=57。將十位向百位進(jìn)3加進(jìn)去，得：57+3=60。所以你只需計(jì)算這6個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)之和，如果個(gè)位數(shù)之和為n，那么百位數(shù)之和為60-n，則這六個(gè)三位數(shù)之和的前兩位是（60-n），后兩位是n例如6粒骰子頂面的6個(gè)數(shù)分別是：850，715，783，437，762，275，它們的個(gè)位數(shù)之和為：0+5+3+4+3+7+2+5=22，60-22=38，所以這6個(gè)數(shù)之和是3822【作業(yè)】1、計(jì)算：195＋196＋197＋198＋199【答案】9852、計(jì)算：89+899+8999+89999+899999【答案】9999853、11+192+1993+19994+199995所得和數(shù)的數(shù)字之和是多少？【答案】20。4、請(qǐng)從3，7，9，11，21，33，63，77，99，231，693，985這12個(gè)數(shù)中選出5個(gè)數(shù)，使它們的和等于1995?！敬鸢浮?，77，231，693，9855、計(jì)算：1997+1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+……+1993-1994-1995+1996【答案】1997挑戰(zhàn)自己（難度等級(jí)※※※）從1999這個(gè)數(shù)里減去253以后，再加上244，然后在減去253，再加上244，……，這樣一直減下去，減到第多少次，得數(shù)恰好等于0？【答案】253-244=9，1999-253=1746，1746/9=194，194+1=195，所以減到第195次，得數(shù)恰好等于0。第二講等差數(shù)列的認(rèn)識(shí)與計(jì)算【專題知識(shí)點(diǎn)概述】本講知識(shí)點(diǎn)屬于計(jì)算板塊的部分，難度并不大。要求學(xué)生熟記等差數(shù)列各個(gè)公式，并在公式中找出對(duì)應(yīng)的各個(gè)量進(jìn)行計(jì)算。一、等差數(shù)列的定義：若干個(gè)數(shù)排成一列，稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)，其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)，數(shù)列中數(shù)的個(gè)數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差稱為公差。例如：等差數(shù)列：3、6、9……96，這是一個(gè)首項(xiàng)為3，末項(xiàng)為96，項(xiàng)數(shù)為32，公差為3的數(shù)列?！臼谡n批注】一般情況下，等差數(shù)列是按照從小到大進(jìn)行排列的，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)從大到小排列順序，此時(shí)可以改變數(shù)列順序，從而讓數(shù)列變?yōu)閺男〉酱?，并避免出現(xiàn)公差小于零的情況。二、等差數(shù)列的相關(guān)公式：通項(xiàng)公式：末項(xiàng)＝首項(xiàng)＋（項(xiàng)數(shù)－1）×公差項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)＝（末項(xiàng)－首項(xiàng)）÷公差＋1求和公式：總和＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2=平均數(shù)×項(xiàng)數(shù)平均數(shù)公式：平均數(shù)＝（首項(xiàng)＋末項(xiàng)）÷2【授課批注】第一個(gè)公式中，有時(shí)會(huì)遇到求中間項(xiàng)、而非末項(xiàng)，此時(shí)可以截取一個(gè)新的數(shù)列，把該項(xiàng)作為“新的末項(xiàng)”，即可繼續(xù)用此公式?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)解析】1．找出題目中首項(xiàng)、末項(xiàng)、公差、項(xiàng)數(shù)。2．必要時(shí)調(diào)整數(shù)列順序。【競(jìng)賽考點(diǎn)挖掘】1．找到數(shù)列規(guī)律。2．適當(dāng)調(diào)整數(shù)列順序?！玖?xí)題精講】【例1】（難度等級(jí)※）2，5，8，11，14……是按照規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)，第21項(xiàng)是多少？【分析與解】此數(shù)列為一個(gè)等差數(shù)列，將第21項(xiàng)看做末項(xiàng)。末項(xiàng)=2+（21-1）×3=62【例2】（難度等級(jí)※）計(jì)算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12【分析與解】原式=（1+12）×12÷2=78【例3】（難度等級(jí)※）計(jì)算11+12+13+14+15+16+17+18+19【分析與解】原式=（11+19）×9÷2=135【例4】（難度等級(jí)※）計(jì)算100+99+98+97+96+95+94+93+92+91+90【分析與解】原式=（100+90）×11÷2=1045【例5】（難度等級(jí)※※）把比100大的奇數(shù)從小到大排成一列，其中第21個(gè)是多少？【分析與解】該數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)為101，公差為2，第21個(gè)數(shù)的項(xiàng)數(shù)為21.101+（21-1）×2=141【例6】（難度等級(jí)※※）已知一個(gè)等差數(shù)列第9項(xiàng)等于131，第10項(xiàng)等于137，這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)是多少？第19項(xiàng)是多少？【分析與解】公差=137-131=6131=首項(xiàng)+（9-1）×6所以，首項(xiàng)=83末項(xiàng)（第19項(xiàng)）=83+（19-1）×6=191【例7】（難度等級(jí)※※）體育課上老師指揮大家排成一排，冬冬站排頭，阿奇站排尾，從排頭到排尾依次報(bào)數(shù)。如果冬冬報(bào)17，阿奇報(bào)150，每位同學(xué)報(bào)的數(shù)都比前一位多7，那么隊(duì)伍里一共有多少人？【分析與解】首項(xiàng)=17，末項(xiàng)=150，公差=7項(xiàng)數(shù)=（150-17）÷7+1=20【例8】（難度等級(jí)※※※）已知一個(gè)等差數(shù)列第8項(xiàng)等于50，第15項(xiàng)等于71.請(qǐng)問這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)是多少？【分析與解】71-50=2121÷（15-8）=3（公差）50=首項(xiàng)+（8-1）×3所以首項(xiàng)=29【例9】（難度等級(jí)※※※）一個(gè)數(shù)列共有13項(xiàng)，每一項(xiàng)都比它的前一項(xiàng)小7，并且末項(xiàng)為125，求首項(xiàng)是多少？【分析與解】將數(shù)列順序進(jìn)行調(diào)整：首項(xiàng)為125，公差為7，項(xiàng)數(shù)為13.所以末項(xiàng)（所求的“首項(xiàng)”）=125+（13-1）×7=209【例10】（難度等級(jí)※※※）已知等差數(shù)列15，19，23，27……443，求這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的差是多少？