云南省昆明市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文含解析

PAGE18-云南省昆明市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題文（含解析）留意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并仔細(xì)核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)交集的定義可求.【詳解】，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可得計(jì)算結(jié)果.【詳解】，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法，屬于基礎(chǔ)題.3.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先算出的坐標(biāo)，利用向量共線的坐標(biāo)形式可得到的值.【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，故選D.【點(diǎn)睛】假如，那么：（1）若，則；（2）若，則；4.已知雙曲線，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】令，則可得雙曲線的漸近線方程.【詳解】由可得雙曲線的漸近線方程，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線的求法，屬于基礎(chǔ)題.5.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】按規(guī)則寫(xiě)出存在性命題的否定即可.【詳解】命題“”的否定為“”，故選C.【點(diǎn)睛】全稱命題的一般形式是：，，其否定為.存在性命題的一般形式是，，其否定為.6.古印度“漢諾塔問(wèn)題”：一塊黃銅平板上裝著三根金銅石細(xì)柱，其中細(xì)柱上套著個(gè)大小不等的環(huán)形金盤(pán)，大的在下、小的在上.將這些盤(pán)子全部轉(zhuǎn)移到另一根柱子上，移動(dòng)規(guī)則如下：一次只能將一個(gè)金盤(pán)從一根柱子轉(zhuǎn)移到另外一根柱子上，不允許將較大盤(pán)子放在較小盤(pán)子上面.若柱上現(xiàn)有個(gè)金盤(pán)（如圖），將柱上的金盤(pán)全部移到柱上，至少須要移動(dòng)次數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)細(xì)柱上套著個(gè)大小不等的環(huán)形金盤(pán)，至少須要移動(dòng)次數(shù)記為，則，利用該遞推關(guān)系可求至少須要移動(dòng)次數(shù).【詳解】設(shè)細(xì)柱上套著個(gè)大小不等的環(huán)形金盤(pán)，至少須要移動(dòng)次數(shù)記為.要把最下面的第個(gè)金盤(pán)移到另一個(gè)柱子上，則必需把上面的個(gè)金盤(pán)移到余下的一個(gè)柱子上，故至少須要移動(dòng)次.把第個(gè)金盤(pán)移到另一個(gè)柱子上后，再把個(gè)金盤(pán)移到該柱子上，故又至少移動(dòng)次，所以，，故，，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，要求依據(jù)問(wèn)題情境構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，從而解決與數(shù)列有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.7.函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，，A，C，D均是錯(cuò)誤，選B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的識(shí)別，留意從函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、特別點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)等方面刻畫(huà)函數(shù)的圖像.8.設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是（）A.，則B.，則C.，則D.，則【答案】A【解析】分析】依據(jù)空間中點(diǎn)、線、面的位置逐個(gè)推斷即可.【詳解】直線所在的方向向量分別記為，則它們分別為的法向量，因，故，從而有，A正確.B、C中可能平行，故B、C錯(cuò)，D中平行、異面、相交都有可能，故D錯(cuò).綜上，選A【點(diǎn)睛】本題考查空間中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假推斷，屬于基礎(chǔ)題.9.已知實(shí)數(shù)，則滿意不等式的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】在坐標(biāo)平面中畫(huà)出基本領(lǐng)件的總體和隨機(jī)事務(wù)中包含的基本領(lǐng)件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，算出它們的面積后可得所求的概率.【詳解】基本領(lǐng)件的總體對(duì)應(yīng)的不等式組為，設(shè)為“不等式成立”，它對(duì)應(yīng)的不等式組為前者對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)檎叫芜吔缂捌鋬?nèi)部，后者對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)樗倪呅渭捌鋬?nèi)部（陰影部分），故，故選D.【點(diǎn)睛】幾何概型的概率計(jì)算關(guān)鍵在于測(cè)度的選取，測(cè)度通常是線段的長(zhǎng)度、平面區(qū)域的面積、幾何體的體積等．10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.在上單調(diào)遞減 D.在上單調(diào)遞增【答案】D【解析】【分析】先求出，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算的單調(diào)區(qū)間即可．【詳解】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故．因?yàn)?，所以即．令，則，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，故在上單調(diào)遞增．