高中數(shù)學(xué) 2.6 正態(tài)分布同步練習(xí) 北師大版選修2-3

*§6正態(tài)分布6．1連續(xù)型隨機(jī)變量6．2正態(tài)分布eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)20分鐘)1．若，x∈R，則下列說(shuō)法正確的是 ()．A．f(x)有最大值，也有最小值B．f(x)有最大值，無(wú)最小值C．f(x)無(wú)最大值，有最小值D．f(x)無(wú)最大值，也無(wú)最小值解析根據(jù)指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取最大值eq\f(1,\r(2π))，無(wú)最小值．答案B2．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，則P(X≤0)＝ ()．A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84解析由X～N(2，σ2)，可知其正態(tài)曲線如圖所示，對(duì)稱軸為x＝2，則P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.故選A.答案A3．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)且P(X≤C)＝P(X>C)＝p，那么p的值為()．A．0 B．1C.eq\f(1,2) D．不確定，與σ有關(guān)解析由P(X≤C)＝P(X>C)＝p知，密度曲線的對(duì)稱軸為x＝C.又因曲線與x軸之間的面積為1，知p＝eq\f(1,2).答案C4．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0，σ2)，P(X>1)＝p，則P(－1<X<0)＝________.解析由正態(tài)分布的性質(zhì)知，P(X<－1)＝p，∴P(－1<X<0)＝eq\f(1,2)[1－P(X<－1)－P(X>1)]＝eq\f(1,2)(1－2p)＝eq\f(1,2)－p.答案eq\f(1,2)－p5．一批燈泡的使用時(shí)間X(單位：小時(shí))服從正態(tài)分布N(10000,4002)，則這批燈泡使用時(shí)間超過(guò)10800小時(shí)的概率為_(kāi)_______．解析P(X＞10800)＝eq\f(1,2)[1－P(10000－2×400＜X≤10000＋2×400)]＝eq\f(1,2)(1－0.954)＝0.023.答案0.0236．設(shè)正態(tài)總體落在區(qū)間(－∞，－1)和區(qū)間(3，＋∞)內(nèi)的概率相等，落在區(qū)間(－2,4)內(nèi)的概率為99.7%，求該正態(tài)總體對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．解正態(tài)總體落在(－∞，－1)和(3，＋∞)內(nèi)的概率相等，說(shuō)明正態(tài)曲線關(guān)于x＝1對(duì)稱．所以μ＝1，因?yàn)槁湓?－2,4)內(nèi)的概率為99.7%，∴1－3σ＝－2,1＋3σ＝4，∴σ＝1.∴最高點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,\r(2π)))).eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)25分鐘)7．設(shè)隨機(jī)變量Z～N(0,1)，a＝P(－2<Z<0)，b＝P(－1<Z<1)，c＝P(0<Z<2)，則它們的大小關(guān)系是 ()．A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)＝b＝cC．a(chǎn)＝c<b D．a(chǎn)＝c>b解析由正態(tài)曲線的對(duì)稱性，a＝c.各概率值都是Z在區(qū)間長(zhǎng)度為2的區(qū)間內(nèi)取值的概率，b對(duì)應(yīng)的區(qū)間在正態(tài)曲線的對(duì)稱中心，故b最大．答案C8．右圖是當(dāng)σ取三個(gè)不同值σ1，σ2，σ3的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)圖像，那么σ1，σ2，σ3的大小關(guān)系是 ()．A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ3解析對(duì)正態(tài)分布N(0，σ2)，σ反映的是正態(tài)分布的離散程度，σ越小，越集中，曲線越“高瘦”，由圖可知σ1<σ2<σ3，對(duì)σ2對(duì)應(yīng)的曲線，由圖知，μ＝0，且當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)max＝eq\f(1,\r(2π))，又由曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))知σ2＝1，故選D.答案D9．已知一個(gè)正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為，且σm＝μn＝196，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝________.解析由題意知，μ＝7，σ＝2.又σm＝μn＝196，即2m＝7n＝196＝142∴m＝eq\f(2lg14,lg2)，n＝eq\f(2lg14,lg7)，∴eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\f(lg2,2lg14)＋eq\f(lg7,2lg14)＝eq\f(lg14,2lg14)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)10．某市組織一次高三調(diào)研考試，考試后統(tǒng)計(jì)的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為(x∈R)．對(duì)此有以下命題：①該市這次考試的數(shù)學(xué)平均成績(jī)?yōu)?0分；②分?jǐn)?shù)在120分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在60分以下的人數(shù)相同；③分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同；④該市這次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)標(biāo)準(zhǔn)差為10.其中正確命題的序號(hào)是________．(把所有正確命題的序號(hào)都寫(xiě)出來(lái))解析由題意知，μ＝80，σ＝10，即平均成績(jī)?yōu)?0分，成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為10.由μ＝80知正態(tài)曲線關(guān)于x＝80對(duì)稱，故(120，＋∞)關(guān)于x＝80的對(duì)稱區(qū)間為(－∞，40)；(110，＋∞)關(guān)于x＝80的對(duì)稱區(qū)間為(－∞，50)．所以分?jǐn)?shù)在110分以上的人數(shù)與分?jǐn)?shù)在50分以下的人數(shù)相同．答案①③④11．已知某種零件的尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上是減函數(shù)，且f(80)＝eq\f(1,8\r(2π)).(1)求分布密度函數(shù)；(2)估計(jì)尺寸在72mm～88mm間的零件大約占總數(shù)的百分之幾？解(1)由于正態(tài)曲線在(0,80)上是增函數(shù)，在(80，＋∞)上是減函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝80對(duì)稱，且在x＝80處取得最大值，因此得μ＝80.eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,8\r(2π))，所以σ＝8.故密度函數(shù)解析式是(2)由μ＝80，σ＝8得，μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，所以零件尺寸X位于區(qū)間(72,88)內(nèi)的概率是0.683.因此尺寸在72mm～88mm間的零件大約占總數(shù)的68.3%.12．(創(chuàng)新拓展)有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm)服從正態(tài)分布，即X～N(20,4)．若這批零件共有5000個(gè)．試求(1)這批零件中尺寸在18mm～22mm間的零件所占的百分比．(2)若規(guī)定尺寸在24mm～26mm間的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個(gè)？解(1)∵X～N(20,4)，∴μ＝20，σ＝2.∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22.于是零件尺寸X在18mm～22mm間的零件所占百分比大約是68.3%.(2)μ－3σ＝20－3×2＝14，μ＋3σ＝20＋3×2＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴零件尺寸X在14mm～26m