九年級數(shù)學(xué)下冊期末高效復(fù)習(xí)專題5解直角三角形含解析浙教版

PAGE專題5解直角三角形題型一銳角三角函數(shù)的概念例1在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin∠A＝eq\f(5,13)，則cos∠A的值為(A)A.eq\f(12,13)B.eq\f(8,13)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,12)【解析】如答圖，設(shè)BC＝5k，AB＝13k，例1答圖由勾股定理，得AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(（13k）2－（5k）2)＝12k，∴cos∠A＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(12k,13k)＝eq\f(12,13).變式跟進(jìn)1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，則下列結(jié)論正確的是(D)A．sinA＝eq\f(\r(3),2) B．tanA＝eq\f(1,2)C．cosB＝eq\f(\r(3),2) D．tanB＝eq\r(3)2．[2017·益陽]如圖1，電線桿CD的高度為h，兩根拉線AC與BC相互垂直，∠CAB＝α，則拉線BC的長度為(A，D，B在同一條直線上)(B)圖1A.eq\f(h,sinα)B.eq\f(h,cosα)C.eq\f(h,tanα) D．h·cosα【解析】根據(jù)同角的余角相等，得∠CAD＝∠BCD，由cos∠BCD＝eq\f(CD,BC)，知BC＝eq\f(CD,cos∠BCD)＝eq\f(h,cosα).因此選B.題型二特殊角的三角函數(shù)值例2計(jì)算下列各題：(1)tan45°－sin60°·cos30°；(2)eq\r(6)sin230°＋sin45°·tan30°.解：(1)原式＝1－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4)；(2)原式＝eq\r(6)×eq\f(1,4)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(5,12)eq\r(6).變式跟進(jìn)3．2cos30°－tan45°－eq\r(（1－tan60°）2)＝__0__．4．計(jì)算：cos45°·tan45°＋eq\r(3)·tan30°－2cos60°·sin45°.解：原式＝eq\f(\r(2),2)×1＋eq\r(3)×eq\f(\r(3),3)－2×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)＋1－eq\f(\r(2),2)＝1.題型三解直角三角形例3如圖2，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝1＋eq\r(3)，則∠C的度數(shù)為__45°__．圖2例3答圖【解析】如答圖，作AH⊥BC，在Rt△ABH中，∵cosB＝eq\f(BH,AB)，∴BH＝2cos60°＝1，∴AH＝eq\r(AB2－BH2)＝eq\r(3)，∵BC＝1＋eq\r(3)，∴CH＝BC－BH＝1＋eq\r(3)－1＝eq\r(3)，在Rt△ACH中，∵tanC＝eq\f(AH,CH)＝eq\f(\r(3),\r(3))＝1，∴∠C＝45°.【點(diǎn)悟】在一個(gè)三角形中，如果已知角度或者角的三角函數(shù)值求線段的長度，通?？煽紤]解直角三角形知識求解．如果沒有直角三角形，可通過作輔助線構(gòu)造直角三角形．變式跟進(jìn)5．[2017·天河區(qū)校級一模]如圖3，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AC＝6，D是AC上一點(diǎn)，過D作DE⊥BC于點(diǎn)E，若tan∠DBA＝eq\f(1,5)，則CE的長為__eq\f(12\r(2),5)__．圖3【解析】在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AC＝6，∴AB＝AC＝6，∠C＝∠ABC＝45°，∵tan∠DBA＝eq\f(1,5)，∴AD＝eq\f(6,5)，∴CD＝eq\f(24,5)，∵DE⊥BC，∴CE＝eq\f(\r(2),2)CD＝eq\f(12\r(2),5).題型四利用直角三角形測量物體的高度例4[2017·張家界]位于張家界核心景區(qū)的賀龍銅像是我國近百年來最大的銅像，銅像由像體AD和底座CD兩部分組成，如圖4，在Rt△ABC中，∠ABC＝70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC＝45°，且CD＝2.3m，求像體AD的高度．