10.3電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系(含教材課后題)

第十章第三節(jié)電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系考點一：對UAB＝Ed的理解【技巧與方法】1．UAB＝Ed的理解(1)大小關(guān)系：由E＝eq\f(UAB,d)可知，勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度在數(shù)值上等于沿電場方向每單位距離上降低的電勢。(2)方向關(guān)系：電場中電場強(qiáng)度的方向就是電勢降低最快的方向。(3)物理意義：電場強(qiáng)度是電勢差對空間位置的變化率，反映了電勢隨空間位置變化的快慢。2．UAB＝Ed的兩個重要推論在勻強(qiáng)電場中由于U＝Ed，則在沿電場線方向上，U∝d，可以得出以下兩個推論。推論1：勻強(qiáng)電場中沿任一方向上電勢隨距離均勻變化，對任一線段AB的中點C的電勢均滿足φC＝eq\f(φA＋φB,2)，如圖甲所示。推論2：勻強(qiáng)電場中若兩線段AB∥CD，且AB＝CD，則UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如圖乙所示?！纠?】如圖所示，勻強(qiáng)電場的電場線與AC平行，把帶電荷量10－8C的負(fù)電荷從A移至B的過程中，電場力做功6×10－8J，AB長6cm，AB與AC的夾角為60°．求：(1)場強(qiáng)方向；(2)設(shè)B處電勢為1V，則A處電勢為多少；(3)A處的場強(qiáng)大?。?4)電子在A點的電勢能．【答案】(1)場強(qiáng)方向由C至A；(2)φA=－5V；(3)E=200V/m；(4)Ep=5eV【詳解】(1)將負(fù)電荷從A移至B，電場力做正功，所以電荷所受電場力方向沿A至C，又因為是負(fù)電荷，場強(qiáng)方向與負(fù)電荷的受力方向相反，所以場強(qiáng)方向應(yīng)為C至A方向．(2)由W=qU得：U==6V即A、B兩點間電勢差為6V．沿電場線方向電勢降低，B點電勢高于A點電勢．U=φB－φAφB=1VφA=φB－U=1V－6V=－5V即A點的電勢為－5V.(3)如圖所示由B向AC作垂線交AC于D，D與B在同一等勢面上．UDA=UBA=U=6V沿場強(qiáng)方向A、B兩點間距離為AB·cos60°=6cm×=3cm=0.03m所以E==200V/m.(4)電子在A點的電勢能Ep=qφA=5eV.【針對訓(xùn)練1】如圖所示，水平放置的帶電金屬平行板M、N相距10cm，A點距M板2cm，AB間距為10cm，且與水平方向成角，將一帶電荷量為的正電荷q由A點沿AB直線移到B點，電場力做功為。試求：（1）M、N兩板間電場強(qiáng)度；（2）M、N兩板間電勢差；（3）M板接地，電勢為零，求電荷q在A點的電勢能。