故選D．【點(diǎn)睛】對(duì)于三角函數(shù)的圖形，假如直線為其對(duì)稱軸，則，假如以作為其對(duì)稱中點(diǎn)，那么．解題中留意利用這特性質(zhì)求參數(shù)的取值．11.已知點(diǎn)在同一個(gè)球的球表面上，平面，，，，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用補(bǔ)體法把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，原三棱錐的外接球就是長(zhǎng)方體的外接球，故可求外接球的直徑，從而求得球的表面積．【詳解】把三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球就是原三棱錐的外接球，它的直徑為，故球的表面積為，故選B．【點(diǎn)睛】幾何體的外接球、內(nèi)切球問(wèn)題，關(guān)鍵是球心位置的確定，必要時(shí)需把球的半徑放置在可解的幾何圖形中．假如球心的位置不易確定，則可以把該幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，便于球心位置和球的半徑的確定．12.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，設(shè)，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令，利用在上為減函數(shù)可得的大小關(guān)系，從而得到正確的選項(xiàng)．【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)，故，即，故即，又，故，綜上，，故選B．【點(diǎn)睛】不同底、不同指數(shù)的冪比較大小，可依據(jù)底、指數(shù)的特點(diǎn)構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)考慮新函數(shù)的單調(diào)性從而得到冪的大小關(guān)系．二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.在等差數(shù)列中，，，則公差__________．【答案】2【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，從而．【詳解】因?yàn)椋?，所以，填．【點(diǎn)睛】一般地，假如為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）且；（3）且為等差數(shù)列；（4）為等差數(shù)列.14.曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為.【答案】【解析】試題分析：，，切線斜率為，切線方程為，即.故答案為.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求切線方程.15.在中，是中點(diǎn)，則______【答案】【解析】【分析】用表示后可計(jì)算它們的數(shù)量積.【詳解】因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，而，故，填.【點(diǎn)睛】向量的數(shù)量積的計(jì)算，有四種途徑：（1）利用定義求解，此時(shí)須要知道向量的模和向量的夾角；（2）利用坐標(biāo)來(lái)求，把數(shù)量積的計(jì)算歸結(jié)坐標(biāo)的運(yùn)算，必要時(shí)需建立直角坐標(biāo)系；（3）利用基底向量來(lái)計(jì)算，也就是用基底向量來(lái)表示未知的向量，從而未知向量數(shù)量積的計(jì)算可歸結(jié)為基底向量的數(shù)量積的計(jì)算；（4）靠邊靠角，也就是利用向量的線性運(yùn)算，把未知向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化到題設(shè)中的角或邊對(duì)應(yīng)的向量．16.已知橢圓，，，斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)，若直線平分線段，則的離心率等于__________．【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)差法求出的值后可得離心率的值．【詳解】設(shè)，則，故即，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故即，所以即，故，填．【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個(gè)等式關(guān)系．而離心率的取值范圍，則須要利用坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于的不等式或不等式組．另外，與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，可用點(diǎn)差法求解．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.梔子原產(chǎn)于中國(guó)，喜暖和潮濕、陽(yáng)光足夠的環(huán)境，較耐寒.葉，四季常綠；花，芳香素雅.綠葉白花，特別清麗.某地區(qū)引種了一批梔子作為綠化景觀植物，一段時(shí)間后，從該批梔子中隨機(jī)抽取棵測(cè)量植株高度，并以此測(cè)量數(shù)據(jù)作為樣本，得到該樣本的頻率分布直方圖（單位：），其中不大于（單位：）的植株高度莖葉圖如圖所示.(1)求植株高度頻率分布直方圖中的值；(2)在植株高度頻率分布直方圖中，同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表，植株高度落入該區(qū)間的頻率作為植株高度取該區(qū)間中點(diǎn)值的頻率，估計(jì)這批梔子植株高度的平均值.【答案】（1）；（2）1.60.【解析】【分析】（1）依據(jù)莖葉圖可得頻率，從而可計(jì)算.（2）利用組中值可計(jì)算植株高度的平均值.【詳解】（1）由莖葉圖知，.由頻率分布直方圖知，所以.（2）這批梔子植株高度的平均值的估計(jì)值.【點(diǎn)睛】本題考查頻率的計(jì)算及頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)若，且，是上的點(diǎn)，平分，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可把邊角的關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)式，從中可計(jì)算，故可求出.（2）利用解直角三角形可求出，再利用面積公式可求.