【分析與解】公差=19-15=4項(xiàng)數(shù)=（443-15）÷4+1=108倒數(shù)第二項(xiàng)=443-4=439奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列為：15，23，31……439，公差為8，和為（15+439）×54÷2=12258偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列為：19，27，35……443，公差為8，和為（19+443）×54÷2=12474差為12474-12258=216【例11】（難度等級(jí)※※※）建筑工地有一批磚，碼成如右圖形狀，最上層兩塊磚，第2層6塊磚，第3層10塊磚…，依次每層都比其上面一層多4塊磚，已知最下層2106塊磚，問中間一層多少塊磚？這堆磚共有多少塊？【分析與解】項(xiàng)數(shù)=（2106-2）÷4+1=527因此，層數(shù)為奇數(shù)，中間項(xiàng)為（2+2106）÷2=1054數(shù)列和=中間項(xiàng)×項(xiàng)數(shù)=1054×527=555458所以中間一層有1054塊磚，這堆磚共有555458塊?！纠?2】（難度等級(jí)※※※）把248分成8個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和，其中最大的那個(gè)數(shù)是多少？【分析與解】平均數(shù)：248÷8=31第4個(gè)數(shù)：31-1=30第1個(gè)數(shù)：30-6=24末項(xiàng)：24+（8-1）×2=38即：最大的數(shù)為38?！纠?3】（難度等級(jí)※※※）求99，89，88，79，77，69，……11這個(gè)數(shù)列的和【分析與解】將該數(shù)列分解為兩個(gè)等差數(shù)列：99，88，77……11；89，79，69……19改變兩個(gè)數(shù)列順序并相加：（11+99）×9÷2=495（19+89）×8÷2=432495+432=928【例14】（難度等級(jí)※※※）在289和715之間插入5個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)列成為等差數(shù)列，求這5個(gè)數(shù)的和是多少？【分析與解】數(shù)列和=（289+715）×7÷2=35143515-289-715=2510【例15】（難度等級(jí)※※※）小王和小高同時(shí)開始工作。小王第一個(gè)月得到1000元工資，以后每月多得60元；小高第一個(gè)月得到500元工資，以后每月多得45元。兩人工作一年后，所得的工資總數(shù)相差多少元？【分析與解】小王：1000+60×（12-1）=1660 （1000+1660）×12÷2=15960小高：500+45×（12-1）=995（500+995）×12÷2=897015960-8970=6990即一年后兩人所得工資總數(shù)相差6990元?！纠?6】（難度等級(jí)※※※※）把210拆成7個(gè)自然數(shù)的和，使這7個(gè)數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是5，那么，第1個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)分別是多少？【分析與解】由題可知：由210拆成的7個(gè)數(shù)必構(gòu)成等差數(shù)列，則中間一個(gè)數(shù)為210÷7=30，所以，這7個(gè)數(shù)分別是15、20、25、30、35、40、45.即第1個(gè)數(shù)是15，第6個(gè)數(shù)是40?！纠?7】（難度等級(jí)※※※※）100個(gè)連續(xù)自然數(shù)（按從小到大的順序排列）的和是8450，取出其中第1個(gè)，第3個(gè)…第99個(gè)，再把剩下的50個(gè)數(shù)相加，結(jié)果是多少？【分析與解】我們考慮這100個(gè)自然數(shù)分成的兩個(gè)數(shù)列，這兩個(gè)數(shù)列有相同的公差，相同的項(xiàng)數(shù)，且剩下的數(shù)組成的數(shù)列比取走的數(shù)組成的數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)總大1，因此，剩下的數(shù)的總和比取走的數(shù)的總和大50，又因?yàn)樗鼈兿嗉拥暮蜑?450.所以，剩下的數(shù)的總和為（8450+50）÷2=4250?！纠?8】（難度等級(jí)※※※※）求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。【分析與解】解法1：可以看出，2，4，6，…，2000是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，1，3，5，…，1999也是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)均為1000，所以：原式=（2+2000)×1000÷2-（1+1999）×1000÷2=1000解法2：注意到這兩個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相等，公差相等，且對(duì)應(yīng)項(xiàng)差1，所以1000項(xiàng)就差了1000個(gè)1，即原式=1000×1=1000【例19】（難度等級(jí)※※※※）在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，獲得一等獎(jiǎng)的八名同學(xué)的分?jǐn)?shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列，總分為656，且第一名的分?jǐn)?shù)超過了90分（滿分為100分）。已知同學(xué)們的分?jǐn)?shù)都是整數(shù)，那么第三名的分?jǐn)?shù)是多少？【分析與解】他們的平均分為656÷8=8282+1、82+2、82+3……都有可能成為第四名，相對(duì)應(yīng)的，公差分別為1×2=2、2×2=4、3×2=6……若第四名為82+1=83分，則第一名為83+（4-1）×2=89分，不符合題意，舍；若第四名為82+2=84分，則第一名為84+（4-1）×4=96分，不符合題意；若第四名為82+3=85分，則第一名為85+（4-1）×6=103分，不符合題意。因此，第四名為84分，公差為4，所以第三名為84+4=88分【例20】（難度等級(jí)※※※※※）把所有奇數(shù)排列成下面的數(shù)表，根據(jù)規(guī)律，請(qǐng)指出：197排在第幾行的第幾個(gè)數(shù)？1357911131517192123252729313335373943454749……【分析與解】197是奇數(shù)中的第99個(gè)數(shù).數(shù)表中，第1行有1個(gè)數(shù).第2行有3個(gè)數(shù).第3行有5個(gè)數(shù)…第幾行有2×行數(shù)-l個(gè)數(shù)因此，前n行中共有奇數(shù)的個(gè)數(shù)為：1+3+5+7+…+（2×行數(shù)-1）=［1+（2×行數(shù)-1）〕×行數(shù)÷2=行數(shù)×行數(shù)因?yàn)?×9＜99＜10×10.所以，第99個(gè)數(shù)位于數(shù)表的第10行的倒數(shù)第2個(gè)數(shù)，即第18個(gè)數(shù)，即197位于第10行第18個(gè)數(shù)。【作業(yè)】1、求值：（1）6+11+16+…+501（2）101+102+103+104+…+999【答案】253504944502、下面的算式是按一定規(guī)律排列的，那么，第100個(gè)算式的得數(shù)是多少？4+2，5+8，6+14，7+20，…【答案】699。3、11至18這8個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和再加上1992后所得的值恰好等于另外8個(gè)連續(xù)數(shù)的和，這另外8個(gè)連續(xù)自然數(shù)中的最小數(shù)是多少？