(最后結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈圖4解：在Rt△BCD中，∠DBC＝45°，∴BC＝CD＝2.3，在Rt△ABC中，tan∠ABC＝eq\f(AC,BC)，tan70.5°＝eq\f(AD＋CD,BC)＝eq\f(AD＋2.3,2.3)，∴AD≈4.2(m)．答：像體AD的高度約為4.2m變式跟進(jìn)6．[2017·東營]一數(shù)學(xué)興趣小組來到某公園，準(zhǔn)備測量一座塔的高度．如圖5，在A處測得塔頂?shù)难鼋菫棣?，在B處測得塔頂?shù)难鼋菫棣?，又測量出A，B兩點(diǎn)的距離為sm，則塔高為eq\f(tanαtanβ,tanβ－tanα)·sm.圖5【解析】在Rt△CBD中，BD＝eq\f(CD,tanβ)，∴AD＝eq\f(CD,tanβ)＋s，在Rt△CAD中，CD＝ADtanα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,tanβ)＋s))·tanα，化簡得CD＝eq\f(tanαtanβ,tanβ－tanα)·s.7．[2017·鄂州]如圖6，小明想要測量學(xué)校食堂和食堂正前方一棵樹的高度，他從食堂樓底M處出發(fā)，向前走3m到達(dá)A處，測得樹頂端E的仰角為30°，他又繼續(xù)走下臺階到達(dá)C處，測得樹的頂端E的仰角是60°，再繼續(xù)向前走到大樹底D處，測得食堂樓頂N的仰角為45°.已知A點(diǎn)離地面的高度AB＝2m，∠BCA＝30°，且B，C，(1)求樹DE的高度；(2)求食堂MN的高度．圖6第7題答圖解：(1)由題意，得AF∥BC，∴∠FAC＝∠BCA＝30°，∴∠EAC＝∠EAF＋∠CAF＝30°＋30°＝60°.∵∠ACE＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－30°－60°＝90°，∴∠AEC＝180°－∠EAC－∠ACE＝180°－60°－90°＝30°.在△ABC中，∵∠BCA＝30°，AB＝2，∴AC＝2AB＝4.在△ACE中，∵∠AEC＝30°，AC＝4，∴EC＝eq\r(3)AC＝4eq\r(3).在△CDE中，∵sin∠ECD＝eq\f(ED,EC)，∠ECD＝60°，EC＝4eq\r(3)，∴sin60°＝eq\f(ED,4\r(3))，∴ED＝4eq\r(3)sin60°＝4eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝6(m)．答：樹DE的高度為6m(2)如答圖，延長NM交BC于點(diǎn)G，則GB＝MA＝3.在△ABC中，∵AB＝2，AC＝4，∴BC＝eq\r(AC2－AB2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).在△CDE中，∵CE＝4eq\r(3)，DE＝6，∴CD＝eq\r(CE2－DE2)＝eq\r(（4\r(3)）2－62)＝2eq\r(3).∴GD＝GB＋BC＋CD＝3＋2eq\r(3)＋2eq\r(3)＝3＋4eq\r(3).在△GDN中，∵∠NDG＝45°，∴NG＝GD＝3＋4eq\r(3).∴MN＝NG－MG＝NG－AB＝3＋4eq\r(3)－2＝(1＋4eq\r(3))m.答：食堂MN的高度為(1＋4eq\r(3))m.題型五利用直角三角形解決航海問題例5[2017·天水]如圖7，一艘輪船位于燈塔P南偏西60°方向的A處，它向東航行20海里到達(dá)燈塔P南偏西45°方向上的B處，若輪船繼續(xù)沿正東方向航行，求輪船航行途中與燈塔P的最短距離．(結(jié)果保留根號)圖7例5答圖解：如答圖，過P作PM⊥AB的延長線于點(diǎn)M，設(shè)PM＝x，則BM＝x，AB＝20.tan∠PAM＝eq\f(PM,AM)＝eq\f(x,x＋20)＝eq\f(\r(3),3)，解得x＝10eq\r(3)＋10，根據(jù)題意可知，最短距離為PM＝(10eq\r(3)＋10)海里．變式跟進(jìn)8．[2017·大慶]如圖8，已知一條東西走向的河流，在河流對岸有一點(diǎn)A，小明在岸邊點(diǎn)B處測得點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏東30°方向上，小明沿河岸向東走80m后到達(dá)點(diǎn)C，測得點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏西60°方向上，則點(diǎn)A到河岸BC的距離為__20eq\r(3)__m.圖8第8題答圖【解析】如答圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.