3高考2模擬 高考數(shù)學(xué) 第五章 高考數(shù)學(xué) 第一節(jié) 平面向量

第五章平面向量、解三角形

第一節(jié)平面向量第一部分三年高考薈萃

2010年高考題

一、選擇題

1.(2010湖南文)6.若非零向量a,b滿(mǎn)足|“l(fā)=lbl,(2a+6>6=0,則a與b的夾角為

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】C

UUIUU

2.(2010全國(guó)卷2理)(8)748。中，點(diǎn)。在43上，。平方/)。5.若。3=4,2=6,

UUW

同=1,網(wǎng)=2,則CD-

1?213443

(A)—a+—b(B)—a+—b(C)—a+—b(D)—a+—b

33335555

【答案】B

【命題意圖】本試題主要考查向量的基本運(yùn)算，考查角平分線(xiàn)定理.

【解析】因?yàn)镃Q平分乙4CB，由角平分線(xiàn)定理得理=2,所以D為AB的三等

|DB||CB|1

—2—2————...2—1—2-1-

分點(diǎn)，且AD=—AB=—(CB-CA),所以CD=CA+AD=—CB+—CA=—a+—b,

333333

故選B.

3.(2010遼寧文)(8)平面上0,48三點(diǎn)不共線(xiàn)，設(shè)a=2,方=書(shū)，則AOZ8的面積等

于

(A)桐［”而(B)洞解+0而

?引"Q而⑺WW+Q而

【答案】c

解析:

SMAB=；l￡ll5lsin<￡,5>=gl7RlJl-cos2<￡l>=gl￡ll5ljl—3片

MW

洞腳一0而

4.(2010遼寧理)(8)平面上0,A,B三點(diǎn)不共線(xiàn)，設(shè)OA=a,OB=b,則AOAB的面積等于

(A)他力|2—g份2⑻7l?l2l^l2+(?b)2

(0；而|2|92_g32(D)；而|2力|2十①分

【答案】C

【命題立意】本題考查了三角形面積的向量表示，考查了向量的內(nèi)積以及同角三角函數(shù)的基

本關(guān)系。

【解析】三角形的面積S=1|a|bsin〈a,b>,而

2

gjlaF.F_(麗=,JlaF|/)|2—(ab)2cos?<>

—IaII/)IJl-cos2<a,h>=—I<7IIftIsin<a,b>

22

5.(2010全國(guó)卷2文)(10)AABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分NACB,若醞=a,CA=

b,|=1,\h|=2,貝同=

1?213443

(A)—a+—b(B)—a+—b(C)—a+—b(D)—a+—b

33335555

【答案】B

【解析】B：本題考查了平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)

BDBC

?：CD為角平分線(xiàn)，；.ADAC2,AB=CB-CA=a-b,

AD^-AB^-a--bCD^CA+AD^b+-a--b^-a+-b

333,二3333

⑶設(shè)向量a=（1,0）,6=（；,；）,則下列結(jié)論中正確的是

6.（2010安徽文）

(A)|a|=|6|(B)ab=

2

(C)a!lb(D)a-b與6垂直

【答案】D

【解析】=(a-b)b=O,所以。一)與分垂直.

【規(guī)律總結(jié)】根據(jù)向量是坐標(biāo)運(yùn)算，直接代入求解，判斷即可得出結(jié)論.

7.(2010重慶文)(3)若向量Q=(3,〃Z),h=(2,-1),[6=0,則實(shí)數(shù)的值為

33

(A)一一(B)一

22

(C)2(D)6

【答案】D

解析：ab=6-m=0,所以m二6

8.(2010重慶理)(2)已知向量a,b滿(mǎn)足Q?6=0,同=1,同=2,,則|2"4=

A.0B.272C.4D.8

【答案】B

解析：|2a—臼=yl(2a-b)2=^4a2-4a-b+b2=次=2/

9.(2010山東文)(12)定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下：對(duì)任意的。=(〃?,〃)，

b-(p,q),令ab-mq-np,下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是

(A)若a與b共線(xiàn)，則ab=0

(B)ab-ba

(C)對(duì)任意的/le火，有(丸“)b=Mab)

