全國中考數(shù)學(xué)壓軸題精析

20XX年全國中考數(shù)學(xué)壓軸題精選精析（九）97.（20XX年新疆烏魯木齊）23．如圖9，在矩形中，已知、兩點的坐標(biāo)分別為，為的中點．設(shè)點是平分線上的一個動點（不與點重合）．（1）試證明：無論點運動到何處，總與相等；（2）當(dāng)點運動到與點的距離最小時，試確定過三點的拋物線的解析式；（3）設(shè)點是（2）中所確定拋物線的頂點，當(dāng)點運動到何處時，的周長最??？求出此時點的坐標(biāo)和的周長；（4）設(shè)點是矩形的對稱中心，是否存在點，使？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)．yyOxPDB圖9（20XX年新疆烏魯木齊23題解析）解：（1）∵點是的中點，∴，∴．又∵是的角平分線，∴，∴，∴． 3分（2）過點作的平分線的垂線，垂足為，點即為所求．易知點的坐標(biāo)為（2，2），故，作，∵是等腰直角三角形，∴，∴點的坐標(biāo)為（3，3）．yOxyOxDBPEFM∴設(shè)拋物線的解析式為．又∵拋物線經(jīng)過點和點，∴有解得∴拋物線的解析式為． 7分（3）由等腰直角三角形的對稱性知D點關(guān)于的平分線的對稱點即為點．連接，它與的平分線的交點即為所求的點（因為，而兩點之間線段最短），此時的周長最?。邟佄锞€的頂點的坐標(biāo)，點的坐標(biāo)，設(shè)所在直線的解析式為，則有，解得．∴所在直線的解析式為．點滿足，解得，故點的坐標(biāo)為．的周長即是．（4）存在點，使．其坐標(biāo)是或． 14分98.（20XX年云南）23．（本小題14分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標(biāo)分別為、，點D的坐標(biāo)為，點P是直線AC上的一動點，直線DP與軸交于點M．問：（1）當(dāng)點P運動到何位置時，直線DP平分矩形OABC的面積，請簡要說明理由，并求出此時直線DP的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)點P沿直線AC移動時，是否存在使與相似的點M，若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）當(dāng)點P沿直線AC移動時，以點P為圓心、半徑長為R（R＞0）畫圓，所得到的圓稱為動圓P．若設(shè)動圓P的直徑長為AC，過點D作動圓P的兩條切線，切點分別為點E、F．請?zhí)角笫欠翊嬖谒倪呅蜠EPF的最小面積S，若存在，請求出S的值；若不存在，請說明理由．備用圖備用圖（20XX年云南23題解析）解：（1）理由如下：∵矩形是中心對稱圖形，且點為矩形的對稱中心．又據(jù)經(jīng)過中心對稱圖形對稱中心的任一直線平分此中心對稱圖形的面積，因為直線過矩形的對稱中心點，所以直線平分矩形的面積．…………2分由已知可得此時點的坐標(biāo)為．設(shè)直線的函數(shù)解析式為．則有解得，．所以，直線的函數(shù)解析式為：． 5分（2）存在點使得與相似．如圖，不妨設(shè)直線與軸的正半軸交于點．因為，若△DOM與△ABC相似，則有或．當(dāng)時，即，解得．所以點滿足條件．當(dāng)時，即，解得．所以點滿足條件．由對稱性知，點也滿足條件．綜上所述，滿足使與相似的點有3個，分別為、、． 9分（3）如圖，過D作DP⊥AC于點P，以P為圓心，半徑長為畫圓，過點D分別作的切線DE、DF，點E、F是切點．除P點外在直線AC上任取一點P1，半徑長為畫圓，過點D分別作的切線DE1、DF1，點E1、F1是切點．在△DEP和△DFP中，∠PED＝∠PFD，PF＝PE，PD＝PD，∴△DPE≌△DPF．∴Ｓ四邊形DEPF＝2Ｓ△DPE＝2×．∴當(dāng)DE取最小值時，Ｓ四邊形DEPF的值最?。?，，∴．∵，∴．∴．由點的任意性知：DE是點與切點所連線段長的最小值．……12分在△ADP與△AOC中，∠DPA＝∠AOC，∠DAP＝∠CAO，∴△ADP∽△AOC．∴，即．∴．∴．∴Ｓ四邊形ＤＥＰＦ＝，即Ｓ＝． 14分（注：本卷中所有題目，若由其它方法得出正確結(jié)論，請參照標(biāo)準給分．）99（20XX年浙江杭州）24.（本小題滿分12分）已知平行于x軸的直線與函數(shù)和函數(shù)的圖象分別交于點A和點B，又有定點P（2，0）.（1）若，且tan∠POB=，求線段AB的長；（2）在過A，B兩點且頂點在直線上的拋物線中，已知線段AB=，且在它的對稱軸左邊時，y隨著x的增大而增大，試求出滿足條件的拋物線的解析式；（3）已知經(jīng)過A，B，P三點的拋物線，平移后能得到的圖象，求點P到直線AB的距離.