安徽省級(jí)示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期春季聯(lián)賽數(shù)學(xué)試題（含解析）

第1頁(yè)/共28頁(yè)安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2024年春季聯(lián)賽（高一），則A∩B=()A.B.C.D.⑦2.不等式的解集為()}3.我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中提出了“三斜求積”，如圖所示，作“大斜”上的高，則第2頁(yè)/共28頁(yè)A.B.C.D.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件6.定義在上的f滿足對(duì)f≤6，關(guān)于x的方程f(x)2-(a+1)f(x)+a=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(),A.-B.-C.D.8.已知函數(shù)的反函數(shù)為y=f-1(x)，那么g(x)=f-1(x-2)+2在[-2,6]上的最大值與最小值之和為()A.4B.2C.1D.09.以下運(yùn)算中正確的有(C.2log23-30=210.下面結(jié)論正確的有() 5)A.若A，B為銳角三角形的兩內(nèi)角，則有sinA>cosB第3頁(yè)/共28頁(yè)2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)α-cos2β=cos(α+β)sin(α-β)11.若函數(shù)=Asin的部分圖象如圖所示，將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列四個(gè)命題正確的是()A.函數(shù)y=f(-x)的單調(diào)遞增區(qū)間是k∈ZB.直線是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸D.若g(x)在[0,π]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則13.在邊長(zhǎng)為2的正△ABC中，動(dòng)點(diǎn)P在以C為圓心且與AB邊相切的圓上，滿足.則λ+μ的取值范圍是.若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，M，N分別是AB和BC的中點(diǎn)，過(guò)M、N兩點(diǎn)作球O的截面，則面積的最小值為.第4頁(yè)/共28頁(yè)15.某超市舉行有獎(jiǎng)答題活動(dòng)，參加活動(dòng)的顧客依次回答三個(gè)問(wèn)題.不管答對(duì)或者答錯(cuò)，三題答完活動(dòng)結(jié)束.規(guī)定每位顧客只能參加一次活動(dòng).已知每位顧客第一題答對(duì)的概率為，第二題答對(duì)的概率為，第三題答對(duì)的概率為，若答對(duì)兩題，則可獲得價(jià)值100元的獎(jiǎng)品，若答對(duì)三題，則可獲得價(jià)值200元的獎(jiǎng)品，若答對(duì)的題數(shù)不夠2題，則不能獲獎(jiǎng).假設(shè)顧客是否通過(guò)每一關(guān)相互獨(dú)立.現(xiàn)有甲，乙兩名顧客參加該活動(dòng)，則兩人最后獲得獎(jiǎng)品價(jià)值總和為300元獎(jiǎng)品的概率為.垂足為點(diǎn)M，作AT丄OA交角θ的終邊于點(diǎn)T.（1）請(qǐng)根據(jù)正弦和余弦的二倍角公式推導(dǎo)正弦的三倍角公式sin3θ（僅用含sinθ的式子表示（2）請(qǐng)根據(jù)三角形面積公式及扇形面積公式證明cosθ<（1）求b和角B；求的取值范圍.18.如圖，在矩形OACB中直線CF與DE垂直，垂足為點(diǎn)P.第5頁(yè)/共28頁(yè)若=1，將用基底線性表示，并求出的最大值.線BD于點(diǎn)O，交邊AD于點(diǎn)Q，現(xiàn)將△ABD沿BD翻折，形成四面體PBCD，如下右圖.（1）求四面體PBCD外接球的體積；（2）求證：平面PBD丄平面OCQ；（3）若點(diǎn)G為棱BC的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷在將△ABD沿BD翻折過(guò)程中，直線PG能否平行于面OCQ.若能請(qǐng)求出此時(shí)的二面角P-BD-C的大?。蝗舨荒?，請(qǐng)說(shuō)明理由.20.手機(jī)在我們的生活中扮演著越來(lái)越重要的角色，但過(guò)度使用手機(jī)會(huì)對(duì)我們的身心健康造成諸多危害.一城市的某愛(ài)心機(jī)構(gòu)建議市民應(yīng)合理使用手機(jī)，可以嘗試設(shè)定使用時(shí)間限制，多參加戶外活動(dòng)，與人面對(duì)面交流，讓生活更加豐富多彩.