(D)(ab)2+(a?b)2=lal2l/>l2

【答案】B

10.(2010四川理)(5)設(shè)點(diǎn)"是線(xiàn)段比的中點(diǎn)，點(diǎn)/在直線(xiàn)BC外，

苑2=16,|而+祀|=|樂(lè)一祝貝ijAM\^

(4)8")4(O2(〃)1解析：由前2=16,得|a1=4

刀+刀|=|海-刀|=|就|=4

而AB+AC\=2\AM\

故AM\=2

【答案】C

11.(2010天津文)(9)如圖，在△ABC中，前=/麗，］而卜1,貝I」％?瓦=

(R)G

(D)V3

(A)2A/3VD?--(C)

2T

【答案】D

【解析】木題主要考查平面向量的基本運(yùn)算與解三角形的基礎(chǔ)知

識(shí)，屬于難題。

AC?AD=\AC\?\AD\cosZDAC=1ACI?cosADAC=1NCIsinABAC

=5CsinB=V3

【溫馨提示】近幾年天津卷中總可以看到平面向量的身影，且均屬于中等題或難題，應(yīng)加強(qiáng)

平面向量的基本運(yùn)算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問(wèn)題。

12.(2010廣東文)

5.若向量;=("),5=(2.5),；=(3,x)滿(mǎn)足條件(8>1)；=30,則工=

A.60.CJ.?

解：(8a-K)=(8.8)-(2.5)=(6.3)

(8a-2>c=6x3+3x=30=x=4,選C

13.(2010福建文)

S.若向WJ=(x.：5(xeM，則"x=4"是"|&卜5”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充嬖條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【解析】由x=4需；=(4.力所以舊卜5】反之.由|1|=5可幻x=±4?

【命題意圖】本題零查平面向量.常用邏輯用語(yǔ)等基礎(chǔ)知識(shí).

14.(2010全國(guó)卷1文)(11)已知圓。的半徑為1,PA、PB為該圓的兩條切線(xiàn)，A、B為兩

切點(diǎn)，那么蘇?麗的最小值為

(A)-4+V2⑻—3+0(C)—4+20(D)-3+272

【答案】D

【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算與圓的切線(xiàn)長(zhǎng)定理，著重考查最值的求法一

一判別式法，同時(shí)也考查了考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解題的能力及運(yùn)算能力.

即力—（1+丁口2—y=0,由r是實(shí)數(shù)，所以

A=[-（l+j；）]2-4xlx（-y）>0,y2+6y+l>Q,解得yV-3-2忘或y2-3+2血.

故（蘇?麗）min=-3+2JL此時(shí)X=VV2-1.

mafic.O17ADDnnnPA?PB-（PA\（PB\cOS01/tan—COS，

【解析2】設(shè)44PB=。,0<。<乃，,八）12J

2夕l-sin^Yl-2sin^1

cos

l-2sin2^2e

____2換元：x=sin'—,0<x<l,

.id2

sin-

2

向.而二（j）（-2,）=2X+,_3N2層3

XX

【解析3】建系：園的方程為/+；/=1,設(shè)44%）,8（七,一凹），尸*0,0），

尸/?尸8=（須一/，必）,（為一/，—%）=片_2石玉）十片一切2

2

AO-LPA=>（X）,?（Xj-xo,yj=0=>X]-x}xG4-=0=>x]xQ-1

—

PA?PB—Xy—2X|XQ+x；-—x；-2+x；-（1-x；）—2x；+x：-322>/23

,2

15.（2010四川文）（6）設(shè)點(diǎn)”是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在直線(xiàn)8c外，BC=16,

同+陽(yáng)=府-園，貝“西=

(1)8(0492(〃)1

【答案】C

解析：由8C=16,得18a=4

方+配|=|荔-%|=|元|=4

而方+配|=2|而

故AM\-2

16.(2010湖北文)8.已知A48c和點(diǎn)M滿(mǎn)足血+礪+荻=0.若存在實(shí)加使得

AM+AC=mAM成立，則〃？二

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】由題目條件可知，M為△ABC的重心，連接AV并延長(zhǎng)交BC于D,

則萬(wàn)7=2①①，因?yàn)锳D為中或則觸+而=2力=加宿，

3

即2萬(wàn)=加罰②，聯(lián)立①?可得比3,故B正確.

