2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1章 計(jì)數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.1 第1課時(shí) 排列與排列數(shù)公式（教師用書）教案 新人教A版選修2-3

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章計(jì)數(shù)原理1.2排列與組合1.2.1第1課時(shí)排列與排列數(shù)公式（教師用書）教案新人教A版選修2-3學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為高中數(shù)學(xué)第1章計(jì)數(shù)原理中的1.2節(jié)“排列與組合”，著重講解1.2.1小節(jié)“排列與排列數(shù)公式”。教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系在于，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中掌握了自然數(shù)的基本性質(zhì)、數(shù)列的概念以及簡單的數(shù)列求和，為本節(jié)課理解排列的概念及排列數(shù)公式的推導(dǎo)打下了基礎(chǔ)。本節(jié)將引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，探究排列的規(guī)律，理解排列數(shù)公式的含義，并能運(yùn)用排列數(shù)公式解決實(shí)際問題。新人教A版選修2-3教材為依據(jù)，圍繞排列的定義、排列數(shù)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用展開，確保教學(xué)內(nèi)容與課本緊密關(guān)聯(lián)，滿足教學(xué)實(shí)際需求。核心素養(yǎng)目標(biāo)二、核心素養(yǎng)目標(biāo)：本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生以下學(xué)科核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算。通過探究排列的定義和排列數(shù)公式，提升學(xué)生從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)概念的能力，強(qiáng)化邏輯推理能力，能夠合理解釋排列數(shù)公式的推導(dǎo)過程。同時(shí)，通過解決實(shí)際問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)情境的能力。此外，課程強(qiáng)調(diào)對(duì)排列數(shù)公式的準(zhǔn)確運(yùn)算和應(yīng)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，確保學(xué)生能夠熟練運(yùn)用公式，準(zhǔn)確計(jì)算排列數(shù)，為后續(xù)學(xué)習(xí)排列組合的應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。以上目標(biāo)均與新教材要求相符，注重學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的全面提升。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已掌握的相關(guān)知識(shí)：學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)掌握了加法原理、乘法原理等基本計(jì)數(shù)原理，了解了數(shù)列的概念及其求和方法，具備了初步的數(shù)學(xué)推理和問題分析能力。此外，學(xué)生對(duì)整數(shù)的性質(zhì)、排列的概念也有一定的認(rèn)識(shí)，這些都為本節(jié)課學(xué)習(xí)排列數(shù)公式奠定了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：高中階段的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣和能力有所差異，但普遍具備一定的邏輯思維能力。學(xué)生對(duì)新穎有趣的問題感興趣，喜歡通過探究、合作的方式解決問題。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，有的學(xué)生喜歡從具體實(shí)例中抽象概括，有的則擅長通過邏輯推理來理解新知識(shí)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在本節(jié)課中，學(xué)生可能會(huì)在以下幾個(gè)方面遇到困難：首先，從具體實(shí)例中抽象出排列數(shù)公式的過程中，理解排列的約束條件和公式推導(dǎo)可能會(huì)存在困難；其次，對(duì)于排列數(shù)公式的靈活運(yùn)用，學(xué)生可能會(huì)在解決具體問題時(shí)感到困惑；最后，學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，可能會(huì)由于計(jì)算失誤導(dǎo)致答案錯(cuò)誤。針對(duì)這些困難和挑戰(zhàn)，教師需要適時(shí)引導(dǎo)，提供針對(duì)性的輔導(dǎo)和支持，幫助學(xué)生克服困難，提高學(xué)習(xí)效果。教學(xué)方法與策略1.教學(xué)方法選擇：

針對(duì)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)者特點(diǎn)，主要采用以下教學(xué)方法：

（1）講授法：教師通過講解排列的定義、排列數(shù)公式的推導(dǎo)過程及應(yīng)用，幫助學(xué)生建立知識(shí)框架，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)。

（2）討論法：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，讓學(xué)生在交流中碰撞思維火花，加深對(duì)排列數(shù)公式的理解。

（3）案例研究法：通過分析具體實(shí)例，讓學(xué)生在實(shí)際問題中感受排列數(shù)公式的應(yīng)用，提高解決問題的能力。

（4）項(xiàng)目導(dǎo)向?qū)W習(xí)：設(shè)置具有挑戰(zhàn)性的項(xiàng)目任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

2.教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（1）導(dǎo)入環(huán)節(jié)：通過一個(gè)與學(xué)生生活密切相關(guān)的排列問題，引起學(xué)生的興趣，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)。

（2）講授環(huán)節(jié)：結(jié)合PPT展示，講解排列的定義、排列數(shù)公式及其推導(dǎo)過程。

（3）討論環(huán)節(jié)：將學(xué)生分成小組，針對(duì)特定問題進(jìn)行討論，分享各自觀點(diǎn)，互相啟發(fā)。

（4）案例分析環(huán)節(jié)：給出幾個(gè)典型實(shí)例，讓學(xué)生運(yùn)用排列數(shù)公式解決問題，并分享解題過程。

（5）項(xiàng)目任務(wù)環(huán)節(jié)：設(shè)置一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的排列問題，要求學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成項(xiàng)目任務(wù)，鍛煉學(xué)生的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

