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文檔簡介
專題03平面向量的概念及其線性運算知識總結(jié):一、向量的有關(guān)概念(1)定義:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的長度(或模).(2)向量的模:向量的大小,也就是向量的長度,記作.(3)特殊向量:①零向量:長度為0的向量,其方向是任意的.②單位向量:長度等于1個單位的向量.③平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共線向量.規(guī)定:與任一向量平行.④相等向量:長度相等且方向相同的向量.⑤相反向量:長度相等且方向相反的向量.二、向量的線性運算和向量共線定理(1)向量的線性運算運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則①交換律②結(jié)合律減法求與的相反向量的和的運算叫做與的差三角形法則數(shù)乘求實數(shù)與向量的積的運算(1)(2)當時,與的方向相同;當時,與的方向相反;當時,注:①向量表達式中的零向量寫成,而不能寫成0.②兩個向量共線要區(qū)別與兩條直線共線,兩個向量共線滿足的條件是:兩個向量所在直線平行或重合,而在直線中,兩條直線重合與平行是兩種不同的關(guān)系.三、平面向量基本定理和性質(zhì)(1)共線向量定理如果,則;反之,如果且,則一定存在唯一的實數(shù),使.(口訣:數(shù)乘即得平行,平行必有數(shù)乘).(2)三點共線定理平面內(nèi)三點A,B,C共線的充要條件是:存在實數(shù),使,其中,為平面內(nèi)一點.若A、B、C三點共線存在唯一的實數(shù),使得存在唯一的實數(shù),使得存在唯一的實數(shù),使得存在,使得.(3)中線向量定理如圖所示,在中,若點D是邊BC的中點,則中線向量,反之亦正確.DDACB【常用結(jié)論】①向量的三角形法則適用于任意兩個向量的加法,并且可以推廣到兩個以上的非零向量相加,稱為多邊形法則.一般地,首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量.即.②特別地:或當且僅當至少有一個為時或者兩向量共線時,向量不等式的等號成立.牛刀小試:【題型1平面向量的概念】【題型2平面向量的線性運算】【題型3共線向量定理的應用】【題型1】平面向量的概念解答與向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)平行向量就是共線向量,二者是等價的.(2)向量與數(shù)量不同,數(shù)量可以比較大小,向量則不能,但向量的模是非負實數(shù),可以比較大小.(3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量,解題時,不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談.(4)非零向量a與a|a|的關(guān)系:a|a|是與a同方向的單位向量.【典例1】(多選題)下列說法正確的是(
)A.向量的長度與向量的長度相等 B.零向量與任意非零向量平行C.長度相等方向相反的向量共線 D.方向相反的向量可能相等【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的有關(guān)概念進行判定即可.【詳解】A.向量與向量的方向相反,長度相等,故A正確;B.規(guī)定零向量與任意非零向量平行,故B正確;C.能平移到同一條直線的向量是共線向量,所以長度相等,方向相反的向量是共線向量,故C正確;D.長度相等,方向相同的向量才是相等向量,所以方向相反的向量不可能相等,故D不正確.故選:ABC.【題型二】平面向量的線性運算平面向量的線性運算技巧(1)不含圖形的情況:可直接運用相應運算法則求解.(2)含圖形的情況:將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示出來求解.【典例1】(多選題)已知M為△ABC的重心,D為邊BC的中點,則(
)A. B.C. D.【答案】ABC【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)及向量的線性運算、基本定理一一判定即可.【詳解】如圖,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則,易得,故A正確;由題意得M為線段AD的靠近D點的三等分點,所以,又,所以,故B正確;,故C正確;,,又,所以,故D錯誤.
