高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)教學(xué)研究

高中數(shù)學(xué)“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”教學(xué)研究專題講座高中數(shù)學(xué)“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”教學(xué)研究谷丹北京四中一、整體把握“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”的教學(xué)內(nèi)容（一）教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)框架（二）教學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)與作用由上述知識(shí)框架可知：我們將以“任意角與弧度制”、“任意角的三角函數(shù)”、“三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)”為基本知識(shí)結(jié)構(gòu)展開(kāi)各重點(diǎn)內(nèi)容的學(xué)習(xí)。三角函數(shù)作為高中學(xué)習(xí)的第二類基本初等函數(shù)，必然將充分體現(xiàn)其作為“函數(shù)”而言的一般性與特殊性。三角函數(shù)也是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)與方法（如三角變換、向量、解析幾何、高等數(shù)學(xué)等等）的重要基礎(chǔ)內(nèi)容，在諸多其他學(xué)科與實(shí)際生活中亦有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用。（三）教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)分析從教學(xué)內(nèi)容來(lái)看，主要的重點(diǎn)是：回避弧度制，在學(xué)習(xí)后期，則僅僅限于“記住”一些常用角的表示，卻完全遺忘了弧度制的概念。在教學(xué)中，教師可根據(jù)學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)過(guò)程，使學(xué)生理解引入弧度制的必要性，早用、多用弧度制，切實(shí)落實(shí)常用特殊角角度制與弧度制的互化。3．三角函數(shù)線之正切線：一般來(lái)說(shuō)，學(xué)生比較容易理解與掌握正弦線與余弦線，但理解與掌握正切線有一定的難度。而突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵在于幫助學(xué)生充分理解“有向線段的數(shù)量”及相關(guān)概念。4．誘導(dǎo)公式：因公式繁多，學(xué)生往往視對(duì)其的記憶為畏途，在使用時(shí)亦易混用或亂用。教學(xué)中應(yīng)注意幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)并落實(shí)準(zhǔn)確記憶誘導(dǎo)公式的方法。5．函數(shù)的周期性：“函數(shù)的周期性”的表述結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，給學(xué)生準(zhǔn)確、深入地理解概念帶來(lái)不小的困難。但因?yàn)椤爸芷谛浴钡膱D象特征明顯且易把握，所以，只要適當(dāng)把握與“周期性”有關(guān)問(wèn)題的難度，則對(duì)概念理解把握不夠深入透徹也不會(huì)過(guò)于影響學(xué)生對(duì)后繼課程的學(xué)習(xí)。6．函數(shù)圖象的伸縮變換：對(duì)學(xué)生而言，“伸縮變換”本身，不是很難理解，但當(dāng)“伸縮變換”與其他變換相結(jié)合構(gòu)成復(fù)合變換時(shí)，則易暴露出學(xué)生對(duì)“伸縮變換”的理解不準(zhǔn)確、不到位。教學(xué)中，可強(qiáng)化函數(shù)圖象復(fù)合變換的一般方法的教學(xué)，來(lái)幫助學(xué)生克服這一學(xué)習(xí)難點(diǎn)。二、“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”的教學(xué)策略（一）關(guān)注“任意角”承上啟下的功能我們可以從下述幾個(gè)方面來(lái)看“任意角”的承上啟下功能。1．初、高中角的兩種常用概念的異同初中高中概念平面內(nèi)具有公共頂點(diǎn)的兩條射線形成的圖形。平面內(nèi)一條射線繞其端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。圖形靜態(tài)動(dòng)態(tài)角度值算數(shù)量代數(shù)量取值范圍R由上面的對(duì)比可見(jiàn)，高中階段角的概念是初中階段常用角的概念自然的推廣。高中階段角的概念與初中階段相比，角的形成過(guò)程由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)、角的范圍由有限擴(kuò)展至全體實(shí)數(shù)，這是后一階段學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)與三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)。在教學(xué)過(guò)程中，因特別注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注初、高中角的概念的不同，避免初中學(xué)習(xí)內(nèi)容的負(fù)遷移。2．任意角的表示任意角的幾何或代數(shù)表示，發(fā)展性地應(yīng)用了前期學(xué)習(xí)的一些知識(shí)和方法。對(duì)這部分學(xué)習(xí)內(nèi)容的準(zhǔn)確理解，將有助于學(xué)生更為準(zhǔn)確、深入地掌握后繼的學(xué)習(xí)內(nèi)容。（1）坐標(biāo)系內(nèi)任意角的圖形表示：直角坐標(biāo)系這一數(shù)形結(jié)合的工具，在初中和高中函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)多有運(yùn)用，但前期學(xué)習(xí)過(guò)程中，通常都是“一對(duì)一”的——一組坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)函數(shù)解析式對(duì)應(yīng)一個(gè)圖象等等。坐標(biāo)系內(nèi)任意角的圖形表示，則是“多對(duì)一”——“多”組數(shù)對(duì)應(yīng)“一”條終邊。在教學(xué)中，我們可以通過(guò)多媒體演示或制作一些小課件模型來(lái)幫助學(xué)生了解與體會(huì)“任意角”所在的直角坐標(biāo)系平面，是無(wú)限多“層”相聯(lián)相“疊合”而成的，每一個(gè)具體的角度值，都將唯一的對(duì)應(yīng)著某一“層”中的一條終邊。（2）任意角的集合表示：我們可以用集合的形式來(lái)表示終邊相同的角，如：，結(jié)合以前學(xué)過(guò)的集合確定性、無(wú)序性、互異性的知識(shí)，可以更好地了解集合A各種等價(jià)的表達(dá)形式。我們也經(jīng)常用無(wú)數(shù)個(gè)集合的并集來(lái)表示終邊落在直角坐標(biāo)系中某一區(qū)域內(nèi)的角。如，終邊在第二象限的角，可以表示為，強(qiáng)調(diào)這是一種“并集”的表達(dá)形式，往往可以幫助學(xué)生更好地把握終邊在某個(gè)區(qū)域內(nèi)的角數(shù)與形“多對(duì)一”的含義，也更有利于在今后的學(xué)習(xí)過(guò)程中更準(zhǔn)確地處理單調(diào)區(qū)間、解三角方程或（簡(jiǎn)單的）不等式等相關(guān)問(wèn)題。（二）適度解讀弧度制的意義在學(xué)習(xí)了角度制以后，為什么還要引進(jìn)弧度制？一種常見(jiàn)的“理由”是認(rèn)為角度制為六十進(jìn)制，弧度制是十進(jìn)制的實(shí)數(shù)，這樣的解釋，不甚妥當(dāng)，因?yàn)槲覀兒苋菀滓远龋ǎ閱挝?，將任何一個(gè)角度值用十進(jìn)制表示，如：。事實(shí)上，引進(jìn)弧度制的根本原因，是角度制所表示的角度值，是一個(gè)帶量綱的數(shù)量，而弧度制表示的角度值則不帶量綱，如：在弧度制中，的意義非常明確，但在角度制中“”顯然是一個(gè)錯(cuò)誤的表示方式，必須表達(dá)為“”或“”等等。數(shù)學(xué)，更為關(guān)心數(shù)量之間的關(guān)系，不甚關(guān)心運(yùn)算過(guò)程中量綱的變化。特別的，有不少變量關(guān)系，常常會(huì)通過(guò)角度值或角度值與三角函數(shù)值之間的運(yùn)算來(lái)表達(dá)（如圓的漸開(kāi)線，阿基米德螺線等等），因此，以無(wú)量綱的量來(lái)表示角的大小就成為必然的要求。但是，學(xué)生由于知識(shí)和實(shí)際體驗(yàn)有限，有很多能體現(xiàn)這種必要性的具體事例，不方便也不必要向?qū)W生介紹，因此，可以盡可能利用學(xué)生已有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來(lái)向?qū)W生說(shuō)明引進(jìn)無(wú)量綱的弧度制來(lái)度量角的大小的必要性。這里介紹一個(gè)引入弧度制的教學(xué)案例：教師請(qǐng)同學(xué)們快速翻閱一下“三角函數(shù)”這一章的內(nèi)容，并提示：我們最終將以角度為自變量x、因變量為三角函數(shù)y，如，畫出三角函數(shù)在直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象。那么，x軸與y軸上的單位長(zhǎng)度的比值如何選定是比較合理的？學(xué)了三角函數(shù)以后，研究一些常見(jiàn)函數(shù)與三角函數(shù)構(gòu)成的組合函數(shù)也是必要的，那么，如果我們要作、的圖象，怎么辦呢？通過(guò)教師的引導(dǎo)與學(xué)生的討論，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，三角函數(shù)值是無(wú)量綱值，如果我們能用無(wú)量綱值來(lái)表示角度值，上述問(wèn)題就比較容易解決了。通過(guò)回顧直角三角形中正弦函數(shù)的定義方法，觀察以為圓心角的扇形中，如何能類比正弦值的表示方法來(lái)得到角的（無(wú)量綱）表示方法：進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生了解弧度制的概念：。（三）有效發(fā)揮單位圓的作用新課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于“單位圓”的教學(xué)建議時(shí)說(shuō)：“單位圓可以幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式，以及三角函數(shù)的圖象和基本性質(zhì)。借助單位圓的直觀，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自主地探索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，培養(yǎng)他們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力?！庇纱丝梢钥吹?，“單位圓”作為重要的數(shù)形結(jié)合工具，在幫助學(xué)生理解、掌握知識(shí)、提高能力方面，都可以發(fā)揮有效的作用。我們可以由“函數(shù)及性質(zhì)”的研究為主線，來(lái)認(rèn)識(shí)、把握與發(fā)揮“單位圓”在教學(xué)過(guò)程中的主要作用。1．任意角的三角函數(shù)定義：定義域、解析式與值域是研究函數(shù)的三個(gè)基本要素。將三角函數(shù)定義與單位圓相結(jié)合，顯然使得這些問(wèn)題的研究變得更為直觀與簡(jiǎn)捷。