【答案】260。4、把100根小棒分成10堆，每堆小棒根數(shù)都是單數(shù)且一堆比一堆少兩根，應(yīng)如何分？【答案】分為1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。5、把一堆蘋果分給8個(gè)小朋友，要使每個(gè)人都能拿到蘋果，而且每個(gè)人拿到蘋果個(gè)數(shù)都不同的話，這堆蘋果至少應(yīng)該有幾個(gè)？【答案】36個(gè)。挑戰(zhàn)自己（難度等級(jí)※※※※※）下表是一個(gè)數(shù)字方陣，求表中所有數(shù)之和.1，2，3，4，5，6…98，99，1002，3，4，5，6，7…99，100，1013，4，5，6，7，8…100，101，102…………100，101，102，103，104，105…197，198，199【答案】第一行平均數(shù)為（1+100）÷2=50.5，第二行為51.5，第三行為52.5……每行平均數(shù)的公差為1。第一行總和為50.5×100，第二行總和為51.5×100，第三行總和為52.5×100……最后一行為[50.5+（100-1）×1]×100=149.5×100。因此所有數(shù)的總和為（50.5+149.5）×100÷2×100=1000000第三講數(shù)字找規(guī)律【專題知識(shí)點(diǎn)概述】在今天這節(jié)課中，我們將來研究數(shù)列問題．正確認(rèn)識(shí)數(shù)列，并且掌握研究數(shù)列、發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律的方法，以及獲得利用規(guī)律解決問題的能力.日常生活中，我們經(jīng)常接觸到許多按一定順序排列的數(shù)，如：自然數(shù)：1，2，3，4，5，6，7，…（1）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996（2）某年級(jí)各班的學(xué)生人數(shù)（按班級(jí)順序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45（3）像上面的這些例子，按一定次序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，其中第1個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，第2個(gè)數(shù)稱為第2項(xiàng)，…，第n個(gè)數(shù)就稱為第n項(xiàng).如數(shù)列（3）中，第1項(xiàng)是45，第2項(xiàng)也是45，第3項(xiàng)是44，第4項(xiàng)是46，第5項(xiàng)45。根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)分類，我們把項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列（即有有窮多個(gè)項(xiàng)的數(shù)列）稱為有窮數(shù)列，把項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列（即有無窮多個(gè)項(xiàng)的數(shù)列）稱為無窮數(shù)列，上面的幾個(gè)例子中，（2）（3）是有窮數(shù)列，（1）是無窮數(shù)列。研究數(shù)列的目的是為了發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)在規(guī)律性，以作為解決問題的依據(jù)，本講將從簡(jiǎn)單數(shù)列出發(fā)，來找出數(shù)列的規(guī)律。【授課批注】從日常生活中找出例子來舉例說明，數(shù)列在生活中處處相關(guān)，例如日期，時(shí)間，年齡等等【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1、掌握一些常見的數(shù)列的規(guī)律.2、掌握一些特殊數(shù)列的規(guī)律，并熟練應(yīng)用規(guī)律解決問題.3、理解掌握運(yùn)用數(shù)列規(guī)律解決數(shù)陣問題.【競(jìng)賽考點(diǎn)挖掘】數(shù)列規(guī)律的發(fā)現(xiàn)綜合數(shù)列的區(qū)分和解答【習(xí)題精講】【例1】（難度等級(jí)※※）觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號(hào)中填上合適的數(shù).①2，5，8，11，（），17，20②19，17，15，13，（），9，7③1，3，9，27，（），243④64，32，16，8，（），2【分析與解】①不難發(fā)現(xiàn)，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)減去它前面一項(xiàng)所得的差都等于3.因此，括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是14，即：11＋3=14。②同①考慮，可以看出，每相鄰兩項(xiàng)的差是一定值2.所以，括號(hào)中應(yīng)填11，即：13—2=11。③此數(shù)列中，從相鄰兩項(xiàng)的差是看不出規(guī)律的，但是，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是其前面一項(xiàng)的3倍.即：3=1×3，9=3×3，27=9×3.因此，括號(hào)中應(yīng)填81，即81=27×3，代入后，243也符合規(guī)律，即243＝81×3。④與③類似，本題中，從第1項(xiàng)開始，每一項(xiàng)是其后面一項(xiàng)的2倍，即：因此，括號(hào)中填4，代入后符合規(guī)律?！纠?】（難度等級(jí)※※）（1）1，1，2，3，5，8，（），21，34…（2）1，3，4，7，11，18，（），47…（3）1，3，6，10，（），21，28，36，（）.（4）1，2，6，24，120，（），5040。【分析與解】（1）首先可以看出，這個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.現(xiàn)在我們不妨看看相鄰項(xiàng)之間是否還有別的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=3＋5.因此，括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是13，即13=5+8，21=8+13，34=13+21。（2）從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)的和.因此，括號(hào)中應(yīng)填的是29，即29=11＋18。（3）這一列數(shù)有如下的規(guī)律：第1項(xiàng)：1=1第2項(xiàng)：3=1＋2第3項(xiàng)：6=1+2+3第4項(xiàng)：10=1+2+3+4第5項(xiàng)：（）第6項(xiàng)：21=1+2+3+4+5+6第7項(xiàng)：28=1+2+3+4+5+6+7第8項(xiàng)；36=1+2+3+4+5+6+7+8第9項(xiàng)：（）即這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：每一項(xiàng)都等于從1開始，以其項(xiàng)數(shù)為最大數(shù)的n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和.因此，第五項(xiàng)為15，即：15=1+2+3+4+5；第九項(xiàng)為45，即：45=1+2+3+4+5+6+7+8+9。