17.(2010山東理)(12)定義平面向量之間的一種運(yùn)算“”如下，對(duì)任意的￡=(m,n),

b=(p,q),令ab=mq-np,下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.若a與B共線(xiàn)，則ab=OB.ab=ba

c.對(duì)任意的/UR,有(而)b=2(ab)D.(ab)2+(ab)2=lal2lbl2

【答案】B

【解析】若a與6共線(xiàn)，則有ab=mq-np=0,故A正確；因?yàn)?a=pn-qm,而

ab=mq-np,所以有abba,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，故選B。

【命題意圖】本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬創(chuàng)新題型，考查平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)

以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

uuuuuu

18.(2010湖南理)4、在H/A48c中，ZC=90°AC=4,則等于

A、-16B、-8C、8D、16

【答案】A

【解析】因?yàn)镹C=90",所以就?而=“

HrUAJ5*JC=(JC+C3>JC=(JC):+JC.C8=16,故選Ek

【命題意圖】本題考查向量的加法的運(yùn)皙，向量的數(shù)量積，層中檔題"

19.(2010年安徽理)

3、設(shè)向量a=0.0),&=(；'),則下列站途中正碉的是

A、同=陽(yáng)B、a?b=*■C、a-A與白垂直IXaHb

3.C

【解析】a-?=d.-3，(a-6)O>=0,驅(qū)a-▲與A垂直

【方法4確】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)過(guò).■接驗(yàn)證很容易先掛除掉選項(xiàng)A、B、D.然后驗(yàn)證C即可得出結(jié)論

20.(2010湖北理)5.已知AABC和點(diǎn)M滿(mǎn)足M氏+M白+M(b=O.若存在實(shí)數(shù)m使得

->-->-->

AB+AC=mAM成立，則m=

A.2B.3C.4D.5

5.【答案】B

【解析】由題目條件可知，M為^ABC的重心，連接AM并延長(zhǎng)交BC于D,

則麗二萬(wàn)①，因?yàn)锳D為中線(xiàn)則在+而-2筋-m萬(wàn)7,

3

即2力雨②，聯(lián)立①②可得JF3,故B正確.

二、填空題

1.(2010上海文)13.在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線(xiàn)「的中心在原點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為

(75,0),3=(2,1)、&=(2,—1)分別是兩條漸近線(xiàn)的方向向量。任取雙曲線(xiàn)「上的

點(diǎn)、P,若OP=ae\+be2(a、6￡7?),則Q、b滿(mǎn)足的一個(gè)等式是_456=1。

解析：因?yàn)閆=(2,1)、e2=(2,—1)是漸進(jìn)線(xiàn)方向向量,所以雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為y=土gx,

又c=Q=2,6=1

雙曲線(xiàn)方程為二--y2=1

OP=ae\+he2-(2a+2b,a-b),

4

2

：.Q"+2份_(a_/,)=1,化簡(jiǎn)得4^6=1

4

2.（2010浙江理）（16）已知平面向量a，Z?（aK0,aH〃）滿(mǎn)足期=1,且a與￡—a的夾

角為120。，則國(guó)的取值范圍是.

解析：利用題設(shè)條件及其幾何意義表示在三角形中，即可迎刃而解，本題主要考察了平面向

量的四則運(yùn)算及其兒何意義，突II；考察了對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)形結(jié)合的能力，屬中檔題。