【答案】（1），方向垂直于極板向下；（2）；（3）【詳解】（1）正電荷q由A點沿AB直線移到B點過程有解得由于電場力對正電荷q做正功，則電場強(qiáng)度方向垂直于極板向下。（2）根據(jù)上述電場方向向上則根據(jù)勻強(qiáng)電場中電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系有解得（3）根據(jù)解得則電荷q在A點的電勢能為解得考點二：用“等分法”求電勢【技巧與方法】1．用“等分法”求電勢(1)在勻強(qiáng)電場中，沿任意一個方向，電勢降落(或升高)都是均勻的，故在同一直線上間距相同的兩點間電勢差相等。如果把某兩點間的距離等分為n段，則每段兩端點的電勢差等于原電勢差的eq\f(1,n)，采用這種等分間距求電勢的方法，叫等分法。(2)若已知電場中某幾點的電勢，要求其他點的電勢時，一般采用“等分法”在電場中找與待求點的電勢相同的等勢點。等分法也常用在畫電場線的問題中。2.關(guān)于場強(qiáng)的三個表達(dá)式的比較區(qū)別公式物理含義引入過程適用范圍說明E＝eq\f(F,q)電場強(qiáng)度的定義式F∝q，E與F、q無關(guān)，反映某點電場的性質(zhì)適用于一切電場q為試探電荷的電荷量E＝keq\f(Q,r2)真空中靜止點電荷場強(qiáng)的決定式由E＝eq\f(F,q)和庫侖定律導(dǎo)出在真空中，場源電荷Q是靜止點電荷Q為場源電荷的電荷量E＝eq\f(U,d)勻強(qiáng)電場中電場強(qiáng)度與電勢差的關(guān)系式由F＝qE、W＝Fd和W＝qU導(dǎo)出勻強(qiáng)電場d為沿電場方向的距離【例2】如圖所示是勻強(qiáng)電場中的一組等勢面，若A、B、C、D相鄰兩點間的距離都是2cm，則電場的場強(qiáng)為______V/m，到A點距離為1.5cm的P點電勢為_____V?！踞槍τ?xùn)練2】電場中某一電場線為一直線，線上有A、B、C三個點，把電荷q1=10﹣8C從B點移到A點時電場力做了10﹣7J的功；電荷q2=﹣10﹣8C，在B點的電勢能比在C點時大10﹣7J。那么：①比較A、B、C三點的電勢高低，由高到低的排序是___________；②A、C兩點間的電勢差是_________V。【答案】×103﹣2.5﹣20【詳解】（1）[1]相鄰兩個等勢面之間的電勢差U=10V，兩相鄰等勢面之間的距離根據(jù)[2]PA之間的電勢差則（2）[3]B、A兩點的電勢差為則B點的電勢高于A點的電勢；由題知解得所以B點的電勢低于C點的電勢，所以A、B、C三點的電勢關(guān)系為[4]由上可知則A、C兩點間的電勢差為考點三：非勻強(qiáng)電場中電勢差與電場強(qiáng)度關(guān)系的定性分析【技巧與方法】(1)判斷電場強(qiáng)度大小：等差等勢面越密，電場強(qiáng)度越大。(2)判斷電勢差的大?。和浑妶鼍€上距離相等的兩點間E越大，U越大。(3)沿電場線方向建立x軸，可利用φ-x圖像上的點的切線斜率判斷該電場線上電場強(qiáng)度隨位置變化的規(guī)律：切線斜率k＝eq\f(φ2－φ1,x2－x1)＝eq\f(U21,d)＝－eq\f(U12,d)＝－Ex，斜率的絕對值表示電場強(qiáng)度的大小，正負(fù)表示電場強(qiáng)度的方向?！纠?】如圖所示的實線為電場線，虛線為等勢線，a、b兩點的電勢分別為φa＝－50V，φb＝－20V，則a、b連線的中點c的電勢φc應(yīng)為()A．φc＝－35VB．φc>－35VC．φc<－35VD．條件不足，無法判斷φc的范圍【答案】B【詳解】由圖可知，這是一個非勻強(qiáng)電場，且Eb<Ea。若此電場為勻強(qiáng)電場，則φc＝－35V。而此電場中Eb<Ec<Ea，即從b到c的過程中每單位距離上的電勢降低要比從c到a的過程中每單位距離上的電勢降低慢，故Ubc<Uca，即φb－φc<φc－φa，可得φc>eq\f(φa＋φb,2)＝－35V，因而B正確?！踞槍τ?xùn)練3】空間某一靜電場沿x軸方向，電勢φ在x軸上的分布如圖所示，x軸上兩點B、C的電場強(qiáng)度大小分別是EB、EC，下列說法中正確的是()A．EB>ECB．EB的方向沿x軸負(fù)方向，EC的方向沿x軸正方向C．另放一電荷在O點，其受到的靜電力為零D．一電子沿x軸從B移到C的過程中，靜電力先做正功，后做負(fù)功【答案】C【詳解】在B、C附近沿x軸方向分別取很小的一段長度d，由φ-x圖像知，B點段對應(yīng)的電勢差小于C點段對應(yīng)的電勢差，因d很小，該段可看作勻強(qiáng)電場，由E＝eq\f(Δφ,d)，可得EB<EC，同理可知O點ΔφO＝0，則EO＝0，所以電荷在O點受到的靜電力為零，故A錯誤，C正確；沿電場線方向電勢降低，在O點左側(cè)，EB的方向沿x軸正方向，在O點右側(cè)，EC的方向沿x軸負(fù)方向，故B錯誤；電子帶負(fù)電荷，電子沿x軸從B移到C的過程中，所受靜電力先向左后向右，則靜電力先做負(fù)功后做正功，故D錯誤?？键c達(dá)標(biāo)一、多選題1．如圖所示，一正方形放在與其平面平行的勻強(qiáng)電場中，A、B、C、D是該正方形的四個頂點，已知A、B、C三點的電勢分別為、、，則下列說法正確的是（）