（4）顯然：第1項(xiàng)1=1第2項(xiàng)2=1×2第3項(xiàng)6=1×2×3第4項(xiàng)24=1×2×3×4第5項(xiàng)120=1×2×3×4×5第6項(xiàng)（）第7項(xiàng)5040=1×2×3×4×5×6×7所以，第6項(xiàng)應(yīng)為1×2×3×4×5×6=720【例3】（難度級(jí)別※※）（1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（），……（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（）（3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（）【分析與解】（1）4＋2，5＋8，6＋14，7＋20，（），……這排加法算式，前面一個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列：4，5，6，7，……；后一個(gè)數(shù)構(gòu)成數(shù)列：2，8，14，20，……．對(duì)于數(shù)列4，5，6，7，……，由觀察得知，第2項(xiàng)等于第1項(xiàng)加上1，第3項(xiàng)等于第1項(xiàng)加上2，第4項(xiàng)等于第1項(xiàng)加上3，……，所以第5項(xiàng)等于第1項(xiàng)加上4，即4＋4＝8．同理，數(shù)列：2，8，14，20，……，第2項(xiàng)等于第1項(xiàng)加上1×6，第3項(xiàng)等于第1項(xiàng)加上2×6，第4項(xiàng)等于第1項(xiàng)加上3×6，……，所以第5項(xiàng)等于第1項(xiàng)加上4×6，即2＋4×6＝26．所以，括號(hào)里應(yīng)填8+26．（2）（1，2，100），（2，4，90），（3，8，80），（4，16，70），（）觀察這個(gè)數(shù)列中每一組中對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字，可以得到如下規(guī)律：每組第一個(gè)是1、2、3、4、......這是一個(gè)自然數(shù)列，第二個(gè)是2、4、8、16、......，這是一個(gè)等比數(shù)列，第三個(gè)100、90、80、70......，這是一個(gè)遞減的等差數(shù)列；所以，第5組中的數(shù)應(yīng)該是：5，16×2，70-10，即第五組的括號(hào)中應(yīng)填（5，32，60）．（3）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，（）這是一排乘法算式，觀察可以發(fā)現(xiàn)，前面一個(gè)數(shù)的規(guī)律是：1，2，1，2，1，2，1……；后一個(gè)數(shù)的規(guī)律是：3，2，1，3，2，1，3，……，對(duì)于第一個(gè)數(shù)列，是由1、2兩個(gè)數(shù)字循環(huán)組成的，所以第八項(xiàng)應(yīng)為2；對(duì)于第二個(gè)數(shù)列，是由3、2、1循環(huán)組成的，所以第八項(xiàng)的第二個(gè)數(shù)字應(yīng)為2．所以，括號(hào)里應(yīng)填2×2．【例4】（難度級(jí)別※※）1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，……是一串按照某規(guī)律排列的自然數(shù)，請(qǐng)問其中第51個(gè)數(shù)至第55個(gè)數(shù)的和是多少？【分析與解】觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的規(guī)律是兩個(gè)一組，即1，2；2，3；3，4；…，每一組的第一個(gè)數(shù)為從1開始的自然數(shù)列，而且是這一組的組數(shù)，每組的兩個(gè)數(shù)為連續(xù)自然數(shù)，因?yàn)?1÷2=25…1，說明第51個(gè)數(shù)是第26組的第一個(gè)數(shù)，應(yīng)該是26，從第51個(gè)數(shù)到第55個(gè)數(shù)一共有5個(gè)數(shù)，分別為：26，27，27，28，28，所以它們的和為：26+27+27+28+28=136.【例5】（難度級(jí)別※※）1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6，…．上面是一串按某種規(guī)律排列的自然數(shù)，問其中第101個(gè)數(shù)至第110個(gè)數(shù)之和是多少？【分析與解】觀察發(fā)現(xiàn)，數(shù)列的規(guī)律為三個(gè)一組、三個(gè)一組，即1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6；……每一組的第一個(gè)數(shù)為從1開始的自然數(shù)列，每一組中的三個(gè)數(shù)為連續(xù)自然數(shù)，每組的第一個(gè)數(shù)都是這個(gè)組的組數(shù)；因?yàn)?01÷3=33......2，說明第101個(gè)是第33+1=34組中的第二個(gè)數(shù)，那么應(yīng)該是34+1=35；從101到110共有110-101+1=10個(gè)數(shù)，那么這10個(gè)數(shù)分別是：35、36，35、36、37，36、37、38，37、38；所以，他們的和為35+36+35+36+37+36+37+38+37+38=365．【例6】（難度級(jí)別※※）一串?dāng)?shù)按下面規(guī)律排列：1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6……，問從左面第一個(gè)數(shù)起，數(shù)100個(gè)數(shù)，這100個(gè)數(shù)的和是多少？【分析與解】觀察題中這一串?dāng)?shù)，容易想到把它們?nèi)齻€(gè)三個(gè)的分組：（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），……可以發(fā)現(xiàn)這串?dāng)?shù)的排列有這樣的規(guī)律：第1、2、3、……組中第一個(gè)數(shù)依次為1，2，3，……每一組數(shù)都是由3個(gè)連續(xù)自然數(shù)組成，它們的和等于中間一個(gè)數(shù)的3倍．100÷3=33……1，也就是說，第100個(gè)數(shù)在第34組中，并且是34．求前100個(gè)數(shù)的和，就是求前33組數(shù)的和與34的和是多少．2×3＋3×3＋4×3＋……＋34×3＋34=1816，或者（6+102）×33÷2+34=1816【例7】（難度級(jí)別※※※）小王和小李玩數(shù)字游戲，小王說：“我先報(bào)數(shù)，你得按規(guī)律往下報(bào)，不許瞎報(bào).”于是小王先報(bào)：“172.”小李說：“沒看到規(guī)律，我報(bào)不出，你再報(bào)兩個(gè).”小王又報(bào)：“84，40.”小李說：“行了，我報(bào)18，7.”你知道小王下一個(gè)該報(bào)幾嗎？【分析與解】小王接著無法報(bào)了，因?yàn)橛^察小王和小李報(bào)出的所有數(shù)：172，84，40，118，7，可以發(fā)現(xiàn)，報(bào)數(shù)的規(guī)律是按前一數(shù)的一半減2后往下報(bào)的，但是7再往下報(bào)的話就不是整數(shù)了，所以小王接著無法再往下報(bào)了.【例8】（難度級(jí)別※※※）先觀察下面各算式，再按規(guī)律填數(shù)．（1）12345679×9=111111111（2）21×918=222222222321×9=288912345679×27=3333333334321×9=3888912345679×____=44444444454321×9=（）12345679×_____=666666666654321×9=（）【分析與解】（1）在這一組算式中，被乘數(shù)不變，乘數(shù)和積都在變化．和第一個(gè)算式比，乘數(shù)擴(kuò)大多少倍，積也就擴(kuò)大多少倍．