根據(jù)題意，得∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝30°，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝eq\f(AD,BD)，∴BD＝eq\f(AD,tan60°).同理，在Rt△ACD中，CD＝eq\f(AD,tan30°)，∵BD＋CD＝BC＝80，∴eq\f(AD,tan60°)＋eq\f(AD,tan30°)＝80，解得AD＝20eq\r(3)，即點(diǎn)A到河岸BC的距離為20eq\r(3)m.9．[2017·天津]如圖9，一艘海輪位于燈塔P的北偏東64°方向，距離燈塔120海里的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處．求BP和BA的長．(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，eq\r(2)≈1.414)圖9第9題答圖解：如答圖，過點(diǎn)P作PM⊥AB于M，由題意可知，∠A＝64°，∠B＝45°，PA＝120.Rt△APM中，PM＝PA·sinA＝PA·sin64°≈108，AM＝PA·cosA＝PA·cos64°≈52.8.在Rt△BPM中，∵∠B＝45°，∴BM＝PM≈108，PB＝eq\r(2)PM≈153，∴BA＝BM＋AM≈108＋52.8≈161.答：BP長約為153海里，BA長約為161海里．題型六利用直角三角形解決坡度問題例6[2016·杭州期中]如圖10，水庫大壩截面的迎水坡坡比(DE與AE的長度之比)為1∶0.6，背水坡坡比為1∶2，大壩高DE＝30m，壩頂寬CD＝10m，圖10解：∵迎水坡坡比(DE與AE的長度之比)為1∶0.6，DE＝30m，∴AE＝18在Rt△ADE中，AD＝eq\r(DE2＋AE2)＝6eq\r(34)m，∵背水坡坡比為1∶2，∴BF＝60m在Rt△BCF中，BC＝eq\r(CF2＋BF2)＝30eq\r(5)m，∴周長＝DC＋AD＋AE＋EF＋BF＋BC＝6eq\r(34)＋10＋30eq\r(5)＋88＝(6eq\r(34)＋30eq\r(5)＋98)m，面積＝(10＋18＋10＋60)×30÷2＝1470(m2)．故大壩的截面的周長是(6eq\r(34)＋30eq\r(5)＋98)m，面積是1470m2.【點(diǎn)悟】坡度坡角問題關(guān)鍵是設(shè)法化歸為解直角三角形問題，必要時(shí)應(yīng)添加輔助線，構(gòu)造出直角三角形．在兩個(gè)直角三角形有公共直角邊時(shí)，先求出公共邊的長是解答此類題的基本思路．變式跟進(jìn)10．[2017·重慶]如圖11，已知點(diǎn)C與某建筑物底端B相距306m(點(diǎn)C與點(diǎn)B在同一水平面上)，某同學(xué)從點(diǎn)C出發(fā)，沿同一剖面的斜坡CD行走195m至坡頂D處．斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D處測得該建筑物頂端A的俯角為20°，則建筑物AB的高度約為(精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364A．29.1m B．31.9mC．45.9m D．95.9m圖11第10題答圖【解析】如答圖，過點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為E，解Rt△CDE得DE＝75m，CE＝180m，根據(jù)BC＝306m可求得BE＝126m，過A作AF⊥DE，∴AF＝BE＝126m，∵∠DAF＝20°，而tan20°≈0.364，即eq\f(DF,AF)＝eq\f(DF,126)，∴DF≈45.864m，∴AB＝DE－DF≈29.1m．過關(guān)訓(xùn)練1．[2017·洪澤]Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝eq\f(3,5)，AC＝6cm，那么BC等于(A)A．8cmB.eq\f(24,5)cmC.eq\f(18,5)cmD.eq\f(6,5)cm【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(3,5)，AC＝6cm，∴AB＝10cm，BC＝eq\r(AB2－AC2)＝8(cm)．2．[2016·益陽]小明利用測角儀和旗桿的拉繩測量學(xué)校旗桿的高度．如圖1，旗桿PA的高度與拉繩PB的長度相等．小明將PB拉到PB′的位置，測得∠PB′C＝α(B′C為水平線)，測角儀的高度為1m，則旗桿PA的高度為(A圖1A.eq\f(1,1－sinα)B.eq\f(1,1＋sinα)C.eq\f(1,1－cosα)D.eq\f(1,1＋cosα)【解析】設(shè)PA＝PB＝PB′＝x，在Rt△PCB′中，sinα＝eq\f(PC,PB′)，∴eq\f(x－1,x)＝sinα，∴x＝eq\f(1,1－sinα).3．