余弦定理教案 人教版

余弦定理教案人教版主備人備課成員教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課為人教版高中數(shù)學(xué)必修⑤中的“余弦定理”章節(jié)。主要內(nèi)容包括：

1.理解余弦定理的定義和表達(dá)式；

2.掌握余弦定理的應(yīng)用，能夠運用余弦定理解決三角形中的邊角關(guān)系問題；

3.能夠運用余弦定理解決實際問題，如測量三角形的邊長等。

教學(xué)重點為余弦定理的推導(dǎo)過程和應(yīng)用，教學(xué)難點為理解余弦定理在解決實際問題中的運用。核心素養(yǎng)目標(biāo)本章節(jié)旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過學(xué)習(xí)余弦定理，學(xué)生能夠抽象出三角形的邊角關(guān)系，運用邏輯推理推導(dǎo)出余弦定理，并能夠?qū)⒂嘞叶ɡ響?yīng)用于解決實際問題，建立數(shù)學(xué)模型。同時，通過小組合作探討和問題解決，學(xué)生能夠提升數(shù)學(xué)交流和數(shù)學(xué)思維的能力。教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點

本節(jié)課的核心內(nèi)容是余弦定理的定義、表達(dá)式及其應(yīng)用。具體包括以下幾點：

（1）理解余弦定理的概念，掌握余弦定理的表述方式；

（2）熟練運用余弦定理解決三角形中的邊角關(guān)系問題；

（3）能夠?qū)⒂嘞叶ɡ響?yīng)用于實際問題，如測量三角形的邊長等。

2.教學(xué)難點

本節(jié)課的難點在于理解余弦定理的推導(dǎo)過程以及在實際問題中的運用。具體包括以下幾點：

（1）推導(dǎo)余弦定理：學(xué)生需要理解并掌握余弦定理的推導(dǎo)過程，包括正弦定理、余弦定理的引入以及推導(dǎo)出的過程；

（2）運用余弦定理解決實際問題：學(xué)生需要能夠?qū)⒂嘞叶ɡ盱`活運用到實際問題中，如測量三角形的邊長、求解三角形的角度等；

（3）理解余弦定理在不同情境下的應(yīng)用：學(xué)生需要理解在不同情境下，如直角三角形、等邊三角形等，余弦定理的運用方法和注意事項。

例如，在解決實際問題時，學(xué)生需要注意到余弦定理的適用范圍是三角形，且已知條件必須包含三角形的兩邊和夾角。同時，學(xué)生還需要了解在特殊情況下，如直角三角形和等邊三角形，余弦定理的特殊性質(zhì)和運用方法。學(xué)具準(zhǔn)備多媒體課型新授課教法學(xué)法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法

（1）講授法：通過教師的講解，引導(dǎo)學(xué)生理解余弦定理的概念和推導(dǎo)過程，以及如何在實際問題中運用；

（2）討論法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，分享各自的解題思路和方法，互相學(xué)習(xí)和交流，提高解決問題的能力；

（3）實驗法：通過數(shù)學(xué)實驗，讓學(xué)生親自動手操作，驗證余弦定理的正確性，培養(yǎng)學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新思維。

2.教學(xué)手段

（1）多媒體設(shè)備：利用多媒體課件，生動形象地展示余弦定理的推導(dǎo)過程，以及實際問題的情境，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和理解能力；

（2）教學(xué)軟件：運用教學(xué)軟件，如數(shù)學(xué)模擬軟件，讓學(xué)生在虛擬環(huán)境中進(jìn)行實驗操作，加深對余弦定理的理解；

（3）在線資源：利用網(wǎng)絡(luò)資源，提供相關(guān)的學(xué)習(xí)材料和實例，拓寬學(xué)生的知識視野，豐富學(xué)習(xí)內(nèi)容。教學(xué)流程（一）課前準(zhǔn)備（預(yù)計用時：5分鐘）

學(xué)生預(yù)習(xí)：

發(fā)放預(yù)習(xí)材料，引導(dǎo)學(xué)生提前了解“余弦定理”的學(xué)習(xí)內(nèi)容，標(biāo)記出有疑問或不懂的地方。

設(shè)計預(yù)習(xí)問題，激發(fā)學(xué)生思考，為課堂學(xué)習(xí)“余弦定理”內(nèi)容做好準(zhǔn)備。

教師備課：

深入研究教材，明確“余弦定理”教學(xué)目標(biāo)和“余弦定理”重難點。

準(zhǔn)備教學(xué)用具和多媒體資源，確?！坝嘞叶ɡ怼苯虒W(xué)過程的順利進(jìn)行。

設(shè)計課堂互動環(huán)節(jié)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)“余弦定理”的積極性。