根據(jù)這一規(guī)律可知，空格中的數(shù)分別為9×4=36，9×6=54．（2）通過觀察可以看出這是一組排列有序的數(shù)字“梯田”，一層一層有規(guī)律的向下延伸．乘號(hào)前面是21、321、4321，乘號(hào)后面都是9，相乘的答案的最高位分別是1、2、3，而位數(shù)分別是三位數(shù)、四位數(shù)、五位數(shù)．由此可得：54321×9的最高位是4，位數(shù)是5+1＝6，個(gè)位上都是9，其余各位都是8；654321×9的最高位是5，個(gè)位是9，其余各位都是8，位數(shù)是6+1＝7．所以，54321×9=488889，654321×9=5888889．【例9】（難度級(jí)別※※※）在下面各題的五個(gè)數(shù)中，選出與其他四個(gè)數(shù)規(guī)律不同的數(shù)，并把它劃掉，再?gòu)睦ㄌ?hào)中選一個(gè)合適的數(shù)替換。①42，20，18，48，24（21，54，45，10）②15，75，60，45，27（50，70，30，9）③42，126，168，63，882（27，210，33，25）【分析與解】①中，42、18、48、24都是6的倍數(shù)，只有20不是，所以，劃掉20，用54代替。②15、75、60、45都是15的整數(shù)倍數(shù)，而27不是，用30來替換27。③同上分析，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)中，42、126、128、882都是42的整數(shù)倍，而63卻不是.因此，用210來代替63?！纠?0】（難度級(jí)別※※※）1+2+1=1+2+3+2+1=1+2+3+4+3+2+1=1+2+3+4+5+4+3+2+1=根據(jù)上面四式的計(jì)算規(guī)律求：1+2+3+…+9+10+9+…+3+2+1=【分析與解】這道題可以利用簡(jiǎn)便方法計(jì)算出上面四個(gè)算式的結(jié)果，從中找出答案規(guī)律.1+2+1=2+(1+1)=2×2=4,1+2+3+2+1=3+(2+1)+（2+1）=3×3=9，1+2+3+4+3+2+1=4+（1+3）+（2+2）+（1+3）=4×4=16，1+2+3+4+5+4+3+2+1=5+（1+4）+（1+4）+（3+2）+（3+2）=5×5=25，可以發(fā)現(xiàn)：算式的答案等于加法算式中間一個(gè)加數(shù)（最大的數(shù)）乘以自己.所以，1+2+3+…+9+10+9+…+3+2+1=10×10=100.【例11】（難度級(jí)別※※※）先找規(guī)律，再填數(shù)3×4=1233×34=1122333×334=1112223333×3334=1111222233333×33334=()333333333×333333334=()【分析與解】通過觀察可以看出這是一組排列有序的數(shù)字“梯田”，一層一層有規(guī)律的向下延伸．乘號(hào)前面是3、33、333、3333、33333、333333333，乘號(hào)后面分別是4、34、334、3334、33334、333333334，乘數(shù)與被乘數(shù)位數(shù)相同，相乘的答案的位數(shù)分別是乘數(shù)與被乘數(shù)的位數(shù)和，而且積是有規(guī)律的，它所含有的1的個(gè)數(shù)和2的個(gè)數(shù)相等，都是乘數(shù)或被乘數(shù)的位數(shù)．所以括號(hào)中分別填1111122222和111111111222222222．【例12】（難度級(jí)別※※※）自然數(shù)1，2，3，4……排成如下數(shù)陣：第一列第二列第三列第四列第五列第六列……1357911……24681012……35791113……468101214……問這個(gè)數(shù)陣中的第15列上起第3個(gè)數(shù)是（）【分析與解】觀察這個(gè)數(shù)陣中的數(shù)的排列規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)：每列的第二個(gè)數(shù)都是雙數(shù)，并且是每列序數(shù)的2倍：每列的四個(gè)數(shù)是4個(gè)連續(xù)自然數(shù)按從小到大的順序排列；除2以外，其它雙數(shù)均出現(xiàn)2次．因此，第15列上起第2個(gè)數(shù)是：2×15=30，第三個(gè)數(shù)就是31.【例13】（難度級(jí)別※※※※）有一列由三個(gè)數(shù)組成的數(shù)組，它們依次是(1，5，10)；(2，10，20)；(3，15，30)；……．問第99個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和是多少？【分析與解】觀察每一組中對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字，每組第一個(gè)是1、2、3、......的自然數(shù)列，第二個(gè)是5、10、15、......，分別是它們各組中第一個(gè)數(shù)的5倍，第三個(gè)10、20、30、......，分別是它們各組中第一個(gè)數(shù)的10倍；所以，第99組中的數(shù)應(yīng)該是：99、99×5、99×10，三個(gè)數(shù)的和=99+99×5+99×10=1584．【例14】（難度級(jí)別※※※※）1＋1，2＋3，3＋5，4＋7，1＋9，2＋11，3＋13，4＋15，1＋17，……，那么其中第多少個(gè)算式的結(jié)果是2008？【分析與解】先找出規(guī)律：每個(gè)式子由2個(gè)數(shù)相加，第一個(gè)數(shù)是1、2、3、4的循環(huán)，第二個(gè)數(shù)是從1開始的連續(xù)奇數(shù)．因?yàn)?008是偶數(shù)，2個(gè)加數(shù)中第二個(gè)一定是奇數(shù)，所以第一個(gè)必為奇數(shù)，所以是1或3，如果是1：那么第二個(gè)數(shù)為2008－1=2007，2007是第（2007+1）÷2=1004項(xiàng)，而數(shù)字1始終是奇數(shù)項(xiàng)，兩者不符，所以這個(gè)算式是3+2005=2008，是（2005＋1）÷2=1003個(gè)算式．【例15】（難度級(jí)別※※※※）下面是一組數(shù)列，每3個(gè)相鄰數(shù)字之和都是17，你知道“？”表示的數(shù)字是幾嗎？8（）（）（）？（）（）（）（）（）6【分析與解】根據(jù)每三個(gè)相鄰數(shù)之和為17，可知倒數(shù)第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)之和為17－6=11推出倒數(shù)第四個(gè)數(shù)為6，倒數(shù)5、6之和為11，則問號(hào)為17－11=6【作業(yè)】1.按一定的規(guī)律在括號(hào)中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：（1）1，1，3，7，13，（），31。（2）1，3，7，15，31，（），127，255。(3)1，4，9，16，25，（），49，64。(4)0，3，8，15，24，（），48，63。（5)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(6)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.【答案】21，63，36，35，32，812.按一定的規(guī)律在括號(hào)中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：（1）1，2，3，4，5，（），7…（2）100，95，90，85，80，（），70（3）1，2，4，8，16，（），64【答案】6，75，323.按一定的規(guī)律在括號(hào)中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：（1）.2，1，3，4，7，（），18，29，47（2）.1，2，5，10，17，（），37，50（3）.1，8，27，64，125，（），343（4）.1，9，2，8，3，（），4，6，5，5【答案】11，26，216，74.