3.（2010陜西文）12.已知向量a=（2,-1）,b=（-1,加，c=（-1,2）若（a+6）

//c,則

【答案】-1

解析：a+b=(1,加一1),由(o+b)〃c得1x2-(加一1)x(-1)=0,所以m=T

4.（2010江西理）13.已知向量Z,1滿(mǎn)足同=1,慟=2,1與3的夾

角為60。，則|￡一可=

【答案】百

【解析】考查向量的夾角和向量的模長(zhǎng)公式，以及向量三角形法則、余弦

定理等知識(shí)，如圖￡=方1=0及￡一5=麗一礪=定，由余弦定理

得邛叫=百

5.（2010浙江文）（17）在平行四邊形ABCD中，0是AC與BD的交點(diǎn)，P、Q、M、N分別是

線(xiàn)段0A、OB、0C、OD的中點(diǎn)，在APMC中任取一點(diǎn)記為E,在B、Q、N、D中任取一點(diǎn)記為F,

設(shè)G為滿(mǎn)足向量03=宿方的點(diǎn)，則在上述的點(diǎn)G組成的集合中的點(diǎn)，落在平行四邊

形ABCD外（不含邊界）的概率為。

J

國(guó)17

3

答案：-

4

6.(2010浙江文)(13)已知平面向量a,閔a|=l,網(wǎng)=2,a，(a—2Q),則|2〃+川的值是

答案：V10

7.(2010天津理)(15)如圖，在/BC中，ADA.AB,BC=43BD,

回=1,則ACZ5=.'

【答案】D『一-「?二

【解析】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算與解三角形的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于難題。

AC?AD=\ACcosZDAC=\AC\?cosZDAC=\AC\sinZBAC

-BCsinB=y/3

【解析】近兒年天津卷中總可以看到平面向量的身影，且均屬于中等題或難題，應(yīng)加強(qiáng)平面

向量的基本運(yùn)算的訓(xùn)練，尤其是與三角形綜合的問(wèn)題。

8.(2010廣東理)10.若向量二=(1,l,x),b=(1,2,1),：=(1,1,1),滿(mǎn)足條件

(0一。)?(26)二-2,則x-

【答案】2

c一Q=(0,0』一x),(c-Q)?(26)=2(0,0,1-%)?(!,2,1)=2(1-x)=-2,解得x=2.

三、解答題

1.(2010江蘇卷)15、(本小題滿(mǎn)分14分)

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(—"1,—2)、B(2,3)、C(—2,—1)?

(1)求以線(xiàn)段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)；

⑵設(shè)實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足(獲一而)?而=0,求t的值。

［解析］本小題考查平面向量的兒何意義、線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積，考查運(yùn)算求解能力。滿(mǎn)分14

分。

(1)(方法一)由題設(shè)知方=(3,5),%=(—1,1),則

方+就=(2,6),海-配=(4,4).

所以I方+配1=2麗,1而一萬(wàn)1=472.

故所求的兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)分別為40、2廂。

(方法二)設(shè)該平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)為D,兩條對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為E,貝IJ:

E為B、C的中點(diǎn)，E(0,1)

又E(0,1)為A、D的中點(diǎn)，所以D(1,4)

故所求的兩條對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)分別為BC=4>/2、AD=2jIU；

(2)由題設(shè)知：OC=(-2,-1),萬(wàn)一/無(wú)=(3+2/,5+力。

由(礪一/而)?而=0,得：(3+27,5+/>(—2,—1)=0,

從而57=—11,所以，=—以。

5

或者：TB-OC=tOC2,7^=(3,5),fJ空元=_U

\OCI25

2009年高考題

一、選擇題

1.（2009年廣東卷文）已知平面向量不（x,D，左（一Jr,》?），則向量a+方（）

A平行于x軸B.平行于第一、三象限的角平分線(xiàn)

C.平行于歹軸D.平行于第二、四象限的角平分線(xiàn)

答案C

解析a+Z>=（0,l+x2）,由1+/工0及向量的性質(zhì)可知,C正確.

2.（2009廣東卷理）一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力大，工，招（單位：牛頓）的作用而處于

平衡狀態(tài).已知月，工成60°角，且耳，B的大小分別為2和4,則巴的大小為（）

A.6B.2C.275D.2s

答案D

解析F；=F：+可-2月F2cos（180°-60°）=28,所以居=，選D.

