第1章《二次函數(shù)》（教師版）

2023-2024學(xué)年浙教版數(shù)學(xué)九年級上冊易錯(cuò)題真題匯編（提高版）第1章《二次函數(shù)》考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：100分難度系數(shù)：0.50一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?鄞州區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．其中正確的結(jié)論的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)解：開口向下，則a＜0，與y軸交于正半軸，則c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，則abc＜0，①正確；∵﹣＝1，則b＝﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴3a+c＜0，②錯(cuò)誤；∵x＝0時(shí)，y＞0，對稱軸是直線x＝1，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y＞0，∴4a+2b+c＞0，③正確；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，④正確；∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，⑤正確．故選：C．2．（2分）（2022秋?濱江區(qū)期末）將拋物線y＝﹣x2向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，則所得的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為（）A．y＝﹣（x+2）2 B．y＝﹣（x+2）2+2 C．y＝﹣（x﹣2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）2解：將拋物線y＝﹣x2向右平移2個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，則所得的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣（x﹣2）2+2．故選：C．3．（2分）（2022秋?濱江區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝（m﹣2）x2（m為實(shí)數(shù)，且m≠2），當(dāng)x≤0時(shí)，y隨x增大而減小，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m＜0 B．m＞2 C．m＞0 D．m＜2解：當(dāng)x≤0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴拋物線開口向上，∴m﹣2＞0，∴m＞2，故選：B．4．（2分）（2023?拱墅區(qū)校級模擬）已知二次函數(shù)y＝x2+2cx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（a，c），B（b，c），且滿足0＜a+b＜2．當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，該函數(shù)的最大值m和最小值n之間滿足的關(guān)系式是（）A．n＝﹣3m﹣4 B．m＝﹣3n﹣4 C．n＝m﹣m2 D．m＝n2+n解：∵二次函數(shù)y＝﹣x2+2cx+c的圖象與x軸交于A（a，c），B（b，c）兩點(diǎn)，∴圖象開口向下，對稱軸為直線，∵0＜a+b＜2，∴0＜c＜1，∴當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，函數(shù)的最大值是x＝c時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)值，函數(shù)的最小值是x＝﹣1時(shí)所對應(yīng)的函數(shù)值，∴m＝﹣c2+2c2+c＝c2+c，n＝﹣1﹣2c+c＝﹣c﹣1，∴m＝n2+n故選：D．5．（2分）（2023?鹿城區(qū)校級二模）二次函數(shù)y＝x2﹣4x+n與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)．若關(guān)于x的方程x2﹣4x+n＝t（t為實(shí)數(shù)），在0＜x＜5范圍內(nèi)有解．則t的取值范圍是（）A．0≤t＜4 B．0≤t＜9 C．4＜t＜9 D．t≥0解：∵二次函數(shù)y＝x2﹣4x+n與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)．∴（﹣4）2﹣4×1×n＝0，解得n＝4，∴二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴該函數(shù)的對稱軸為直線x＝2，圖象開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），∴當(dāng)x＝5時(shí)，y＝9，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∵關(guān)于x的方程x2﹣4x+n＝t（t為實(shí)數(shù)），在0＜x＜5范圍內(nèi)有解．