觀察下面的算式：4×2，5×4，6×6，4×8，5×10，6×12，4×14，5×16，……其中第多少個(gè)算式的結(jié)果是2008？【答案】2515.下圖是按一定的規(guī)律排列的數(shù)學(xué)三角形，請(qǐng)你按規(guī)律填上空缺的數(shù)字.12436948121651015（）2561218（）3036【答案】20，24挑戰(zhàn)自己（難度等級(jí)※※※※※）將自然數(shù)中的偶數(shù)2，4，6，8，10…按下表排成5列，問2000出現(xiàn)在哪一列？【答案】A列第四講等量代換【專題知識(shí)點(diǎn)概述】等量代換。用一種量（或一種量的一部分）來代替和它相等的另一種量（或另一種量的一部分）?！暗攘看鷵Q”是指一個(gè)量用與它相等的量去代替，它是數(shù)學(xué)中一種基本的思想方法，也是代數(shù)思想方法的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)思想方法不僅有著廣泛的應(yīng)用，而且是今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)?！臼谡n批注】本講通過圖形和文字形式鍛煉學(xué)生的代數(shù)思想，在授課過程中，盡量用圖形文字來表示數(shù)字，對(duì)高水平的學(xué)生可以嘗試使用字母。【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】尋找等量關(guān)系【競(jìng)賽考點(diǎn)挖掘】較難等量代換和代數(shù)方法的綜合【習(xí)題精講】【例1】（難度等級(jí)※）如右圖，一個(gè)▽=（）個(gè)○？【分析與解】方法一：3個(gè)□和3個(gè)▽一樣重，可以知道1個(gè)□和一個(gè)▽也一樣重；也就是2個(gè)▽和6個(gè)○一樣重，可知1個(gè)▽就等于3個(gè)○。方法二：把天平圖改寫成算式：因?yàn)?，?○+○+○+○+○=□+□所以，□=○+○+○又因?yàn)?，?▽+▽=□+□+□所以，▽=□得到：▽=○+○+○方法三：我是用替換的方法：把□→▽，因此，□→▽，□→▽，□→▽因?yàn)?，所以，從中得出：?○+○+○【例2】（難度等級(jí)※）最大的球的重量是（）克。30克30克圖2圖1圖2圖1圖3圖3【分析與解】方法一：發(fā)現(xiàn)圖（1）中，左邊比右邊多一個(gè)花皮球，所以一個(gè)花皮球就是30克。那么2個(gè)花皮球就是60克，3個(gè)白皮球與2個(gè)花皮球一樣重，可知一個(gè)白皮球?yàn)?0克。根據(jù)圖（3），最大的球就是80克。方法二：用算式來解：由圖（1）得：++=++30所以=30（克）由圖（2）得：++=60（克）所以，=20（克）由圖（3）得：最大的球=4×20=80(克)【例3】（難度等級(jí)※※）△+□=9△+△+□+□+□=25△=();□=()【分析與解】方法一：因?yàn)椤?□=9，我們就可把△+△+□+□+□=25中的△+□換成9，變成9+△+□+□=25；再替換一次，變成9+9+□=25，可以得出□=7；再根據(jù)△+□=9和求出的□=7，可以求出△=2。方法二：1個(gè)△加1個(gè)□等于9，那么2個(gè)△加2個(gè)□的和就是18。因?yàn)?個(gè)△加3個(gè)□等于25，所以18+□=25。由此得出1個(gè)□是7，那么一個(gè)△就是2了。解：2×9=18□：25-18=7△：9-7=2答：△=2；□=7?！纠?】（難度等級(jí)※※）已知△+○=24○=○+△。那么△和○各代表多少？【分析與解】將兩個(gè)等式編號(hào)：（1）△+○=24（2）○=△+△將（1）式中的○用（2）式中的2個(gè)△代替得△+△+△=24所以△=24÷3=8○=8+8=16【例5】（難度等級(jí)※※）1個(gè)蘋果和幾個(gè)草莓一樣重？【分析與解】由第二幅圖知道，1個(gè)蘋果和2個(gè)梨一樣重，1個(gè)梨和2個(gè)草莓一樣重，那么2個(gè)梨和4個(gè)草莓一樣重。所以1個(gè)蘋果=2個(gè)梨=4個(gè)草莓?！纠?】（難度等級(jí)※※）根據(jù)圖，想一想，一只貓相當(dāng)于幾只小甲殼蟲的重量？【分析與解】由第三幅圖知道，1條魚和4只小甲殼蟲一樣重，那么3條魚和12只小甲殼蟲一樣重，我們這樣想：1只雞=3條魚=12只小甲殼蟲，那么，2只雞=6條魚=24只小甲殼蟲。又因?yàn)?只貓=2只雞，所以1只貓=2只雞=6條魚=24只小甲殼蟲【例7】（難度等級(jí)※※※）根據(jù)圖，想一想，一顆五角星等于幾個(gè)圓？？？【分析與解】由圖知道，1個(gè)三角=2個(gè)圓，1顆五角星=3個(gè)三角，那么3個(gè)三角=6個(gè)圓，所以，1顆五角星=3個(gè)三角=6個(gè)圓，即1顆五角星=6個(gè)圓?！纠?】（難度等級(jí)※※※）已知13個(gè)李子的重量等于2個(gè)蘋果和1個(gè)桃子的重量，而4個(gè)李子和1個(gè)蘋果的重量等于1個(gè)桃子的重量，問多少個(gè)李子的重量等于1個(gè)桃子的重量？【分析與解】由題意列等式：13桃=2蘋+1桃（1）4李+1蘋=1桃（2）把（2）式代入（1）式得：13李=2蘋+4李+1蘋即9李=3蘋即3李=1蘋（3）把（3）式代入（2）式得4李+3李=1桃即7李=1桃即7個(gè)李子重量等于1個(gè)桃子的重量?！纠?】（難度等級(jí)※※）如果魚尾重4公斤，魚頭重量等于魚尾加上魚身一半的重量，而魚身重量等于魚頭加魚尾的重量，問這條魚有多少公斤重？【分析與解】依題意列出下列等式：尾=4（1）頭=尾+身÷2（2）身=頭+尾（3）由于等式左右兩邊同乘以一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍相等所以把（2）式兩邊同乘以2得：2頭=2尾+身（4）把（3）式代入（4）式得：2頭=2尾+頭+尾即：頭=3尾=3×4=12公斤身=頭+尾=12+4=16公斤所以，全魚=頭+身+尾=12+16+4=32公斤【例10】（難度等級(jí)※※）張老師買了3個(gè)足球，2個(gè)籃球，李老師買了2個(gè)足球，4個(gè)籃球，他們每人均花了80元。問1個(gè)足球多少錢，1個(gè)籃球多少錢?！痉治雠c解】由題意列等式：3足+2籃=80元2足+4籃=80元張老師比李老師多買1個(gè)足球，但是比李老師少買2個(gè)籃球，他們兩個(gè)人花的錢又是一樣多，所以1個(gè)足球和2個(gè)籃球的價(jià)錢一樣。3足+2籃=80元就可以變成3足+1足=80元即4足=80元即1個(gè)足球的價(jià)錢80÷4=20元1個(gè)籃球的價(jià)錢20÷2=10元【例11】（難度等級(jí)※※※）一支鋼筆的價(jià)錢是一支活動(dòng)鉛筆價(jià)錢的5倍，問買30支活動(dòng)鉛筆的錢能買幾支鋼筆？【分析與解】方法1：列出下列等式：1支鋼筆=5支鉛筆（1）改寫成30支鉛筆=6×5支鉛筆（2）把（1）式代入（2）式得：30支鉛筆=6×1支鋼筆=6支鋼筆方法2：用字母x代表1支鋼筆的價(jià)錢，用字母

y代表1支鉛筆的價(jià)錢，依題意可列出等式：x=5y因?yàn)?0y=6×5y用x代替5y得30y=6x【作業(yè)】1、□□=

□=▲▲▲▲