A．D點電勢為－2V B．D點電勢為18VC．場強(qiáng)方向由B指向D D．場強(qiáng)方向由D指向B【答案】BD【詳解】AB．在勻強(qiáng)電場中，沿著任意方向每前進(jìn)相同的距離，電勢變化都相等，故即得=18V故A錯誤，B正確；CD．因為=10V則AC連線為等勢面，過D做AC的垂線，場強(qiáng)方向由D指向B，故C錯誤，D正確。故選BD。2．如圖所示，在與紙面平行的勻強(qiáng)電場中有A、、三個點構(gòu)成的直角三角形，，，點為的中點。將電子從A點移動到點，電場力對電子做的功為，再將電子從點移動到點，電子的電勢能增加了，已知，則（

）

A．B．C．勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度方向與邊垂直D．勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小【答案】AD【詳解】AB．電子從點移動到點，電子的電勢能增加了，即電場力對電子做的功為，因此故點為的中點，且故故A正確，B錯誤；C．由AB選項分析可得而因此BD為等勢線，由幾何知識可得故勻強(qiáng)電場電場強(qiáng)度方向為沿AC方向，故C錯誤；D．由幾何知識得勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小為故D正確。故選AD。二、單選題3．如圖所示，電場中同一條水平方向電場線上的三點。為的中點，電勢分別為、，下列敘述正確的是（）

A．該電場在點處的電勢不一定為B．a(chǎn)點處的場強(qiáng)一定大于b點處的場強(qiáng)C．一負(fù)電荷運(yùn)動到c點時受到的靜電力由c指向bD．一負(fù)電荷從c點運(yùn)動到b點電勢能一定減小【答案】A【詳解】A．當(dāng)該電場是勻強(qiáng)電場時，由于沿電場方向相同距離電勢差相等，則場在點處的電勢一定為，當(dāng)該電場不是勻強(qiáng)電場時，在點處的電勢不一定為，故A正確；B．一條電場線無法比較電場線的疏密，就無法比較場強(qiáng)的大小，則點處的場強(qiáng)不一定大于點處的場強(qiáng)，故B錯誤；C．根據(jù)題意，由沿電場線方向電勢降低可知，電場方向為，則一負(fù)電荷運(yùn)動到點時受到的靜電力由指向，故C錯誤；D．根據(jù)題意可知，點電勢高于點電勢，由可知在負(fù)電荷點電勢能較大，則一負(fù)電荷從c點運(yùn)動到b點電勢能一定增加，故D錯誤。故選A。4．一圓心在O點、半徑R=0.5m的半圓，AB為其直徑，C是半圓上的一點，∠BAC=37°，半圓所在的平面內(nèi)有一勻強(qiáng)電場，已知A、B、C三點的電勢φA=16V、φB=44V、φC=80V。有一粒子發(fā)射源從A點可以向半圓所在平面內(nèi)各個方向發(fā)射動能為20eV的電子，不計電子所受的重力及空氣阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，則下列說法正確的是（）