∴0≤t＜9，故選：B．6．（2分）（2023?杭州模擬）如圖，是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點(diǎn)在點(diǎn)（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是直線x＝1．對于下列說法：①ab＜0；②3a+c＞0；③2a+b＝0；④a+b≥m（am+b）（m為實(shí)數(shù)）；⑤當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y＞0，其中正確結(jié)論為（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)解：①∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴a、b異號，∴ab＜0，故正確；②∵對稱軸x＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故正確；③∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故錯(cuò)誤；④根據(jù)圖示知，當(dāng)x＝1時(shí)，有最大值；當(dāng)m≠1時(shí)，有am2+bm+c＜a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m為實(shí)數(shù)）．故正確．⑤如圖，當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y不只是大于0．故錯(cuò)誤．故選：B．7．（2分）（2023?甌海區(qū)四模）已知兩點(diǎn)A（﹣2，y1），B（4，y2）均在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上，點(diǎn)C（x0，y0）是該拋物線的頂點(diǎn)，若y0≤y1＜y2，則x0的取值范圍是（）A．x0≤﹣2 B．x0＜1 C．﹣2＜x0＜1 D．﹣2＜x0＜4解：∵點(diǎn)A（﹣2，y1），B（4，y2）均在拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）上，點(diǎn)C（x0，y0）是該拋物線的頂點(diǎn)，∴若y2＞y1≥y0，則此函數(shù)開口向上，有最小值，∴＝1＜x0≤3或x0≥3，解得：x0＜1，故選：B．8．（2分）（2023?舟山三模）已知函數(shù)y＝x2﹣4ax+5（a為常數(shù)），當(dāng)x≥4時(shí)，y隨x的增大而增大P（x1，y1），Q（x2，y2）是該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，對任意的2a﹣1≤x1≤5和2a﹣1≤x2≤5，y1，y2總滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．﹣1≤a≤2 B．1≤a≤2 C．2≤a≤3 D．2≤a≤4解：由題意可得，拋物線開口向上，∵當(dāng)x≥4時(shí)，y隨x的增大而增大，∴對稱軸x＝2a≤4，即a≤2；又5﹣2a≥1，2a﹣（2a﹣1）＝1，得x＝2a時(shí)，ymin＝5﹣4a2，x＝5時(shí)，ymax＝30﹣20a，∴30﹣20a﹣（5﹣4a2）≤5+4a2，解得，a≥1，∴1≤a≤2．故選：B．9．（2分）（2023?南湖區(qū)二模）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）①當(dāng)m＝0時(shí)，此拋物線圖象關(guān)于y軸對稱；②若點(diǎn)A（m﹣2，y1），點(diǎn)B（m+1，y2）在此函數(shù)圖象上，則y1＜y2；③若此拋物線與直線y＝x﹣4有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則；④無論m為何值，此拋物線的頂點(diǎn)到直線y＝2x的距離都等于．A．1 B．2 C．3 D．4解：①當(dāng)m＝0時(shí)，y＝x2﹣4，∴拋物線的對稱軸為y軸，∴此拋物線圖象關(guān)于y軸對稱；∴①正確；②∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝＝m，∵點(diǎn)A（m﹣2，y1），點(diǎn)B（m+1，y2）在此函數(shù)圖象上，且m﹣（m﹣2）＞m+1﹣m，∴y1＞y2；∴②錯(cuò)誤；③若此拋物線與直線y＝x﹣4有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則令x﹣4＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，整理得x2﹣（2m+1）x+m2+2m＝0，Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+2m）＝0，解得，∴③正確；④∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4＝（x﹣m）2+2m﹣4，∴頂點(diǎn)為（m，2m﹣4），∴拋物線的頂點(diǎn)在直線y＝2x﹣4上，∵直線y＝2x﹣4與直線y＝2x平行，∴頂點(diǎn)到直線y＝2x的距離都相等，如圖，設(shè)直線y＝2x﹣4交x軸于A，交y軸于B，點(diǎn)O到AB的距離為OD，則A（2，0），B（0，﹣4），O∴AB＝＝2，∵S△AOB＝，∴，∴OD＝，∴兩直線間的距離為，∴④正確．