=（）個(gè)▲【答案】82.看圖回答，（）杯水可以注滿一壺。【答案】83.☆+☆+☆+○=22；☆+☆+☆+○+○+○=30○=（）；☆=（）【答案】4，64.假若20只兔子可換2只羊，9只羊可換3只豬，8頭豬可換2頭牛，那么用5頭?？蓳Q多少只兔子？【答案】6005.小明去文具店買了6支鉛筆和5個(gè)筆記本，共花去了1元3角5分錢，已知3支鉛筆的價(jià)錢與2個(gè)筆記本的價(jià)錢相等，求1支鉛筆和1個(gè)筆記本各要多少錢？【答案】鉛筆10分，筆記本15分成功的智慧在于專注與單純英國(guó)某家報(bào)紙?jiān)e辦一項(xiàng)高額獎(jiǎng)金的有獎(jiǎng)?wù)鞔鸹顒?dòng)。題目是：在一個(gè)充氣不足的熱氣球上，載著3位關(guān)系人類興亡的科學(xué)家。第一位是環(huán)保專家，他的研究可拯救無數(shù)人免于因環(huán)境污染而面臨死亡的噩運(yùn)。第二位是原子專家，他有能力防止全球性的原子戰(zhàn)爭(zhēng)，使地球免于遭受滅亡的絕境。第三位是糧食專家，他能在不毛之地運(yùn)用專業(yè)知識(shí)成功地種植谷物，使幾千萬人脫離因饑荒而亡的命運(yùn)。此刻熱氣球即將墜毀，必須丟出一個(gè)人以減輕載重，使其余2人得以生存。請(qǐng)問，該丟下哪一位科學(xué)家？問題刊出后，因?yàn)楠?jiǎng)金的數(shù)額相當(dāng)龐大，各地答復(fù)的信件如雪片飛來。在這些答復(fù)的信中，每個(gè)人皆竭盡所能，甚至天馬行空地闡述他們認(rèn)為必須丟下哪位科學(xué)家的見解。最后結(jié)果揭曉，巨額獎(jiǎng)金得主是一個(gè)小男孩。他的答案是——將最胖的那位科學(xué)家丟出去。小男孩睿智而幽默的答案，是否給我們以足夠的提醒：?jiǎn)渭兊乃伎挤绞?，往往比鉆牛角尖更能獲得良好的成功。任何疑難問題的最好的解決方法，只有一種，就是能真正切合該問題所需求的，而非惑于問題本身的盲目探討。一位農(nóng)場(chǎng)主巡視谷倉(cāng)時(shí)，不慎將—只名貴的手表遺失在谷倉(cāng)里。他遍尋不獲，便定下賞價(jià)，承諾誰能找到手表，就給他50美元。人們?cè)谥刭p之下，都賣力地四處翻找，可是谷倉(cāng)內(nèi)到處都是成堆的谷粒，要在這當(dāng)中找尋—只小小的手表，談何容易。許多人一直忙到太陽下山，仍一無所獲，只好放棄了50美元的誘惑而回家了。倉(cāng)庫(kù)里只剩下一個(gè)貧困的小孩，仍不死心，希望能在天完全黑下來之前找到它，以換得賞金。谷倉(cāng)中慢慢變得漆黑，小孩雖然害怕，仍不愿放棄，不停地摸索著，突然他發(fā)現(xiàn)在人聲安靜下來之后，有一個(gè)奇特的聲音。那聲音滴答、滴答不停地響著，小孩頓時(shí)停下所有的動(dòng)作，谷倉(cāng)內(nèi)更安靜了，滴答聲也變得十分清晰，是手表的聲音。終于，小孩循著聲音，在漆黑的大谷倉(cāng)中找到了那只名貴的手表。這個(gè)小孩成功的法則其實(shí)很簡(jiǎn)單：專注地對(duì)待一件事，你總會(huì)打開成功的門栓。在喧鬧的塵世中生活久了，我們會(huì)忘記曾經(jīng)有過的簡(jiǎn)單的日子。心靈不再像從前一樣純凈，而是充斥了很多自尋煩惱的細(xì)胞。有人把這種變化解釋為成熟，然而就是這種自以為是的成熟，使我們?cè)谏畹牡缆飞先藶榈卦O(shè)置了很多不必要的路障。把2個(gè)孩子的故事結(jié)合起來，也就是等于告訴我們一個(gè)成功的法則，那就是專注與單純。其實(shí)，它原本就存在于每個(gè)人的心中，重要的是你要循著你內(nèi)心正面的引導(dǎo)，真正地去尋找它，并且不要被復(fù)雜的能力所帶來的困惑，而要專注、單純地思考，那么，你將會(huì)聽到清晰的滴答聲，你也終將獲得人生的智慧。第二部分典型應(yīng)用題第一講歸一問題【專題知識(shí)點(diǎn)概述】歸一問題是一類典型應(yīng)用題，這類問題是用等分除法求出一個(gè)單位的數(shù)值(單一量)之后，再求出題目所要求解的問題，解答歸一問題的方法叫做歸一法。歸一問題可以分為兩種：一種是求總量的，叫做正歸一問題（也稱直進(jìn)歸一），另一種是求份數(shù)的，叫做反歸一問題（也稱返回歸一）。歸一問題在日常生活和生產(chǎn)中經(jīng)常遇到?！臼谡n批注】歸一問題的教學(xué)關(guān)鍵是要讓學(xué)生熟練掌握乘除法的數(shù)量關(guān)系，理解正反歸一的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，并靈活應(yīng)用。正反歸一問題的相同點(diǎn)是：一般情況下第一步先求出單一量；不同點(diǎn)在于第二步，正歸一問題是求幾個(gè)單一量是多少，反歸一是求包含多少個(gè)單一量。一、歸一問題復(fù)合應(yīng)用題中的某些問題，解題時(shí)需先根據(jù)已知條件，求出一個(gè)單位量的數(shù)值，如單位面積的產(chǎn)量、單位時(shí)間的工作量、單位物品的價(jià)格、單位時(shí)間所行的距離等等，然后，再根據(jù)題中的條件和問題求出結(jié)果。這樣的應(yīng)用題就叫做歸一問題，這種解題方法叫做“歸一法”。有些歸一問題可以采取同類數(shù)量之間進(jìn)行倍數(shù)比較的方法進(jìn)行解答，這種方法叫做倍比法。解答歸一問題的關(guān)鍵是求出單位量的數(shù)值，再根據(jù)題中“照這樣計(jì)算”、“用同樣的速度”等句子的含義，抓準(zhǔn)題中數(shù)量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，列出算式，求得問題的解決。有的問題一次歸一不能解決，需要兩次歸一或與倍比相結(jié)合才能解決?！臼谡n批注】在整數(shù)范圍內(nèi)，歸一問題的常用解法有兩種，一種是歸一法，另一種是倍比法，而且這兩種解法還可以靈活運(yùn)用。在整數(shù)范圍內(nèi)，用倍比法解除不盡時(shí)，只能用歸一法解．在整數(shù)范圍內(nèi)，用歸一法解除不盡時(shí)，只能用倍比法解，也有的兩種方法都可以用。【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】1．對(duì)歸一問題概念的理解。2．歸一法以及倍比法的區(qū)別和內(nèi)在聯(lián)系。3．歸一問題的特點(diǎn)以及常見題型的解法?！靖?jìng)賽考點(diǎn)挖掘】1．歸一法和倍比法在實(shí)際問題中的靈活應(yīng)用。2．需要多次歸一的問題以及正反歸一的綜合應(yīng)用。【習(xí)題精講】【例1】（難度級(jí)別※）某人步行，3小時(shí)行15千米，7小時(shí)行多少千米？【分析與解】15÷3×7＝35（千米）。答：7小時(shí)行35千米?！纠?】（難度級(jí)別※）小紅騎車3分鐘行600米，照這樣的速度她從家到學(xué)校行了10分鐘，小紅家到學(xué)校有多少米？【分析與解】600÷3×10=200×10=2000（米）。答：小紅家到學(xué)校有2000米?！纠?】（難度級(jí)別※※）一個(gè)打字員15分鐘打了1800個(gè)字，照這樣的速度，1小時(shí)能打多少個(gè)字？【分析與解】先求1分鐘能打多少個(gè)字，再求1小時(shí)能打多少個(gè)字。1分鐘能打多少個(gè)字：1800÷15=120（個(gè)）1小時(shí)能打多少個(gè)字：120×60=7200（個(gè)）綜合算式：1800÷15×60=120×60=7200（個(gè)）?！纠?】（難度級(jí)別※※）一艘輪船4小時(shí)航行108千米，照這樣的速度，繼續(xù)航行270千米，共需多少小時(shí)？【分析與解】先求每小時(shí)航行多少千米，再求航行270千米需要幾小時(shí)，最后求出共需多少小時(shí)。每小時(shí)航行多少千米：108÷4=27（千米）270千米需航行多少小時(shí)：270÷27=10（小時(shí)）共需多少小時(shí)：10+4=14（小時(shí)）綜合算式：270÷（108÷4）+4=270÷27+4=10+4=14（小時(shí)）?！纠?】（難度級(jí)別※※）某運(yùn)輸公司用6輛汽車運(yùn)水泥，每天可運(yùn)96噸。根據(jù)運(yùn)輸情況，現(xiàn)在增加4輛同樣的汽車，每天一共運(yùn)水泥多少噸？【分析與解】“增加4輛同樣的汽車”，每天一共運(yùn)水泥多少噸，應(yīng)是增加的汽車運(yùn)輸量與增加前的運(yùn)輸量的和，即10輛汽車的運(yùn)輸量。96÷6×（6+4）=16×10=160（噸）。答：每天可運(yùn)水泥160噸?！纠?】（難度級(jí)別※※※）5個(gè)人2小時(shí)植樹20棵，6個(gè)人3小時(shí)植樹多少棵？【分析與解】要求6個(gè)人3小時(shí)植樹多少棵，必須先求出5個(gè)人1小時(shí)植的棵數(shù)，再求出1個(gè)人1小時(shí)所植的棵數(shù)。