計(jì)算：(1)sin260°－tan30°·cos30°＋tan45°；(2)eq\f(2sin30°,2sin60°－tan45°)－eq\f(3,2)cos60°.解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)－eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)＋1＝eq\f(3,4)－eq\f(1,2)＋1＝eq\f(5,4)；(2)原式＝eq\f(2×\f(1,2),2×\f(\r(3),2)－1)－eq\f(3,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,\r(3)－1)－eq\f(3,4)＝eq\f(\r(3)＋1,2)－eq\f(3,4)＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,4).4．[2017·安徽]如圖2，游客在點(diǎn)A處坐纜車出發(fā)，沿A－B－D的路線可至山頂D處，假設(shè)AB和BD都是直線段，且AB＝BD＝600m，α＝75°，β＝45°，求DE的長．(參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，eq\r(2)≈1.41)圖2解：在Rt△ABC中，∵cosα＝eq\f(BC,AB)，∴BC＝AB·cosα≈156(m)．在Rt△BDF中，∵sinβ＝eq\f(DF,BD)，∴DF＝BD·sinβ＝600×eq\f(\r(2),2)＝300eq\r(2)≈423(m)．又∵EF＝BC，∴DE＝DF＋EF≈579(m)．5．[2016·臨沂]一般地，當(dāng)α，β為任意角時(shí)，sin(α＋β)與sin(α—β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.例如sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°·sin30°＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝1.類似地，可以求得sin15°的值是__eq\f(\r(6)－\r(2),4)__．6．[2017·貴港]如圖3，點(diǎn)P在等邊三角形ABC的內(nèi)部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，將線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到P′C，連結(jié)AP′，則sin∠PAP′的值為__eq\f(3,5)__．圖3第6題答圖【解析】如答圖，連結(jié)PP′，∵線段PC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到P′C，∴CP＝CP′＝6，∠PCP′＝60°，∴△CPP′為等邊三角形，∴PP′＝PC＝6，∵△ABC為等邊三角形，∴CB＝CA，∠ACB＝60°，∴∠PCB＝∠P′CA，在△PCB和△P′CA中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(PC＝P′C，,∠PCB＝∠P′CA，,CB＝CA，))∴△PCB≌△P′CA，∴PB＝P′A＝10，∵62＋82＝102，∴PP′2＋AP2＝P′A2，∴△APP′為直角三角形，∠APP′＝90°，∴sin∠PAP′＝eq\f(PP′,P′A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).7．[2017·泰興校級二模]如圖4，在一筆直的海岸線l上有A，B兩個(gè)觀測站，A在B的正東方向，AB＝4km.有一艘小船在點(diǎn)P處，從A測得小船在北偏西60°的方向，從B測得小船在北偏東45°的方向．(1)求點(diǎn)P到海岸線l的距離(結(jié)果保留根號)；(2)小船從點(diǎn)P處沿射線AP的方向航行一段時(shí)間后到點(diǎn)C處，此時(shí)，從B測得小船在北偏西15°的方向．求點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的距離．(結(jié)果精確到0.1km，eq\r(2)≈1.41，eq\r(3)≈1.73)圖4第7題答圖解：(1)如答圖，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D.設(shè)PD＝xkm.在Rt△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD＝xkm.在Rt△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°－60°＝30°，∴AD＝eq\r(3)PD＝eq\r(3)xkm.∵BD＋AD＝AB，∴x＋eq\r(3)x＝4，x＝