高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章不等式推理與證明第5講綜合法與分析法反證法知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)文北師大版

PAGE第5講綜合法與分析法、反證法1．(2014·高考山東卷)用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A．方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根解析：選A.依據(jù)反證法的要求，即至少有一個(gè)的反面是一個(gè)也沒(méi)有，直接寫(xiě)出命題的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒(méi)有實(shí)根，故應(yīng)選A.2．若a，b∈R，則下面四個(gè)式子中恒成立的是()A．lg(1＋a2)>0 B．a(chǎn)2＋b2≥2(a－b－1)C．a(chǎn)2＋3ab>2b2 D.eq\f(a,b)<eq\f(a＋1,b＋1)解析：選B.在B中，因?yàn)閍2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．3．(2016·河北省衡水中學(xué)一模)某珠寶店丟了一件珍貴珠寶，以下四人中只有一個(gè)人說(shuō)了真話，只有一人偷了珠寶．甲：我沒(méi)有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；?。何覜](méi)有偷．根據(jù)以上條件，可以判斷偷珠寶的人是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：選A.假如甲說(shuō)了真話，則乙、丙、丁都說(shuō)了假話，那么丙不是小偷，丁不是小偷，丁偷了珠寶，顯然矛盾，故甲說(shuō)了假話，即甲是小偷，故選A.4．分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證：eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a”索的因應(yīng)是()A．a(chǎn)－b>0 B．a(chǎn)－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0解析：選C.eq\r(b2－ac)<eq\r(3)a?b2－ac<3a2?(a＋c)2－ac<3a?a2＋2ac＋c2－ac－3a?－2a2＋ac＋c2?2a2－ac－c2?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b故選C.5．(2016·銀川模擬)設(shè)a，b，c是不全相等的正數(shù)，給出下列判斷：①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；②a>b，a<b及a＝b中至少有一個(gè)成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同時(shí)成立，其中正確判斷的個(gè)數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C.①②正確；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同時(shí)成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正確的判斷有2個(gè)．6．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)是遞減的，若x1＋x2>0，則f(x1)＋f(x2)的值()A．恒為負(fù)值 B．恒等于零C．恒為正值 D．無(wú)法確定正負(fù)解析：選A.由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，可知f(x)是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，則f(x1)＋f(x2)<0.7．用反證法證明命題“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”，那么假設(shè)的內(nèi)容是________．解析：“至少有一個(gè)”的否定是“一個(gè)也沒(méi)有”，故應(yīng)假設(shè)“a，b中沒(méi)有一個(gè)能被5整除”．答案：a，b中沒(méi)有一個(gè)能被5整除8．下列條件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立的條件的序號(hào)是________．解析：要使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2，只需eq\f(b,a)>0且eq\f(a,b)>0成立，即a，b不為0且同號(hào)即可，故①③④能使eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2成立．答案：①③④9．(2014·高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A，B，C三個(gè)城市時(shí)，甲說(shuō)：我去過(guò)的城市比乙多，但沒(méi)去過(guò)B城市；乙說(shuō)：我沒(méi)去過(guò)C城市；丙說(shuō)：我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市．由此可判斷乙去過(guò)的城市為_(kāi)_______．解析：由題意可推斷：甲沒(méi)去過(guò)B城市，但比乙去的城市多，而丙說(shuō)“三人去過(guò)同一城市”，說(shuō)明甲去過(guò)A，C城市，而乙“沒(méi)去過(guò)C城市”，說(shuō)明乙去過(guò)城市A，由此可知，乙去過(guò)的城市為A.