3.（2009浙江卷理）設(shè)向量a,力滿(mǎn)足：1。1=3,1>1=4,ab-0.以a,b,a-）的

模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為（）

A.3B.4C.5D.6

答案C

解析對(duì)于半徑為1的圓有一個(gè)位置是正好是三角形的內(nèi)切圓，此時(shí)只有三個(gè)交點(diǎn)，

對(duì)于圓的位置稍?右移或其他的變化,能實(shí)現(xiàn)4個(gè)交點(diǎn)的情況，但5個(gè)以上的交點(diǎn)不能

實(shí)現(xiàn).

4.（2009浙江卷文）已知向量a=（1,2）,》=（2,—3）.若向量c滿(mǎn)足（c+a）//》，c，（“+》），

則。=（）

答案D

解析不妨設(shè)C=(?7,〃)，則。+。=(1+機(jī),2+〃),。+3=(3,-1),對(duì)于(c+a)〃5,

則有一3(1+/?)=2(2+〃)；又cJ_(a+B),貝!J有3加一〃=0,則有加=-",〃=-(

【命題意圖】此題主要考查了平血向量的坐標(biāo)運(yùn)算，通過(guò)平面向量的平行和垂直關(guān)系的

考查，很好地體現(xiàn)了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算在解決具體問(wèn)題中的應(yīng)用.

5.（2009北京卷文）已知向量a==（0,l）,c=ka+b（左eR）,d=a-b,如果?！╠

那么（）

A.左=1且C與d同向B.左=1且c與d反向

C.4=-1且C與d同向D.4=-1且C與“反向

答案D

解析本題主要考查向量的共線(xiàn)（平行）、向量的加減法.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算考查.

".'a=（l,0）,b—（0,1）,若一=1,則c=a+6=（1,1）,d=a—b=（1,—1）>

顯然，a與6不平行，排除A、B.

若左=-1,貝IIc=-a+6=（—1,1）,d=-a+b=—1,1）,

即c〃"且c與d反向，排除C,故選D.

6.（2009北京卷文）設(shè)D是正生鳥(niǎo)鳥(niǎo)及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合，點(diǎn)片是ME鳥(niǎo)的中心,

若集合S={PIPG"IPK國(guó)理1"=1,2,3},則集合S表示的平面區(qū)域是（）

A.三角形區(qū)域B.四邊形區(qū)域

C.五邊形區(qū)域D.六邊形區(qū)域

答案D

解析本題主要考查集合與平面幾何基礎(chǔ)知識(shí).本題主要

考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力，考查學(xué)生

分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.屬于創(chuàng)新題型.如圖，A、B、

C、D、E、F為各邊三等分點(diǎn)，答案是集合S為六邊形ABCDEF,

其中，P0A=P2A<PiA{i=\,S）即點(diǎn)P可以是點(diǎn)A.

7.（2009北京卷理）已知向量3、6不共線(xiàn)，6=人+%左€心，公4一6,如果?！?,那么（）

A.左=1且c與d同向B.人=1且（?與"反向

C.左=—1且c與"同向D.左=—1且c與"反向

答案D

解析本題主要考查向量的共線(xiàn)（平行）、向量的加減法.屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算的考

查.

取a=(l,O),6=(0,1),若左=1,則c=a+6=(1,1),d-a-b-(h_l)>

顯然，a與6不平行，排除A、B.

若4=—1,貝ijc=—a+Z>=(—1,1),d=—a+Z>=—1,1),

即c〃"且c與d反向，排除C,故選D.

8.(2009山東卷理)設(shè)P是4ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，BC+BA=2BP,則()

A.PA+PB=OB.PC+PA=OC.PB+PC=QD.PA+PB+PC=（）

答案B

解析：因?yàn)閮?cè)+方=2而，所以點(diǎn)P為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)，所以應(yīng)該選B。

【命題立意】：本題考查了向量的加法運(yùn)算和平行四邊形法則，可以借助圖形解答.

9.（2009全國(guó)卷n文）已知向量a=（2,1）,a?b-10,\a+bI=5&，則I6I=

A.y/5B.V10C.5D.25

答案C

解析本題考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算和性質(zhì)，由。+6=5&知（a+b）2=a，b2+2ab=50,

得|b|=5選C.

