高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第4講垂直關(guān)系知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)文北師大版

PAGE第4講垂直關(guān)系1．若a，b表示兩條不同的直線，α表示平面，a⊥α，b∥α，則a與b的關(guān)系為()A．a(chǎn)⊥b，且a與b相交 B．a(chǎn)⊥b，且a與b不相交C．a(chǎn)⊥b D．a(chǎn)與b不一定垂直解析：選C.因?yàn)閎∥α，所以在α中必有一條直線c與b平行，因?yàn)閍⊥α，所以a⊥c，所以a⊥b.2．“直線a與平面M內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面M垂直”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選B.根據(jù)直線與平面垂直的定義知“直線a與平面M內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直”不能推出“直線a與平面M垂直”，反之可以，所以應(yīng)該是必要不充分條件．3．(2016·南昌調(diào)研)已知兩個(gè)不同的平面α，β和兩條不重合的直線m，n，則下列四個(gè)命題中不正確的是()A．若m∥n，m⊥α，則n⊥αB．若m⊥α，m⊥β，則α∥βC．若m⊥α，m∥n，nβ，則α⊥βD．若m∥α，α∩β＝n，則m∥n解析：選D.由線面平行、垂直之間的轉(zhuǎn)化知A、B正確；對(duì)于C，因?yàn)閙⊥α，m∥n，所以n⊥α，又nβ，所以β⊥α，即C正確；對(duì)于D，m∥α，α∩β＝n，則m∥n，或m與n是異面直線，故D項(xiàng)不正確．4．在如圖所示的四個(gè)正方體中，能得出AB⊥CD的是()解析：選A.A中，因?yàn)镃D⊥平面AMB，所以CD⊥AB；B中，AB與CD成60°角；C中，AB與CD成45°角；D中，AB與CD夾角的正切值為eq\r(2).5．設(shè)a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是()A．若α∥β，aα，bβ，則a∥bB．若a∥α，b⊥β，且α⊥β，則a∥bC．若a⊥α，a∥b，b∥β，則α⊥βD．若a⊥b，aα，bβ，則α⊥β解析：選C.若α∥β，aα，bβ，則直線a與b可能平行或異面，所以A錯(cuò)誤；若a∥α，b⊥β，且α⊥β，則直線a與b可能平行或相交或異面，所以B錯(cuò)誤；若a⊥α，a∥b，b∥β，則α⊥β，所以C正確；若a⊥b，aα，bβ，則α與β相交或平行，所以D錯(cuò)誤．故選C.6．(2016·九江模擬)如圖，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE解析：選C.因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選C.7.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PM的最小值為_(kāi)_______．解析：作CH⊥AB于H，連接PH.因?yàn)镻C⊥平面ABC，所以PH⊥AB，PH為PM的最小值，等于2eq\r(7).答案：2eq\r(7)8．(2016·無(wú)錫質(zhì)檢)已知α，β，γ是三個(gè)不同的平面，命題“α∥β且α⊥γ?β⊥γ”是真命題，若把α，β，γ中的任意兩個(gè)換成直線，另一個(gè)保持不變，在所得的所有新命題中，真命題有________個(gè)．解析：若把α，β?lián)Q為直線a，b，則命題轉(zhuǎn)化為“a∥b且a⊥γ?b⊥γ”，此命題為真命題；若把α，γ換為直線a，b，則命題轉(zhuǎn)化為“a∥β且a⊥b?b⊥β”，此命題為假命題；若把β，γ換為直線a，b，則命題轉(zhuǎn)化為“a∥α且b⊥α?a⊥b”，此命題為真命題．答案：29．四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，則這個(gè)四棱錐的五個(gè)面中兩兩互相垂直的共有________對(duì)．解析：因?yàn)锳D⊥AB，AD⊥PA且PA∩AB＝A，可得AD⊥平面PAB.同理可得BC⊥平面PAB、AB⊥平面PAD、CD⊥平面PAD，由面面垂直的判定定理可得，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，共有5對(duì)．答案：510．已知a、b、l表示三條不同的直線，α、β、γ表示三個(gè)不同的平面，有下列四個(gè)命題：①若α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∥b，則α∥γ；②若a、b相交，且都在α、β外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β，則α∥β；③若α⊥β，α∩β＝a，bβ，a⊥b，則b⊥α；④若aα，bα，l⊥a，l⊥b，l?α，則l⊥α.其中正確命題的序號(hào)是________．解析：若平面α、β、γ兩兩相交于三條直線，則有交線平行，故①不正確．因?yàn)閍、b相交，假設(shè)其確定的平面為γ，根據(jù)a∥α，b∥α，可得γ∥α.同理可得γ∥β，因此α∥β，②正確．由面面垂直的性質(zhì)定理知③正確．當(dāng)a∥b時(shí)，l垂直于平面α內(nèi)兩條不相交直線，不能得出l⊥α，④錯(cuò)誤．答案：②③11．