北師大高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊5.1.2計數(shù)原理的簡單應(yīng)用【課件】

第五章計數(shù)原理自主預(yù)習(xí)互動學(xué)習(xí)達標(biāo)小練

1計數(shù)原理1.2計數(shù)原理的簡單應(yīng)用基礎(chǔ)訓(xùn)練自主預(yù)習(xí)分類加法計數(shù)分步乘法計數(shù)不重不漏分類加法計數(shù)原理步驟完整相互獨立提示：如果已知的每類辦法中的每一種方法都能完成這件事，應(yīng)該用分類加法計數(shù)原理；如果每類辦法中的每一種方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法計數(shù)原理.提示：分類時，首先要根據(jù)問題的特點確定一個分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進行分類.

一般地，標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果也不同；其次，分類時要注意滿足一個基本要求：完成這件事的任何一種方法必須屬于且只能屬于某一類方案.

簡單地說，就是應(yīng)用分類加法計數(shù)原理時要做到“不重不漏”.基礎(chǔ)訓(xùn)練互動學(xué)習(xí)[解]

組成的自然數(shù)可以分為以下四類：第一類：一位自然數(shù)，共有4個；第二類：二位自然數(shù)，又可分兩步來完成，先取出十位上的數(shù)字，再取出個位上的數(shù)字，共有4×4＝16(個)；第三類：三位自然數(shù)，又可分三步來完成.

每一步都可以從4個不同的數(shù)字中任取一個，共有4×4×4＝64(個)；第四類：四位自然數(shù)，又可分四步來完成.

每一步都可以從4個不同的數(shù)字中任取一個，共有4×4×4×4＝256(個).由分類加法計數(shù)原理知，可以組成的不同的自然數(shù)為4＋16＋64＋256＝340(個).D900648144解析：(1)以1為橫坐標(biāo)的點為(1，2，4)，(1，3，9)；以2為橫坐標(biāo)的點為(2，4，8)；以4為橫坐標(biāo)的點為(4，6，9)；把這4個點的坐標(biāo)順序顛倒，又得到另外的4個點，∴所求的點共有2×(2＋1＋1)＝8(個).

故選D.(2)由于0不能在百位，所以百位上的數(shù)字有9種選法，十位與個位上的數(shù)字均有10種選法，所以不同的三位數(shù)共有9×10×10＝900(個).百位上的數(shù)字有9種選法，十位上的數(shù)字有除百位上的數(shù)字以外的9種選法，個位上的數(shù)字應(yīng)從剩余8個數(shù)字中選取，所以共有9×9×8＝648(個)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).小于500的無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)，應(yīng)滿足的條件是：首位只能從1，2，3，4中選，個位必須為奇數(shù)，按首位分兩類：第一類，首位為1或3時，個位有4種選法，十位有8種選法，所以共有4×8×2＝64(種).第二類，首位為2或4時，個位有5種選法，十位有8種選法，所以共有5×8×2＝80(種)，由分類加法計數(shù)原理知，共有64＋80＝144(種).[解]

第一類：1號區(qū)域與4號區(qū)域同色，此時可分三步來完成，第一步，先涂1號區(qū)域和4號區(qū)域，有5種涂法，第二步，再涂2號區(qū)域，只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可，因此有4種涂法；第三步，涂3號區(qū)域，只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可，因此也有4種涂法，由分步乘法計數(shù)原理知，有5×4×4＝80(種)涂法；第二類：1號區(qū)域與4號區(qū)域不同色，此時可分四步來完成，第一步，先涂1號區(qū)域，有5種涂法，第二步，再涂4號區(qū)域，只要不與1號區(qū)域同色即可，因此有4種涂法；第三步，涂2號區(qū)域，只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可，因此有3種涂法；第四步，涂3號區(qū)域，只要不與1號區(qū)域和4號區(qū)域同色即可，因此也有3種涂法.

由分步乘法計數(shù)原理知，有5×4×3×3＝180(種)涂法.

依據(jù)分類加法計數(shù)原理知，不同的涂色方法種數(shù)為80＋180＝260.D解析：給“嚴(yán)”字涂色的方法有4種，再給“勤”字涂色的方法有3種，再給“活”字涂色的方法有3種，最后給“實”字涂色的方法有3種，由分步乘法原理可知，共有4×3×3×3＝108(種).