2．三角函數(shù)性質(zhì)：?jiǎn)挝粓A與三角函數(shù)線使得對(duì)三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的研究變得直觀且簡(jiǎn)單。3．三角函數(shù)圖象：由于借助三角函數(shù)線我們已經(jīng)對(duì)三角函數(shù)的基本性質(zhì)有了初步的認(rèn)識(shí)，在利用“單位圓”描點(diǎn)作圖時(shí)，“點(diǎn)”的選取、“圖”的性質(zhì)也就比較容易確定了。4．誘導(dǎo)公式：從函數(shù)的角度看，“誘導(dǎo)公式”即不同自變量的函數(shù)值之間的關(guān)系。“誘導(dǎo)公式”的教學(xué)過(guò)程，我們可以設(shè)計(jì)為兩個(gè)角的終邊具有關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱和相互垂直關(guān)系時(shí)，利用單位圓，獲得三角函數(shù)值間的關(guān)系的過(guò)程；也可以設(shè)計(jì)為利用“單位圓”這一數(shù)形結(jié)合的工具，尋求最簡(jiǎn)單三角函數(shù)方程解的結(jié)果的過(guò)程。無(wú)論是前一種由“形”到“數(shù)”的過(guò)程，還是后一種由“數(shù)”到“形”的過(guò)程，都可以在幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中提高數(shù)形結(jié)合與自主探究的能力，也會(huì)有利于學(xué)生理解與記憶誘導(dǎo)公式。當(dāng)然，當(dāng)我們借助單位圓這一數(shù)形結(jié)合的有效工具得到三角函數(shù)圖象以后，上面所羅列的知識(shí)，幾乎都可以從三角函數(shù)圖象上體現(xiàn)出來(lái)，所以，單位圓在教學(xué)過(guò)程，不僅應(yīng)該考慮“有效果”，也應(yīng)與后繼課程的教學(xué)統(tǒng)籌考慮，避免過(guò)于拖沓、重復(fù)，力求“有效率”。（四）突出“同角三角函數(shù)關(guān)系”中數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系，學(xué)生已經(jīng)在初中的直角三角形學(xué)習(xí)中有所接觸，學(xué)習(xí)過(guò)程中所遇到的求值、化簡(jiǎn)、證明等問(wèn)題，與后面將要學(xué)習(xí)的三角變換相比，難度也不太大，但所涉及的方法，卻有很多是類同的。因此，我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中，應(yīng)該注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注初高中研究同類方法時(shí)的異同，避免初中知識(shí)的負(fù)遷移，也應(yīng)注意突出數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，為后繼課程的學(xué)習(xí)做好鋪墊。我們可以從下列幾個(gè)方面注意突出數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用：1．程序化地思考在一些求值或化簡(jiǎn)過(guò)程中，學(xué)生往往會(huì)因?yàn)楹雎粤巳我饨堑娜≈捣秶霈F(xiàn)錯(cuò)誤，我們可以將這類問(wèn)題的解決過(guò)程分解為兩步程序：（1）確定“絕對(duì)值”，（2）確定“符號(hào)”。如：已知，求。解題過(guò)程可以分解為：（1）確定；（2）據(jù)x所在象限或半軸，確定、的符號(hào)，得出正確結(jié)果。2．轉(zhuǎn)化或化歸的方法在求值與證明問(wèn)題時(shí)，我們常常會(huì)用“化弦”的辦法解決問(wèn)題，在遇到,齊次問(wèn)題時(shí)，我們常常可將齊次關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元關(guān)系，這樣的轉(zhuǎn)化，即是消元思想的應(yīng)用。在處理證明問(wèn)題時(shí)，我們可以用比較法，這本質(zhì)上是將變形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的化簡(jiǎn)問(wèn)題。3．方程思想同角三角函數(shù)關(guān)系，，可以視為是關(guān)于、、這三個(gè)變?cè)膬蓚€(gè)方程，所以，知其一，必可求余二。在教學(xué)過(guò)程中，不斷明確指出這些思想方法的作用，既可以幫助學(xué)生較好地完成當(dāng)下的學(xué)習(xí)任務(wù)，也會(huì)對(duì)學(xué)生更好地理解與掌握這些方法有幫助，進(jìn)一步提高學(xué)生應(yīng)用這些思想方法的自覺(jué)性。4．綜合應(yīng)用的一個(gè)例子例（08重慶10)函數(shù)()的值域是（B）。（A）[-]（B）[-1,0]（C）[-]（D）[-]分析：顯然，當(dāng)時(shí)，，可排除A選項(xiàng)。于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分母應(yīng)與比大小，由可知應(yīng)選B。在此題中，同角三角函數(shù)關(guān)系起到了至關(guān)重要的作用，此公式中，“常數(shù)”與三角函數(shù)的平方項(xiàng)實(shí)現(xiàn)互相替換，是解決三角函數(shù)問(wèn)題比較常用的方法之一。一般來(lái)說(shuō)，選擇有關(guān)三角函數(shù)的綜合性試題時(shí)，應(yīng)注意：題面可以比較新穎、解題過(guò)程綜合性可以比較強(qiáng)，但解決問(wèn)題的思路、策略，應(yīng)該能體現(xiàn)基本的數(shù)學(xué)思想方法，有利于提高學(xué)生靈活使用基本知識(shí)方法的能力。（五）全面把握正弦函數(shù)作為“函數(shù)”的一般性與特殊性三角函數(shù)作為一種應(yīng)用廣泛的“函數(shù)”而言，既具有函數(shù)的“通性”，亦具有（與以前學(xué)生接觸過(guò)的函數(shù)相比）自身的“特性”。我們可以用下列表格來(lái)表示在對(duì)三角函數(shù)的探究與應(yīng)用時(shí)，我們?cè)趯?duì)函數(shù)的探究、應(yīng)用中通常都會(huì)關(guān)心的主要問(wèn)題，即所謂“一般性”，與對(duì)三角函數(shù)特別關(guān)心的問(wèn)題，即“特殊性”。一般性特殊性備注定義域，解析式、值域由象限角引入的比值函數(shù)三角函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系：“（無(wú)窮）多”對(duì)“一”函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性，奇偶性等）周期性存在性命題函數(shù)圖象作圖利用三角函數(shù)線作圖數(shù)形結(jié)合圖象性質(zhì)與x軸交點(diǎn)、對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱軸周期性出現(xiàn)。注意：“”的應(yīng)用。反函數(shù)*已知三角函數(shù)值求角。限制定義域后，才可有反函數(shù)。組合或復(fù)合函數(shù)“值域”與“換元法”，函數(shù)的周期性……關(guān)注基本模型，難度適可而止。關(guān)于上述表格的補(bǔ)充說(shuō)明：1．關(guān)于定義域、解析式、值域由象限角引入的正弦函數(shù)，使我們面臨兩個(gè)直角坐標(biāo)系——象限角所在的直角坐標(biāo)系與的圖象所在的直角坐標(biāo)系，這兩個(gè)“系”中，此x非彼x，此y彼y，此“象限”也非彼“象限”，在教學(xué)之初，應(yīng)明確指出期間的聯(lián)系與差別，以避免學(xué)生混用。多對(duì)一的（函數(shù)）對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生并不是第一次接觸，他們最為熟悉的“多對(duì)一”函數(shù)模型，是二次函數(shù)，但二次函數(shù)之“多”，最多為兩個(gè)，與正弦函數(shù)之“無(wú)窮多”還是不能同日而語(yǔ)。所以，在最初教師做正弦函數(shù)圖象時(shí)，要多畫幾個(gè)周期，以幫助學(xué)生較好的建立“無(wú)窮多對(duì)一”的直觀形象記憶。正弦函數(shù)的值域?yàn)橛邢迏^(qū)間，我們?cè)谔幚砼c值域有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意引導(dǎo)學(xué)生與以前常見(jiàn)的值域有限制的函數(shù)（如：反比例函數(shù)、（定義域?yàn)橛邢迏^(qū)間的）二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等等）研究同類問(wèn)題時(shí)的常用方法做比較，以促進(jìn)前期學(xué)習(xí)內(nèi)容的正遷移。2．關(guān)于函數(shù)性質(zhì)對(duì)周期性的探究與應(yīng)用，與前期學(xué)習(xí)過(guò)的單調(diào)性、奇偶性有不少共同點(diǎn)：（1）函數(shù)性質(zhì)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表述，皆為自變量的變化，導(dǎo)致因變量的變化；（2）關(guān)注由概念而可推知的定義域的特點(diǎn)；（3）函數(shù)性質(zhì)都有明確、明顯的圖象特征。周期性與單調(diào)性、奇偶性的不同點(diǎn)在于周期性的概念敘述，是“存在性”命題，一般來(lái)說(shuō)，利用“存在性”來(lái)判定給定函數(shù)是否具有滿足命題的特征時(shí)，比較困難。特別的，對(duì)學(xué)生將要接觸的組合或復(fù)合型函數(shù)，要想利用周期性符號(hào)語(yǔ)言的概念來(lái)判定、證明其是否滿足周期性，是否存在最小正周期，有些問(wèn)題將相當(dāng)困難。但是，若能通過(guò)圖象變換等方法，做出待判定的函數(shù)圖象，則判斷函數(shù)是否存在周期性、求出函數(shù)的最小正周期往往就比較容易。由此可知，我們?cè)凇爸芷谛浴钡慕虒W(xué)過(guò)程中，多強(qiáng)調(diào)函數(shù)性質(zhì)研究的共同性、多用數(shù)形結(jié)合作為探究與應(yīng)用的工具，適度控制應(yīng)用符號(hào)語(yǔ)言解決問(wèn)題的難度，可能是比較適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略。3．關(guān)于函數(shù)圖象由于前期學(xué)習(xí)，在單位圓背景下學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)的圖象有了初步的認(rèn)識(shí)，所以，與以往用“描點(diǎn)作圖”的方法做出函數(shù)圖象相同的是：我們會(huì)根據(jù)對(duì)定義域、函數(shù)性質(zhì)的分析選點(diǎn)作圖；比較特殊的是我們可以利用三角函數(shù)線這一數(shù)形結(jié)合的工具來(lái)實(shí)現(xiàn)選點(diǎn)、描點(diǎn)、連線等步驟。與前期學(xué)習(xí)一樣，我們會(huì)關(guān)注圖象的幾何特征。特別的，正弦函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)、對(duì)稱軸、平衡軸等圖象特征，將在正弦型函數(shù)圖象研究中再次起到關(guān)鍵作用，所以，我們可以在研究正弦函數(shù)圖象性質(zhì)時(shí)為后期的學(xué)習(xí)做好鋪墊。4．關(guān)于反函數(shù)*在函數(shù)研究中，特別是學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)后，關(guān)注反函數(shù)的存在與否，是很自然的。特別的，在后期利用空間向量計(jì)算立體幾何中的成角問(wèn)題，也可以不回避等符號(hào)的使用。