（20XX年浙江杭州24題解析）（1）設(shè)第一象限內(nèi)的點B（m,n），則tan∠POB，得m=9n，又點B在函數(shù) 的圖象上，得，所以m=3（－3舍去），點B為，而AB∥x軸，所以點A（，），所以；（2）由條件可知所求拋物線開口向下，設(shè)點A（a,a），B（，a），則AB=－a=,所以，解得.當(dāng)a=－3時，點A（―3，―3），B（―，―3），因為頂點在y=x上，所以頂點為（－，－），所以可設(shè)二次函數(shù)為，點A代入，解得k=－,所以所求函數(shù)解析式為.同理，當(dāng)a=時，所求函數(shù)解析式為；（3）設(shè)A（a,a），B（，a），由條件可知拋物線的對稱軸為.設(shè)所求二次函數(shù)解析式為：.點A（a,a）代入，解得，，所以點P到直線AB的距離為3或100.（20XX年浙江湖州）已知拋物線（）與軸相交于點，頂點為.直線分別與軸，軸相交于兩點，并且與直線相交于點.(1)填空：試用含的代數(shù)式分別表示點與的坐標(biāo)，則；(2)如圖，將沿軸翻折，若點的對應(yīng)點′恰好落在拋物線上，′與軸交于點，連結(jié)，求的值和四邊形的面積；(3)在拋物線（）上是否存在一點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由.第（2）題第（2）題xyBCODAMNN′xyBCOAMN備用圖（第24題）（20XX年浙江湖州24題解析）（1）.……………4分（2）由題意得點與點′關(guān)于軸對稱，，將′的坐標(biāo)代入得，（不合題意，舍去），.……………2分，點到軸的距離為3.，，直線的解析式為，它與軸的交點為點到軸的距離為..……………2分（3）當(dāng)點在軸的左側(cè)時，若是平行四邊形，則平行且等于，把向上平移個單位得到，坐標(biāo)為，代入拋物線的解析式，得：（不舍題意，舍去），，.……………2分當(dāng)點在軸的右側(cè)時，若是平行四邊形，則與互相平分，． 與關(guān)于原點對稱，，將點坐標(biāo)代入拋物線解析式得：，（不合題意，舍去），，．……………2分存在這樣的點或，能使得以為頂點的四邊形是平行四邊形．101.（20XX年浙江嘉興）CABNM（第24題）24．如圖，已知A、B是線段MN上的兩點，，，．以A為中心順時針旋轉(zhuǎn)點M，以B為中心逆時針旋轉(zhuǎn)點N，使M、N兩點重合成一點C，構(gòu)成△ABC，設(shè)CABNM（第24題）（1）求x的取值范圍；（2）若△ABC為直角三角形，求x的值；（3）探究：△ABC的最大面積？（20XX年浙江嘉興24題解析）（1）在△ABC中，∵，，．∴，解得． 4分（2）①若AC為斜邊，則，即，無解．②若AB為斜邊，則，解得，滿足．③若BC為斜邊，則，解得，滿足．CABNM（第24題-1）D∴CABNM（第24題-1）D（3）在△ABC中，作于D，設(shè)，△ABC的面積為S，則．①若點D在線段AB上，則．∴，即．∴，即．∴（）． 11分CBADMN（第24題-2）當(dāng)時（滿足），取最大值，從而S取最大值． 13CBADMN（第24題-2）②若點D在線段MA上，則．同理可得，（），易知此時．綜合①②得，△ABC的最大面積為． 14分102.（20XX年浙江麗水）24.已知直角坐標(biāo)系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點的坐標(biāo)分別為(4,0)，(0,3).現(xiàn)有兩動點P,Q分別從A,C同時出發(fā)，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設(shè)運動時間為t秒.(第24題)(1)填空：菱形ABCD的邊長是▲、面積是▲、(第24題)高BE的長是▲；(2)探究下列問題：①若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位.當(dāng)點Q在線段BA上時，求△APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，以及S的最大值；②若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度變?yōu)槊棵雓個單位，在運動過程中,任何時刻都有相應(yīng)的k值，使得△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形.