甘肅省慶陽市鎮(zhèn)原中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理含解析

PAGEPAGE13甘肅省慶陽市鎮(zhèn)原中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理（含解析）一、單選題1.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】，故選C.2.已知，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】,選D.3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A. B. C.和 D.（-3,１）【答案】D【解析】∵函數(shù)f(x)=(3-x2)ex，∴f′(x)=-2xex+(3-x2)ex=(3-2x-x2)ex.由f′(x)＞0，得到f′(x)=(3-2x-x2)ex＞0，即3-2x-x2＞0，則x2+2x-3＜0，解得-3＜x＜1，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-3，1）.本題選擇D選項(xiàng).4.正弦函數(shù)是奇函數(shù)（大前提），是正弦數(shù)（小前提），因此是奇函數(shù)（結(jié)論），以上推理（）A.結(jié)論正確 B.大前提錯(cuò)誤 C.小前提錯(cuò)誤 D.以上都不對(duì)【答案】C【解析】試題分析：依據(jù)三段論的要求：找出大前提，小前提，結(jié)論，再推斷正誤即可．大前提：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，正確；小前提：是正弦函數(shù)，因?yàn)樵摵瘮?shù)為復(fù)合函數(shù)，故錯(cuò)誤；結(jié)論：因此是奇函數(shù)，因?yàn)樵摵瘮?shù)為非奇函數(shù)，故結(jié)論錯(cuò)誤．以上推理形式中小前提錯(cuò)誤．故選C．考點(diǎn)：演繹推理基本方法5.在數(shù)列中，，，，猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將兩邊同時(shí)取倒數(shù)，可得是等差數(shù)列，求出，即可求【詳解】將兩邊同時(shí)取倒數(shù)，得，，即是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，，故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式，屬于常考題型.6.如圖，陰影部分的面積是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用定積分的性質(zhì)可以求出陰影部分的面積.【詳解】設(shè)陰影部分的面積為，則.選C【點(diǎn)睛】考查了定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.7.已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)、、分別對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為、、，則第四個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可求得、、三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).【詳解】由已知條件可得、、，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，四邊形為平行四邊形，則，即，解得，即點(diǎn)，因此，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面對(duì)量在幾何中的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)球的半徑為時(shí)間t的函數(shù)．若球的體積以勻稱速度C增長(zhǎng)，則球的表面積的增長(zhǎng)速度與球半徑（）A.成正比，比例系數(shù)為C B.成正比，比例系數(shù)為2CC.成反比，比例系數(shù)為C D.成反比，比例系數(shù)為2C【答案】D【解析】【詳解】由題意可知球的體積為,則，由此可得,而球的表面積為，所以.故選：D.【點(diǎn)晴】本題考查球的表面積，考查邏輯思維實(shí)力，計(jì)算實(shí)力.求出球的表達(dá)式，然后求球的導(dǎo)數(shù)，推出，利用面積的導(dǎo)數(shù)是體積，求出球的表面積的增長(zhǎng)速度與球的半徑的比例關(guān)系.本題是將幾何體的表面積和導(dǎo)數(shù)的學(xué)問結(jié)合到一起，對(duì)學(xué)生的實(shí)力考查比較著重，綜合性較強(qiáng).9.函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】利用極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，有極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合的二次型解析式有，即可推斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，同時(shí)就確定了極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)【詳解】函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，等價(jià)于其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即時(shí)實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)∵∴有兩個(gè)不同的零點(diǎn).故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)極值點(diǎn)的關(guān)系，利用了函數(shù)極值點(diǎn)與其導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同，確定極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)10.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】求導(dǎo)，將代入即可求出..【詳解】已知函數(shù)則故選A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的求法，屬基礎(chǔ)題.11.設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，且，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】試題分析：因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，且又因?yàn)樗匀鐖D所示，所以的解集為故選D.考點(diǎn)：1、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性．【思路點(diǎn)晴】本題主要考查的是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，屬于難題.由是奇函數(shù)可知，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，只需做出時(shí)的圖像，則整個(gè)圖像就可以做出來.時(shí)，在上單調(diào)遞增.圖像上有一點(diǎn)這樣的大致圖像就如圖所示，的解集就是分布在三四象限的圖像對(duì)于的x的集合.12.