但是，為了更好地突出知識(shí)方法的主線，新課標(biāo)在三角函數(shù)這部分，刪去了關(guān)于反三角函數(shù)、反三角函數(shù)值與已知三角函數(shù)值求角等知識(shí)方法的要求。因此，我們可以根據(jù)學(xué)生的情況，對(duì)此部分做不同的教學(xué)要求。最低層次：因?yàn)檎液瘮?shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系為“多對(duì)一”，所以，不存在反函數(shù)。中等層次：介紹符號(hào)，指導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器與誘導(dǎo)公式或正弦函數(shù)圖象解決“知三角函數(shù)值求角”問(wèn)題。較高層次：介紹的反函數(shù)，對(duì)此函數(shù)的圖象、性質(zhì)等等進(jìn)行探究，也可以結(jié)合研究性學(xué)習(xí)等學(xué)生的探究活動(dòng)，組織有興趣的學(xué)生，自行探究反三角函數(shù)。5．關(guān)于組合或復(fù)合函數(shù)關(guān)于三角函數(shù)的組合或復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題繁多，有些問(wèn)題難度較大，在處理這部分問(wèn)題時(shí)，可從下列幾點(diǎn)考慮篩選問(wèn)題：1．提出問(wèn)題要自然：所謂“自然”，就是可將前期學(xué)習(xí)過(guò)程中曾經(jīng)遇到過(guò)的問(wèn)題，與正弦函數(shù)或其他三角函數(shù)的知識(shí)相結(jié)合，提出當(dāng)下探究的新問(wèn)題。2．重點(diǎn)模型要落實(shí)：所謂“重點(diǎn)模型”，主要是指前期、當(dāng)下、后繼的學(xué)習(xí)過(guò)程中都可能研究的問(wèn)題。3．問(wèn)題難度要適當(dāng)：有些很“自然”的問(wèn)題，解決起來(lái)未必很容易，則可以“提而不做”指出研究的“難度”，鼓勵(lì)有興趣的學(xué)生進(jìn)一步探究，但不要求全體學(xué)生皆理解、落實(shí)解決問(wèn)題的途徑與方法。如：要求學(xué)生研究函數(shù)的值域，是比較適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，但要求全體學(xué)生研究該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，就不甚適當(dāng)。再如：要求學(xué)生判斷是否周期函數(shù)，是比較適當(dāng)?shù)膯?wèn)題，但要求全體學(xué)生掌握證明其不是周期函數(shù)的方法，就不甚適當(dāng)。對(duì)于余弦函數(shù)、正切函數(shù)的教學(xué)策略，我們?nèi)匀豢梢耘c正弦函數(shù)類同，以“函數(shù)”研究作為主線展開(kāi)；同時(shí)，我們也應(yīng)關(guān)注這兩個(gè)基本三角函數(shù)研究與應(yīng)用中與正弦函數(shù)的關(guān)聯(lián)和不盡相同的特點(diǎn)。對(duì)這些“同”與“不同”之處的處理，可以進(jìn)一步體現(xiàn)研究函數(shù)問(wèn)題的一般思路和特殊的解決辦法。（六）適當(dāng)選擇、使用兩種數(shù)形結(jié)合的工具探究正弦型函數(shù)我們通常會(huì)用兩個(gè)工具來(lái)描繪正弦型函數(shù)的圖象，并探究其函數(shù)性質(zhì)與圖象性質(zhì)。1．五點(diǎn)法作圖五點(diǎn)法作圖，從本質(zhì)上看，是用復(fù)合函數(shù)的觀點(diǎn)結(jié)合換元法（令）來(lái)解決作圖問(wèn)題，于是，在數(shù)學(xué)必修一學(xué)習(xí)的關(guān)于復(fù)合函數(shù)與換元法的思想皆可在這個(gè)工具下有所體現(xiàn)。進(jìn)一步，我們也可以利用換元法的思想來(lái)考慮函數(shù)圖象的幾何特點(diǎn)。例（08遼寧理16）已知，且在區(qū)間有最小值，無(wú)最大值，則。分析：令，則，于是“在區(qū)間有最小值，無(wú)最大值”這一條件可等價(jià)為“在區(qū)間有最小值無(wú)最大值”，則有①：，②：，可據(jù)此解得。此題目也可以根據(jù)“五點(diǎn)法作圖”大致描出的圖像，再根據(jù)題目條件推理判斷出條件①、②，最后解決問(wèn)題。2．伸縮變換圖象的伸縮變換，也可以用來(lái)解決正弦型函數(shù)的作圖與性質(zhì)討論等問(wèn)題。但是，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，可能有兩個(gè)難點(diǎn)：（1）由坐標(biāo)變換的觀點(diǎn)看等參數(shù)對(duì)圖象形狀的影響，一般來(lái)說(shuō)，可以用多媒體輔助教學(xué)等方法幫助學(xué)生了解這些參數(shù)的作用，比較有效地利用幾何直觀幫助學(xué)生記憶結(jié)論；（2）伸縮變換與以前學(xué)過(guò)的其他變換（如平移、對(duì)稱等等）結(jié)合，構(gòu)成復(fù)合變換時(shí)，學(xué)生比較容易出錯(cuò)。一般來(lái)講，可以用逐步分解、規(guī)范表達(dá)復(fù)合過(guò)程的方法來(lái)幫助學(xué)生正確處理復(fù)合變換問(wèn)題。例（08全國(guó)一（理）8）為得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（A）。A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位分析：這類問(wèn)題，可以程序化地分解為如下程序：（1）據(jù)誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；（2）用平移變換的代數(shù)表達(dá)寫出變換后解析式；（3）再求出平移參數(shù)應(yīng)滿足的方程；（4）最后確定正確選項(xiàng)。例如，例5的解題過(guò)程為：（1）化同名：；（2）寫變換：；（3）列方程：據(jù)（1）、（2）可知（*）；（4）得結(jié)論：據(jù)（*）式與選項(xiàng)，知應(yīng)選A。對(duì)具體題目而言，比較規(guī)范的解題程序，不一定是最“好”的解題辦法，但因?yàn)槊恳徊蕉家桌斫?、好操作，且皆回歸最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)方法，所以往往是比較“保險(xiǎn)”的方法。3．例說(shuō)兩種方法的使用與比較我們用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明兩種方法的使用與比較：例：求的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)圖象的對(duì)稱軸。由“五點(diǎn)法作圖”的方法來(lái)看：令，則是關(guān)于x的復(fù)合函數(shù)，特別地，因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)為減函數(shù)，所以，必當(dāng)外層函數(shù)為遞增區(qū)間時(shí)，是關(guān)于x的單減區(qū)間。由于當(dāng)y取最值的時(shí)候，函數(shù)圖象上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)稱軸上，所以，令，可解得圖象對(duì)稱軸方程。由“圖象（復(fù)合）變換”的方法來(lái)看：我們可以通過(guò)逐次變換的方法，先作圖，后從圖上讀出結(jié)論?？梢砸韵铝蟹绞奖磉_(dá)作圖過(guò)程中的變換：也可以以另一種順序變換作圖：如果我們要求學(xué)生在做復(fù)合變換題目時(shí)，都能如上逐步寫出符號(hào)表達(dá)，并逐步畫出對(duì)應(yīng)的變換前后圖象，就有可能有效減少學(xué)生在做此類題目時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤。特別地，這種方法，對(duì)解決各類復(fù)合變換作圖問(wèn)題，皆可使用。由上兩種處理問(wèn)題的方法可知，“五點(diǎn)法作圖”所用的復(fù)合函數(shù)與換元法思想，比較簡(jiǎn)捷，在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，也更具有一般性和廣泛性。三、學(xué)生學(xué)習(xí)目標(biāo)的檢測(cè)（一）課程標(biāo)準(zhǔn)與高考對(duì)“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”的要求課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)”的要求可分為三個(gè)層次，其中：1．層次A（了解）：對(duì)所列知識(shí)內(nèi)容有初步的認(rèn)識(shí)，會(huì)在有關(guān)問(wèn)題中進(jìn)行識(shí)別與直接應(yīng)用。2．層次B（理解）：對(duì)所列知識(shí)內(nèi)容有理性的認(rèn)識(shí)，能夠解釋、舉例或變形、推斷，并能利用所列的知識(shí)解決簡(jiǎn)單問(wèn)題。3．層次C（掌握）：對(duì)所列知識(shí)內(nèi)容有較深刻的理性認(rèn)識(shí)，形成技能，并能利用所列知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題。其中高一級(jí)的知識(shí)要求包含低一級(jí)的要求。我們可以從下表來(lái)看各知識(shí)內(nèi)容的要求：知識(shí)內(nèi)容要求層次ABC1任意角的概念與弧度制√2弧度與角度互化√3任意角的正弦、余弦、正切的定義√4用單位圓中的三角函數(shù)線表示三角函數(shù)√5誘導(dǎo)公式√6同角三角函數(shù)基本關(guān)系√7周期函數(shù)定義、三角函數(shù)的周期性√8三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)√9正弦型函數(shù)的圖象√10用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題√在高考中，對(duì)3、6、7、9等知識(shí)內(nèi)容皆可能提出更高一級(jí)的要求。7、8、9等知識(shí)內(nèi)容也可能在綜合性較強(qiáng)的題目中有所應(yīng)用。（二）典型題目的檢測(cè)分析在學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們可以選用一些典型的題目來(lái)測(cè)驗(yàn)學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的掌握程度。我們可以以隨堂測(cè)試、階段性練習(xí)、模塊考試等等不同形式的筆試方法對(duì)學(xué)生進(jìn)行形成性檢測(cè)，主要了解教學(xué)內(nèi)容中知識(shí)與技能是否為學(xué)生所掌握；我們也可以通過(guò)課上提問(wèn)或課下輔導(dǎo)、課后探究性作業(yè)等等方式對(duì)學(xué)生進(jìn)行過(guò)程性檢測(cè)，在檢測(cè)中盡可能使學(xué)生暴露思維過(guò)程，同時(shí)通過(guò)有針對(duì)性的師生、生生等交流形式幫助教師與學(xué)生調(diào)整教與學(xué)的方式，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，有效提高學(xué)習(xí)能力。在形成性測(cè)試時(shí)，同類題目，我們可以根據(jù)不同的學(xué)習(xí)階段或?qū)W生學(xué)習(xí)水平，選擇不同的問(wèn)題，以便更準(zhǔn)確地了解學(xué)生不同的認(rèn)知層次。我們可以通過(guò)下面幾個(gè)問(wèn)題，例說(shuō)題目的選擇與檢測(cè)分析。例1已知是第二象限角，（1）圖示角的終邊所在區(qū)域M；（2）圖示角的終邊所在區(qū)域N；終邊在區(qū)域N中的角的范圍與角的取值范圍一樣嗎？為什么？；（3）你能表達(dá)圖示的終邊所在區(qū)域的一般規(guī)律嗎？