10.（2009全國(guó)卷I理）設(shè)a、b、c是單位向量，且a?6=0,則（a—c）?9一c）的最

小值為()

A.—2B.^2—2C.-1D.1-^2

答案D

解析,.?￡,3,1是單位向量二（4一。）?伍一。）=。h-（a+b）c+c

=I-1a+B11c1=1-夜cos<a+b,c>>1-V2.

11.（2009湖北卷理）已知

P={a\a=(1,0)+加(0,1),加e火},。={61b=(1,1)+n(-l,l),weR}是兩個(gè)向量集合,

則PIQ=

()

A.Hl,1)}B.{(-1,1)}C.{(1,0)}D.{(0,1)}

答案A

解析因?yàn)椤?(1,相)5=(1-〃/+〃)代入選項(xiàng)可得PC0={(1,1)}故選A.

12.(2009全國(guó)卷^理)已知向量a=(2,l),。北=lO,la+加=5JL則lbl=()

A.#)B.V10C.5D.25

答案C

解析?/50=1o+612=1aI2+2a6+1612=5+20+1bI2/.161=5故選C.

13.(2009遼寧卷理)平面向量a與b的夾角為60°,a=(2,0),\b\=l則|a+24=()

A.6B.273C.4D.2

答案B

解析由已知|a|=2,|a+2b|2=a?+4a?b+4b2=4+4X2X1XCOS60°+4=12

.,.p+2Z)|=2V3

14.(2009寧夏海南卷理)已知0,N,P在A48c所在平面內(nèi)，且

|萬(wàn)卜|礪|=|四|,麗+麗+近=0,且兩.而=麗.定=元?兩，則點(diǎn)0,

N,P依次是AA5C的()

A.重心外心垂心B.重心外心內(nèi)心

C.外心重心垂心D.外心重心內(nèi)心

答案C

(注：三角形的三條高線(xiàn)交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心)

解析

由網(wǎng)=函=|5c|知,O為入43耶外心；由州4+赤+近=0知，O為入48皿重心

■.■PA?~PB^PB?PC,：.(7A-PCyPB^0,：.CA?PB^0,：.CALPB,

同理，45_18。,;.尸為兇8(：的垂心，選C.

15.(2009湖北卷文)若向量a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),則c=()

A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b

答案B

解析由計(jì)算可得￡=(4,2)=3之一］故選13

16.(2009湖南卷文)如圖1,D,E,F分別是AABC的邊AB,BC,CA的中點(diǎn)，貝U()

A.AD+BE+CF^O

B.BD-CF+DF^()

C.AD+CE-CF=0

D.BD-BE-FC^O

答案A

圖1

解析?.?亞=麗,；.亞+爐=麗+屁=詼=定,得而+而+醞=0

或詬+而+而=而+萬(wàn)斤+方=萬(wàn)+麗=0.

17.（2009遼寧卷文）平面向量a與b的夾角為60°,a=（2,0）,|b|=1,貝I||a+2b|

等于（）

A.百B.26C.4D.12

答案B

解析由已知|a|=2,|a+2b|2=a2+4a?b+4b2=4+442X1+cos60°+4=12

\a+2a=2-\/3

18.（2009全國(guó)卷I文）設(shè)非零向量。,b、。滿(mǎn)足1。1=1b\=\c\,a+b=c，則＞=（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

答案B

解析本小題考查向量的幾何運(yùn)算、考查數(shù)形結(jié)合的思想，基礎(chǔ)題。

解由向量加法的平行四邊形法則，知￡、1可構(gòu)成菱形的兩條相鄰邊，且￡、了為起

點(diǎn)處的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于菱形的邊長(zhǎng)，故選擇B。

19.（2009陜西卷文）在\ABC中,M是BC的中點(diǎn)，AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿(mǎn)足學(xué)方=2PM,

則科網(wǎng)⑸?（而+正）等于（）

4444

C

9-3--3-D.9-

A.答

案1

解析由力尸=2尸"知，p為A48c的重心，根據(jù)向量的加法，？8+尸。=20〃則

O[A

JP(PB+定產(chǎn)浜^2|司網(wǎng)cos。=2x：xgxl=1

20.（2009寧夏海南卷文）已知。=（—3,2）/=（一1,0）,向量6與"26垂直，則實(shí)

數(shù)/I的值為（）

1111

A.一一B.-C.——D.-

7766

答案A

解析向量丸。+6=（-3A-1,22）,a—2b=（—1,2）,因?yàn)閮蓚€(gè)向量垂直，故

有（一3幾一1,2/1）X（-1,2）=0,即3/1+1+4丸=0,解得：2=--,故選.A.