為了更好地做好該項(xiàng)宣傳工作，做到宣傳的全面有效，該機(jī)構(gòu)隨機(jī)選擇了100位市民進(jìn)行宣傳，這些市民年齡的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如下：（1）請(qǐng)估計(jì)這100位市民的平均年齡，結(jié)果請(qǐng)保留整數(shù)（同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值代替第6頁(yè)/共28頁(yè)（2）請(qǐng)估計(jì)該市市民中的一位市民年齡位于區(qū)間[40,60]的概率；（3）現(xiàn)在要從[20,30)和[70,80)兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪，若抽取的2人的年齡差大于10，則代表該機(jī)構(gòu)宣傳工作做得全面，獲得好評(píng).方案一：從6人中按照不放回抽樣抽取2人，獲得好評(píng)的概率為P1；方案二：從6人中按照有放回抽樣抽取2人，獲得好評(píng)的概率為P2；假設(shè)獲得好評(píng)的概率大的方案較好，請(qǐng)比較上述兩種方案哪種更好，請(qǐng)說(shuō)明理由.21.已知函數(shù)f(x)=ax+bx-cx(a,b,c>0).f(x)，且a,b,c是一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，請(qǐng)寫(xiě)出（3）若a,b,c是一個(gè)等腰鈍角三角形的三條邊長(zhǎng)且c為最長(zhǎng)邊，求證：f(x)<0在x∈[2,+∞)時(shí)恒成立.安徽省示范高中培優(yōu)聯(lián)盟2024年春季聯(lián)賽（高一）第7頁(yè)/共28頁(yè)，則A∩B=()A.B.C.D.⑦【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式和對(duì)數(shù)不等式的解法即可得到A,B，再利用交集含義即可.故選：C.}【答案】A【解析】【分析】移項(xiàng)、通分，再轉(zhuǎn)化為等價(jià)的一元二次不等式，解得即可.故選：A3.我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中提出了“三斜求積”，如圖所示，作“大斜”上的高，則第8頁(yè)/共28頁(yè) 21-·7-21-77-·37+·3A.B.C.D.4244【答案】A【解析】【分析】設(shè)大斜邊上的高為h，根據(jù)題意給的面積公式和S△ABC=h.大斜，建立關(guān)于h的方程，解之即可求解.【詳解】由題意知，S△ABC=·i[小斜2.大斜2-(大斜2+小2-中斜2)2]，設(shè)大斜邊上的高為h，則S△ABC=h.大斜=h，所以=h，解得h=，即大斜邊上的高為.故選：AA.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】義判斷即可.第9頁(yè)/共28頁(yè)2是+=-的既不充分也不必要條件，故選：D.【答案】B【解析】根據(jù)y=x的單調(diào)性判斷a,b，根據(jù)y=1.6x的單調(diào)性判斷b,c，進(jìn)而得到答案.因?yàn)閥=x在第一象限為增函數(shù)，1.3<1.6，所以a<b，因?yàn)閥=1.6x在第一象限為增函數(shù)所以b<c，故選：B.6.定義在[-1,6]上的f(x)滿足對(duì)≤6，關(guān)于x的方程f(x)2-(a+1)f(x)+a=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()【答案】A【解析】【分析】依題意，對(duì)f(x)2-(a+1)f(x)+a=0化簡(jiǎn)得f(x)-1f(x)-a=0，即f(x)=1,f(x)=a，畫(huà)出f(x)圖象，結(jié)合圖象即可得到答案.【詳解】關(guān)于x的方程f(x)2-(a+1)f(x)+a=0可化簡(jiǎn)為f(x)-1f(x)-a=0，即f(x)=1,f(x)=a有7個(gè)不同的根，畫(huà)出y=f(x)的圖象，第10頁(yè)/共28頁(yè)觀察可以看出當(dāng)f(x)=1有4個(gè)不同的根，故只需f(x)=a有3個(gè)不同的根即可，所以1<a≤2.故選：A.A.-B.-C.D.【答案】D【解析】=cos及二倍角公式計(jì)算可得.第11頁(yè)/共28頁(yè)所以故選：D8.已知函數(shù)的反函數(shù)為y=f-1(x)，那么g(x)=f-1(x-2)+2在[-2,6]上的最大值與最小值之和為()A.4B.2C.1D.0【答案】A【解析】【分析】首先得到f(x)的單調(diào)性和奇偶性，從而得到其反函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，最后根據(jù)g(x)的單調(diào)性和對(duì)稱性即可得到答案.