簡(jiǎn)答：（1）（2）圖如右示；不一樣，終邊在區(qū)域N中的角的范圍為；角的取值范圍是；（3）均勻分布的n個(gè)區(qū)域（答案不唯一）。例1中的第（1）問(wèn)，在形成性檢測(cè)或過(guò)程性檢測(cè)時(shí)皆可用，在形成性檢驗(yàn)中，學(xué)生的常見(jiàn)錯(cuò)誤是：（a）只畫了第一象限的部分。導(dǎo)致這樣錯(cuò)誤的可能性很多，但大多數(shù)學(xué)生的錯(cuò)誤原因可能是：誤將“是第二象限角”與“”等價(jià)，得到的錯(cuò)誤結(jié)論，這主要是不能很好理解任意角與終邊的“多對(duì)一”關(guān)系所致；或者先將第二象限角作出，將其所在區(qū)域或“邊界”“折半”，這往往是因?yàn)閿?shù)形結(jié)合方法使用不當(dāng)造成的。這些錯(cuò)誤都可以通過(guò)要求學(xué)生理解、落實(shí)規(guī)范的解決問(wèn)題程序加以矯正。即要求學(xué)生：i）用不等式或區(qū)間形式準(zhǔn)確表達(dá)的取值范圍，特別應(yīng)注意邊界值的多對(duì)一關(guān)系；ii）通過(guò)計(jì)算得到的取值范圍，特別注意應(yīng)對(duì)邊界值中的“”亦進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算；iii）畫出的終邊所在區(qū)域，特別注意，可以結(jié)合試K的取值得到所有滿足條件的區(qū)域。（b）區(qū)域邊界為實(shí)線。這些學(xué)生，基本掌握了解決問(wèn)題的方法，但因注意更為準(zhǔn)確地將“不等號(hào)”中是否包涵“相等”關(guān)系與“邊界”的虛實(shí)建立正確對(duì)應(yīng)關(guān)系。在過(guò)程性檢測(cè)時(shí)，將更為側(cè)重學(xué)生是否會(huì)有意識(shí)地先解決角“數(shù)”的表達(dá)形式，再將轉(zhuǎn)化為“形“的表達(dá)，觀察學(xué)生的做題過(guò)程，我們可以比較清晰地了解，學(xué)生是否有使用數(shù)形結(jié)合方法的意識(shí)，使用過(guò)程是否準(zhǔn)確，學(xué)生是否了解任意角與終邊的“多對(duì)一”的關(guān)系，等等。第（2）問(wèn)的第一小問(wèn)難度不大，但第二小問(wèn)常常會(huì)導(dǎo)致一些學(xué)生的困惑。這道題比較適合在過(guò)程性檢驗(yàn)中使用，能更好地幫助教師了解學(xué)生對(duì)任意角與終邊“多對(duì)一”關(guān)系的各層含義的了解程度。第（3）問(wèn)，不僅需要學(xué)生對(duì)任意角與終邊“多對(duì)一”關(guān)系有比較準(zhǔn)確的理解，也需要學(xué)生對(duì)“周期性”的概念有一定的體悟，同時(shí)具備一定的歸納能力，因此，比較適合作為課后探究類的題目請(qǐng)學(xué)生根據(jù)自己的學(xué)習(xí)意愿與能力自主完成，教師可據(jù)其完成時(shí)探究的主動(dòng)性與完成的質(zhì)量檢測(cè)學(xué)生的學(xué)業(yè)水平與學(xué)習(xí)能力。例1中的（1）、（2）、（3）皆可加“寫出（或等）的取值范圍”這一要求，這樣可以更準(zhǔn)確地診斷學(xué)生出錯(cuò)的原因，但加這一問(wèn)，有可能會(huì)降低題目的難度，所以教師可以根據(jù)測(cè)試的目標(biāo)與學(xué)生的狀況選擇設(shè)問(wèn)方式。例2已知函數(shù)。（1）求的值域；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域。簡(jiǎn)答：（1）；（2）。例2第（1）問(wèn)主要檢測(cè)學(xué)生是否能注意到通過(guò)令可以將函數(shù)表示為關(guān)于新元的二次函數(shù)在有限域上求值域問(wèn)題，從而可以檢測(cè)學(xué)生對(duì)“換元法求函數(shù)值域”和“正弦函數(shù)的值域”等知識(shí)方法的掌握情況。如：有些學(xué)生將值域錯(cuò)求為，這通常是因?yàn)閷W(xué)生沒(méi)有“換元”的意識(shí)，而是僅僅將的值域簡(jiǎn)單疊加而成；有些學(xué)生將值域錯(cuò)求為，這些學(xué)生基本掌握了“換元法求值域”的想法，但未意識(shí)到正弦函數(shù)的值域?qū)π伦冊(cè)x域的影響。第（2）問(wèn)除兼有第（2）問(wèn)檢測(cè)的內(nèi)容外，還可以檢測(cè)學(xué)生對(duì)正弦函數(shù)單調(diào)性的理解程度。如，有些學(xué)生將值域錯(cuò)解為，未注意當(dāng)時(shí)是非單調(diào)函數(shù)。例2中的兩問(wèn)，作為過(guò)程性檢測(cè)或形成性檢測(cè)題目皆比較適宜。上述兩道例題，分別是在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，“學(xué)習(xí)新知”與“新舊結(jié)合”類檢測(cè)題目的示例，教師們可以根據(jù)我們教學(xué)的重點(diǎn)和學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，選擇、改編、開(kāi)發(fā)出更多有助于我們了解學(xué)生學(xué)習(xí)狀況、幫助我們落實(shí)教學(xué)要求、幫助學(xué)生矯正、深化對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的認(rèn)知的題目?；?dòng)對(duì)話【參與人員】谷丹：北京四中趙菁：北京四中紀(jì)榮強(qiáng)：北京四中【話題】1．如何指導(dǎo)學(xué)生更快更準(zhǔn)地記住三角函數(shù)部分的概念與公式？2．單位圓與三角函數(shù)圖象，哪個(gè)更重要？3．五點(diǎn)法作圖與伸縮變換，哪個(gè)更重要？4．談?wù)労瘮?shù)的周期性。5．如何在教學(xué)過(guò)程中滲透函數(shù)思想？互動(dòng)話題.ppt案例評(píng)析【案例信息】案例名稱：《三角函數(shù)線》授課教師：程國(guó)紅（北京四中）評(píng)析教師：谷丹（北京四中）教材版本：人教版B教材必修4【課堂實(shí)錄】【案例評(píng)析】與以往的數(shù)學(xué)要求相比，新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心理念更為強(qiáng)調(diào)學(xué)生為提供更為開(kāi)闊的思維空間和發(fā)展空間，這就需要我們?cè)诮虒W(xué)中給予學(xué)生適度的思考時(shí)間和表現(xiàn)自己思維內(nèi)容與思維過(guò)程的機(jī)會(huì)，而課程的設(shè)置，往往會(huì)使得教師們感到教學(xué)進(jìn)度比以往“緊”了不少，如何在具體的教學(xué)過(guò)程中克服這一矛盾，是新課程實(shí)施過(guò)程中每個(gè)教師都必須認(rèn)真對(duì)待的課題。程國(guó)紅老師在這節(jié)課上比較好的展現(xiàn)了她對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解決方法與途徑：突出表現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想與方法，從而使得教學(xué)過(guò)程重點(diǎn)突出，簡(jiǎn)約流暢。在教學(xué)過(guò)程中，程國(guó)紅老師有幾個(gè)地方處理得很好：1．探究的途徑突出、鮮明：程老師牢牢把握了利用單位圓將三角函數(shù)“簡(jiǎn)約”為“一個(gè)變量”的想法，進(jìn)而順利實(shí)現(xiàn)用“三角函數(shù)線”這一直觀的圖形工具來(lái)“統(tǒng)一”表達(dá)三角函數(shù)這一主線，其中“最簡(jiǎn)化”、“統(tǒng)一”的要求，在教學(xué)過(guò)程中被反復(fù)強(qiáng)調(diào)著，而這樣的理念或思想，既能體現(xiàn)本節(jié)課數(shù)學(xué)方法的特點(diǎn)，也在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程中占據(jù)著重要的地位，具有普適性。2．探究的過(guò)程有一定的層次性：可以看到，在探究過(guò)程中，“引入單位圓”、“確定正弦函數(shù)線”、“確定正切函數(shù)線”這三個(gè)環(huán)節(jié)中各有各的難點(diǎn)，程老師在處理這些難點(diǎn)時(shí)也各有不同：引入單位圓，學(xué)生比較難以想到解決問(wèn)題的方法，程老師更多的是通過(guò)自己的講解，將引進(jìn)“單位圓”的目的、作用清晰準(zhǔn)確表述出來(lái)；對(duì)正弦函數(shù)線，學(xué)生可以有幾何的直觀感受，但可能很難表述一些諸如“有向線段”、“有向線段的數(shù)量”等等比較數(shù)學(xué)化的概念，程老師就隨時(shí)補(bǔ)充這些概念的說(shuō)法，同時(shí)將學(xué)生的注意力主要集中到關(guān)注“圖形”與“數(shù)量”的對(duì)應(yīng)關(guān)系上來(lái)，自然而然地突出了探究與確定“三角函數(shù)線”的形成過(guò)程與基本方法，在這個(gè)階段，程老師給學(xué)生提供了更為開(kāi)闊一些的空間；到研究“正切函數(shù)線”時(shí)，學(xué)生則自覺(jué)或不自覺(jué)地在用探究“正弦函數(shù)線”的方法，解決新的問(wèn)題，程老師只是在關(guān)鍵之處略加提醒、點(diǎn)撥，而且“點(diǎn)撥”的重點(diǎn)，也僅僅是突出基本思想方法，重申“最簡(jiǎn)”與“統(tǒng)一”的原則而已。3．探究過(guò)程中，對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)比較得當(dāng)、適度：教師在課堂上對(duì)學(xué)生探究過(guò)程評(píng)價(jià)，往往直接影響到學(xué)生參與探究的熱情與質(zhì)量。程國(guó)紅老師比較注意挖掘與肯定學(xué)生在回答問(wèn)題的過(guò)程中比較有價(jià)值的地方，適當(dāng)?shù)貫閷W(xué)生越過(guò)障礙搭橋墊磚，使得課堂氣氛活而不散，熱而不亂，也保證了課堂的師生對(duì)話、交流能順暢地進(jìn)行。在本節(jié)課教學(xué)過(guò)程中，也有一些遺憾。比如，在最開(kāi)始提出能否“用一個(gè)量來(lái)刻畫正弦值”，問(wèn)題本身不夠明確，當(dāng)一位學(xué)生按他的理解，試圖以函數(shù)思想來(lái)解決問(wèn)題（盡管似乎此路不通）時(shí)，程老師可能對(duì)學(xué)生的想法也不甚明白，只得先予以否定。這一師生溝通不夠順暢的片斷，實(shí)際上正是反應(yīng)了我們?cè)谡n堂上經(jīng)常會(huì)遇到的問(wèn)題：如何提高一個(gè)問(wèn)題的“引導(dǎo)性”價(jià)值，盡可能降低“誤導(dǎo)性”或“誤解性”？在與學(xué)生交流的時(shí)候，教師由于對(duì)所教的知識(shí)方法很熟練，很明確，所以往往會(huì)自覺(jué)不自覺(jué)地以是否接近教師所期待的答案來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生回答問(wèn)題的方向或價(jià)值，而那些“正確”與“謬誤”混雜的、比較出乎意料的答案，往往比較容易因我們對(duì)學(xué)生的想法不能明了而受到一定的忽視或否定。因此，這也向我們提出了一個(gè)值得教師們關(guān)注與深入探究的問(wèn)題：在實(shí)施新課標(biāo)課程的過(guò)程中，教師應(yīng)如何不斷提高自己與學(xué)生在課堂上即時(shí)溝通的能力，以進(jìn)一步提高課堂教學(xué)的效益。思考與活動(dòng)1．思考“周期性”這一概念，與單調(diào)性、奇偶性概念的異同，與同校的物理老師交流，周期性在物理學(xué)科中的應(yīng)用與教學(xué)過(guò)程。2．思考或在教學(xué)實(shí)踐中觀察整理，下述問(wèn)題的解題過(guò)程中，學(xué)生比較容易想到的解題方法是哪些？容易出現(xiàn)哪些錯(cuò)誤？