7

21.（2009湖南卷理）對(duì)于非0向時(shí)a,b,“a〃b”的正確是（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

答案A

解析由a+6=0,可得。=一6,即得a〃b，但,a〃b,不一定有。=一6,所以

“。+6=0”是的充分不必要條件。

22.（2009福建卷文）設(shè)W,b,1為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且滿(mǎn)

足。與b不共線(xiàn)，aleIaI=IcI,則I6?c|的值一定等于（）

A.以二，%為鄰邊的平行四邊形的面積

B.以1,I為兩邊的三角形面積

C.a,，為兩邊的三角形面積

D.以1為鄰邊的平行四邊形的面積

答案A

—>—>—>—>—>->->->

解析假設(shè)。與b的夾角為。，Ib?cI=II,IcI,Icos<b,c>I

=I?I?IaI-Icos（90°±6）|=|J|-|a|”儲(chǔ)6,即為以1Z為鄰邊的平

行四邊形的面積.

23.（2009重慶卷理）已知同=1,例=6,a（A—a）=2,則向量a與向量》的夾角是（）

答案c

解析因?yàn)橛蓷l件得“/-a?=2,所以。力=2+a?=3=a-bcosa=1x6xcosa,

所以cosa=—,所以《=工

23

24.(2009重慶卷文)已知向量a=(1,1)1=(2,x),若a+1與劭一2a平行,則實(shí)數(shù)x的值

是()

A.-2B.0C.1D.2

答案D

解法1因?yàn)閍==(2,x),所以a+6=(3,x+1),46-2。=(6,4x-2),

由于a+b與46-2。平行，得6(x+l)—3(4x—2)=0,解得x=2。

解法2因?yàn)閍+b與46—2a平行，則存在常數(shù)4,使a+6=2(46-2〃)，即

(2/1+1)。=(44-1)6,根據(jù)向量共線(xiàn)的條件知，向量a與6共線(xiàn)，故x=2

25.(2009湖北卷理)函數(shù)y=cos(2x+工)-2的圖象/按向量a平移到L,廣的函數(shù)解析

6

式為歹=/(幻,當(dāng)》=/(x)為奇函數(shù)時(shí)，向量?？梢缘扔?)

4(一二,一2)5.(--,2)C.(—,-2)

6666

答案B

解析直接用代入法檢驗(yàn)比較簡(jiǎn)單.或者設(shè)；二(￡,，)，根據(jù)定義

y-yf=cos[2(x-xz)+-]-2,根據(jù)y是奇函數(shù)，對(duì)應(yīng)求出x',

6

26.(2009湖北卷文)函數(shù)”cos(2x+*-2的圖像F按向量a平移至I」F,F的解析式y(tǒng)=f(x),

當(dāng)尸f(x)為奇函數(shù)時(shí)，向量a可以等于()

A.(9,一2)B.(￡⑵C.(--,-2)D.(一9,2)

6666

答案D

解析由平面向量平行規(guī)律可知，僅當(dāng)￡=(-9,2)時(shí)，

6

7TTT

F'：f(x)=cos[2(x+—)+—]-2=-sin2x為奇函數(shù),故選D.

26.（2009廣東卷理）若平面向量3,3滿(mǎn)足）+3=1,）+3平行于x軸，b=（2,-1）,

貝力=__________.TfC

答案(-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)//\

解析"+g=(1,0)或(—1,0),則Z=(1,0)-(2,—1)=(—1,1)//\

ApC

或)=(-1,0)-(2,-1)=(-3,1).