因?yàn)閒且函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，則f(x)為奇函數(shù)，因?yàn)閥=4x,y=-4-x均為R上的單調(diào)增函數(shù)也為R上的增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則函數(shù)的反函數(shù)y=f-1(x)也為定義域上的奇函數(shù)、增函數(shù)，故g(x)=f-1(x-2)+2在[-2,6]上單調(diào)遞增，且g(x)的關(guān)于點(diǎn)(2,2)對(duì)稱，故選：A.第12頁(yè)/共28頁(yè)9.以下運(yùn)算中正確的有().a-【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算判斷A；根據(jù)根式性質(zhì)以及指數(shù)運(yùn)算判斷B；指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算判斷C；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式判斷D..a-0對(duì)于D，log89.log2716=log2332.log3324=log23.log，故D正確，故選：ACD.10.下面結(jié)論正確的有()A.若A，B為銳角三角形的兩內(nèi)角，則有sinA>cosBC.α,β∈R，sin2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)D.a,β∈R，cos2α-cos2β=cos(α+β)sin(α-β)【答案】AC【解析】【分析】利用正弦函數(shù)單調(diào)性及誘導(dǎo)公式判斷A，利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式判斷B，利用和差角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系判斷C、D.第13頁(yè)/共28頁(yè)又y=sinx在上單調(diào)遞增，所以sin<sinA，即cosB<sinA，故A正確；(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)(sinαcosβ-cosαsinβ)=(sinαcosβ)2-(cosαsinβ)2=sin2αcos2β-cos2αsin2β1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β=sin2α-sin2αsin2β-sin2β+sin2αsin2β=sin2α-sin2β,故C正確；對(duì)于D：因?yàn)閟in2α-sin2β=sin(α+β)sin(α-β)，又sin2α-sin2β+(cos2α-cos2β)=0，所以cos2α-cos2β=-sin(α+β)sin(α-β)，故D錯(cuò)誤.故選：AC個(gè)單位長(zhǎng)度，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列四個(gè)命題正確的是()第14頁(yè)/共28頁(yè)A.函數(shù)y=f(-x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，k∈ZB.直線x=-是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對(duì)稱軸D.若g(x)在[0,π]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則≤m<【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)圖象求出f(x)的解析式，求出y=f(-x)，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)遞增區(qū)間判斷A；代入y=f驗(yàn)證是否為對(duì)稱軸判斷B；當(dāng)x∈時(shí)，利用周期得，結(jié)合圖象得≤t+3π≤π,求出t的取值范圍，判斷C；根據(jù)圖象變換求出g(x)，根據(jù)在[0,π]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，結(jié)合圖象，得到m取值范圍，判斷D.【詳解】f(x)的最小正周期為T(mén)，由題圖可得A=2,==-=，所以w=2，對(duì)于C，當(dāng)x∈時(shí)，利用周期得結(jié)合函數(shù)f(x)圖象，可知，對(duì)于D，將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到y(tǒng)=2sin(|(2x+),|的圖象,第15頁(yè)/共28頁(yè)再將y=2sin的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，得到g(x)的圖象，因?yàn)間(x)在[0,π]上恰有3個(gè)零點(diǎn)，所以3π≤2mπ+<4π,得號(hào)，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)y=Asin(wx+φ)+B中參數(shù)的確定：由函數(shù)的最值可確定A,B的值；由函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)及最高、最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)可得最小正周期，進(jìn)而可求得w的值；由函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)或最高、最低點(diǎn)的坐標(biāo)可得φ的值．