（6）總結(jié)環(huán)節(jié)：通過提問、學(xué)生回答的方式，鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)排列數(shù)公式的理解。

3.教學(xué)媒體和資源使用：

（1）PPT：制作精美的PPT課件，展示排列的定義、排列數(shù)公式、實(shí)例等關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，幫助學(xué)生形象地理解抽象概念。

（2）視頻：播放與排列相關(guān)的教學(xué)視頻，讓學(xué)生更直觀地了解排列數(shù)公式的推導(dǎo)過程。

（3）在線工具：利用在線數(shù)學(xué)工具，如數(shù)學(xué)公式編輯器、計(jì)算器等，輔助學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算，提高計(jì)算效率。

（4）教材：以新人教A版選修2-3教材為藍(lán)本，結(jié)合教材內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)。

（5）其他教學(xué)資源：根據(jù)需要，準(zhǔn)備相關(guān)教學(xué)素材，如排列問題實(shí)例、項(xiàng)目任務(wù)指導(dǎo)書等。教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對(duì)排列的興趣，激發(fā)其探索排列數(shù)公式的欲望。

過程：

開場提問：“你們知道什么是排列嗎？它在我們的生活中有什么作用？”

展示一些生活中的排列實(shí)例，如體育比賽排名、服裝搭配等，讓學(xué)生初步感受排列的應(yīng)用。

簡短介紹排列的基本概念和在實(shí)際問題中的重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.排列基礎(chǔ)知識(shí)講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解排列的定義、排列數(shù)公式的含義和推導(dǎo)。

過程：

講解排列的定義，包括排列的約束條件和排列數(shù)的計(jì)算方法。

詳細(xì)介紹排列數(shù)公式的推導(dǎo)過程，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

3.排列案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解排列的特性及排列數(shù)公式的應(yīng)用。

過程：

選擇幾個(gè)典型的排列案例進(jìn)行分析，如電話號(hào)碼組合、賽事安排等。

詳細(xì)介紹每個(gè)案例的背景、特點(diǎn)和意義，讓學(xué)生全面了解排列數(shù)公式的應(yīng)用場景。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對(duì)實(shí)際問題解決的影響，以及如何運(yùn)用排列數(shù)公式解決實(shí)際問題。

小組討論：讓學(xué)生分組討論排列數(shù)公式在生活中的其他應(yīng)用，并提出創(chuàng)新性的想法或建議。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個(gè)與排列相關(guān)的實(shí)際問題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該問題的解決方案，探討如何運(yùn)用排列數(shù)公式解決。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時(shí)加深全班對(duì)排列數(shù)公式的認(rèn)識(shí)和理解。

過程：

各組代表依次上臺(tái)展示討論成果，包括問題背景、解決方案和運(yùn)用排列數(shù)公式的過程。

其他學(xué)生和教師對(duì)展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點(diǎn)評(píng)，促進(jìn)互動(dòng)交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)排列數(shù)公式的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括排列的定義、排列數(shù)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用等。

強(qiáng)調(diào)排列數(shù)公式在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用，鼓勵(lì)學(xué)生在生活中積極發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用排列數(shù)公式。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫一篇關(guān)于排列數(shù)公式的應(yīng)用短文或報(bào)告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。知識(shí)點(diǎn)梳理1.排列的定義：

（1）排列的概念：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列。

（2）排列的約束條件：排列中元素的順序是有關(guān)系的，即元素的不同排列順序構(gòu)成不同的排列。

（3）排列的表示方法：Anm表示從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列總數(shù)。

2.排列數(shù)公式的推導(dǎo)：

（1）乘法原理：在進(jìn)行排列時(shí)，第一個(gè)位置有n種選擇，第二個(gè)位置有n-1種選擇，以此類推，直到第m個(gè)位置有n-m+1種選擇。

（2）排列數(shù)公式：根據(jù)乘法原理，得到排列數(shù)公式為Anm=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)。

3.排列數(shù)公式的應(yīng)用：

（1）計(jì)算具體排列問題：如電話號(hào)碼組合、賽事安排等。

（2）解決實(shí)際問題：將排列數(shù)公式應(yīng)用于生活、學(xué)習(xí)中的問題，如服裝搭配、座位安排等。

4.排列的特例：

（1）全排列：從n個(gè)不同元素中取出n個(gè)元素的排列，記為An。

（2）全排列的排列數(shù)為An=n!（n的階乘）。

5.排列的性質(zhì)：

（1）對(duì)稱性：Anm=An'n，其中n'為n的任意排列。

（2）遞推關(guān)系：Anm=An-1m-1+An-1m，表示從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)等于從n-1個(gè)元素中取出m-1個(gè)元素的排列數(shù)加上從n-1個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)。