(2014·高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且(1)證明：B1C⊥AB(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1解：(1)證明：連接BC1，則O為B1C與BC1的交點(diǎn)．因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形，所以B1又AO⊥平面BB1C所以B1C⊥AO故B1C⊥平面ABO由于AB平面ABO，故B1C⊥AB.(2)作OD⊥BC，垂足為D，連接AD.作OH⊥AD，垂足為H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以O(shè)H⊥BC.又OH⊥AD，所以O(shè)H⊥平面ABC.因?yàn)椤螩BB1＝60°，所以△CBB1為等邊三角形．又BC＝1，可得OD＝eq\f(\r(3),4).由于AC⊥AB1，所以O(shè)A＝eq\f(1,2)B1C＝eq\f(1,2).由OH·AD＝OD·OA，且AD＝eq\r(OD2＋OA2)＝eq\f(\r(7),4)，得OH＝eq\f(\r(21),14).又O為B1C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B1到平面ABC的距離為eq\f(\r(21),7)，故三棱柱ABC-A1B1C1的高為eq\f(\r(21),7).1.點(diǎn)P在正方體ABCD-A1B1C1D1的面對(duì)角線BC1上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)命題：①三棱錐A-D1PC的體積不變；②A1P∥平面ACD1；③DB⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正確的命題序號(hào)是________．解析：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接DC1交D1C于點(diǎn)O1，連接OO1，則OO1∥BC1所以BC1∥平面AD1C，動(dòng)點(diǎn)P到平面AD1C所以三棱錐P-AD1C又VP-AD1C＝VA-D1PC，連接A1B，A1C1，因?yàn)槠矫鍭1C1B∥平面ADA1P平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，②正確．由于DB不垂直于BC1，顯然③不正確；連接B1D，由于DB1⊥D1C，DB1⊥AD1，D1C∩AD1＝D所以DB1⊥平面AD1C，DB1平面PDB1，所以平面PDB1⊥平面ACD1，④正確．答案：①②④2．(2015·高考北京卷)如圖，在三棱錐V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB為等邊三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分別為AB，VA的中點(diǎn)．(1)求證：VB∥平面MOC；(2)求證：平面MOC⊥平面VAB；(3)求三棱錐V-ABC的體積．解：(1)證明：因?yàn)镺，M分別為AB，VA的中點(diǎn)，所以O(shè)M∥VB.又因?yàn)閂B?平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)證明：因?yàn)锳C＝BC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB.又因?yàn)槠矫鎂AB⊥平面ABC，且OC平面ABC，所以O(shè)C⊥平面VAB.所以平面MOC⊥平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq\r(2)，所以AB＝2，OC＝1.所以等邊三角形VAB的面積S△VAB＝eq\r(3).又因?yàn)镺C⊥平面VAB，所以三棱錐C-VAB的體積等于eq\f(1,3)OC·S△VAB＝eq\f(\r(3),3).又因?yàn)槿忮FV-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，所以三棱錐V-ABC的體積為eq\f(\r(3),3).3．(2016·青島質(zhì)檢)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn)．(1)求證：B1D1∥平面A1BD；(2)求證：MD⊥AC；(3)試確定點(diǎn)M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.解：(1)證明：由直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，得BB1∥DD1，BB1＝DD1所以四邊形BB1D1D是平行四邊形，所以B1D1∥BD.因?yàn)锽D平面A1BD，B1D1?平面A1BD，所以B1D1∥平面A1BD.(2)證明：因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，所以BB1⊥AC.又因?yàn)锽D⊥AC，且BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，因?yàn)镸D平面BB1D1D，所以MD⊥AC.(3)當(dāng)點(diǎn)M為棱BB1的中點(diǎn)時(shí)，平面DMC1⊥平面CC1D1D.證明如下：取DC的中點(diǎn)N，D1C1的中點(diǎn)N