函數(shù)的單調(diào)性利用換元法可解決.【答案】7【解析】故答案為：7.13.在邊長(zhǎng)為2的正△ABC中，動(dòng)點(diǎn)P在以C為圓心且與AB邊相切的圓上，滿足則第16頁(yè)/共28頁(yè)λ+μ的取值范圍是.【解析】λ,μ,借助三角函數(shù)求取值范圍.【詳解】如圖，以C為坐標(biāo)原建立平面直角坐標(biāo)系，cosθ,sinθ)，所以λ+μ的取值范圍是[0,2]，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，M，N分別是AB和BC的中點(diǎn)，過(guò)M、N兩點(diǎn)作球O的截面，則面積的最小值為.【答案】##π【解析】【分析】依題意，該四面體為正方體的一部分，所以外接球?yàn)檎襟w的外接球，結(jié)合過(guò)M、N兩點(diǎn)作球O的截面為圓面，求出半徑即得答案.第17頁(yè)/共28頁(yè)【詳解】則球O為該四面體還原成正方體的外接球，+22+22過(guò)球心O作OP丄MN，垂足為P，其中MN=所以經(jīng)過(guò)M,N兩點(diǎn)的球的截面α面積的最小時(shí)，-OP2此時(shí)截面的面積為故答案為：.15.某超市舉行有獎(jiǎng)答題活動(dòng)，參加活動(dòng)的顧客依次回答三個(gè)問(wèn)題.不管答對(duì)或者答錯(cuò)，三題答完活動(dòng)結(jié)束.規(guī)定每位顧客只能參加一次活動(dòng).已知每位顧客第一題答對(duì)的概率為，第二題答對(duì)的概率為，第三題答對(duì)的概率為，若答對(duì)兩題，則可獲得價(jià)值100元的獎(jiǎng)品，若答對(duì)三題，則可獲得價(jià)值200元的獎(jiǎng)品，若答對(duì)的題數(shù)不夠2題，則不能獲獎(jiǎng).假設(shè)顧客是否通過(guò)每一關(guān)相互獨(dú)立.現(xiàn)有甲，乙兩名顧客參加該活動(dòng)，則兩人最后獲得獎(jiǎng)品價(jià)值總和為300元獎(jiǎng)品的概率為.【答案】【解析】【分析】?jī)扇俗詈螳@得獎(jiǎng)品價(jià)值總和為300元獎(jiǎng)品的事件為甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，利用獨(dú)立事件的乘法公式求出對(duì)應(yīng)的概率即可求解.【詳解】?jī)扇俗詈螳@得獎(jiǎng)品價(jià)值總和為300元獎(jiǎng)品的事件為：第18頁(yè)/共28頁(yè)甲得100元且乙得200元，或甲得200元且乙得100元，即甲答對(duì)2題且乙答對(duì)3題，或甲答對(duì)3題且乙答對(duì)2題，又每位顧客答對(duì)2題的概率為每位顧客答對(duì)3題的概率為所以兩人最后獲得獎(jiǎng)品價(jià)值總和為300元獎(jiǎng)品的概率為：故答案為：垂足為點(diǎn)M，作AT丄OA交角θ的終邊于點(diǎn)T.（1）請(qǐng)根據(jù)正弦和余弦的二倍角公式推導(dǎo)正弦的三倍角公式sin3θ（僅用含sinθ的式子表示（2）請(qǐng)根據(jù)三角形面積公式及扇形面積公式證明cosθ<【答案】（1）sin3θ=3sinθ-4sin3θ（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角的余弦和正弦公式展開(kāi)即可；（2）利用S△OAP<S扇形OAP<S△OAT即可證明.【小問(wèn)1詳解】sin3θ=sin(θ+2θ)=sinθcos2θ+cosθsin2θ=sinθ(2cos2θ-1)+2sinθcos2θ4cos2θ-1)=sinθ.(3-4sin2θ)=3sinθ-4sin3θ【小問(wèn)2詳解】第19頁(yè)/共28頁(yè)證明cosθ<<1，即證sinθ<θ<tanθ,因?yàn)镾△OAP<S扇形OAP<S△OAT，則×1×sinθ<.θ<.tanθ,即sinθ<θ<tanθ,所以原不等式成立.（1）求b和角B；（2（2）求的取值范圍.