故選：C．10．（2分）（2023?慈溪市模擬）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動，形狀保持不變，與x軸交于C，D兩點(diǎn)（C在D的右側(cè)），下列結(jié)論：①c≥﹣2；②當(dāng)x＞0時(shí)，一定有y隨x的增大而增大；③當(dāng)四邊形ABCD為平行四邊形時(shí)．；④若點(diǎn)D橫坐標(biāo)的最小值為﹣5，則點(diǎn)C橫坐標(biāo)的最大值為3．其中正確的是（）A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），∴線段AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2），又∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），∴c≥﹣2，（頂點(diǎn)在y軸上時(shí)取“＝”），故①正確；∵拋物線的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動，開口向上，∴當(dāng)x＞1時(shí)，一定有y隨x的增大而增大，故②錯(cuò)誤；令y＝0，則ax2+bx+c＝0，CD2＝（﹣）2﹣4×＝，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，＝﹣2，∴＝﹣8，即＝8，∴CD2＝×8＝，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴＝42＝16，解得a＝，故③正確；若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最小值為﹣5，則此時(shí)對稱軸為直線x＝﹣3，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，則CD＝4，∵拋物線形狀不變，當(dāng)對稱軸為直線x＝1時(shí)，C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最大值為3，故④正確．綜上所述，正確的結(jié)論有①③④．故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?仙居縣期末）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）兩點(diǎn)，則不等式ax2+bx﹣h≥kx﹣c的取值范圍是﹣2≤x≤2．解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝kx+h相交于（﹣2，m），（2，n）兩點(diǎn)，∴由圖可知，ax2+bx+c≥kx+h的解集為﹣2≤x≤2，∴ax2+bx﹣h≥kx﹣c的解集為﹣2≤x≤2，故答案為：﹣2≤x≤2．12．（2分）（2020秋?柯橋區(qū)期中）如圖，若被擊打的小球飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）直接具有的關(guān)系為h＝24t﹣4t2，則小球從飛出到落地所用的時(shí)間為6s．解：依題意，令h＝0得：0＝24t﹣4t2，解得t＝0或t＝6，小球從飛出到落地所用的時(shí)間為6﹣0＝6s．13．（2分）（2019?鹿城區(qū)模擬）如圖，兩個(gè)完全相同的直角三角板放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，點(diǎn)C在邊AB上，延長DC交y軸于點(diǎn)E．若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為5，∠OBA＝30°，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，D，E，則a的值為．解：設(shè)A（m，0），在Rt△ABO中，∠OBA＝30°，∴OB＝m，AB＝2m，又∵△ACD是與△ABO相同的三角板，∴∠ADC＝30°，AC＝m，CD＝2m，∴C是AB的中點(diǎn)，又∵∠BEC＝90°，∴EC＝m，∴ED＝m，又∵ED＝5，∴m＝2，∴A（2，0），E（0，），D（5，），∴，∴a＝，故答案為14．（2分）（2023?湖北模擬）某民房發(fā)生火災(zāi)．兩幢大樓的部分截面及相關(guān)數(shù)據(jù)如圖，小明在甲樓A處透過窗戶E發(fā)現(xiàn)乙樓F處出現(xiàn)火災(zāi)，此時(shí)A，E，F(xiàn)在同一直線上．跑到一樓時(shí)，消防員正在進(jìn)行噴水滅火，水流路線呈拋物線，在1.2m高的D處噴出，水流正好經(jīng)過E，F(xiàn)．若點(diǎn)B和點(diǎn)E、點(diǎn)C和點(diǎn)F的離地高度分別相同，現(xiàn)消防員將水流拋物線向上平移5m，再向左后退5m，恰好把水噴到F處進(jìn)行滅火．