2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第51講-事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式【課件】

第51講

事件的相互獨(dú)立性、條件概率與全概率公式第十章

計(jì)數(shù)原理、概率及其分布1．?dāng)S兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A＝“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B＝“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則A與B的關(guān)系為

(

)A．互斥 B．互為對(duì)立事件C．相互獨(dú)立 D．相等激活思維【解析】C擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)A＝“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，B＝“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件A與B能同時(shí)發(fā)生，故事件A與B既不是互斥事件，也不是對(duì)立事件，故A，B錯(cuò)誤；事件A與B不相等，故D錯(cuò)誤．2．假設(shè)P(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝________；P(A∪B)＝________．0.56【解析】因?yàn)镻(A)＝0.7，P(B)＝0.8，且A與B相互獨(dú)立，所以P(AB)＝P(A)×P(B)＝0.7×0.8＝0.56，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7＋0.8－0.56＝0.94.0.943．設(shè)A?B，且P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，則P(B|A)＝_____，P(A|B)＝______．1【解析】4．甲、乙兩人同時(shí)向一目標(biāo)射擊，已知甲命中目標(biāo)的概率為0.6，乙命中目標(biāo)的概率為0.5.已知目標(biāo)至少被命中1次，則甲命中目標(biāo)的概率為________．0.75【解析】5．甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)紅球、5個(gè)白球，乙箱中有8個(gè)紅球、2個(gè)白球．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果點(diǎn)數(shù)為1或2，從甲箱中隨機(jī)摸出1個(gè)球；如果點(diǎn)數(shù)為3，4，5，6，從乙箱中隨機(jī)摸出1個(gè)球.則摸到紅球的概率是______．【解析】聚焦知識(shí)P(A)P(B)B(2)兩個(gè)公式②概率的乘法公式：P(AB)＝_________________．3．全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，有________________________，我們稱上面的公式為全概率公式．P(A)·P(B|A)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球．事件甲＝“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件乙＝“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件丙＝“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，事件丁＝“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則

(

)A．甲與丙相互獨(dú)立

B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立

D．丙與丁相互獨(dú)立相互獨(dú)立事件的判斷舉題說法1【解析】【答案】B事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件，故D錯(cuò)誤．變式

(多選)某不透明的袋子中裝有5個(gè)質(zhì)地、大小均相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，事件A＝“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件B＝“第二次取出的球的數(shù)字是2”，事件C＝“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，事件D＝“兩次取出的球的數(shù)字之和是6”，則(

)A．A與C相互獨(dú)立

B．B與D相互獨(dú)立C．A與D相互獨(dú)立

D．B與C相互獨(dú)立【解析】【答案】BC(多選)有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起．已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%，現(xiàn)任取一個(gè)零件，記事件Ai＝“零件為第i臺(tái)車床加工”(i＝1，2，3)，事件B＝“任取一零件為次品”，則

(

)條件概率2【解析】【答案】ACD根據(jù)題意知P(B)＝6%×25%＋5%×30%＋5%×45%＝0.0525，故C正確；P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3,故A正確；變式某地暴發(fā)疾病，全省支援，需要從我市某醫(yī)院某科室的5名男醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)、4名女醫(yī)生(含一名主任醫(yī)師)中分別選派3名男醫(yī)生和2名女醫(yī)生，則在有一名主任醫(yī)師被選派的條件下，兩名主任醫(yī)師都被選派的概率為 (

)A【解析】某批麥種中，一等麥種占90%，二等麥種占10%，一、二等麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率分別為0.6，0.2，則這批麥種種植后所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒的概率為________．全概率公式3【解析】分別記取到一等麥種和二等麥種分別為事件A1，A2，所結(jié)麥穗含有50粒以上麥粒為事件B.由已知可得P(A1)＝0.9，P(A2)＝0.1，P(B|A1)＝0.6，P(B|A2)＝0.2，由全概率公式可得P(B)＝P(BA1)＋P(BA2)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.9×0.6＋0.1×0.2＝0.56.0.56變式某考生回答一道四選一的考題，假設(shè)他知道正確答案的概率為0.5，知道正確答案時(shí)，答對(duì)的概率為100%，而不知道正確答案時(shí)猜對(duì)的概率為0.25，那么他答對(duì)該題目的概率為