答案：A10．已知點(diǎn)An(n，an)為函數(shù)y＝eq\r(x2＋1)圖像上的點(diǎn)，Bn(n，bn)為函數(shù)y＝x圖像上的點(diǎn)，其中n∈N*，設(shè)cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關(guān)系為_(kāi)_______．解析：由條件得cn＝an－bn＝eq\r(n2＋1)－n＝eq\f(1,\r(n2＋1)＋n)，所以cn隨n的增大而減小，所以cn＋1<cn.答案：cn＋1<cn11．已知函數(shù)f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝a＋bx－eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,3)x3，函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝g(x)的圖像在交點(diǎn)(0，0)處有公共切線．(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)≤g(x)．解：(1)f′(x)＝eq\f(1,1＋x)，g′(x)＝b－x＋x2，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（0）＝f（0），,f′（0）＝g′（0），))解得a＝0，b＝1.(2)證明：令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln(x＋1)－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2－x(x>－1)．h′(x)＝eq\f(1,x＋1)－x2＋x－1＝eq\f(－x3,x＋1).h(x)在(－1，0)上為增函數(shù)，在(0，＋∞)上為減函數(shù)．h(x)max＝h(0)＝0，h(x)≤h(0)＝0，即f(x)≤g(x)．1．(2016·山西省質(zhì)量監(jiān)測(cè))對(duì)累乘運(yùn)算Π有如下定義：Πeq\o(,\s\up6(n),\s\do4(k＝1))ak＝a1·a2·…·an，則下列命題中的真命題是()A．Πeq\o(,\s\up6(1007),\s\do4(k＝1))2k不能被10100整除B.eq\f(Π\o(,\s\up6(2015),\s\do4(k＝1))（4k－2）,Π\o(,\s\up6(2014),\s\do4(k＝1))（2k－1）)＝22015C．Πeq\o(,\s\up6(1008),\s\do4(k＝1))(2k－1)不能被5100整除D．Πeq\o(,\s\up6(1008),\s\do4(k＝1))(2k－1)Πeq\o(,\s\up6(1007),\s\do4(k＝1))2k＝Πeq\o(,\s\up6(2015),\s\do4(k＝1))k解析：選D.Πeq\o(,\s\up6(1008),\s\do4(k＝1))(2k－1)Πeq\o(,\s\up6(1007),\s\do4(k＝1))2k＝(1×3×5×…×2015)×(2×4×6×…×2014)＝1×2×3×…×2014×2015＝Πeq\o(,\s\up6(2015),\s\do4(k＝1))k，故選D.2．在△ABC中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→)).(1)求證：tanB＝3tanA；(2)若cosC＝eq\f(\r(5),5)，求A的值．解：(1)證明：因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，所以AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB，即AC·cosA＝3BC·cosB，由正弦定理知eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，從而sinBcosA＝3sinAcosB，又0<A＋B<π，所以cosA>0，cosB>0，所以tanB＝3tanA.(2)因?yàn)閏osC＝eq\f(\r(5),5)，0<C<π，所以sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(2\r(5),5)，從而tanC＝2，于是tan[π－(A＋B)]＝2，即tan(A＋B)＝－2，即eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－2，由(1)得eq\f(4tanA,1－3tan2A)＝－2，解得tanA＝1或－eq\f(1,3).因?yàn)閏osA>0，所以tanA＝1，所以A＝eq\f(π,4).3．設(shè)f(x)是定義在D上的函數(shù)，若對(duì)任何實(shí)數(shù)α∈(0，1)以及D中的任意兩數(shù)x1，x2，恒有f(αx1＋(1－α)x2)≤αf(x1)＋(1－α)f(x2)，則稱f(x)為定義在D上的C函數(shù)．(1)證明函數(shù)f1(x)＝x2是定義域上的C函數(shù)；(2)判斷函數(shù)f2(x)＝eq\f(1,x)(x<0)是否為定義域上的C函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)x1，x2及α∈(0，1)，有f(αx1＋(1－α)x2)－αf(x1)－(1－α)f(x2)＝[αx1＋(1－α)x2]2－αxeq\o\al(2,1)－(1－α)xeq\o\al(2,2)＝－α(1－α)xeq\o\al(2,1)－α(1－α)xeq\o\al(2,2)＋2α(1－α)x1x2＝－α(1－α)(x1－x2)2≤0，即f(αx1＋(1－α)x2)≤αf(x1)＋(1－α)f(x2)，所以f1(x)＝x2是定義域上的C函數(shù)．(2)f2(x)＝eq\f(1,x)(x<0)不是定義域上的C函數(shù)，證明如下