-633平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示平面向量加減運(yùn)算的坐標(biāo)表示課件新人教A版必修第二冊(cè)

6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示6.3.3平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)1.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)_________的向量,叫做把向量正交分解.互相垂直2.平面向量的坐標(biāo)表示(1)產(chǎn)生過程單位向量xi+yja=(x,y)(0,0)(2)本質(zhì):向量的坐標(biāo)表示實(shí)現(xiàn)了向量的“量化”表示.(3)應(yīng)用:為向量的坐標(biāo)運(yùn)算奠定基礎(chǔ).3.平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)4.向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的聯(lián)系(1)條件:O(0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),(2)結(jié)論:=_______,=_______,=____________.(3)語言表述:①以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)坐標(biāo);②一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的_____的坐標(biāo)減去_____的坐標(biāo).(x1,y1)(x2,y2)(x2-x1,y2-y1)終點(diǎn)起點(diǎn)【思考】向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別是什么?提示:(1)表示形式不同.向量a=(x,y)中間用等號(hào)連接,而點(diǎn)的坐標(biāo)A(x,y)中間沒有等號(hào).(2)意義不同.點(diǎn)A(x,y)的坐標(biāo)(x,y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置,向量a=(x,y)的坐標(biāo)(x,y)既表示向量的大小,也表示向量的方向.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同,則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同. (

)(2)向量可以平移,平移前后它的坐標(biāo)發(fā)生變化. (

)(3)兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序無關(guān). (

)提示:(1)×.對(duì)于同一個(gè)向量,無論位置在哪里,坐標(biāo)都一樣.(2)×.當(dāng)向量確定以后,向量的坐標(biāo)就是唯一確定的,因此向量在平移前后,其坐標(biāo)不變.(3)×.根據(jù)兩向量差的運(yùn)算,兩向量差的坐標(biāo)與兩向量的順序有關(guān).2.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(1,2),Q(4,3),那么向量=________.

【解析】

答案:(3,1)3.設(shè)i,j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與x軸,y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若=4i+2j,=3i+4j,則的坐標(biāo)是________.

【解析】因?yàn)?(4,2),=(3,4),所以=(4,2)+(3,4)=(7,6).答案:(7,6)關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一平面向量的坐標(biāo)表示(數(shù)學(xué)抽象)【題組訓(xùn)練】1.如圖,{e1,e2}是一個(gè)基底,且e1=(1,0),e2=(0,1),則向量a的坐標(biāo)為(

)A.(1,3) B.(3,1)C.(-1,-3) D.(-3,-1)2.如果用i,j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量,且那么可以表示為 (

)A.2i+3j B.4i+2jC.2i-j D.-2i+j3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,向量a,b的方向如圖所示,且|a|=2,|b|=3,則a的坐標(biāo)為________,b的坐標(biāo)為________.

【解析】1.選A.因?yàn)閑1,e2分別是與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量,由題圖可知a=e1+3e2,根據(jù)平面向量坐標(biāo)的定義可知a=(1,3).2.選C.記O為坐標(biāo)原點(diǎn),則=2i+3j,=4i+2j,所以=4i+2j-(2i+3j

)=2i-j.3.設(shè)點(diǎn)A(x,y),B(x0,y0),因?yàn)閨a|=2,且∠AOx=45°,所以x=2cos45°=,y=2sin45°=.又|b|=3,∠xOB=90°+30°=120°,所以x0=3cos120°=-,y0=3sin120°=,故a=b=答案:

【解題策略】求向量坐標(biāo)的方法(1)定義法:根據(jù)平面向量坐標(biāo)的定義得a=xi+yj=,其中i,j分別為與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量.(2)平移法:把向量的起點(diǎn)移至坐標(biāo)原點(diǎn),終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).(3)求差法:先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)坐標(biāo),再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)即得該向量的坐標(biāo).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知邊長為1的正方形ABCD中,AB與x軸正半軸成30°角.求點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)和的坐標(biāo).【解析】由題知B,D分別是30°角,120°角的終邊與單位圓的交點(diǎn).設(shè)B(x1,y1),D(x2,y2).由三角函數(shù)的定義,得x1=cos30°=,y1=sin30°=,所以Bx2=cos120°=-,y2=sin120°=,所以D所以類型二平面向量加、減的坐標(biāo)運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),則向量= (

)A.(-7,-4) B.(7,4)C.(-1,4) D.(1,4)2.已知向量a,b的坐標(biāo)分別是(-1,5),(2,-7),求a+b,a-b的坐標(biāo).【思路導(dǎo)引】1.根據(jù)向量減法的三角形法則,找到的關(guān)系,應(yīng)用向量的加、減法坐標(biāo)運(yùn)算求坐標(biāo).2.直接應(yīng)用向量的加、減法坐標(biāo)運(yùn)算公式求坐標(biāo).【解析】1.選A.=(3,2)-(0,1)=(3,1),=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).2.a+b=(-1,5)+(2,-7)=(1,-2),a-b=(-1,5)-(2,-7)=(-3,12).【解題策略】平面向量加、減坐標(biāo)運(yùn)算的方法(1)若已知向量的坐標(biāo),則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算.(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則必須先求出向量的坐標(biāo),然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(3)求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),可以轉(zhuǎn)化為求以原點(diǎn)為起點(diǎn),該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo).【跟蹤訓(xùn)練】在平行四邊形ABCD中,AC為一條對(duì)角線.若=(-1,3),=(2,5),則等于 (