請?zhí)骄慨?dāng)t=4秒時的情形，并求出k的值.（20XX年浙江麗水24題解析）解：（1）5,24,…………………3分（2）①由題意，得AP=t，AQ=10-2t.…………1分如圖1,過點Q作QG⊥AD，垂足為G，由QG∥BE得△AQG∽△ABE,∴,∴QG=,…………1分∴(≤t≤5).……1分∵(≤t≤5).∴當(dāng)t=時，S最大值為6.…1分②要使△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，只需△APQ為等腰三角形即可.當(dāng)t=4秒時，∵點P的速度為每秒1個單位，∴AP=.………………1分以下分兩種情況討論:第一種情況：當(dāng)點Q在CB上時,∵PQ≥BE>PA，∴只存在點Q1,使Q1A=Q1P.如圖2,過點Q1作Q1M⊥AP，垂足為點M，Q1M交AC于點F,則AM=.由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得,∴,∴.………………1分∴CQ1==.則,∴.……………1分第二種情況：當(dāng)點Q在BA上時,存在兩點Q2,Q3,分別使AP=AQ2,PA=PQ3.①若AP=AQ2，如圖3,CB+BQ2=10-4=6.則,∴.……1分②若PA=PQ3，如圖4,過點P作PN⊥AB，垂足為N，由△ANP∽△AEB,得.∵AE=,∴AN＝.∴AQ3=2AN=,∴BC+BQ3=10-則.∴.………1分綜上所述，當(dāng)t=4秒，以所得的等腰三角形APQ沿底邊翻折，翻折后得到菱形的k值為或或.103.（20XX年浙江寧波）26．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（－8，0），直線BC經(jīng)過點B（－8，6），將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)α度得到四邊形OA′B′C′，此時聲母OA′、直線B′C′分別與直線BC相交于P、Q．（1）四邊形的形狀是，當(dāng)α=90°時，的值是．（2）①如圖2,當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點B′落在y軸正半軸上時,求的值;②如圖3,當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點B′落在直線BC上時,求ΔOPB′的面積．（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)時，是否存在這樣的點P和點Q，使BP=？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；基不存在，請說明理由．（20XX年浙江寧波26題解析）解：（1）矩形（長方形）； 1分． 3分（2）①，，．，即，，． 4分同理，，即，，． 5分． 6分②在和中，． 7分．設(shè)，在中，，解得． 8分． 9分（3）存在這樣的點和點，使． 10分點的坐標(biāo)是，． 12分對于第（3）題，我們提供如下詳細解答，對學(xué)生無此要求．過點畫于，連結(jié)，則，，，．設(shè)，QCBQCBAOxPyH，如圖1，當(dāng)點P在點B左側(cè)時，，在中，，QCBAOxQCBAOxPyH，．②如圖2，當(dāng)點P在點B右側(cè)時，，．在中，，解得．，．綜上可知，存在點，，使．104.（20XX年浙江衢州）24.（本題14分）如圖，已知點A(-4，8)和點B(2，n)在拋物線得分評卷人上．得分評卷人(1)求a的值及點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標(biāo)；(2)平移拋物線，記平移后點A的對應(yīng)點為A′，點B的對應(yīng)點為B′，點C(-2，0)和點D(-4，0)是x軸上的兩個定點．①當(dāng)拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式；②當(dāng)拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由．44x22A8-2O-2-4y6BCD-44（20XX年浙江衢州24題解析）(第24題(1))4x22A8-2O-2-(第24題(1))4x22A8-2O-2-4y6BCD-44QP將點B(2，n)的坐標(biāo)代入，求得點B的坐標(biāo)為(2，2)，……1分則點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標(biāo)為(2，-2)． ……1分直線AP的解析式是． ……1分令y=0，得．