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PAGE第8講函數(shù)的圖象1.(2016·大同一模)函數(shù)y=x-xeq\s\up6(\f(1,3))的圖像大致為()解析:選A.由題意知函數(shù)為奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,所以排除C、D;當(dāng)x=1時,y=0,當(dāng)x=8時,y=8-eq\r(3,8)=8-2=6>0,排除B,故選A.2.在同一平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=g(x)的圖像與y=ex的圖像關(guān)于直線y=x對稱.而函數(shù)y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像關(guān)于y軸對稱,若f(m)=-1,則m的值是()A.-e B.-eq\f(1,e)C.e D.eq\f(1,e)解析:選B.由題意知g(x)=lnx,則f(x)=ln(-x),若f(m)=-1,則ln(-m)=-1,解得m=-eq\f(1,e).3.(2016·江西省五校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x2-eq\f(ln|x|,x),則函數(shù)y=f(x)的大致圖像為()解析:選A.由f(-x)=x2+eq\f(ln|x|,x)≠-f(x)可知函數(shù)f(x)不是奇函數(shù),排除B、C,當(dāng)x∈(0,1)時,f(x)=x2-eq\f(lnx,x),因?yàn)楫?dāng)x∈(0,1)時,y=lnx<0,則f(x)>0,排除D,故選A.4.已知函數(shù)f(x)=x|x|-2x,則下列結(jié)論正確的是()A.f(x)是偶函數(shù),遞增區(qū)間是(0,+∞)B.f(x)是偶函數(shù),遞減區(qū)間是(-∞,1)C.f(x)是奇函數(shù),遞減區(qū)間是(-1,1)D.f(x)是奇函數(shù),遞增區(qū)間是(-∞,0)解析:選C.將函數(shù)f(x)=x|x|-2x去掉絕對值得f(x)=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2-2x,x≥0,,-x2-2x,x<0,))畫出函數(shù)f(x)的圖像,如圖,觀察圖像可知,函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,故函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在(-1,1)上遞減.5.(2016·唐山高三月考)為了得到函數(shù)y=log2eq\r(x-1)的圖像,可將函數(shù)y=log2x的圖像上所有的點(diǎn)()A.縱坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2),橫坐標(biāo)不變,再向右平移1個單位B.橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2),縱坐標(biāo)不變,再向左平移1個單位C.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再向左平移1個單位D.縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍,橫坐標(biāo)不變,再向右平移1個單位解析:選A.y=log2eq\r(x-1)=log2(x-1)eq\s\up6(\f(1,2))=eq\f(1,2)log2(x-1),由y=log2x的圖像縱坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2),橫坐標(biāo)不變,可得y=eq\f(1,2)log2x的圖像,再向右平移1個單位,可得y=eq\f(1,2)log2(x-1)的圖像,也即y=log2eq\r(x-1)的圖像.6.使log2(-x)<x+1成立的x的取值范圍是()A.(-1,0) B.[-1,0)C.(-2,0) D.[-2,0)解析:選A.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y=log2(-x),y=x+1的圖像,知滿足條件的x∈(-1,0),故選A.7.如圖,函數(shù)f(x)的圖像是曲線OAB,其中點(diǎn)O,A,B的坐標(biāo)分別為(0,0),(1,2),(3,1),則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f(3))))的值等于________.解析:由圖像知f(3)=1,所以eq\f(1,f(3))=1.所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f(3))))=f(1)=2.答案:28.若函數(shù)y=f(x+3)的圖像經(jīng)過點(diǎn)P(1,4),則函數(shù)y=f(x)的圖像必經(jīng)過點(diǎn)________.解析:法一:函數(shù)y=f(x)的圖像是由y=f(x+3)的圖像向右平移3個單位長度而得到的.故y=f(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(4,4).法二:由題意得f(4)=4成立,故函數(shù)y=f(x)的圖像必經(jīng)過點(diǎn)(4,4).答案:(4,4)9.已知圖(1)中的圖像對應(yīng)的函數(shù)為y=f(x),則圖(2)中的圖像對應(yīng)的函數(shù)在下列給出的四個式子中,可能是________(填序號).①y=f(|x|);②y=|f(x)|;③y=-f(|x|);④y=f(-|x|).解析:由題圖(1)和題圖(2)的關(guān)系可知,題圖(2)是由題圖(1)在y軸左側(cè)的部分(含原點(diǎn))及其關(guān)于y軸對稱的圖形構(gòu)成的,故④正確.答案:④10.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,對于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.解析:如圖,作出函數(shù)f(x)=|x+a|與g(x)=x-1的圖像,觀察圖像可知:當(dāng)且僅當(dāng)-a≤1,即a≥-1時,不等式f(x)≥g(x)恒成立,因此a的取值范圍是[-1,+∞).答案:[-1,+∞)11.已知函數(shù)f(x)=eq\f(x,1+x).(1)畫出f(x)的草圖;(2)指出f(x)的單調(diào)區(qū)間.解:(1)f(x)=eq\f(x,1+x)=1-eq\f(1,x+1),函數(shù)f(x)的圖像是由反比例函數(shù)y=-eq\f(1,x)的圖像向左平移1個單位后,再向上平移1個單位得到的,圖像如圖所示.(2)由圖像可以看出,函數(shù)f(x)有兩個增區(qū)間:(-∞,-1),(-1,+∞).1.函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,若函數(shù)y=2f(x-1)-c與x軸有四個不同交點(diǎn),則c的取值范圍是()A.(-1,2.5) B.(-1,5)C.(-2,2.5) D.(-2,5)解析:選D.函數(shù)y=2f(x-1)-c與x軸有四個不同交點(diǎn),即方程2f(x-1)-c=0有四個不同的解,即y=f(x-1)與y=eq\f(1,2)c有四個不同的交點(diǎn).因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x-1)與函數(shù)y=f(x)上下分布相同,所以可以把問題轉(zhuǎn)化為c取何值時,曲線y=f(x)與y=eq\f(1,2)c有四個不同的交點(diǎn),結(jié)合圖形可知c∈(-2,5).2.已知函數(shù)f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.(1)求實(shí)數(shù)m的值;(2)作出函數(shù)f(x)的圖像;(3)根據(jù)圖像指出f(x)的遞減區(qū)間;(4)根據(jù)圖像寫出不等式f(x)>0的解集;(5)求當(dāng)x∈[1,5)時函數(shù)的值域.解:(1)因?yàn)閒(4)=0,所以4|m-4|=0,即m=4.(2)由(1)得f(x)=x|4-x|=eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x(x-4)=(x-2)2-4,x≥4,,-x(x-4)=-(x-2)2+4,x<4.))f(x)的圖像如圖所示.(3)f(x)的遞減區(qū)間是[2,4].(4)由圖像可知,f(x)>0的解集為{x|0<x<4或x>4}.(5)因?yàn)閒(5)=5>4,所以由圖像知,函數(shù)在[1,5)上的值域?yàn)閇0,5).3.(1)已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽,且當(dāng)x∈R時,f(m+x)=f(m-x)恒成立,求證:y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=m對稱;(2)若函數(shù)f(x)=log2|ax-1|的圖像的對稱軸是x=2,求非零實(shí)數(shù)a的值.解:(1)證明:設(shè)P(x0,y0)是y=f(x)圖像上任意一點(diǎn),則y0=f(x0).設(shè)P點(diǎn)關(guān)于x=m的對稱點(diǎn)為P′,則P′的坐標(biāo)為(2m-x0,y0由已知f(x+m)=f(m-x),得f(2m-x0)=f[m+(m-x0)]=f[m-(m-x
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