2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)2正弦定理2含解析蘇教版必修

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(二)正弦定理(2)(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．在△ABC中，b＋c＝eq\r(2)＋1，C＝45°，B＝30°，則()A．b＝1，c＝eq\r(2) B．b＝eq\r(2)，c＝1C．b＝eq\f(\r(2),2)，c＝1＋eq\f(\r(2),2) D．b＝1＋eq\f(\r(2),2)，c＝eq\f(\r(2),2)A[∵eq\f(b＋c,sinB＋sinC)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(\r(2)＋1,sin45°＋sin30°)＝2，∴b＝1，c＝eq\r(2).]2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，則此三角形有()A．無解 B．兩解C．一解 D．解的個(gè)數(shù)不確定B[∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinB＝eq\f(b,a)sinA＝eq\f(24,18)sin45°＝eq\f(2\r(2),3).又∵a＜b，∴B有兩個(gè)解，即此三角形有兩解．]3．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且a＝eq\r(3)bsinA，則sinB＝()A.eq\r(3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(6),3) D．－eq\f(\r(6),3)B[由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，所以sinA＝eq\r(3)sinBsinA，故sinB＝eq\f(\r(3),3).]4．在△ABC中，A＝60°，a＝eq\r(13)，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)等于()A.eq\f(8\r(3),3) B.eq\f(2\r(39),3)C.eq\f(26\r(3),3) D．2eq\r(3)B[由a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC得eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(\r(13),sin60°)＝eq\f(2\r(39),3).]5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若B＝eq\f(π,2)，a＝eq\r(6)，sin2B＝2sinAsinC，則△ABC的面積S＝()A.eq\f(3,2)B．3C.eq\r(6)D．6B[由sin2B＝2sinAsinC及正弦定理，得b2＝2ac，①又B＝eq\f(π,2)，所以a2＋c2＝b2.②聯(lián)立①②解得a＝c＝eq\r(6)，所以S＝eq\f(1,2)×eq\r(6)×eq\r(6)＝3.]二、填空題6．下列條件判斷三角形解的情況，正確的是________(填序號(hào))．①a＝8，b＝16，A＝30°，有兩解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，無解；④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．④[①中a＝bsinA，有一解；②中csinB<b<c，有兩解；③中A＝90°且a>b，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．綜上，④正確．]7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，則△ABC的面積等于________．2eq\r(3)[在△ABC中，根據(jù)正弦定理，得eq\f(AC,sinB)＝eq\f(BC,sinA)，所以eq\f(4,sinB)＝eq\f(2\r(3),sin60°)，解得sinB＝1.因?yàn)锽∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面積S△ABC＝eq\f(1,2)·AC·BC·sinC＝2eq\r(3).]8．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，則b＝________.eq\f(21,13)[在△ABC中，由cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，可得sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(12,13)，sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(63,65)，由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(21,13).]三、解答題9．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知A－C＝90°，a＋c＝eq\r(2)b，求C.[解]由A－C＝90°，得A為鈍角且sinA＝cosC，利用正弦定理，a＋c＝eq\r(2)b可變形為sinA＋sinC＝eq\r(2)sinB，又∵sinA＝cosC，∴sinA＋sinC＝cosC＋sinC＝eq\r(2)sin(C＋45°)＝eq\r(2)sinB，又A，B，C是△ABC的內(nèi)角，故C＋45°＝B或(C＋45°)＋B＝180°(舍去)，所以A＋B＋C＝(90°＋C)＋(C＋45°)＋C＝180°.所以C＝15°.10．在△ABC中，已知c＝10，eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(b,a)＝eq\f(4,3)，求a，b及△ABC的內(nèi)切圓半徑．[解]由正弦定理知eq\f(sinB,sinA)＝eq\f(b,a)，∴eq\f(cosA,cosB)＝eq\f(sinB,sinA).即sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.又∵a≠b且A，B∈(0，π)，∴2A＝π－2B，即A＋B＝eq\f(π,2).∴△ABC是直角三角形且C＝eq\f(π,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝102，,\f(b,a)＝\f(4,3)，))得a＝6，b＝8.∴內(nèi)切圓的半徑為r＝eq\f(a＋b－c,2)＝eq\f(6＋8－10,2)＝2.[能力提升練]1．在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，BC＝3，則△ABC的兩邊AC＋AB的取值范圍是()A．[3eq\r(3)，6] B．(2,4eq\r(3))C．(3eq\r(3)，4eq\r(3)) D．(3,6]D[∵A＝eq\f(π,3)，∴B＋C＝eq\f(2,3)π.∴AC＋AB＝eq\f(BC,sinA)(sinB＋sinC)＝eq\f(3,\f(\r(3),2))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinB＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－B))))＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)sinB＋\f(\r(3),2)cosB))＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))，∴B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)π))，∴B＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5,6)π))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∴AC＋AB∈(3,6]．]2．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m＝(eq\r(3)，－1)，n＝(cosA，sinA)，若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，則角A，B的大小分別為()A.eq\f(π,6)，eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)，eq\f(π,6)C.eq\f(π,3)，eq\f(π,6) D.eq\f(π,3)，eq\f(π,3)C[∵m⊥n，∴eq\r(3)cosA－sinA＝0，∴tanA＝eq\r(3)，又∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3)，由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，∴sin(A＋B)＝sin2C，即sinC＝1，∴C＝eq\f(π,2)，B＝eq\f(π,6).]3．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿足a＋b＝cx，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________．(1，eq\r(2)][∵a＋b＝cx，∴x＝eq\f(a＋b,c)＝eq\f(sinA＋sinB,sinC)＝sinA＋cosA＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4))).∵A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴A＋eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3,4)π))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))，∴x∈(1，eq\r(2)]．]4．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，則sinB＝________.eq\f(3\r(3),14)[由正弦定理，得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，即sinC＝eq\f(AB·sinA,BC)＝eq\f(5sin120°,7)＝eq\f(5\r(3),14).可知C為銳角，∴cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\f(11,14).∴sinB＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C)＝sin60°·cosC－cos60°·sinC＝eq\f(3\r(3),14).]5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足csinA＝acosC.(1)求角C的大?。?2)求eq\r(3)sinA－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))的最大值，并求取得最大值時(shí)角A，B的大小．[解](1)由正弦定理及已知條件得sinCsinA＝sinAcosC．因?yàn)?<A<π，所以sinA>0，從而sinC＝cosC，則C＝eq\f(π,4).(2)由(1)知，B＝eq\f(3π,4)－A，于是eq\r(3)sinA－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝eq\r(3)sinA－cos(π－A)＝eq\r(3)sinA＋cosA＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6))).因?yàn)?<A<eq\