即所求點Q的坐標(biāo)是(，0)． ……1分(第24題(2)①)4x22A′8-2O-2-4y6(第24題(2)①)4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′故將拋物線向左平移個單位時，A′C+CB′最短，……2分此時拋物線的函數(shù)解析式為． ……1分解法2：設(shè)將拋物線向左平移m個單位，則平移后A′，B′的坐標(biāo)分別為A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，點A′關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)為A′′(-4-m，-8)．直線A′′B′的解析式為． ……1分要使A′C+CB′最短，點C應(yīng)在直線A′′B′上， ……1分將點C(-2，0)代入直線A′′B′的解析式，解得． ……1分(第24題(2)②)4x22A′8-2O-2-4y(第24題(2)②)4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′B′′②左右平移拋物線，因為線段A′B′和CD的長是定值，所以要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短； ……1分第一種情況：如果將拋物線向右平移，顯然有A′D+CB′>AD+CB，因此不存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短．……1分第二種情況：設(shè)拋物線向左平移了b個單位，則點A′和點B′的坐標(biāo)分別為A′(-4-b，8)和B′(2-b，2)．因為CD=2，因此將點B′向左平移2個單位得B′′(-b，2)，要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短． ……1分點A′關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)為A′′(-4-b，-8)，直線A′′B′′的解析式為． ……1分要使A′D+DB′′最短，點D應(yīng)在直線A′′B′′上，將點D(-4，0)代入直線A′′B′′的解析式，解得．故將拋物線向左平移時，存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短，此時拋物線的函數(shù)解析式為． ……1分105.（20XX年浙江嵊州）14．△與△是兩個直角邊都等于厘米的等腰直角三角形，M、N分別是直角邊AC、BC的中點?！魑恢霉潭?，△按如圖疊放，使斜邊在直線MN上,頂點與點M重合。等腰直角△以1厘米/秒的速度沿直線MN向右平移，直到點與點N重合。設(shè)秒時，△與△重疊部分面積為平方厘米。（1）當(dāng)△與△重疊部分面積為平方厘米時，求△移動的時間；（2）求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）求△與△重疊部分面積的最大值。（20XX年浙江嵊州14題解析）（1）解①如圖1，當(dāng)在△ABC內(nèi)時，重疊部分是平行四邊形,由題意得：解得x=……（2分）②如圖3，當(dāng)在△ABC內(nèi)時，重疊部分是平行四邊形,由題意得：N=列式得()×=解得x=……（2分）綜上所述，當(dāng)△與△重疊部分面積為平方厘米時，△移動的時間為或（）秒。圖1圖1圖2圖2圖3圖1圖3圖1（2）①如圖1，當(dāng)0≤x≤時……（1分）②如圖2，當(dāng)≤x≤時，如圖，△DN,△,△是等腰直角三角形，N＝，GF=MN=,即…(3分)③如圖3，當(dāng)≤x≤時，…（1分）（3）①當(dāng)0≤x≤時，……（1分）②當(dāng)≤x≤時，……（2分）③當(dāng)≤x≤時，……（1分）所以，△與△重疊部分面積的最大值為5。106.（20XX年浙江臺州）24．如圖，已知直線交坐標(biāo)軸于兩點，以線段為邊向上作正方形，過點的拋物線與直線另一個交點為．（1）請直接寫出點的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）若正方形以每秒個單位長度的速度沿射線下滑，直至頂點落在軸上時停止．