故選D.[解]

(1)學(xué)生可以選擇競賽項目，而競賽項目對于學(xué)生無條件限制，所以每位學(xué)生均有3個不同的機會.

要完成這件事必須是每位學(xué)生參加的競賽全部確定下來才行，因此需分四步.

而每位學(xué)生均有3個不同機會，所以用分步乘法計數(shù)原理可得不同結(jié)果有3×3×3×3＝34＝81(種).(2)競賽項目可以挑選學(xué)生，而學(xué)生無選擇項目的機會，每一項目可有4種不同的選法，故共有4×4×4＝43＝64(種).(3)每位學(xué)生最多參加一項競賽，每項競賽必須有且只許有一位學(xué)生參加，由分步乘法計數(shù)原理知，不同結(jié)果有4×3×2＝24(種).解：(1)分三步，每位同學(xué)取書一本，第1，2，3個同學(xué)分別有8，7，6種取法，因而由分步乘法計數(shù)原理，不同分法共有N＝8×7×6＝336(種).(2)分三步，每位旅客都有4種不同的住宿方法，因而不同的方法共有N＝4×4×4＝64(種).[解]

根據(jù)題意，某外語組有9人，其中7人會英語，3人會日語，故英語和日語都會的有7＋3－9＝1(人)，則只會英語的有6人，只會日語的有2人.

假設(shè)英語和日語都會的為“多面手”，不同的選法可以分為以下三類：第一類：“多面手”去參加英語時，選出只會日語的一人即可，有2種選法；第二類：“多面手”去參加日語時，選出只會英語的一人即可，有6種選法；第三類：“多面手”既不參加英語又不參加日語，則需從只會日語和只會英語中各選一人，有2×6＝12(種)方法.故共有2＋6＋12＝20(種)選法.13054解析：(1)由條件知只會唱歌的有10人，只會跳舞的有6人，既會唱歌又會跳舞的有4人.

這樣就可以分成四類完成：第一類：從只會唱歌和只會跳舞的人中各選1人，用分步乘法計數(shù)原理得10×6＝60(種)；第二類：從只會唱歌和既會唱歌又會跳舞的人中各選1人，用分步乘法計數(shù)原理得10×4＝40(種)；第三類：從只會跳舞和既會唱歌又會跳舞的人中各選1人，用分步乘法計數(shù)原理得6×4＝24(種)；第四類：從既會唱歌又會跳舞的人中選2人，有6種方法.

根據(jù)分類加法計數(shù)原理，選出會唱歌與會跳舞的各1人的選法共有60＋40＋24＋6＝130(種).(2)利用分類計數(shù)原理，分成有重復(fù)數(shù)字和無重復(fù)數(shù)字的情況：①無重復(fù)數(shù)字：109，190，901，910，127，172，271，217，721，712，136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，208，280，802，820，235，253，352，325，523，532，307，370，703，730，406，460，604，640，共40個，②有重復(fù)數(shù)字：118，181，811，226，262，622，334，343，433，442，424，244，550，505，共14個.綜上，“十全九美三位數(shù)”共有54個.基礎(chǔ)訓(xùn)練達標(biāo)小練C解析：A有4種涂法，B有3種涂法，C有3種涂法，D有3種涂法，共有4×3×3×3＝108(種)涂法.

故選C.B解析：分兩類情況討論：第1類，奇偶奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有2種選擇，共有3×2×2＝12(個)奇數(shù)；第2類，偶奇奇，個位有3種選擇，十位有2種選擇，百位有1種選擇，共有3×2×1＝6(個)奇數(shù).根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有12＋6＝18(個)奇數(shù).

故選B.13解析：按照焊點脫落的個數(shù)進行分類：第一類：脫落一個焊點，只能是脫落1或4，有2種情況；第二類：脫落兩個焊點：有(1，4)，(2，3)，(1，2)，(1，3)，(4，2)，(4，3)共有6種情況；第三類：脫落三個焊點：有(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)共有4種情況；第四類：脫落四個焊點，只有(1，2，3，4)一種情況.于是脫落焊點的情況共有2＋6＋4＋1＝13(種).40解析：滿足條件的有兩類：第一類：與正八邊形有兩條公共邊的三角形有