（二）課堂導(dǎo)入（預(yù)計用時：3分鐘）

激發(fā)興趣：

提出問題或設(shè)置懸念，引發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入“余弦定理”學(xué)習(xí)狀態(tài)。

回顧舊知：

簡要回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的“三角函數(shù)”內(nèi)容，幫助學(xué)生建立知識之間的聯(lián)系。

提出問題，檢查學(xué)生對舊知的掌握情況，為“余弦定理”新課學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

（三）新課呈現(xiàn)（預(yù)計用時：25分鐘）

知識講解：

清晰、準(zhǔn)確地講解“余弦定理”知識點，結(jié)合實例幫助學(xué)生理解。

突出“余弦定理”重點，強(qiáng)調(diào)“余弦定理”難點，通過對比、歸納等方法幫助學(xué)生加深記憶。

互動探究：

設(shè)計小組討論環(huán)節(jié)，讓學(xué)生圍繞“余弦定理”問題展開討論，培養(yǎng)學(xué)生的合作精神和溝通能力。

鼓勵學(xué)生提出自己的觀點和疑問，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，拓展思維。

（四）鞏固練習(xí)（預(yù)計用時：5分鐘）

隨堂練習(xí)：

隨堂練習(xí)題，讓學(xué)生在課堂上完成，檢查學(xué)生對“余弦定理”知識的掌握情況。

鼓勵學(xué)生相互討論、互相幫助，共同解決“余弦定理”問題。

錯題訂正：

針對學(xué)生在隨堂練習(xí)中出現(xiàn)的“余弦定理”錯誤，進(jìn)行及時訂正和講解。

引導(dǎo)學(xué)生分析錯誤原因，避免類似錯誤再次發(fā)生。

（五）拓展延伸（預(yù)計用時：3分鐘）

知識拓展：

介紹與“余弦定理”內(nèi)容相關(guān)的拓展知識，拓寬學(xué)生的知識視野。

引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注學(xué)科前沿動態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和探索精神。

情感升華：

結(jié)合“余弦定理”內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生思考學(xué)科與生活的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的社會責(zé)任感。

鼓勵學(xué)生分享學(xué)習(xí)“余弦定理”的心得和體會，增進(jìn)師生之間的情感交流。

（六）課堂小結(jié)（預(yù)計用時：2分鐘）

簡要回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的“余弦定理”內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)“余弦定理”重點和難點。

肯定學(xué)生的表現(xiàn)，鼓勵他們繼續(xù)努力。

布置作業(yè)：

根據(jù)本節(jié)課學(xué)習(xí)的“余弦定理”內(nèi)容，布置適量的課后作業(yè)，鞏固學(xué)習(xí)效果。

提醒學(xué)生注意作業(yè)要求和時間安排，確保作業(yè)質(zhì)量。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

（1）數(shù)學(xué)期刊：《數(shù)學(xué)學(xué)報》、《數(shù)學(xué)年刊》等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的期刊，可供學(xué)生了解余弦定理的研究前沿和應(yīng)用實例。

（2）在線課程：國內(nèi)外知名大學(xué)開設(shè)的線性代數(shù)課程，如MIT的《線性代數(shù)及其應(yīng)用》等，可以幫助學(xué)生深入學(xué)習(xí)余弦定理的相關(guān)知識。

（3）數(shù)學(xué)軟件：Mathematica、MATLAB等數(shù)學(xué)軟件，學(xué)生可以通過這些軟件進(jìn)行余弦定理的實驗驗證和實際應(yīng)用。

（4）數(shù)學(xué)博客、論壇：數(shù)學(xué)博客、論壇上有關(guān)余弦定理的討論和文章，可以幫助學(xué)生了解不同的解題思路和方法。

2.拓展建議：

（1）讓學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)期刊，了解余弦定理在數(shù)學(xué)研究中的應(yīng)用和發(fā)展，提升學(xué)生的學(xué)術(shù)素養(yǎng)。

（2）鼓勵學(xué)生參加線上線性代數(shù)課程，學(xué)習(xí)余弦定理的高級應(yīng)用，提高學(xué)生的知識水平。

（3）指導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行余弦定理的實驗驗證，讓學(xué)生在實踐中掌握知識，提高學(xué)生的動手能力。

（4）鼓勵學(xué)生在數(shù)學(xué)博客、論壇上參與有關(guān)余弦定理的討論，分享自己的學(xué)習(xí)心得和解題方法，提升學(xué)生的交流和合作能力。

（5）為學(xué)生提供余弦定理相關(guān)的閱讀材料，如數(shù)學(xué)故事、歷史背景等，幫助學(xué)生了解余弦定理的來龍去脈，增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。

（6）建議學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，如測量、工程等領(lǐng)域，讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)余弦定理的實際意義，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識。典型例題講解本節(jié)課將講解以下五個典型例題，幫助學(xué)生深入理解并掌握余弦定理的應(yīng)用。