【解析】由正弦定理邊化角，化簡(jiǎn)求得b；由得=a+c1，借助與正弦定理邊化角以及三角恒等變換得=a+c1=4sin結(jié)合角A的范圍，求出的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由2a2bcosC=c得2sinA2sinBcosC=sinC，即2sin(B+C)2sinBcosC=sinC，2sinBcosC+2cosBsinC—2sinBcosC=sinC，即2cosBsinC=sinC，因?yàn)椋訠=解得b=2或b=-1（舍【小問(wèn)2詳解】第20頁(yè)/共28頁(yè)33(3,(6,33(3,(6,垂足為點(diǎn)P.（2）若}線性表示，并求出的最大值. 【解析】第21頁(yè)/共28頁(yè)【小問(wèn)1詳解】)2-【小問(wèn)2詳解】第22頁(yè)/共28頁(yè)設(shè)t=1-λ,因?yàn)棣恕仕詣t線BD于點(diǎn)O，交邊AD于點(diǎn)Q，現(xiàn)將△ABD沿BD翻折，形成四面體PBCD，如下右圖.（1）求四面體PBCD外接球的體積；（2）求證：平面PBD丄平面OCQ；（3）若點(diǎn)G為棱BC的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷在將△ABD沿BD翻折過(guò)程中，直線PG能否平行于面OCQ.若能請(qǐng)求出此時(shí)的二面角P-BD-C的大??；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由. （2）證明見(jiàn)解析（3）不能，理由見(jiàn)解析第23頁(yè)/共28頁(yè)【解析】【分析】（1）取BD的中點(diǎn)H，連接PH、CH，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知四面體PBCD外接球的半徑R=PH=即可求出外接球的體積；（3）過(guò)點(diǎn)P作PE丄BD交BD于點(diǎn)E，連接EG，即可證明PE//平面OCQ，再假設(shè)PG//平面OCQ，即可得到平面PGE//平面OCQ，由面面平行的性質(zhì)得到EG//OC，推出矛盾，即可得解.【小問(wèn)1詳解】取BD的中點(diǎn)H，連接PH、CH，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以四面體PBCD外接球的半徑R=PH=所以四面體PBCD外接球的體積【小問(wèn)2詳解】所以BD丄平面OCQ，又因?yàn)锽D平面PBD，所以平面PBD丄平面OCQ；【小問(wèn)3詳解】第24頁(yè)/共28頁(yè)-CO2過(guò)點(diǎn)P作PE丄BD交BD于點(diǎn)E，連接EG，易知PE=OC=且PE//OQ，PE丈平面OCQ，OQ平面OCQ，所以PE//平面OCQ，假設(shè)PG//平面OCQ，又PG∩PE=P，PG,PE平面PGE，所以平面PGE//平面OCQ，因?yàn)槠矫鍼GE∩平面BCD=EG，平面BCD∩平面OCQ=OC，所以EG//OC，又點(diǎn)G為棱BC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E為線段BO的中點(diǎn)，所以BE≠BO，即點(diǎn)E不是線段BO的中點(diǎn)，故假設(shè)不成立，所以在將△ABD沿BD翻折過(guò)程中，直線PG不能平行于面OCQ.20.手機(jī)在我們的生活中扮演著越來(lái)越重要的角色，但過(guò)度使用手機(jī)會(huì)對(duì)我們的身心健康造成諸多危害.一城市的某愛(ài)心機(jī)構(gòu)建議市民應(yīng)合理使用手機(jī)，可以嘗試設(shè)定使用時(shí)間限制，多參加戶外活動(dòng)，與人面對(duì)面交流，讓生活更加豐富多彩.為了更好地做好該項(xiàng)宣傳工作，做到宣傳的全面有效，該機(jī)構(gòu)隨機(jī)選擇了100位市民進(jìn)行宣傳，這些市民年齡的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如下：第25頁(yè)/共28頁(yè)（1）請(qǐng)估計(jì)這100位市民的平均年齡，結(jié)果請(qǐng)保留整數(shù)（同組數(shù)據(jù)用區(qū)間的中點(diǎn)值代替（2）請(qǐng)估計(jì)該市市民中的一位市民年齡位于區(qū)間[40,60]的概率；（3）現(xiàn)在要從[20,30)和[70,80)兩組中用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪，若抽取的2人的年齡差大于10，則代表該機(jī)構(gòu)宣傳工作做得全面，獲得好評(píng).方案一：從6人中按照不放回抽樣抽取2人，獲得好評(píng)的概率為P1；方案二：從6人中按照有放回抽樣抽取2人，獲得好評(píng)的概率為P2；假設(shè)獲得好評(píng)的概率大的方案較好，請(qǐng)比較上述兩種方案哪種更好，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）方案一較好，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；（2）根據(jù)頻率分布直方圖求出年齡位于區(qū)間[40,60]的