如何強(qiáng)化有效的解題策略，矯正思維錯(cuò)誤？已知：則的取值范圍是。參考答案：3．任選教材中一節(jié)，搜集整理十個(gè)學(xué)生的錯(cuò)誤，分析錯(cuò)誤原因，擬定矯正策略，并在教學(xué)中實(shí)施，以考察或各別談話的方式了解矯正策略的作用。參考資料【相關(guān)資源】1.三角函數(shù)線教學(xué)課堂實(shí)錄2.初等函數(shù)（2）教材分析3.以交流電為模型學(xué)習(xí)正弦函數(shù)4.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的教學(xué)探討.pdf5.“任意角的三角函數(shù)”教學(xué)設(shè)計(jì).pdf6.單位圓與三角函數(shù)線在教學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用.pdf7.巧設(shè)問(wèn)題情境_凸現(xiàn)人文數(shù)學(xué)“三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用”的課例與評(píng)析.pdf【參考文獻(xiàn)】1.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2009年1-2(中旬)期：《由一道作業(yè)題的訂正引發(fā)的探索與反思》；2.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2008年6(上半月)期：《數(shù)學(xué)講評(píng)課應(yīng)如何設(shè)計(jì)更科學(xué)合理》；3./p-21644564.html#documentinfo課題：三角函數(shù)線案例撰寫：程國(guó)紅北京第四中學(xué)評(píng)析：谷丹北京第四中學(xué)教材版本：人教版B教材必修4【教學(xué)設(shè)計(jì)】本節(jié)課在整個(gè)三角函數(shù)一章中，起著一個(gè)貫穿始終的作用。課標(biāo)明確提出利用單位圓這種幾何直觀去認(rèn)識(shí)三角函數(shù)。對(duì)四中這樣一個(gè)較為理想的學(xué)生群體來(lái)說(shuō)，若能通過(guò)這節(jié)課充分挖掘其價(jià)值，對(duì)后續(xù)內(nèi)容如三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)將會(huì)產(chǎn)生較大的影響。一是研究問(wèn)題的思路和工具有了很好的拓展；二是體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在整章的貫穿；三是能更好地提高課堂效益。在本節(jié)課的設(shè)計(jì)過(guò)程中，力圖遵循并突出新課標(biāo)的理念，具體來(lái)說(shuō)，在以下幾個(gè)方面作了一些考慮：（1）從任意角三角函數(shù)的概念引入，進(jìn)一步尋找表示三角函數(shù)線的最簡(jiǎn)潔方式，在尋找中讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過(guò)程，突出數(shù)學(xué)的最簡(jiǎn)化思想。（2）考慮到學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，對(duì)三角函數(shù)線概念的形成，不要求一步到位。由，通過(guò)令，得，由代數(shù)表示再過(guò)渡到幾何表示——有向線段，再規(guī)定其數(shù)量一步步完善。（3）通過(guò)展示三角函數(shù)線隨角變化的規(guī)律，從幾何直觀的角度為后繼的三角函數(shù)圖象和性質(zhì)做鋪墊，力圖體現(xiàn)整章知識(shí)的一體化；也希望在課時(shí)緊張的情況下，提高課堂效益。（4）充分利用從特殊到一般、由猜想到推證、類比等認(rèn)知特點(diǎn)，給學(xué)生設(shè)計(jì)有梯度的問(wèn)題，使學(xué)生能夠由正弦線的分析去探究余弦線和正切線；注意同時(shí)在不同階段探索中對(duì)學(xué)生要求的層次性不同。（5）在教學(xué)手段上，除板書之外，輔助以幾何畫板，能很好地展現(xiàn)三角函數(shù)線的動(dòng)態(tài)變化。在教學(xué)方法上，采用啟發(fā)講授與自主探究相結(jié)合的方式。【教學(xué)實(shí)錄】（一）復(fù)習(xí)（老師帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了上次課所學(xué)的任意角三角函數(shù)的定義，作為這節(jié)課的出發(fā)點(diǎn)，從而引出這節(jié)課要解決的問(wèn)題。畫圖1-1）師：我們知道通過(guò)任意角三角函數(shù)的定義，就可以判斷不同象限角的三角函數(shù)值的符號(hào)，都是什么？怎么把這個(gè)結(jié)論記下來(lái)呢？六種三角函數(shù)值，四個(gè)象限，你們看，非常公平，第一象限全為正，第二象限兩個(gè)為正，第三、第四象限都是兩個(gè)為正。再看，第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限正割為正。剩下的根據(jù)倒數(shù)關(guān)系，是不是就可以判斷了？數(shù)學(xué)當(dāng)中到處存在著這種均衡的美，是吧？（部分學(xué)生臉上有驚嘆的表情，顯然沒(méi)深入考慮這里的規(guī)律性。挖掘數(shù)學(xué)中的美，不僅是數(shù)學(xué)教育的一部分，也有很好的實(shí)用性。）（二）探究新問(wèn)題1.單位圓師：一些特殊的軸上角的三角函數(shù)值，又分別是什么？有沒(méi)有一種辦法，能夠讓我們把這些東西非常直觀地表示出來(lái)呢？一眼就能看出，它是正是負(fù)，甚至能看出是多少。我們現(xiàn)在用點(diǎn)的縱坐標(biāo)來(lái)除以——表示終邊上我們?nèi)〉狞c(diǎn)到原點(diǎn)的距離——的比值來(lái)刻劃正弦，能不能只用一個(gè)量就能來(lái)刻劃正弦呢？生B：用自變量來(lái)代替這兩個(gè)值，代表和。師：能代表和嗎？生B：因?yàn)橐粋€(gè)角的終邊相當(dāng)于一個(gè)函數(shù)圖象,肯定有一個(gè)函數(shù)解析式滿足這個(gè)圖象。師：哪個(gè)解析式？生B：可以用來(lái)代替,就是角的終邊所在的直線。師：用角的終邊所在的直線，這么一個(gè)圖形去刻劃正弦值是嗎？生B：我覺(jué)得是，我是這么想的。（當(dāng)時(shí)我對(duì)該生的回答有理解上的偏差：我認(rèn)為他是要用射線的不同位置來(lái)表示不同角的正弦，因此沒(méi)有讓他繼續(xù)回答。其實(shí)他的想法是用射線方程和來(lái)表示正弦，他能想到利用函數(shù)思想來(lái)轉(zhuǎn)化很值得肯定，但由于是兩個(gè)變量，顯然不能滿足要求。如果我能當(dāng)場(chǎng)讓他暴露自己思維中不夠準(zhǔn)確的地方，就更好了。）師：好，請(qǐng)坐。一旦一個(gè)角給定了，這個(gè)角的終邊是不是就確定了，角的正弦值也就確定了？拿終邊這么一個(gè)圖形，去刻劃正弦行不行？行。那余弦怎么刻劃呢？還拿射線這個(gè)圖形嗎？我們找的這個(gè)量不僅要能刻劃出角的正弦，同時(shí)還應(yīng)該能夠區(qū)別于余弦和正切。因?yàn)橐粋€(gè)角的終邊位置是確定的，一個(gè)角的正余弦、正余切通常是不相等的，對(duì)嗎？大家再考慮考慮。（等待了約有半分鐘，學(xué)生在交頭接耳，莫衷一是，看來(lái)這個(gè)問(wèn)題還是有難度，我想可能是“一個(gè)量”的說(shuō)法他們并不理解。這里提出的問(wèn)題應(yīng)該指向性更明確一些，如“能否用一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)來(lái)刻劃”。）師：大家可能覺(jué)得這個(gè)問(wèn)題比較困難。我們現(xiàn)在是拿兩個(gè)量的比值去刻劃正弦值，那我們能不能把兩個(gè)量?jī)?yōu)化為一個(gè)量呢？如果分母為1的話，會(huì)有什么結(jié)果？既然點(diǎn)是在終邊上任取，我們完全可以讓這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是1，在這種情況下，那角的正弦值是不是就等于？那么，我們就可以拿這個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)去刻劃正弦，對(duì)嗎？那我們可以得出一個(gè)什么結(jié)論？生：角的正弦可以拿終邊上到原點(diǎn)距離為1的那個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)來(lái)表示。（由于學(xué)生對(duì)正弦線完全未知，這時(shí)的探究起點(diǎn)設(shè)計(jì)要放低，一定要引導(dǎo)到位。必要的情況下，需要推學(xué)生一把。學(xué)生在這里的回答最開(kāi)始有點(diǎn)斷斷續(xù)續(xù)，不夠準(zhǔn)確和完整，在教師的一步步設(shè)問(wèn)下，越來(lái)越清晰和肯定。）師：那如果是不同的角呢？我們都讓它到原點(diǎn)的距離為1，行嗎？為了方便起見(jiàn)，咱們干脆畫一個(gè)圓，什么樣的圓？（引導(dǎo)學(xué)生的認(rèn)識(shí)由特殊過(guò)渡到一般。）生：半徑為1的圓。師：好。（板書單位圓定義，畫圖1-2）師：畫一個(gè)圓心在原點(diǎn)，半徑為1的圓。那么我們?nèi)我饨o出一個(gè)角，角的終邊就和這個(gè)單位圓有一個(gè)交點(diǎn)，那么這個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，必然是1。就是我們定義當(dāng)中的r，對(duì)吧？它的縱坐標(biāo)y，就能表示這個(gè)角的正弦了。師：余弦呢？生：橫坐標(biāo)。2.正弦函數(shù)線師：非常好，我們可以拿交點(diǎn)的橫坐標(biāo)去表示一個(gè)角的余弦了。按照數(shù)學(xué)的最簡(jiǎn)化思想，我們就可以分別拿一個(gè)量去表示一個(gè)角的正弦和余弦。那接下來(lái)我們?cè)倏纯?，現(xiàn)在圖中，畫了一個(gè)第二象限角，縱坐標(biāo)在圖當(dāng)中怎么去體現(xiàn)呢？是指這個(gè)線段的長(zhǎng)嗎？（這里之所以直接過(guò)渡到了正弦線，而沒(méi)有延續(xù)過(guò)去的用坐標(biāo)來(lái)表示正切，是希望將正弦的研究貫穿到底，再留給學(xué)生探究的空間類比正弦考慮余弦和正切。這樣課堂的容量能大一些，效率能高一些。）生：不是。師：為什么不是？這個(gè)長(zhǎng)度是正的，是吧？但是我們這個(gè)縱坐標(biāo)，在第二象限也是正的，沒(méi)問(wèn)題。但是角要換到第三象限呢？行嗎？如果給一個(gè)第三象限角，終邊上有一點(diǎn)。我們看看如果照樣做一條垂線的話，這個(gè)長(zhǎng)度能表示縱坐標(biāo)嗎？生：不行，這個(gè)時(shí)候縱坐標(biāo)是負(fù)的。（從坐標(biāo)過(guò)渡到有向線段，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)。這時(shí)教師提出的問(wèn)題要引發(fā)學(xué)生認(rèn)知上的沖突，使學(xué)生通過(guò)觀察和探索，體驗(yàn)知識(shí)的形成過(guò)程。）師：就是說(shuō)，我們發(fā)現(xiàn)了這條線段和縱坐標(biāo)是有密切關(guān)系的。至少二者的絕對(duì)值，是應(yīng)該相同的，但是符號(hào)會(huì)有問(wèn)題。如果我們能給出這條線段的正負(fù)來(lái)就好了，它就能刻劃正弦?，F(xiàn)在，我們需要給出有向線段的概念。（板書：規(guī)定了方向的線段，我們叫有向線段。）師：我們?cè)賮?lái)看看這個(gè)第二象限角的終邊，怎么去規(guī)定線段的方向是比較合理的？規(guī)定的原則是什么？我們希望無(wú)論角在第幾象限，規(guī)定的方向，應(yīng)該有正方向，還有負(fù)方向。這樣才能表現(xiàn)出不同象限角正弦的正負(fù)。這是我們的第一個(gè)原則；第二個(gè)原則就是它必須要和正弦的符號(hào)一致，只有這樣，才能很好地刻劃正弦。