(

)A．0.625 B．0.75C．0.5 D．0A【解析】學(xué)校給每位教師隨機(jī)發(fā)了一箱蘋果，李老師將其分為兩份，第1份占總數(shù)的40%，次品率為5%，第2份占總數(shù)的60%，次品率為4%.若李老師分份之前隨機(jī)拿了一個(gè)發(fā)現(xiàn)是次品后放回，則該蘋果被分到第1份中的概率為______.貝葉斯公式新視角4【解析】變式小張從家到公司上班總共有三條路可以走(如圖)，但是每條路每天擁堵的可能性不太一樣，由于遠(yuǎn)近不同，選擇每條路的概率分別為P(L1)＝0.5，P(L2)【解答】由題意知，不遲到就意味著不擁堵，設(shè)事件C表示到公司不遲到，則P(C)＝P(L1)×P(C|L1)＋P(L2)×P(C|L2)＋P(L3)×P(C|L3)＝P(L1)×P(C1)＋P(L2)×P(C2)＋P(L3)×P(C3)＝0.5×0.2＋0.3×0.4＋0.2×0.7＝0.36.=0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三條路不擁堵的概率分別為P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7.假設(shè)遇到擁堵會(huì)遲到，那么：(1)小張從家到公司不遲到的概率是多少？變式小張從家到公司上班總共有三條路可以走(如圖)，但是每條路每天擁堵的可能性不太一樣，由于遠(yuǎn)近不同，選擇每條路的概率分別為P(L1)＝0.5，P(L2)【解答】=0.3，P(L3)＝0.2，每天上述三條路不擁堵的概率分別為P(C1)＝0.2，P(C2)＝0.4，P(C3)＝0.7.假設(shè)遇到擁堵會(huì)遲到，那么：(2)已知到達(dá)公司未遲到，那么選擇道路L1的概率是多少？隨堂練習(xí)1．一個(gè)電路上裝有甲、乙兩根保險(xiǎn)絲，甲熔斷的概率為0.85，乙熔斷的概率為0.74，甲、乙兩根保險(xiǎn)絲熔斷與否相互獨(dú)立，則兩根保險(xiǎn)絲都熔斷的概率為(

)A．1 B．0.629C．0 D．0.74或0.85B【解析】由題意知甲、乙兩根保險(xiǎn)絲熔斷與否相互獨(dú)立，所以甲、乙兩根保險(xiǎn)絲都熔斷的概率為0.85×0.74＝0.629.【解析】A3．“綠水青山，就是金山銀山”，隨著我國的生態(tài)環(huán)境越來越好，外出旅游的人越來越多．現(xiàn)有兩位游客慕名來江蘇旅游，他們分別從太湖黿頭渚、蘇州拙政園、鎮(zhèn)江金山寺、常州恐龍園、南京夫子廟、揚(yáng)州瘦西湖這6個(gè)景點(diǎn)中隨機(jī)選擇1個(gè)景點(diǎn)游玩，記事件A＝“兩位游客中至少有一人選擇太湖黿頭渚”，事件B＝“兩位游客選擇的景點(diǎn)不同”，則P(B|A)＝(

)D【解析】【解析】A5．在A，B，C三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有6%，5%，4%的人患了流感，假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比為5∶6∶9，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人，則此人是流感患者的概率為 (

)A．0.032 B．0.048 C．0.05 D．0.15B【解析】由全概率公式得P(D)＝P(A1)P(D|A1)＋P(A2)P(D|A2)＋P(A3)·P(D|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.04＝0.048.配套精練A組夯基精練一、

單項(xiàng)選擇題1．籃球隊(duì)的5名隊(duì)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，每位隊(duì)員把球傳給其他4人的概率相等，由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的概率為 (

)D【解析】【解析】C3．有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂部．若已知某人報(bào)足球俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為(

)A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1A【解析】4．某醫(yī)用口罩生產(chǎn)廠家生產(chǎn)醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩三種產(chǎn)品，三種產(chǎn)品的生產(chǎn)比例如圖所示，且三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%，50%，40%.若從該廠生產(chǎn)的口罩中任選一個(gè)，則選到綁帶式口罩的概率為(