設(shè)動(dòng)直線與函數(shù)，圖像分別交于，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：將兩個(gè)函數(shù)作差，得到函數(shù)，再求此函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)論.詳解：設(shè)函數(shù)，，令，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)；令，函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，時(shí)，函數(shù)取得最小值為.故所求|MN|最小值即為函數(shù)y的最小值：.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)學(xué)問的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最值.二、填空題13.函數(shù)在的最大值為________．【答案】【解析】由，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故.14.曲線y＝x3－2x＋1在點(diǎn)處的切線方程為_______．【答案】【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在該點(diǎn)處的切線的斜率即為該點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值.再求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，依據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程.【詳解】由，得，在點(diǎn)處的切線的斜率為，又，所以所求切線方程為：，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.15.如圖是函數(shù)的大致圖象，則等于______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)圖象知是兩個(gè)極值點(diǎn)，所以是的兩個(gè)根，求出，利用韋達(dá)定理，即可求出【詳解】依據(jù)圖象知的根為，，解得：令，是的兩個(gè)根，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的極值與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，涉及韋達(dá)定理和函數(shù)解析式的求解，屬于基礎(chǔ)題.16.視察下列等式：按此規(guī)律，第個(gè)等式可為__________．【答案】(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)【解析】【詳解】試題分析：題目中給出的前三個(gè)等式的特點(diǎn)是第一個(gè)等式的左邊僅含一項(xiàng)，其次個(gè)等式的左邊含有兩項(xiàng)相乘，第三個(gè)等式的左邊含有三項(xiàng)相乘，由此歸納第n個(gè)等式的左邊含有n項(xiàng)相乘，由括號(hào)內(nèi)數(shù)的特點(diǎn)歸納第n個(gè)等式的左邊應(yīng)為：（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n），每個(gè)等式的右邊都是2的幾次冪乘以從1起先幾個(gè)相鄰奇數(shù)乘積的形式，且2的指數(shù)與奇數(shù)的個(gè)數(shù)等于左邊的括號(hào)數(shù)，由此可知第n個(gè)等式的右邊為?1?3?5…（2n-1）．所以第n個(gè)等式可為（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=?1?3?5…（2n-1）．故答案為三、解答題17.已知復(fù)數(shù)，當(dāng)實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，（1）復(fù)數(shù)是虛數(shù)；（2）復(fù)數(shù)是純虛數(shù).【答案】(1)且；(2)【解析】【分析】依據(jù)已知復(fù)數(shù)的代數(shù)式形式，結(jié)合虛數(shù)的條件：虛部不等于0；純虛數(shù)的條件：實(shí)部為0同時(shí)虛部不為0，列方程求的值即可【詳解】(1)復(fù)數(shù)是虛數(shù)，知：，解得且(2)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，知：，解得【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的分類，依據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，結(jié)合虛數(shù)、純虛數(shù)的成立條件列方程求參數(shù)值18.求下列定積分的值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用定積分基本定理求出的原函數(shù)，再積分即可；（2）利用定積分基本定理求出的原函數(shù)，再積分即可.【詳解】（1）（2）【點(diǎn)睛】本題主要考查了定積分的計(jì)算，解體的關(guān)鍵在于駕馭微積分基本定理，屬于基礎(chǔ)題.19.用數(shù)學(xué)歸納法證明.【答案】見解析【解析】【分析】依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟進(jìn)行證明即可.【詳解】證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即.那么，即當(dāng)時(shí)等式也成立.由①②知，等式對(duì)任何都成立.【點(diǎn)睛】本題考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)數(shù)列的命題，屬于基礎(chǔ)題.20.已知的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且在處的切線方程是.（1）求的解析式；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由的圖象經(jīng)過點(diǎn)，又，再由的圖象經(jīng)過點(diǎn)，；（2）令，或單調(diào)遞增區(qū)間為，.【詳解】（1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，，，切點(diǎn)為，則的圖象經(jīng)過點(diǎn)，得，得，，.（2），，或，單調(diào)遞增區(qū)間為，.【點(diǎn)晴】本題考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的單調(diào)性，涉及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，屬于較中檔型.21.已知函數(shù)，其中為實(shí)數(shù).（1）求導(dǎo)數(shù)；（2）若，求在上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.（2）利用，求得，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出最值.【詳解】（1）由，則（2）因?yàn)?，則，解得，所以，當(dāng)，解得，減區(qū)間為，當(dāng)，解得或，增區(qū)間為，，，，，所以，，綜上所述，，【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題.22.已知函數(shù)，（1）若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)，的值；（2）若，且函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析