設(shè)正方形落在軸下方部分的面積為，求關(guān)于滑行時間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量的取值范圍；（第24題）（4）在（3）的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時停止，求拋物線上兩點間的拋物線弧所掃過的面積．（第24題）備用圖備用圖（20XX年浙江臺州24題解析）（1）；…………………2分（2）設(shè)拋物線為，拋物線過，解得…………………2分∴．……………1分（3）①當(dāng)點A運動到點F時，當(dāng)時，如圖1，圖1∵，圖1∴∴∴；……2分②當(dāng)點運動到軸上時，，圖2當(dāng)時，如圖2，圖2∴∴，∵，∴；…………（2分）③當(dāng)點運動到軸上時，，當(dāng)時，如圖3，圖3∵，圖3∴，∵，∽∴，∴，∴=．………（2分）（解法不同的按踩分點給分）（4）∵,,∴………………（2分）==．……………（1分）圖4圖4107.（20XX年浙江義烏）24．已知點A、B分別是軸、軸上的動點，點C、D是某個函數(shù)圖像上的點，當(dāng)四邊形ABCD（A、B、C、D各點依次排列）為正方形時，稱這個正方形為此函數(shù)圖像的伴侶正方形。例如：如圖，正方形ABCD是一次函數(shù)圖像的其中一個伴侶正方形。（1）若某函數(shù)是一次函數(shù)，求它的圖像的所有伴侶正方形的邊長；（2）若某函數(shù)是反比例函數(shù)，他的圖像的伴侶正方形為ABCD，點D（2，m）（m<2）在反比例函數(shù)圖像上，求m的值及反比例函數(shù)解析式；（3）若某函數(shù)是二次函數(shù)，它的圖像的伴侶正方形為ABCD，C、D中的一個點坐標(biāo)為（3，4）.寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標(biāo)，寫出符合題意的其中一條拋物線解析式，并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？。(本小題只需直接寫出答案)（20XX年浙江義烏24題解析）解：（1）如圖1，當(dāng)點在軸正半軸，點在軸負半軸上時，正方形的邊長為； 1分當(dāng)點在軸負半軸、點在軸正半軸上時，設(shè)正方形的邊長為，易得． 2分OxyCDAOxyCDABF321123圖2E（2）如圖2，作分別垂直于軸，易知． 1分此時，，，，，點坐標(biāo)為， 2分解得． 3分反比例函數(shù)的解析式為． 4分（3）；；；． 3分（寫對1個1分，2個或3個2分，4個3分）對應(yīng)的拋物線分別為；；；． 4分所求出的任何拋物線的伴侶正方形個數(shù)為偶數(shù)． 5分108.（20XX年浙江舟山）24.（本題12分）如圖，已知點A(-4，8)和點B(2，n)在拋物線上．(1)求a的值及點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標(biāo)，并在x軸上找一點Q，使得AQ+QB最短，求出點Q的坐標(biāo)；(2)平移拋物線，記平移后點A的對應(yīng)點為A′，點B的對應(yīng)點為B′，點C(-2，0)和點D(-4，0)是x軸上的兩個定點．①當(dāng)拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數(shù)解析式；②當(dāng)拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數(shù)解析式；若不存在，請說明理由．(第24題)(第24題)4x22A8-2O-2-4y6BCD-44（20XX年浙江舟山24題解析）(第24題(1))4x22A8-2O-2-(第24題(1))4x22A8-2O-2-4y6BCD-44QP將點B(2，n)的坐標(biāo)代入，求得點B的坐標(biāo)為(2，2)，則點B關(guān)于x軸對稱點P的坐標(biāo)為(2，-2)． ……1分直線AP的解析式是． ……1分令y=0，得．即所求點Q的坐標(biāo)是(，0)． ……1分(第24題(2)①)4x22A′8-2O-2-4y6(第24題(2)①)4x22A′8-2O-2-4y6B′CD-44A′′故將拋物線向左平移個單位時，A′C+CB′最短，……2分此時拋物線的函數(shù)解析式為． ……1分解法2：設(shè)將拋物線向左平移m個單位，則平移后A′，B′的坐標(biāo)分別為A′(-4-m，8)和B′(2-m，2)，點A′關(guān)于x軸對稱點的坐