A．在該半圓上，A、C之間可能有一點的電勢為81VB．在該半圓上，B、C之間可能有一點的電勢為81VC．該勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度大小為100V/mD．打到該半圓上的電子的最大動能為94eV【答案】C【詳解】ABC．C是半圓上的一點，AB為直徑，則AC垂直于BC，根據(jù)幾何關(guān)系可得設(shè)電場強(qiáng)度的大小為E，方向與CA間的夾角為θ，根據(jù)勻強(qiáng)電場中電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系有兩式聯(lián)立解得則電場強(qiáng)度的方向沿半徑CO方向，C點是半圓上電勢最高的點，在該半圓上不可能有電勢為81V的點，故A、B錯誤，C正確；D．C點是半圓上電勢最高的點，電子帶負(fù)電，根據(jù)能量守恒定律可知，打到C點的電子具有的電勢能最小，具有的動能最大，對電子從A到C的過程，根據(jù)動能定理有代入數(shù)據(jù)解得，故D錯誤。故選C。三、解答題5．如圖所示，勻強(qiáng)電場的電場線與AC平行，把帶電荷量10－8C的負(fù)電荷從A移至B的過程中，電場力做功6×10－8J，AB長6cm，AB與AC的夾角為60°．求：(1)場強(qiáng)方向；(2)設(shè)B處電勢為1V，則A處電勢為多少；(3)A處的場強(qiáng)大??；(4)電子在A點的電勢能．【答案】(1)場強(qiáng)方向由C至A；(2)φA=－5V；(3)E=200V/m；(4)Ep=5eV【詳解】(1)將負(fù)電荷從A移至B，電場力做正功，所以電荷所受電場力方向沿A至C，又因為是負(fù)電荷，場強(qiáng)方向與負(fù)電荷的受力方向相反，所以場強(qiáng)方向應(yīng)為C至A方向．(2)由W=qU得：U==6V即A、B兩點間電勢差為6V．沿電場線方向電勢降低，B點電勢高于A點電勢．U=φB－φAφB=1VφA=φB－U=1V－6V=－5V即A點的電勢為－5V.(3)如圖所示由B向AC作垂線交AC于D，D與B在同一等勢面上．UDA=UBA=U=6V沿場強(qiáng)方向A、B兩點間距離為AB·cos60°=6cm×=3cm=0.03m所以E==200V/m.(4)電子在A點的電勢能Ep=qφA=5eV.6．如圖所示，水平放置的帶電金屬平行板M、N相距10cm，A點距M板2cm，AB間距為10cm，且與水平方向成角，將一帶電荷量為的正電荷q由A點沿AB直線移到B點，電場力做功為。試求：（1）M、N兩板間電場強(qiáng)度；（2）M、N兩板間電勢差；（3）M板接地，電勢為零，求電荷q在A點的電勢能。

【答案】（1），方向垂直于極板向下；（2）；（3）【詳解】（1）正電荷q由A點沿AB直線移到B點過程有解得由于電場力對正電荷q做正功，則電場強(qiáng)度方向垂直于極板向下。（2）根據(jù)上述電場方向向上則根據(jù)勻強(qiáng)電場中電勢差與電場強(qiáng)度的關(guān)系有解得（3）根據(jù)解得則電荷q在A點的電勢能為解得7．如圖所示，勻強(qiáng)電場中有一等邊△ABC，勻強(qiáng)電場的方向與等邊△ABC所在的平面平行。將電荷量為的點電荷從A點移到B點，靜電力做功J，再從B點移到C點，靜電力做功J。（1）求A、B兩點間的電勢差；（2）規(guī)定B點的電勢為0，求點電荷在C點具有的電勢能；（3）已知，求電場強(qiáng)度。

【答案】（1）4V；（2）；（3）80V/m【詳解】（1）A、B兩點間的電勢差根據(jù)題意，將電荷量為的點電荷從A點移到B點，靜電力做功J，代入數(shù)據(jù)解得（2）點電荷從B移到C，靜電力做功J，則有已知，則可得而點電荷在C點的電勢能為則有（3）根據(jù)可得而則可知AB中點D的電勢與C點的電勢相等，根據(jù)幾何關(guān)系，有，則可知CD為該勻強(qiáng)電場中的一條等勢線，故場強(qiáng)方向從A指向B，電場強(qiáng)度大小解得8．一勻強(qiáng)磁電場的方向平行于xOy平面，平面內(nèi)a、b、c三點的位置如圖所示，三點的電勢分別為=21V、=5V、=13V。（1）求a、b間和b、c間的電勢差和；（2）電子從b點運(yùn)動到c點的過程中，電場力做的功為多少eV?（3）在圖中畫出電場強(qiáng)度的方向，并計算電場強(qiáng)度的大小。

【答案】（1），；（2）；（3）【詳解】（1）a、b間的電勢差b、c間的電勢差（2）電子從b點運(yùn)動到c點的過程中，電場力做的功（3）沿和兩方向的場強(qiáng)分量大小分別為根據(jù)矢量合成可知方向如圖所示.