生：。（讓學(xué)生探索思考的問(wèn)題應(yīng)有充分的鋪墊，應(yīng)屬于“跳一跳，夠得著”的范圍。同時(shí)也讓學(xué)生逐步體會(huì)，數(shù)學(xué)上的概念、結(jié)論都是怎么發(fā)現(xiàn)的。）（板書：有向線段的數(shù)量）師：一個(gè)任意角的正弦，不僅可以表示成它的終邊和單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，還可以表示成一個(gè)對(duì)應(yīng)的有向線段的數(shù)量。那也就是說(shuō)，我們就可以把這條有向線段，作為正弦的幾何表示，或者說(shuō)圖形表示。我們經(jīng)常說(shuō)數(shù)學(xué)這種對(duì)象，它有兩方面的特征，一個(gè)是代數(shù)特征，一個(gè)是幾何特征，我們也在不斷地體會(huì)這種數(shù)形結(jié)合的思想。有了這種圖形特征，我們討論一些三角函數(shù)值的變化問(wèn)題的時(shí)候，就更直觀了。這也解決了我們開(kāi)始提出來(lái)的問(wèn)題：對(duì)一些特殊角的三角函數(shù)值怎么去記，怎么樣讓我們一眼能看出來(lái)它的值。（不斷強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想方法，同時(shí)前后呼應(yīng)，為下一步教學(xué)安排做準(zhǔn)備。）師：在平面直角坐標(biāo)系里，我們把正弦線給標(biāo)示出來(lái)了。在角變化的過(guò)程中，正弦線如何變化？正弦線的變化當(dāng)然意味著正弦值的變化。（教師通過(guò)幾何畫板展示角在的范圍內(nèi)，正弦值的變化，加深學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的直觀感受。多媒體手段的應(yīng)用有利于體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法、有利于突破教學(xué)難點(diǎn)，動(dòng)態(tài)地顯示正弦的變化規(guī)律。）師：對(duì)任意的一個(gè)角來(lái)說(shuō)，它的正弦值是不是惟一確定的？那么這就建立了一個(gè)映射關(guān)系，當(dāng)然也是函數(shù)關(guān)系。我們可以把角看成是一個(gè)自變量，那它的正弦值就是角對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。那我們?cè)谟懻撨@樣一個(gè)三角函數(shù)的時(shí)候，按照我們剛剛學(xué)過(guò)的必修一模塊，研究一般函數(shù)的路線，是什么？（關(guān)注模塊與模塊的相互聯(lián)系，尤其是一些研究問(wèn)題的方法是普遍適用的。）生：定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性。師：好。那通過(guò)我們剛才的演示，的取值范圍用弧度表示的話，可以看成是R吧。值域呢？生：-1到1。師：-1到1，必須是閉區(qū)間。單調(diào)性，剛才有體會(huì)嗎？生：從零到，角在變大，正弦值變大，函數(shù)遞增。那么從到，遞減。從到，遞減，從到，遞增。師：那角從到呢？繼續(xù)變化下去呢？生：和剛才一樣。師：終邊相同，所以角的正弦值變化規(guī)律和剛才一樣，是吧？生：對(duì)。師：隨著角的變化，正弦值重復(fù)性地出現(xiàn)，我們把這種性質(zhì)叫做周期性，我們以后還會(huì)深入考慮。奇偶性呢？首先定義域是不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱？生：是。師；其次我們考慮和的關(guān)系。你可以先拿個(gè)特殊角試一試，然后猜測(cè)一下。比如說(shuō)和有什么關(guān)系？看正弦線，它們互為相反數(shù)。那你猜測(cè)這個(gè)函數(shù)會(huì)不會(huì)有奇偶性？由特殊到一般，它可能是一個(gè)什么函數(shù)？生：可能是一個(gè)奇函數(shù)。（鼓勵(lì)大膽猜想，嚴(yán)密求證）師：好，我們把這個(gè)作為一個(gè)思考題，對(duì)于任意角，是不是都滿足呢？我們今天的第二個(gè)思考題，同學(xué)們?nèi)タ疾橛媚臈l有向線段去做余弦線比較合適。注意我們剛才強(qiáng)調(diào)的兩個(gè)原則。（類比正弦線，余弦線應(yīng)該不難。）（由正弦線到余弦線，教師的引導(dǎo)作用逐漸淡出，這正是教學(xué)設(shè)計(jì)目標(biāo)之一。）3.正切函數(shù)線師：正切能不能也用一個(gè)量去表示呢？生：令X等于1。師：取哪個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)等于1？圖怎么畫？生：過(guò)點(diǎn)（1，0）做切線。師：怎么規(guī)定正切線？我們先看一個(gè)第一象限角，如果讓，那這個(gè)時(shí)候角的正切值就是橫坐標(biāo)為1的那個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，而且還要在角的終邊上。那應(yīng)該找哪個(gè)點(diǎn)？生：切線和角終邊的交點(diǎn)。（大概是鋪墊得較為充分，通過(guò)正弦線的探究，學(xué)生對(duì)正切線的尋找比我預(yù)想的要輕松得多。不由感嘆學(xué)生舉一反三的能力是很強(qiáng)的。）師：那要是第二象限角呢？拿哪個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)去表示正切值呢？生D：可不可以做過(guò)點(diǎn)（-1，0）的切線。（學(xué)生在這里暴露出的想法正是教師所希望看到的。）師：好，那么它就會(huì)和終邊有一個(gè)交點(diǎn)了。這種想法很不錯(cuò)，然后我們來(lái)看看，橫坐標(biāo)是1嗎？不是。那現(xiàn)在就不能等于了，而是。這樣規(guī)定行嗎？生：行。師：如果我們要這么規(guī)定的話，不同象限的角就有不同的結(jié)論了，但是我們希望結(jié)論是最簡(jiǎn)化的。能不能也拿一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)去表示？而不是縱坐標(biāo)的相反數(shù)，這樣不就統(tǒng)一起來(lái)了嗎？（要敢于讓學(xué)生走彎路。不輕易否定學(xué)生的想法，肯定其中的合理性，但指出進(jìn)一步完善的方向。）生D：做終邊的反向延長(zhǎng)線。因?yàn)檫@兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以反向延長(zhǎng)線與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是。師：非常好。他調(diào)整了一下思路，找了一個(gè)橋梁，把它轉(zhuǎn)化成在不同象限角的情況，能夠有一個(gè)共同的結(jié)論。驗(yàn)證一下其它象限的角是否也符合。和剛才一樣，除了這種用比值、坐標(biāo)去刻劃正切之外，能不能找一條正切線？生：。師：和剛才一樣，我們把正切作為一個(gè)函數(shù)來(lái)考查的話，就可以通過(guò)正切線——這個(gè)非常直觀的載體來(lái)實(shí)現(xiàn)了。我們來(lái)看正切線的變化。（展示正切線的課件。）師：那我們今天的第三個(gè)思考題就是研究一下正切線的變化規(guī)律，考察正切函數(shù)的定義域、值域與單調(diào)性，奇偶性，周期性。（三）小結(jié)師：今天我們從“數(shù)”和“形”兩個(gè)不同的角度研究了三角函數(shù)的表示，還用它們作為工具探討了三角函數(shù)的基本性質(zhì)。三角函數(shù)線是三角函數(shù)這一章中非常精彩的內(nèi)容，希望大家也能有精彩的收獲。請(qǐng)大家下課后認(rèn)真考慮三個(gè)思考題?！咀晕曳此肌繉?duì)“舊”教材內(nèi)容（與大綱教材基本一致的內(nèi)容）的處理，如何從重難點(diǎn)把握、課堂設(shè)計(jì)、教法等方面體現(xiàn)新課標(biāo)的要求，本節(jié)課做了一些嘗試。對(duì)學(xué)生而言，由比值到再到正弦線的幾步跨越都是難點(diǎn)，因此本節(jié)課在此處盡可能清晰再現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，使學(xué)生明確原則的把握以及概念的形成。通過(guò)充分的鋪墊，學(xué)生對(duì)余弦線的把握應(yīng)該是水到渠成了，從課后效果來(lái)看，的確如此。正切線的探索亦是一個(gè)挑戰(zhàn)。本以為學(xué)生在這里思維會(huì)受阻，意外的是學(xué)生在遇到障礙時(shí)，能靈活尋找橋梁，調(diào)整方向，給了我一個(gè)驚喜?？磥?lái)，只要前面準(zhǔn)備工作做得充分，學(xué)生的思維就能調(diào)動(dòng)起來(lái)。信息技術(shù)雖不能代替概念的形成和數(shù)學(xué)結(jié)論的推導(dǎo)，但恰當(dāng)?shù)乩盟妮o助作用，能起到事半功倍的效果。幾點(diǎn)不足：（1）課堂容量稍大。由于北京市必修教材的使用順序是14523，因此有向線段的數(shù)量概念需要另外介紹，在課堂上短時(shí)間內(nèi)學(xué)生掌握這個(gè)概念并利用這個(gè)概念去表示三角函數(shù)顯得有點(diǎn)困難。如果能在上節(jié)課就將其處理掉，這節(jié)課只重點(diǎn)討論用有向線段數(shù)量來(lái)表示三角函數(shù)就會(huì)顯得更從容，給學(xué)生討論和思考的時(shí)間和空間也能更大一些。（2）對(duì)課上學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題估計(jì)不足。當(dāng)教師提出問(wèn)題：前面我們是用兩個(gè)量的比值如來(lái)表示角的正弦，可否簡(jiǎn)化為一個(gè)量來(lái)表示？從現(xiàn)場(chǎng)學(xué)生反應(yīng)來(lái)看，部分學(xué)生不理解什么叫一個(gè)量。教師提出的問(wèn)題如果能更具體化，更有指向性，也許學(xué)生的思維會(huì)更清晰，反應(yīng)也會(huì)更活躍。教師在課堂上的應(yīng)變能力還需加強(qiáng)。（3）在給出正弦函數(shù)時(shí)，沒(méi)有強(qiáng)調(diào)這里的與前面的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的不同。課后有部分聽(tīng)課老師指出了這點(diǎn)。不過(guò)從課堂反應(yīng)來(lái)看，學(xué)生還是比較清楚的?！緦＜以u(píng)析】與以往的數(shù)學(xué)要求相比，新課程標(biāo)準(zhǔn)的核心理念更為強(qiáng)調(diào)學(xué)生為提供更為開(kāi)闊的思維空間和發(fā)展空間，這就需要我們?cè)诮虒W(xué)中給予學(xué)生適度的思考時(shí)間和表現(xiàn)自己思維內(nèi)容與思維過(guò)程的機(jī)會(huì)，而課程的設(shè)置，往往會(huì)使得教師們感到教學(xué)進(jìn)度比以往“緊”了不少，如何在具體的教學(xué)過(guò)程中克服這一矛盾，是新課程實(shí)施過(guò)程中每個(gè)教師都必須認(rèn)真對(duì)待的課題。程國(guó)紅老師在這節(jié)課上比較好的展現(xiàn)了她對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解決方法與途徑：突出表現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本思想與方法，從而使得教學(xué)過(guò)程重點(diǎn)突出，簡(jiǎn)約流暢。在教學(xué)過(guò)程中，程國(guó)紅老師有幾個(gè)地方處理得很好：1.探究的途徑突出、鮮明：程老師牢牢把握了利用單位圓將三角函數(shù)“簡(jiǎn)約”為“一個(gè)變量”的想法，進(jìn)而順利實(shí)現(xiàn)用“三角函數(shù)線”這一直觀的圖形工具來(lái)“統(tǒng)一”表達(dá)三角函數(shù)這一主線，其中“最簡(jiǎn)化”、“統(tǒng)一”的要求，在教學(xué)過(guò)程中被反復(fù)強(qiáng)調(diào)著，而這樣的理念或思想，既能體現(xiàn)本節(jié)課數(shù)學(xué)方法的特點(diǎn)，也在數(shù)學(xué)教學(xué)的全過(guò)程中占據(jù)著重要的地位，具有普適性。