解：由圖可知：A（0，21.2），B（0，9.2），C（0，6.2），D（0，1.2），∵點(diǎn)B和點(diǎn)E、點(diǎn)C和點(diǎn)F的離地高度分別相同，∴E（20，9.2），設(shè)AE的直線解析式為y＝kx+b，，∴，∴y＝﹣x+21.2，∵A，E，F(xiàn)在同一直線上．∴F（25，6.2），設(shè)過D，E，F(xiàn)三點(diǎn)的拋物線為y＝ax2+bx+c，∴，∴y＝﹣x2+x+，水流拋物線向上平移5m，設(shè)向左退了m米，∴D（0，6.2），設(shè)平移后的拋物線為y＝﹣（x+m）2+（x+m）+1.2+5，經(jīng)過點(diǎn)F，∴m＝5或m＝﹣25（舍），∴向后退了5米．故答案為5．15．（2分）（2023?越城區(qū)三模）如圖，?點(diǎn)P（a，3）在拋物線C：y＝﹣（x﹣6）2+4上，且在C的對稱軸右側(cè)．坐標(biāo)平面上放置一透明膠片，并在膠片上描畫出點(diǎn)P及C的一段，分別記為P′，C′．平移該膠片，使C′所在拋物線對應(yīng)的函數(shù)恰為y＝﹣x2+6x﹣9．則點(diǎn)P'移動的最短路程是5．解：∵y＝﹣（x﹣6）2+4，∴拋物線C的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4）．∵平移膠片后，拋物線C′對應(yīng)的函數(shù)為y＝﹣x2+6x﹣9＝﹣（x﹣3）2，∴拋物線C′的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．∵由平移的性質(zhì)可知，拋物線C與C'頂點(diǎn)之間的距離等于P與P'之間的距離，∴PP'＝＝5．故答案為：5．16．（2分）（2023春?鄞州區(qū)期末）如圖，點(diǎn)A在二次函數(shù)y＝ax2的圖象上，A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，1），連結(jié)OA，將OA繞著點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后并延長交拋物線于點(diǎn)B，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2+．解：如圖，過點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BN⊥y軸于點(diǎn)N，在ON上截取OP＝PB，∵點(diǎn)A（﹣1，1）在y＝ax2的圖象上，∴AM＝OM＝1，a＝1，∴二次函數(shù)的關(guān)系式為y＝x2，∠AOM＝45°，∴∠AON＝90°﹣45°，由旋轉(zhuǎn)可知∠AOB＝60°，∴∠BON＝60°﹣45°＝15°，∵OP＝PB，∴∠POB＝∠PBO＝15°，∴∠NPB＝30°，在Rt△PBN中，設(shè)BN＝k，由于∠NPB＝30°，則PB＝OP＝2k，PN＝k，∴ON＝（2+）k，∴點(diǎn)B（k，2k+k），∵點(diǎn)B在y＝x2的圖象上，∴k2＝2k+k，∴k＝2+，即點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2+，故答案為：2+．17．（2分）（2023?紹興）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)圖形上的點(diǎn)都在一邊平行于x軸的矩形內(nèi)部（包括邊界），這些矩形中面積最小的矩形稱為該圖形的關(guān)聯(lián)矩形．例如：如圖，函數(shù)y＝（x﹣2）2（0≤x≤3）的圖象（拋物線中的實(shí)線部分），它的關(guān)聯(lián)矩形為矩形OABC．若二次函數(shù)圖象的關(guān)聯(lián)矩形恰好也是矩形OABC，則b＝或﹣．解：由y＝（x﹣2）2（0≤x≤3），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝4，∴C（0，4），∵A（3，0），四邊形ABCO是矩形，∴B（3，4），①當(dāng)拋物線經(jīng)過O、B時(shí)，將點(diǎn)O（0，0），B（3，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得，解得b＝；②當(dāng)拋物線經(jīng)過A、C時(shí)，將點(diǎn)A（3，0），C（0，4）代入y＝x2+bx+c（0≤x≤3）得，解得b＝﹣，綜上所述，b＝或b＝﹣，故答案為：或﹣，18．（2分）（2022秋?上城區(qū)月考）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①abc＞0；②b﹣a＞c；③4a+2b+c＞0；④3a＞﹣c；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1）．其中正確的是②③⑤（填序號）．