27.(2009江蘇卷)已知向量Z和向量3的夾角為30°,I箱Z屜后,則向量力和向量否的

數(shù)量積)3=.

答案3

解析考查數(shù)量積的運(yùn)算。a-b=2-43--=3

2

28.（2009安徽卷理）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量04和08，它們的夾角為120°.

如圖所示，點(diǎn)C在以0為圓心的圓弧而上變動(dòng).

若OC=xOA+yOB,其中x,歹eR,則x+y

的最大值是.

答案2

解析設(shè)乙4OC=a

OC.OA=xOA.OA+ydB.OA,cosa=x-ly

OC?OB^xOA?OB+yOB?OB,'Cos(120°-a)=--x+y

；?x+y=2[cosa+cos(1200-a)]=cosa+Gsina=2sin(a+—)<2

6

29.(2009安徽卷文)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，或

AC=1AB+lAP，其中2,LER,則：+L二

答案4/3

.—?.—?■.I—?—?.—*I—?.—?—?

解析設(shè)BC=b、=a則/尸=一6一。,AE=b——a,AC=h-a

22

24

代入條件得4=〃=—?,.丸+〃=—

33

30.（2009江西卷文）已知向量￡=（3,1）,坂=（1,3）,"=（左,2）,若（￡一"），坂則

k=.

答案0

解析因?yàn)閆—"=（3—左1）,所以左=0.

31.（2009江西卷理）已知向量￡=（3,1）,否=（1,3）,3=（k,7）,若（￡一"）〃九則

k=.

答案5

解析土上=_2=左=5

13

32.（2009湖南卷文）如圖2,兩塊斜邊長(zhǎng)相等的直角三角板拼在一一起，若AD=xAB+yAC,

解析作。設(shè)N8=ZC=ln8C=OE=0,

NDEB=60°,

2

由ZDBF=45°解得DF=BF=西烏故E+烏尸亙

2222-2

33.(2009遼寧卷文)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，四邊形ABCD的邊AB〃DC,AD〃BC,已知點(diǎn)

A(-2,0),B(6,8),C(8,6),則D點(diǎn)的坐標(biāo)為.

答案(0,-2)

解析平行四邊形ABCD中，礪+歷=宓+反

：.OD=OA+OC-OB^(~2,0)+(8,6)-(6,8)-(0,-2)

即D點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2)

7T

34.(2009年廣東卷文)(已知向量〃=(sina-2)與1=(1,cos。)互相垂直,其中6w(0,一)

2

(1)求sin。和cos。的值

(2)若5cos(夕一夕)=3j^cos0,0<°<5,求cos°的值

解(1),.二)的=sin。-2cos8=0,即sine=2cos。

又?.?sin2e+cose=l,4cos2^+cos23=1,即cos?=gsin?。1

又0€(0,-)sin0=,cos0--

255

(2)5cos(。一(p)=5(cos^cos°+sin6sin(p)=亞cos(p+275sin(p=3亞cos3

???cose=sin°,/.cos2=sin2=1-cos2cp,BPcos2^=~

T[ypl

又a<(P<3,/.cos(P=

35.(2009江蘇卷)設(shè)向量a=(4cosa,sina),1=(sin/?,4cos/?),c=(cos/?,-4sinp)

(1)若。與B-2c垂直，求tan(a+〃)的值；

(2)求iB+Jl的最大值；

(3)若tanatan/?=16,求證：a//b.

解析本小題主要考查向量的基本概念，同時(shí)考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角

的正弦、兩角和的正弦與余弦公式，考查運(yùn)算和證明得基本能力。滿(mǎn)分14分。

(1)由〃與。一2c垂直，a(b-1c)=ab-lac=0,

即4siii(a+/?)-8cos(a+1)=0,tan(a+/?)=2?

(2)b+c=(sinp+cospAcos/7一4sinp)\

|Z>+r|2=siD2/?4-2洶11?cos/?+cos2P+16cos2夕-32cos/>sin/7+16sill2/7

=1"-30sii)y(>cos/>=17-15sin2/),最大值為3