2.探究的過(guò)程有一定的層次性：可以看到，在探究過(guò)程中，“引入單位圓”、“確定正弦函數(shù)線”、“確定正切函數(shù)線”這三個(gè)環(huán)節(jié)中各有各的難點(diǎn)，程老師在處理這些難點(diǎn)時(shí)也各有不同：引入單位圓，學(xué)生比較難以想到解決問(wèn)題的方法，程老師更多的是通過(guò)自己的講解，將引進(jìn)“單位圓”的目的、作用清晰準(zhǔn)確表述出來(lái)；對(duì)正弦函數(shù)線，學(xué)生可以有幾何的直觀感受，但可能很難表述一些諸如“有向線段”、“有向線段的數(shù)量”等等比較數(shù)學(xué)化的概念，程老師就隨時(shí)補(bǔ)充這些概念的說(shuō)法，同時(shí)將學(xué)生的注意力主要集中到關(guān)注“圖形”與“數(shù)量”的對(duì)應(yīng)關(guān)系上來(lái)，自然而然地突出了探究與確定“三角函數(shù)線”的形成過(guò)程與基本方法，在這個(gè)階段，程老師給學(xué)生提供了更為開(kāi)闊一些的空間；到研究“正切函數(shù)線”時(shí)，學(xué)生則自覺(jué)或不自覺(jué)地在用探究“正弦函數(shù)線”的方法，解決新的問(wèn)題，程老師只是在關(guān)鍵之處略加提醒、點(diǎn)撥，而且“點(diǎn)撥”的重點(diǎn)，也僅僅是突出基本思想方法，重申“最簡(jiǎn)”與“統(tǒng)一”的原則而已。3.探究過(guò)程中，對(duì)學(xué)生的評(píng)價(jià)比較得當(dāng)、適度：教師在課堂上對(duì)學(xué)生探究過(guò)程評(píng)價(jià)，往往直接影響到學(xué)生參與探究的熱情與質(zhì)量。程國(guó)紅老師比較注意挖掘與肯定學(xué)生在回答問(wèn)題的過(guò)程中比較有價(jià)值的地方，適當(dāng)?shù)貫閷W(xué)生越過(guò)障礙搭橋墊磚，使得課堂氣氛活而不散，熱而不亂，也保證了課堂的師生對(duì)話、交流能順暢地進(jìn)行。在本節(jié)課教學(xué)過(guò)程中，也有一些遺憾。比如，在最開(kāi)始提出能否“用一個(gè)量來(lái)刻畫正弦值”，問(wèn)題本身不夠明確，當(dāng)一位學(xué)生按他的理解，試圖以函數(shù)思想來(lái)解決問(wèn)題（盡管似乎此路不通）時(shí)，程老師可能對(duì)學(xué)生的想法也不甚明白，只得先予以否定。這一師生溝通不夠順暢的片斷，實(shí)際上正是反應(yīng)了我們?cè)谡n堂上經(jīng)常會(huì)遇到的問(wèn)題：如何提高一個(gè)問(wèn)題的“引導(dǎo)性”價(jià)值，盡可能降低“誤導(dǎo)性”或“誤解性”？在與學(xué)生交流的時(shí)候，教師由于對(duì)所教的知識(shí)方法很熟練，很明確，所以往往會(huì)自覺(jué)不自覺(jué)地以是否接近教師所期待的答案來(lái)評(píng)價(jià)學(xué)生回答問(wèn)題的方向或價(jià)值，而那些“正確”與“謬誤”混雜的、比較出乎意料的答案，往往比較容易因我們對(duì)學(xué)生的想法不能明了而受到一定的忽視或否定。因此，這也向我們提出了一個(gè)值得教師們關(guān)注與深入探究的問(wèn)題：在實(shí)施新課標(biāo)課程的過(guò)程中，教師應(yīng)如何不斷提高自己與學(xué)生在課堂上即時(shí)溝通的能力，以進(jìn)一步提高課堂教學(xué)的效益。必修4第一章基本初等函數(shù)（2）教材分析北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)李桂春一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)二、本章教學(xué)內(nèi)容在模塊體系中的地位和作用三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一,它是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。它的認(rèn)知基礎(chǔ)主要是幾何中圓、相似形的有關(guān)知識(shí)，在數(shù)學(xué)1中建立的函數(shù)概念以及指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的研究方法。主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容是三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，以及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用；研究方法主要是代數(shù)變形和圖象分析。因此，三角函數(shù)的研究已經(jīng)初步把幾何和代數(shù)聯(lián)系起來(lái)了。本章所介紹的知識(shí)，既是解決生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具，又是學(xué)習(xí)中學(xué)后繼內(nèi)容和高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)模型之一，是研究度量幾何的基礎(chǔ)，又是研究自然界周期變化規(guī)律最強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具。三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，與其它學(xué)科（特別是物理學(xué)、天文學(xué)）聯(lián)系緊密。三、本章教學(xué)內(nèi)容總體教學(xué)目標(biāo)，新舊教材差異內(nèi)容《標(biāo)準(zhǔn)》目標(biāo)表述《大綱》目標(biāo)表述區(qū)別任意角和弧度制了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化。理解任意角的概念、弧度的意義，能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算。課標(biāo)明確提出了任意角的概念；由理解變?yōu)榱私?，要求略有下降三角函?shù)①借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。②借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（的正弦、余弦、正切），能畫出，的圖象，了解三角函數(shù)的周期性。③借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在，正切函數(shù)在上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖象與x軸交點(diǎn)等）。④理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，。⑤結(jié)合具體實(shí)例，了解y=Asin（ωx+φ）的實(shí)際意義；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出y=Asin（ωx+φ）的圖象，觀察參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響。⑥會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義，并會(huì)利用單位圓中的三角函數(shù)線表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式。會(huì)用單位圓中的三角函數(shù)線畫出正弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象，并在此基礎(chǔ)上由誘導(dǎo)公式畫出余弦函數(shù)的圖象；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義；了解奇偶函數(shù)的定義；并通過(guò)它們的圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì)以及簡(jiǎn)化這些函數(shù)圖象的繪制過(guò)程；會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖，理解A、ω、φ的物理意義。課標(biāo)特別重視數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和能力的形成，特別重視讓學(xué)生參與三角函數(shù)概念、公式、圖象和性質(zhì)等知識(shí)的產(chǎn)生和推導(dǎo)的全過(guò)程，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的樂(lè)趣，學(xué)會(huì)觀察、探索、分析的方法。對(duì)任意角的三角函數(shù)定義，課標(biāo)刪去大綱中余切、正割、余割的定義；對(duì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，課標(biāo)把大綱中的三個(gè)減少為兩個(gè)，減少了內(nèi)容；同時(shí)，把大綱中三角函數(shù)的和、差、倍、半角公式從本章抽出來(lái)，單獨(dú)列為一章。課標(biāo)刪除了大綱中“已知三角函數(shù)值求角”、“反三角函數(shù)”的內(nèi)容，降低了“給角求值”、“證明三角恒等式”的難度要求，新增了“三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用”，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)應(yīng)用功能的教學(xué)要求。1.課標(biāo)要求但大綱不要求1）課標(biāo)特別強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，而大綱在這方面不作要求2）課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用和現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具的應(yīng)用，而大綱在這方面基本不作要求3）課標(biāo)強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)去分析、解決生活中的實(shí)際問(wèn)題的方法，對(duì)一些較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題也不回避，為此還專門新增了“三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用”一節(jié)；而大綱對(duì)此要求較低，原教材對(duì)較復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模解法則干脆不作要求。2.大綱要求但課標(biāo)不要求1）大綱中的三角函數(shù)包括六種三角函數(shù)，原教材中專門給出了余切、正割、余割函數(shù)的定義，還給出了與它們有關(guān)的同角關(guān)系式；而課標(biāo)中三角函數(shù)只有三種三角函數(shù)，新教材中不僅刪去了余切、正割、余割函數(shù)的定義，還刪去了與之有關(guān)的公式和計(jì)算。2）大綱對(duì)化簡(jiǎn)三角函數(shù)和證明三角恒等式及給值求值、解三角不等式等三角運(yùn)算的技能要求都較高，而課標(biāo)只要求學(xué)生獲得必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，對(duì)三角運(yùn)算的解題技巧和難度上要求都較低。