9．如圖所示在勻強(qiáng)電場中，電場強(qiáng)度大小為，方向水平向右，已知、兩點間距離為，兩點連線與電場方向夾角成，現(xiàn)將一電荷量為的正電荷由點移到點，已知，。求：（1）將正電荷由移到的過程中，電場力所做的功；（2）、兩點間的電勢差。

【答案】（1）；（2）【詳解】（1）正電荷由移到的過程中，電場力所做的功為（2）、兩點間的電勢差為10．如圖所示，平行金屬帶電板A、B間可看成是勻強(qiáng)電場，兩極板之間的電勢差為60V，極板間的距離d=4cm，電場中C點到A極板的距離1cm，B板接地，D點到B極板的距離為1cm。（元電荷：e=1.6×10－19C）求：（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小E；（2）D、C兩點的電勢差U；（3）電子在D點的電勢能為多少？

【答案】（1）E=1.5×103V/m；（2）－30V；（3）Ep=－2.4×10－18J或－15eV【詳解】（1）兩極板之間的電勢差為60V，極板間的距離d=4cm，故電場強(qiáng)度為（2）根據(jù)電勢差和電場強(qiáng)度的關(guān)系有U=EdDC=1500×(－0.02)V=－30V（3）D點的電勢為φD=UDB=EdDB=1500×0.01V=15V電子在D點的電勢能為Ep=qφD=－1.6×10－19×15J=－2.4×10－18J或Ep=qφD=－15eV11．如圖所示，在水平向右的勻強(qiáng)電場中，有一電荷量為q=4×107C的負(fù)點電荷從A點運(yùn)動到B點，電場力做功WAB=3.2×106J。已知A、B間距離L=4m，AB與水平面的夾角為60°。（1）求電場強(qiáng)度E的大??；（2）如果A點的電勢為4V，求電荷量為q′=4×106C的正電荷在B點具有的電勢能。

【答案】（1）4V/m；（2）1.6×105J【詳解】（1）根據(jù)電場力做功的公式勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度為解得（2）根據(jù)電勢差的公式有解得電荷量為q′的正電荷在B點具有的電勢能為解得12．如圖所示，、、為一等邊三角形的三個頂點，某勻強(qiáng)電場的電場線平行于該三角形平面。把帶電荷量為的正點電荷從無限遠(yuǎn)處移到電場中點，要克服電場力做功，另將電荷量為的正點電荷從點移到點，靜電力做功為，將另一電荷量為的負(fù)點電荷從點移到點，克服靜電力做功為，若邊長為。求：（1）點的電勢與間的電勢差；（2）電場強(qiáng)度的大小為多大？方向如何？

【答案】（1），；（2），電場方向垂直于連線由指向連線中點【詳解】（1）把帶電荷量為的正點電荷從無限遠(yuǎn)處移到電場中點，要克服電場力做功，則有解得點的電勢為將電荷量為的正點電荷從點移到點，靜電力做功為，則有解得間的電勢差為（2）將另一電荷量為的負(fù)點電荷從點移到點，克服靜電力做功為，則有解得間的電勢差為可知連線為等勢線，則電場方向垂直于連線由指向連線中點，大小為四、填空題13．（1）如圖所示是勻強(qiáng)電場中的一組等勢面，若A、B、C、D相鄰兩點間的距離都是2cm，則電場的場強(qiáng)為______V/m，到A點距離為1.5cm的P點電勢為_____V。（2）電場中某一電場線為一直線，線上有A、B、C三個點，把電荷q1=10﹣8C從B點移到A點時電場力做了10﹣7J的功；電荷q2=﹣10﹣8C，在B點的電勢能比在C點時大10﹣7J。那么：①比較A、B、C三點的電勢高低，由高到低的排序是___________；②A、C兩點間的電勢差是_________V?！敬鸢浮俊?03﹣2.5﹣20【詳解】（1）[1]相鄰兩個等勢面之間的電勢差U=10V，兩相鄰等勢面之間的距離根據(jù)[2]PA之間的電勢差則（2）[3]B、A兩點的電勢差為則B點的電勢高于A點的電勢；由題知解得所以B點的電勢低于C點的電勢，所以A、B、C三點的電勢關(guān)系為[4]由上可知則A、C兩點間的電勢差為教材課后題參考答案與解析1．空氣是不導(dǎo)電的。但是如果空氣中的電場很強(qiáng)，使得氣體分子中帶正、負(fù)電荷的微粒所受的方向相反的靜電力很大，以至于分