)A．0.2 B．0.47C．0.53 D．0.77【解析】【答案】D由圖可知醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩的占比分別為70%，20%，10%.記事件A1，A2，A3分別表示選到醫(yī)用普通口罩、醫(yī)用外科口罩、醫(yī)用防護(hù)口罩，則Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3兩兩互斥，所以P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.1.又三種產(chǎn)品中綁帶式口罩的比例分別為90%，50%，40%，記事件B＝“選到綁帶式口罩”，則P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.5，P(B|A3)＝0.4，所以由全概率公式可得P(B)＝0.7×0.9＋0.2×0.5＋0.1×0.4＝0.77.二、

多項(xiàng)選擇題5．A，B兩組各有2名男生、2名女生，從A，B兩組中各隨機(jī)選出1名同學(xué)參加演講比賽．甲表示事件“從A組中選出的是男生小明”，乙表示事件“從B組中選出的是1名男生”，丙表示事件“從A，B兩組中選出的是2名男生”，丁表示事件“從A，B兩組中選出的是1名男生和1名女生”，則(

)A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．甲與乙相互獨(dú)立 D．乙與丁相互獨(dú)立【解析】記“從A組中選出的是男生小明”為事件M，“從B組中選出的是1名男生”為事件N，“從A，B兩組中選出的是2名男生”為事件S，“從A，B兩組中選出的是1名男生和1名女生”為事件T，【答案】BCD【解析】ABD三、

填空題7．甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為5∶4∶6.這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為40%，25%，50%.現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為________；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球是白球的概率為_______．【解析】【答案】0.050.6設(shè)甲、乙、丙三個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)分別為5n，4n，6n，所以總數(shù)為15n，所以甲盒中黑球個(gè)數(shù)為40%×5n＝2n，白球個(gè)數(shù)為3n；乙盒中黑球個(gè)數(shù)為25%×4n＝n，白球個(gè)數(shù)為3n；丙盒中黑球個(gè)數(shù)為50%×6n＝3n，白球個(gè)數(shù)為3n.

記事件A＝“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”，則P(A)＝0.4×0.25×0.5＝0.05.8．現(xiàn)有四家工廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品，已知它們生產(chǎn)該產(chǎn)品的日產(chǎn)量分別占日產(chǎn)量總和的15%，20%，30%和35%，且產(chǎn)品的不合格率分別為0.05，0.04，0.03和0.02.現(xiàn)從四家工廠一天生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中任取一件，則抽到不合格品的概率是___________．【解析】因?yàn)樯a(chǎn)該產(chǎn)品的日產(chǎn)量分別占日產(chǎn)量總和的15%，20%，30%和35%，且產(chǎn)品的不合格率分別為0.05，0.04，0.03和0.02，所以抽到不合格品的概率為P＝15%×0.05＋20%×0.04＋30%×0.03＋35%×0.02＝0.0315.0.0315【解析】方法一：設(shè)事件A＝“小明自駕去上班”，事件B＝“小明坐公交車去上班”，事件C＝“小明騎共享單車去上班”，事件D＝“小明上班遲到”，【答案】【解答】比賽進(jìn)行四局結(jié)束有以下兩種情況：第一局甲獲勝，后三局丙獲勝；第一局乙獲勝，后三局丙獲勝．【解答】設(shè)“甲獲勝”為事件A，“乙獲勝”為事件B，“丙獲勝”為事件C.11．小明每天去學(xué)校有A，B兩條路線可供選擇，小明上學(xué)時(shí)隨機(jī)地選擇一條路線．如果小明上學(xué)時(shí)選擇A路線，那么放學(xué)時(shí)選擇A路線的概率為0.6；如果小明上學(xué)時(shí)選擇B路線，那么放學(xué)時(shí)選擇A路線的概率為0.8.(1)求小明放學(xué)時(shí)選擇A路線的概率；【解答】設(shè)A1＝“上學(xué)時(shí)選擇A路線”，B1＝“上學(xué)時(shí)選擇B路線”，A2＝“放學(xué)時(shí)選擇A路線”，則Ω＝A1∪B1，且A1與B1互斥，根據(jù)題意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8.由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.所以小明放學(xué)時(shí)選擇A路線的概率為0.