3）大綱中明確要求學(xué)生掌握已知三角函數(shù)值求角這種最簡(jiǎn)單的三角方程的技能，并要求學(xué)生理解相關(guān)的反三角函數(shù)的知識(shí)，課標(biāo)對(duì)這些內(nèi)容不要求。教材中最后講解了已知三角函數(shù)值求角，給出一般記號(hào)arcsinx,arccosx,arctanx，但不出現(xiàn)反三角函數(shù)的名稱。四、本章學(xué)時(shí)建議本章教學(xué)時(shí)間約為16課時(shí)，具體分配如下（僅供參考）：1.1任意角的概念與弧度制1.1.1角的概念的推廣1課時(shí)1.1.2弧度制和弧度制與角度制的換算1課時(shí)1.2任意角的三角函數(shù)1.2.1三角函數(shù)的定義2課時(shí)1.2.2單位圓與三角函數(shù)線1課時(shí)1.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式1課時(shí)1.2.4誘導(dǎo)公式3課時(shí)1.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.3.1正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)3課時(shí)1.3.2余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)2課時(shí)1.3.3已知三角函數(shù)值求角1課時(shí)本章小結(jié)1課時(shí)五、本章學(xué)法指導(dǎo)1.1任意角的概念和弧度制1．要注意在學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，通過(guò)較豐富的實(shí)例展示角擴(kuò)充的必要性。2．學(xué)習(xí)角的概念,首先應(yīng)抓住用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)理解概念這個(gè)根本,其次應(yīng)理解各種角的現(xiàn)實(shí)意義,為數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。3．要揭示引入實(shí)數(shù)度量角的必要性，首先要明白弧度制與角度制一樣都是表示角的一種單位制，但進(jìn)位規(guī)則不同，前者是十進(jìn)制，后者是六十進(jìn)制，我們更多使用弧度制表示一個(gè)角的大?。挥辛嘶《戎坪螅￠L(zhǎng)的公式和扇形的面積公式又出現(xiàn)了新的形式，弧長(zhǎng)公式和扇形面積計(jì)算公式只需要會(huì)做簡(jiǎn)單應(yīng)用。4．本節(jié)內(nèi)容涉及概念較多，在教學(xué)方法上建議：先由教師提出一些問(wèn)題,讓學(xué)生自學(xué)。在此基礎(chǔ)上，可以通過(guò)講授再現(xiàn)概念，通過(guò)練習(xí)理解概念，完成教學(xué)。1.2任意角的三角函數(shù)1．在直角坐標(biāo)系中,通過(guò)計(jì)算機(jī)輔助，突出三對(duì)比值與終邊上點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，與角的終邊有關(guān)．2．引入單位圓,借助幾何支持，用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)．△邊之比→坐標(biāo)之比3．在進(jìn)行本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，應(yīng)充分做好初、高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的銜接工作。1.3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．函數(shù)的周期性可以從生活中的周期現(xiàn)象談起，如“離離原上草，一歲一枯榮，”如章頭圖的觀纜車上任意一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一周又回到原來(lái)的位置等等，同時(shí)，運(yùn)用具體的實(shí)例展示三角函數(shù)具有的特征，使學(xué)生理解周期性是三角函數(shù)的重要性質(zhì)。2．教學(xué)中提倡用計(jì)算機(jī)輔助研究函數(shù)y=Asin（ωx+j）圖象，給學(xué)生研究參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象變化產(chǎn)生的影響提供機(jī)會(huì)。六、幾點(diǎn)教學(xué)建議1．充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景。2．利用相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生類比學(xué)習(xí)，加強(qiáng)教學(xué)的“思想性”3．充分利用幾何直觀，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想方法的運(yùn)用4．提醒學(xué)生重視學(xué)科之間的聯(lián)系與綜合5．在教學(xué)中，應(yīng)適當(dāng)使用信息技術(shù)手段探索和解決問(wèn)題6．把握教材要求，不搞復(fù)雜的、技巧性強(qiáng)的三角變換訓(xùn)練以交流電為模型學(xué)習(xí)正弦函數(shù)北京四中呂寶珠年月的更替，晝夜的輪回，月亮的圓缺，太陽(yáng)的起落，乃至生命的“迭”代、事物的興衰、物價(jià)的消漲、朝代的更遞，真是花開(kāi)又花落，雁去雁又回，讓我們見(jiàn)慣不驚的周期世界也真使人驚奇。三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型。而正弦式交變電流是學(xué)習(xí)周期函數(shù)的現(xiàn)實(shí)模型，可以為正弦函數(shù)的學(xué)習(xí)提供思維支撐。交流電的產(chǎn)生，實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)是以發(fā)電機(jī)模型中閉合線框在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中繞垂直于磁感線的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，演示電流表的指針隨著線圈的轉(zhuǎn)動(dòng)而擺動(dòng)，線圈每轉(zhuǎn)動(dòng)一周指針左右擺動(dòng)一次．表明電流強(qiáng)度的大小和方向都做周期性的變化，這種電流叫交變流電?，F(xiàn)在我們分析一個(gè)周期內(nèi)矩形線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的四個(gè)過(guò)程．分析：線圈、始終在平行磁感線的平面轉(zhuǎn)動(dòng)，因而不產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。（1）線圈平面垂直于磁感線（甲圖），、邊此時(shí)速度方向與磁感線平行，線圈中沒(méi)有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，沒(méi)有感應(yīng)電流．這時(shí)線圈平面所處的位置叫中性面．中性面的特點(diǎn)：線圈平面與磁感線垂直，磁通量最大，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最小為零，感應(yīng)電流為零．（2）當(dāng)線圈平面逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)（乙圖），即線圈平面與磁感線平行時(shí)，、邊的線速度方向都跟磁感線垂直，即兩邊都垂直切割磁感線，這時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)最大，線圈中的感應(yīng)電流也最大．（3）再轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)（丙圖），線圈又處于中性面位置，線圈中沒(méi)有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．（4）當(dāng)線圈再轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)，處于圖（?。┪恢?，、邊的瞬時(shí)速度方向，跟線圈經(jīng)過(guò)圖（乙）位置時(shí)的速度方向相反，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向也跟在（圖乙）位置相反．（5）再轉(zhuǎn)過(guò)線圈處于起始位置（戊圖），與（甲）圖位置相同，線圈中沒(méi)有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)．矩形線圈旋轉(zhuǎn)時(shí)，在磁場(chǎng)中作周期性切割磁感線運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生交變電流。每經(jīng)過(guò)一次中性面，感應(yīng)電流的方向就改變一次。線圈每轉(zhuǎn)動(dòng)一周，感應(yīng)電流方向改變兩次。下面我們依托交流電這一物理模型，假定讀者具備初中在直角三角形中定義銳角三角函數(shù)的知識(shí)，來(lái)談?wù)劯咧腥呛瘮?shù)，特別是正弦函數(shù)的學(xué)習(xí)。一、怎樣將銳角三角函數(shù)推廣到任意角？根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可推知：導(dǎo)體切割磁力線時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，跟磁感應(yīng)強(qiáng)度，導(dǎo)線長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)速度以及運(yùn)動(dòng)方向和磁感線方向的夾角有關(guān)。在前面的發(fā)電機(jī)模型中，磁感應(yīng)強(qiáng)度，導(dǎo)線長(zhǎng)度均為定值?，F(xiàn)在假定矩形線圈繞中軸逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，那么線圈轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度為也為定值。于是影響感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小的因素只有導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)方向和磁力線方向的夾角。根據(jù)前面對(duì)一個(gè)周期內(nèi)矩形線圈在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的四個(gè)過(guò)程的分析，我們知道交變電流是時(shí)間的函數(shù)。我們規(guī)定從中性面開(kāi)始計(jì)時(shí)，如果經(jīng)過(guò)時(shí)間．那么導(dǎo)線轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，此時(shí)邊線速度以磁感線的夾角也等于。當(dāng)然當(dāng)時(shí)很好理解。但當(dāng)隨著時(shí)間的不斷增加，的范圍就會(huì)大于，所以我們最好的辦法是把角的的大小拓廣到任意大小（此時(shí)還不包括負(fù)角）。下面我們改變矩形線圈繞中軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為的方向?yàn)轫槙r(shí)針，根據(jù)右手定則可以判定感生電流的方向發(fā)生了改變，由于感生電動(dòng)勢(shì)現(xiàn)在只與導(dǎo)線運(yùn)動(dòng)方向和磁力線方向的夾角有關(guān)，所以為了體現(xiàn)這種關(guān)系，我們必須區(qū)分角的旋轉(zhuǎn)方向。我們把逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。這樣我們就得到了任意角的概