)A.(-2,-4) B.(4,-1)C.(3,5) D.(2,4)【解析】選B.因?yàn)樗?(3,2),所以=(4,-1).【補(bǔ)償訓(xùn)練】若A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2,-4),(0,6),(-8,10),求的坐標(biāo).【解析】因?yàn)?(-2,10),=(-8,4),=(-10,14),所以+=(-2,10)+(-8,4)=(-10,14);-=(-8,4)-(-10,14)=(2,-10).類型三平面向量加、減坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(-1,-2),B(3,-1),C(4,2),而且A,B,C,D四點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列.(1)求向量的坐標(biāo);(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo).【思路導(dǎo)引】(1)終點(diǎn)坐標(biāo)減起點(diǎn)坐標(biāo)求向量的坐標(biāo),同時(shí)注意的關(guān)系;(2)方法一:轉(zhuǎn)化為求向量的坐標(biāo);方法二:設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo),根據(jù)的坐標(biāo)列方程求未知數(shù)得坐標(biāo).【解析】(1)因?yàn)锳(-1,-2),B(3,-1),C(4,2),所以

(2)方法一:由(1)知,又因?yàn)樗运渣c(diǎn)D的坐標(biāo)為方法二:設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為由(1)知,又A(-1,-2),所以所以所以所以點(diǎn)D坐標(biāo)為(0,1).【變式探究】將本例條件改為“已知平面上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),且A,B,C,D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形”,求點(diǎn)D的坐標(biāo).【解析】設(shè)點(diǎn)D坐標(biāo)為,分以下三種情況討論:(1)若四邊形ABCD為平行四邊形,得即所以所以解得D(2,2).(2)若四邊形ABDC為平行四邊形,得即所以所以解得D(4,6).(3)若四邊形ADBC為平行四邊形,得即所以所以解得D(-6,0).因此,使A,B,C,D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的點(diǎn)D的坐標(biāo)是(2,2)或(4,6)或(-6,0).【解題策略】關(guān)于向量加減坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用(1)由向量的坐標(biāo)定義知,兩向量相等的充要條件是它們的坐標(biāo)相等,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a=b?x1=x2且y1=y2.(2)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題,主要是根據(jù)相等的向量坐標(biāo)相同這一原則,通過列方程(組)進(jìn)行求解;也可以利用基向量法,主要借助向量加、減運(yùn)算的三角形、平行四邊形法則.【跟蹤訓(xùn)練】已知向量若=a+b+c,且A(1,1),則向量的終點(diǎn)B的坐標(biāo)為 (

)A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9)【解析】選A.=a+b+c

設(shè)終點(diǎn)為B,則所以所以所以終點(diǎn)B的坐標(biāo)為(9,1).【補(bǔ)償訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,四邊形ABCD的邊AB∥DC,AD∥BC.已知點(diǎn)A(-2,0),B(6,8),C(8,6),則D點(diǎn)的坐標(biāo)為________.

【解析】方法一:由題意知,四邊形ABCD是平行四邊形,所以設(shè)D(x,y),則(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),所以x=0,y=-2,即D(0,-2).方法二:由題意知,四邊形ABCD為平行四邊形,所以即所以=(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2),即D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-2).答案:(0,-2)核心素養(yǎng)易錯(cuò)提醒方法總結(jié)核心知識(shí)1.向量的正交分解.2.向量的坐標(biāo)表示.3向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)向量坐標(biāo)表示的和、差運(yùn)算：(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行．(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算．

1.向量的坐標(biāo)只與起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)，而與它們的具體位置無關(guān)．2.當(dāng)向量確定以后，向量的坐標(biāo)就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標(biāo)不變．1.數(shù)學(xué)抽象：平面向量的坐標(biāo)表示.2.邏輯推理：平面向量的坐標(biāo)表示的推導(dǎo)；有向線段的向量表示.3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：兩個(gè)向量坐標(biāo)表示的和、差運(yùn)算；4.數(shù)學(xué)建模：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.給出下列幾種說法:①相等向量的坐標(biāo)相同;②平面上一個(gè)向量對(duì)應(yīng)于平面上唯一的坐標(biāo);③一個(gè)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)向量;④平面上一個(gè)點(diǎn)與以原點(diǎn)為起點(diǎn),該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對(duì)應(yīng).其中正確說法的個(gè)數(shù)是 (

)A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.由向量坐標(biāo)的定義不難看