20÷5÷2×6×3＝2×6×3＝36（棵）答：6個(gè)人3小時(shí)植樹36棵?！纠?】（難度級(jí)別※※）一輛卡車3次運(yùn)貨20噸。照這樣算，9次可運(yùn)貨多少噸？【分析與解】9次是3次的3倍，每次運(yùn)貨量不變，運(yùn)的貨一定是20噸的3倍。這類解法叫“倍比法”。20×（9÷3）＝60（噸）答：9次可運(yùn)貨60噸。【例8】（難度級(jí)別※※※）某廠運(yùn)來一批煤，計(jì)劃每天用5噸，40天用完，如果改進(jìn)鍋爐，每天節(jié)約1噸，這批煤可以用多少天？【分析與解】從“計(jì)劃每天用5噸，40天用完”中，可求出煤的總噸數(shù)，把總噸數(shù)除以改進(jìn)鍋爐后每天用煤量，可得用煤天數(shù)。5×40÷（5—1）＝200÷4＝50（天）答：這批煤可以用50天?！纠?】（難度級(jí)別※※※）8個(gè)人10天修路840米,照這樣算,20人修4200米,要_____天.【分析與解】先進(jìn)行兩次歸一，求出每人每天修多少米，然后再求出20人每天修多少米。綜合算式：4200÷(840÷10÷8×20)=20(天).【例10】（難度級(jí)別※※※※）某工廠一個(gè)車間，原計(jì)劃20人4天做1280個(gè)零件，剛要開始生產(chǎn)，又增加了新任務(wù)，在工作效率相同的情況下，需要15個(gè)人7天才能全部完成，問增加了多少個(gè)零件？【分析與解】要求增加了多少個(gè)零件，只需先求出每人每天生產(chǎn)多少個(gè)零件，然后求出15個(gè)人7天生產(chǎn)的零件數(shù)，最后用它減去1280個(gè)零件就可得出所要求的問題。（1）每人每天生產(chǎn)的零件數(shù)1280÷20÷4=16（個(gè)）（2）15人7天生產(chǎn)的零件數(shù)16×15×7=1680（個(gè)）（3）增加的零件數(shù)1680-1280=400（個(gè)）綜合算式（1280÷20÷4）×15×7-1280=16×15×7-1280=1680-1280=400（個(gè)）答：增加了400個(gè)零件．【例11】（難度級(jí)別※※※※）某車間用4臺(tái)車床5小時(shí)生產(chǎn)零件600個(gè)，照這樣算，增加3臺(tái)同樣的車床后，（1）8小時(shí)可以生產(chǎn)多少個(gè)零件？（2）如果要生產(chǎn)6300個(gè)零件幾小時(shí)可完成？【分析與解】此題要求的兩個(gè)問題都需知1臺(tái)1小時(shí)生產(chǎn)的零件數(shù)，因條件中有小時(shí)和臺(tái)數(shù)兩個(gè)量，需用“兩次歸一”，即先求出4臺(tái)1小時(shí)生產(chǎn)多少，再求1臺(tái)1小時(shí)生產(chǎn)多少。600÷5＋4÷（4＋3）×8＝30×7×8＝1680（個(gè)）6300÷［600÷5÷4×（4＋3）］＝6300÷［30×7］＝30（小時(shí)）答：（1）8小時(shí)可以生產(chǎn)1680個(gè)零件。（2）如果要生產(chǎn)6300個(gè)零件30小時(shí)可以完成?！纠?2】（難度級(jí)別※※※）8個(gè)工人3小時(shí)制作機(jī)器零件360個(gè)，如果人數(shù)縮小了2倍，時(shí)間增加了5小時(shí)，可制作機(jī)器零件多少個(gè)？【分析與解】此題中人數(shù)縮小了2倍指現(xiàn)在的人數(shù)是8÷2=4（人）；時(shí)間增加了5小時(shí)指現(xiàn)在的時(shí)間是3＋5=8（小時(shí)）。36O÷8÷3×（8÷2）×（3+5）＝15×4×8=480（個(gè)）答：可制作機(jī)器零件480個(gè)?！纠?3】（難度級(jí)別※※※）某工地的一項(xiàng)工程，原計(jì)劃由30人工作，每天工作8小時(shí)，45天完工。為了提前完工，實(shí)際由54人工作，每天工作10小時(shí)，可以提前幾天完工？【分析與解】此題的關(guān)鍵是要先求出工程的總工時(shí)數(shù)8×30×45=10800（小時(shí)）及實(shí)際每天做工時(shí)數(shù)10×54=540（小時(shí)）。45-8×30×45÷（10×54）＝45-10800÷540＝45-20＝25（天）答：可以提前25天完工?！纠?4】（難度級(jí)別※※※）一根木料，鋸成2段要3分鐘，如果鋸成6段要多少分鐘?【分析與解】先求出鋸一下用的時(shí)間:3÷(2-1)=1.5(分鐘)；再求出鋸6段用的次數(shù):6-1=5(次)。最后求出共用的時(shí)間:1.5×5=7.5(分鐘)?！纠?5】（難度級(jí)別※※※）光華機(jī)械廠一個(gè)車間，原計(jì)劃15人3天做900個(gè)零件。生產(chǎn)開始后，又增加一批任務(wù)，在工作效率相同下，要10個(gè)人8天完成。問增加了幾個(gè)零件?【分析與解】先求出每個(gè)人每天做的個(gè)數(shù):900÷15÷3=20(個(gè)).再求出共做的個(gè)數(shù):20×10×8=1600(個(gè)).最后求出增加的個(gè)數(shù):1600-900=700(個(gè)).【例16】（難度級(jí)別※※※）一列火車從甲地開往乙地，開出2.5小時(shí)，行了150千米。照這樣的速度，再行駛3小時(shí)到達(dá)乙地。甲、乙兩地相距多少千米？【分析與解】先求火車每小時(shí)行多少千米，再求共行了幾小時(shí)，最后求出共行了多少千米（即甲、乙兩地距離）?；疖嚸啃r(shí)行多少千米：150÷2.5=60（千米）火車共行了多少小時(shí)：2.5+3=5.5（小時(shí)）甲乙兩地相距多少千米：60×5.5=330（千米）綜合算式：150÷2.5×（2.5+3）=150÷2.5×5.5=60×5.5=330（千米）?！纠?7】（難度級(jí)別※※※※）甲、乙兩個(gè)打字員4小時(shí)共打字3600個(gè)?，F(xiàn)在二人同時(shí)工作，在相同時(shí)間內(nèi)，甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè)。求甲、乙二個(gè)每小時(shí)各打字多少個(gè)？【分析與解】已知條件告訴我們：“在相同時(shí)間內(nèi)甲打字2450個(gè)，乙打字2050個(gè)?！奔热恢懒恕皶r(shí)間相同”，問題就容易解決了。題目里還告訴我們：“甲、乙二人4小時(shí)共打字3600個(gè)?！边@樣可以先求出“甲乙二人每小時(shí)打字個(gè)數(shù)之和”，就可求出所用時(shí)間了。①甲、乙二人每小時(shí)共打字多少個(gè)：3600÷4＝900(個(gè))②“相同時(shí)間”是幾小時(shí)：(2450＋2050)÷900＝5(小時(shí))③甲打字員每小時(shí)打字的個(gè)數(shù)：2450÷5＝490(個(gè))④乙打字員每小時(shí)打字的個(gè)數(shù)：2050÷5＝410(個(gè))答：甲打字員每小時(shí)打字490個(gè)，乙打字員每小時(shí)打字410個(gè)?！纠?8】（難度級(jí)別※※※※）光明小學(xué)有50個(gè)學(xué)生幫學(xué)校搬磚，要搬2000塊，4次搬了一半。照這樣算，再增加50個(gè)學(xué)生，還要幾次運(yùn)完？【分析與解】先求出每個(gè)學(xué)生每次運(yùn)的磚數(shù):2000×÷4÷50=5(塊).再求出現(xiàn)在的學(xué)生一次過運(yùn)的磚數(shù):(50+50)×5=500(塊).最后求出還要運(yùn)的次數(shù):2000×÷500=2(次).簡(jiǎn)便方法:4÷[(50+50)÷50]=2(次)?！咀鳂I(yè)】1.一只小蝸牛6分鐘爬行12分米，照這樣速度1小時(shí)爬行多少米？【答案】12米。2.某食堂存有16人可吃15天的米,16人吃了5天后,走了6人,余下的可吃_____天.【答案】16天。3.加工一批39600件的大衣,30個(gè)人10天完成了13200件,其余的要求在15天內(nèi)完成,要增加_____人.【答案】1