故選:ABC【典例2】如圖,向量,,,則向量(
)
A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)向量的加減法求解即可.【詳解】依題意,得,故選:C.【題型三】共線向量定理的應用共線向量定理的三個應用【典例1】(單選題)已知是不共線的向量,且,則(
)A.A、B、D三點共線 B.A、B、C三點共線C.B、C、D三點共線 D.A、C、D三點共線【答案】D【分析】利用平面向量共線向量定理求解.【詳解】因為,所以,若A、B、D三點共線,則,而無解,故A錯誤;因為,所以,若A、B、C三點共線,則,而無解,故B錯誤;因為,所以,若B、C、D三點共線,則,而無解,故C錯誤;因為,所以,即,所以A、C、D三點共線,故D正確.故選:D【題型訓練】一、單選題1.(2023·全國·高三專題練習)如圖,點O為正六邊形ABCDEF的中心,下列向量中,與相等的是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)相等向量的定義即可得答案.【詳解】解:因為相等向量是指長度相等且方向相同的向量,O為正六邊形ABCDEF的中心,所以與模相等求且方向相同,所以是相等向量,故A正確;與只是模相等的向量,故B錯誤;與只是模相等的向量,故C錯誤;與只是模相等的向量,故D錯誤.故選:A.2.(2023·全國·高三專題練習)下列命題正確的是(
)A.向量與是相等向量B.共線的單位向量是相等向量C.零向量與任一向量共線D.兩平行向量所在直線平行【答案】C【分析】根據(jù)向量相等和平行的定義逐項分析可以求解.【詳解】對于A,,故A錯誤;對于B,兩個單位向量雖然共線,但方向可能相反,故B錯誤;對于C,因為零向量沒有方向,所以與任何向量都是共線的,故C正確;對于D,兩個平行向量所在的直線可能重合,故D錯誤;故選:C.3.(2023·全國·高三專題練習)給出如下命題:①向量的長度與向量的長度相等;②向量與平行,則與的方向相同或相反;③兩個有共同起點而且相等的向量,其終點必相同;④兩個公共終點的向量,一定是共線向量;⑤向量與向量是共線向量,則點,,,必在同一條直線上.其中正確的命題個數(shù)是(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】根據(jù)向量的基本概念,對每一個命題進行分析與判斷,找出正確的命題即可.【詳解】對于①,向量與向量,長度相等,方向相反,故①正確;對于②,向量與平行時,或為零向量時,不滿足條件,故②錯誤;對于③,兩個有共同起點且相等的向量,其終點也相同,故③正確;對于④,兩個有公共終點的向量,不一定是共線向量,故④錯誤;對于⑤,向量與是共線向量,點,,,不一定在同一條直線上,故⑤錯誤.綜上,正確的命題是①③.故選:B.4.(2023·全國·高三專題練習)下列說法中正確的是(
)A.單位向量都相等B.平行向量不一定是共線向量C.對于任意向量,必有D.若滿足且與同向,則【答案】C【分析】對于A:根據(jù)單位向量的概念即可判斷;對于B:根據(jù)共線向量的定義即可判斷;對于C:分類討論向量的方向,根據(jù)三角形法則即可判斷;對于D:根據(jù)向量不能比較大小即可判斷.【詳解】依題意,對于A,單位向量模都相等,方向不一定相同,故錯誤;對于B,平行向量就是共線向量,故錯誤;對于C,若同向共線,,若反向共線,,若不共線,根據(jù)向量加法的三角形法則及兩邊之和大于第三邊知.綜上可知對于任意向量,必有,故正確;對于D,兩個向量不能比較大小,故錯誤.故選:C.5.(2023·廣東揭陽·校考二模)設是單位向量,,,,則四邊形是(
)A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【答案】B【分析】由題知,進而得,,再根據(jù)菱形的定義即可得答案.【詳解】解:因為,,所以,即,,所以四邊形是平行四邊形,因為,即,所以四邊形是菱形.故選:B6.(2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預測)如圖,在長方體中,化簡(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】由空間向量的線性運算結(jié)合長方體的結(jié)構(gòu)特征進行運算.【詳解】由長方體的結(jié)構(gòu)特征,有,則.故選:B7.如圖,在平行四邊形ABCD中,下列計算結(jié)果錯誤的是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)向量運算的幾何意義,結(jié)合條件逐項分析即得.【詳解】因為四邊形為平行四邊形,對A,,正確;對B,,錯誤;對C,,正確;對D,,正確.故選:B.8.(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運算法則,即可求解.【詳解】根據(jù)向量的線性運算法則,可得.故選:D.9.在中,,則(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)向量的運算的幾何表示結(jié)合條件即得.【詳解】∵,∴,又∴.故選:B.10.