6.排列的應(yīng)用領(lǐng)域：

（1）組合數(shù)學(xué)：排列組合是組合數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，應(yīng)用于各種計(jì)數(shù)問題。

（2）計(jì)算機(jī)科學(xué)：排列在算法設(shè)計(jì)、程序優(yōu)化等方面具有重要作用。

（3）運(yùn)籌學(xué)：在優(yōu)化問題、調(diào)度問題等方面，排列方法具有重要意義。

7.排列與其他數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系：

（1）排列與組合：排列與組合是計(jì)數(shù)原理的兩大分支，它們相互補(bǔ)充，共同解決實(shí)際問題。

（2）排列與數(shù)列：排列可以看作是數(shù)列的特殊情況，數(shù)列的求和問題可轉(zhuǎn)化為排列問題。板書設(shè)計(jì)①重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：

1.排列的定義

-從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列

-排列的順序有關(guān)系

-Anm表示排列總數(shù)

2.排列數(shù)公式

-Anm=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)

-乘法原理推導(dǎo)

3.排列的性質(zhì)

-對(duì)稱性：Anm=An'n

-遞推關(guān)系：Anm=An-1m-1+An-1m

②關(guān)鍵詞：

-排列

-排列數(shù)公式

-乘法原理

-對(duì)稱性

-遞推關(guān)系

③重點(diǎn)句子：

1."排列是按照一定順序從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合。"

2."排列數(shù)公式是通過乘法原理推導(dǎo)出來的，表示為Anm=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)。"

3."排列具有對(duì)稱性和遞推關(guān)系，這些性質(zhì)可以幫助我們更好地理解和解決排列問題。"

板書設(shè)計(jì)示例：

```

排列與排列數(shù)公式

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1.排列定義

-順序有關(guān)系

-Anm表示總數(shù)

2.排列數(shù)公式

-Anm=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)

-乘法原理

3.排列性質(zhì)

-對(duì)稱性：Anm=An'n

-遞推關(guān)系：Anm=An-1m-1+An-1m

關(guān)鍵詞：排列、排列數(shù)公式、乘法原理、對(duì)稱性、遞推關(guān)系

```

板書設(shè)計(jì)應(yīng)簡潔明了，采用圖形、顏色等藝術(shù)元素增加趣味性，突出重點(diǎn)，便于學(xué)生理解和記憶。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測一、課堂小結(jié)

1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了排列的定義，理解了排列的順序是有關(guān)系的，并學(xué)習(xí)了排列數(shù)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。

2.通過具體案例的分析，我們了解了排列數(shù)公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，如電話號(hào)碼組合、賽事安排等。

3.我們還學(xué)習(xí)了排列的性質(zhì)，如對(duì)稱性和遞推關(guān)系，這些性質(zhì)可以幫助我們更好地理解和解決排列問題。

4.最后，我們討論了排列的應(yīng)用領(lǐng)域，如組合數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)等，以及排列與其他數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系，如排列與組合、排列與數(shù)列等。

二、當(dāng)堂檢測

1.請(qǐng)簡述排列的定義。

2.請(qǐng)推導(dǎo)排列數(shù)公式。

3.請(qǐng)舉例說明排列數(shù)公式的應(yīng)用。

4.請(qǐng)解釋排列的對(duì)稱性和遞推關(guān)系。

5.請(qǐng)談?wù)勁帕性谟?jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用。

6.請(qǐng)說明排列與組合、排列與數(shù)列的聯(lián)系。

三、課后作業(yè)

1.請(qǐng)根據(jù)排列數(shù)公式計(jì)算以下排列問題：

-從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)。

-從7個(gè)不同元素中取出4個(gè)元素的排列數(shù)。

2.請(qǐng)解決以下實(shí)際問題：

-有7位同學(xué)參加比賽，要從中選擇3位同學(xué)進(jìn)行頒獎(jiǎng)，有多少種不同的頒獎(jiǎng)方式？

-有5位同學(xué)參加數(shù)學(xué)競賽，要從中選擇2位同學(xué)進(jìn)行決賽，有多少種不同的決賽組合？

四、拓展閱讀

1.請(qǐng)閱讀教材中的相關(guān)章節(jié)，進(jìn)一步了解排列的其他性質(zhì)和應(yīng)用。

2.請(qǐng)查閱相關(guān)資料，了解排列在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用，如生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等。

五、學(xué)習(xí)反思

1.本節(jié)課你學(xué)到了哪些新知識(shí)？

2.你對(duì)排列數(shù)公式的推導(dǎo)過程是否理解清楚？

3.你能舉例說明排列在實(shí)際問題中的應(yīng)用嗎？

4.你對(duì)排列的其他性質(zhì)和應(yīng)用領(lǐng)域有哪些疑問？

5.你認(rèn)為排列與其他數(shù)學(xué)概念的聯(lián)系如何？

六、課堂小結(jié)與檢測評(píng)價(jià)

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)排列的定義、排列數(shù)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用有了深入的理解。

2.學(xué)生能夠運(yùn)用排列數(shù)公式