例題1：

已知三角形ABC中，AB=5，BC=8，AC=10，求角A的余弦值。

解：根據(jù)余弦定理，我們有

cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)

代入已知條件，得

cosA=(82+102-52)/(2×8×10)

cosA=(64+100-25)/160

cosA=139/160

cosA=0.86875

答案：角A的余弦值為0.86875。

例題2：

在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=8，b=15，c=17，求角A的余弦值。

解：根據(jù)余弦定理，我們有

cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)

代入已知條件，得

cosA=(152+172-82)/(2×15×17)

cosA=(225+289-64)/510

cosA=440/510

cosA=0.86341

答案：角A的余弦值為0.86341。

例題3：

已知三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且已知cosB=3/5，cosC=4/5，求cosA的值。

解：根據(jù)余弦定理，我們有

cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)

又因為cosB=3/5，cosC=4/5，可以得到

cosB=(b2+a2-c2)/(2ab)

cosC=(c2+a2-b2)/(2ac)

將cosB和cosC的表達(dá)式代入cosA的公式中，得

cosA=(cosB+cosC)/2

代入已知條件，得

cosA=(3/5+4/5)/2

cosA=7/10/2

cosA=7/20

答案：cosA的值為7/20。

例題4：

已知三角形ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，求三角形ABC的面積。

解：根據(jù)余弦定理，我們有

cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)

代入已知條件，得

cosA=(82+102-62)/(2×8×10)

cosA=(64+100-36)/160

cosA=128/160

cosA=0.75

然后，我們可以用三角函數(shù)的關(guān)系求出sinA的值：

sinA=√(1-cos2A)

sinA=√(1-0.752)

sinA=√(1-0.5625)

sinA=√0.4375

sinA=0.66197

最后，我們可以用三角形的面積公式求出三角形ABC的面積：

S=1/2×ab×sinC

代入已知條件，得

S=1/2×6×8×0.66197

S=1/2×48×0.66197

S=28.88×0.66197

S≈18.98

答案：三角形ABC的面積約為18.98平方單位。

例題5：

在直角三角形ABC中，∠C為直角，AB為斜邊，已知AC=3，BC=4，求斜邊AB的長度。

解：根據(jù)余弦定理，我們有

cosA=BC/AB

代入已知條件，得

cosA=4/AB

又因為∠C為直角，所以cosA=cos(90°-B)=sinB

因此，我們有

sinB=4/AB

然后，我們可以用正弦函數(shù)的關(guān)系求出AB的值：

AB=sinB×BC

代入已知條件，得

AB=sinB×4

由于sinB=√(1-cos2B)，我們可以求出sinB的值：

sinB=√(1-(4/AB)2)

sinB=√(1-16/(AB2))

sinB=√((AB2-16)/(AB2))

sinB=√(AB2/(AB2)-16/(AB2))

sinB=√(1-16/AB2)

sinB=√(AB2-16)/AB

將sinB的表達(dá)式代入AB的公式中，得

AB=(√(AB2-16))×4

平方兩邊，得

AB2=(AB2-16)×16

AB2=AB2-16×16

AB2=AB2-256

256=AB2-AB2

256=0

這是一個矛盾的等式，說明在直角三角形ABC中，斜邊AB的長度不能為0。因此，例題5的題目描述有誤，無法求解斜邊AB的長度。

答案：例題5的題目描述有誤，無法求解斜邊AB的長度。作業(yè)布置與反饋作業(yè)布置：

1.請學(xué)生獨立完成以下練習(xí)題，以鞏固本節(jié)課所學(xué)的余弦定理知識：

（1）在三角形ABC中，已知AB=5，BC=8，AC=10，求角A的余弦值。

（2）在三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=8，b=15，c=17，求角A的余弦值。

（3）已知三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且已知cosB=3/5，cosC=4/5，求cosA的值。

（4）已知三角形ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，求三角形ABC的面積。

（5）在直角三角形ABC中，∠C為直角，AB為斜邊，已知AC=3，BC=4，求斜邊AB的長度。

2.請學(xué)生完成以下應(yīng)用題，將余弦定理應(yīng)用于解決實際問題：

（1）在測量一個未知邊長的三角形中，已知三角形的三邊分別為a、b、c，且a=5，b=12，c=13，求三角形中未知邊長的長度。

（2）在建筑施工中，已知三角形支架的三邊長度分別為a=4米，b=6米，c=8米，求支架的最大穩(wěn)定性角度。

作業(yè)反饋：

1.對學(xué)生的練習(xí)題進(jìn)行批改，檢查學(xué)生對余弦定理的掌握情況，并指出存在的問題。對于計算