在中,點D在BC邊上,,則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的線性運算求得正確答案.【詳解】.故選:B11.化簡得(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用向量的線性運算直接求解.【詳解】.故選:C12.化簡的結(jié)果為(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)向量的線性運算性質(zhì)即可得出答案.【詳解】故選:B13.(2023·安徽銅陵·統(tǒng)考三模)在平行四邊形中,是邊上中點,則(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用平面向量的線性運算進行求解.【詳解】因為是平行四邊形的邊上中點,所以,所以,所以.故選:C.14.(2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習)在中,,則(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的線性運算可得答案.【詳解】由可得為邊中點,如圖所示:
故選:B.15.(2023·全國·高三專題練習)已知,若M、P、Q三點共線,則(
)A.1 B.2 C.4 D.-1【答案】A【分析】根據(jù)平面向量共線定理,列方程組即可求解.【詳解】解:∵M、P、Q三點共線,則與共線,∴,即,得,解得.故選:A.16.(2023·全國·高三專題練習)若平面四邊形ABCD滿足:,,則該四邊形一定是(
)A.平行四邊形 B.菱形 C.矩形 D.正方形【答案】B【分析】根據(jù)向量相等可證明四邊形為平行四邊形,再由向量數(shù)量積為0知對角線互相垂直可知為菱形.【詳解】,,所以四邊形ABCD為平行四邊形,,,所以BD垂直AC,所以四邊形ABCD為菱形.故選:B17.(2023·全國·高三專題練習)已知向量,不共線,若向量與向量共線,則的值為(
)A. B.0或 C.0或1 D.0或3【答案】A【分析】根據(jù)向量共線的條件,代入化簡,對應系數(shù)相等【詳解】因為與共線,可設,即,因為,不共線,所以所以.故選:A.二、填空題18.(2023·全國·高三專題練習)如圖所示,已知正六邊形ABCDEF,O是它的中心.(1)與相等的向量有______________;(2)與相等的向量有__________;(3)與共線的向量有__________.【答案】,,【分析】利用相等向量和共線向量的定義解答即可.【詳解】(1)與相等的向量有,,;(2)與相等的向量有;(3)與共線的向量有.故答案為:,,;;.19.(2023·全國·高三專題練習)有下列命題:①單位向量一定相等;②起點不同,但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量;③相等的非零向量,若起點不同,則終點一定不同;④方向相反的兩個單位向量互為相反向量;⑤起點相同且模相等的向量的終點的軌跡是圓.其中正確的命題的個數(shù)為______.【答案】【分析】由相等向量、相反向量的知識依次判斷各個選項即可得到結(jié)果.【詳解】對于①,兩個單位向量方向不同時不相等,①錯誤;對于②,方向相同且模長相等的向量為相等向量,與起點無關(guān),②正確;對于③,相等的非零向量方向相同且模長相等,若起點不同,則終點不同,③正確;對于④,單位向量模長相等,又方向相反,則這兩個向量為相反向量,④正確;對于⑤,若兩個向量起點相同,且模長相等且不為零,則終點的軌跡為球面,⑤錯誤;則正確的命題個數(shù)為個.故答案為:.20.(2023春·云南昆明·高三校考階段練習)下列能化簡為的是(
)A. B.C. D.【答案】ABC【分析】根據(jù)向量的線性運算分別判斷即可.【詳解】解:對于A,,故A正確;對于B,,故B正確;對于C,,故C正確;對于D,,故D不合題意;故選:ABC.21.(2023·全國·高三專題練習)化簡:=______.【答案】【分析】由向量的加減法法則計算.【詳解】.故答案為:.22.(2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習)已知向量,則“與共線”是“存在唯一實數(shù)使得”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】充分性根據(jù)驗證;必要性直接證明即可.【詳解】當時,滿足與共線,但是不存在實數(shù)使得,故充分性不成立;存在唯一實數(shù)使得則與共線成立,即必要性成立.故“與共線”是“存在唯一實數(shù)使得”的必要不充分條件.故選:B.23.(2023·全國·高三專題練習)設,是不共線的兩個平面向量,已知,,若,,三點共線,則(
)A.2 B. C.6 D.【答案】D【分析】根據(jù)向量數(shù)乘及向量共線條件,即可求得的值.【詳解】若、、三點共線,則,即滿足系數(shù)成比例,則,解得.故選:D.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)乘的意義,平
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