【詳解】（1）解：由正弦定理得，因?yàn)?，所以，?又，所以（2）因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，在中，，所以，所以.【點(diǎn)睛】在解三角形中，假如題設(shè)條件是關(guān)于邊的二次形式，我們可以利用余弦定理化簡(jiǎn)該條件，假如題設(shè)條件是關(guān)于邊的齊次式或是關(guān)于內(nèi)角正弦的齊次式，那么我們可以利用正弦定理化簡(jiǎn)該條件，假如題設(shè)條件是邊和角的混合關(guān)系式，那么我們也可把這種關(guān)系式轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系式或邊的關(guān)系式.19.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和，其中為常數(shù).（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用求出當(dāng)時(shí)的通項(xiàng)，依據(jù)為等比數(shù)列得到的值后可得.（2）利用分組求和法可求的前項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以對(duì)也成立，所以，即.（2）由（1）可得，因?yàn)?，所以，所以，?【點(diǎn)睛】（1）數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系是，我們常利用這個(gè)關(guān)系式實(shí)現(xiàn)與之間的相互轉(zhuǎn)化.（2）數(shù)列求和關(guān)鍵看通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式，假如通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；假如通項(xiàng)是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯(cuò)位相減法；假如通項(xiàng)可以拆成一個(gè)數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)的差，那么用裂項(xiàng)相消法；假如通項(xiàng)的符號(hào)有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項(xiàng)求和法.20.如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，，，分別是棱的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)為，連結(jié)，可證四邊形是平行四邊形，故可得，從而得到要求證的線面平行.（2）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，可證為到平面的距離，最終利用體積公式計(jì)算三棱錐即可.【詳解】（1）證明：如圖，取中點(diǎn)為，連結(jié)，則，所以與平行與且相等，所以四邊形是平行四邊形，所以平面，平面，所以平面.（2）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，又因?yàn)槠矫妫云矫?，即為三棱錐的高.在菱形中可求得，在中，，所以所以，所以.【點(diǎn)睛】線面平行的證明的關(guān)鍵是在面中找到一條與已知直線平行的直線，找線的方法是平行投影或中心投影，我們也可以通過(guò)面面平行證線面平行，這個(gè)方法的關(guān)鍵是構(gòu)造過(guò)已知直線的平面，證明該平面與已知平面平行.三棱錐的體積的計(jì)算需選擇合適的頂點(diǎn)和底面，此時(shí)頂點(diǎn)究竟面的距離簡(jiǎn)單計(jì)算.21.已知函數(shù)，.（1）探討函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）【解析】【分析】（1）分兩種狀況探討導(dǎo)數(shù)的符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）依據(jù)（1）可知且，后者可得實(shí)數(shù)的取值范圍為，再依據(jù)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可知當(dāng)時(shí)函數(shù)確有兩個(gè)不同的零點(diǎn).【詳解】（1）解：因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，總有，所以在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，令，解得.故時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.同理時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合已知條件，由（1）知當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，解得，從而.又時(shí)，有，因?yàn)?，，令，則，所以在為增函數(shù)，故，所以，依據(jù)零點(diǎn)存在定理可知：在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)背景下的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)依據(jù)單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理來(lái)說(shuō)明．取點(diǎn)時(shí)要依據(jù)函數(shù)值簡(jiǎn)單計(jì)算、與極值點(diǎn)有明確的大小關(guān)系這兩個(gè)原則，探討所取點(diǎn)的函數(shù)值的正負(fù)時(shí)，可構(gòu)建新函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值的正負(fù)來(lái)推斷.22.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)，在上的射影為，且是邊長(zhǎng)為的正三角形.（1）求；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條相互垂直直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，設(shè)的面積為的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值.【答案】（1）2；（2）16.【解析】【分析