解：由于拋物線的開口向下，因此a＜0，由于拋物線的對稱軸是直線x＝1＞0，所以a、b異號，而a＜0，所以b＞0，由于拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸，因此c＞0，所以abc＜0，因此①不正確；由圖象可知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，即b﹣a＞c，因此②正確；由拋物線的對稱性以及圖象可知，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＞0，因此③正確；因?yàn)閷ΨQ軸為x＝﹣＝1，即2a+b＝0，而當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，所以3a+c＜0，即3a＜﹣c，因此④不正確；由于拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，a+b+c），即x＝1時(shí)，y的值最大，即a+b+c最大，當(dāng)x＝m（m≠1）時(shí)，y＝am2+bm+c＜a+b+c，即a+b＞m（am+b）（m≠1），因此⑤正確；綜上所述，正確的結(jié)論有：②③⑤，故答案為：②③⑤．19．（2分）（2020秋?吳興區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝（x+）2﹣4交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線頂點(diǎn)．（1）求tan∠DAC＝；（2）若點(diǎn)P是線段AC上的一個(gè)動點(diǎn)，∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動時(shí)，D點(diǎn)不變，Q點(diǎn)隨之運(yùn)動．求當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動的路徑長為．解：（1）如圖，過D作DE⊥y軸于E，∵拋物線y＝（x+）2﹣4交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線頂點(diǎn)，∴D（﹣，﹣4），DE＝，OE＝4，令y＝0得（x+）2﹣4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝，∴A（﹣3，0），B（，0），OA＝3令x＝0得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），OC＝3，∴CE＝OE﹣OC＝，∴OA＝OC＝3，CE＝DE＝，∴△AOC和△CED是等腰直角三角形，AC＝3，DC＝，∴∠ACO＝∠DEC＝45°，∴∠DCA＝90°，∴tan∠DAC＝＝＝，故答案為：；（2）∵∠DPQ＝∠DAC，DP⊥DQ，且∠DCA＝90°，∴△ADC∽△PQD，∴，∵點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動時(shí)，D點(diǎn)不變，Q點(diǎn)隨之運(yùn)動，∴P的路徑（AC）與Q的路徑之比等于，∵AC＝3，∴Q的路徑為3×＝，故答案為：．20．（2分）（2022?金東區(qū)三模）一個(gè)玻璃杯豎直放置時(shí)的縱向截面如圖1所示，其左右輪廓線AD，BC為同一拋物線的一部分，AB，CD都與水平地面平行，當(dāng)杯子裝滿水后AB＝4cm，CD＝8cm，液體高度12cm，將杯子繞C傾斜倒出部分液體，當(dāng)傾斜角∠ABE＝45°時(shí)停止轉(zhuǎn)動．如圖2所示，此時(shí)液面寬度BE為5cm，液面BE到點(diǎn)C所在水平地面的距離是7cm．解：如圖1，以AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意得：A（﹣2，0），B（2，0），C（4，﹣12），D（﹣4，﹣12），設(shè)拋物線的解析式為：y＝ax2+b，將B（2，0），C（4，﹣12），代入得：，解得：，∴y＝﹣x2+4；根據(jù)題意可知，∠ABE＝45°，設(shè)BE與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)P，∴△OBP是等腰直角三角形，∴OB＝OP＝2，∴P（0，﹣2），∴直線BP的解析式為：y＝x﹣2，令﹣x2+4＝x﹣2，解得x＝2（舍）或x＝﹣3，∴E（﹣3，﹣5）．∴BE＝＝5，DE＝7，水面BE到平面的距離實(shí)際就是點(diǎn)C到直線BE的距離，如圖1，過點(diǎn)C作BP的垂線交BP于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作y軸的平行線，交直線BP于點(diǎn)N，∴△MNC是等腰直角三角形，∵C（4，﹣12），∴N（4，2）．∴CN＝14．過點(diǎn)M作MQ⊥CN于點(diǎn)Q，∴Q是CN的中點(diǎn)，且MQ＝NQ＝CQ，∴Q（4，﹣5），∴M（﹣3，﹣5）．∴CM＝＝7．故答案為：5；7．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（8分）（2023?縉云縣二模）二次函數(shù)y＝x2﹣bx+c的圖象經(jīng)過（﹣2，y1），（1，y2）兩點(diǎn)．（1）當(dāng)b＝1時(shí)，判斷y1與y2的大?。?）當(dāng)y1＜y2時(shí)，求b的取值范圍．（3）若此函數(shù)圖象還經(jīng)過點(diǎn)（m，y1），且1＜b＜2，求證：3＜m＜4．解：（1）當(dāng)b＝1時(shí)，∴，∵6+c＞c，∴y1＞y2；（2）∵y1＝4+2b+c，y2＝1﹣b+c，又∵y1＜y2，∴4+2b+c＜1﹣b+c，∴b＜﹣1；（3）二次函數(shù)y＝x2﹣bx+c的對稱軸為直線，∵二次函數(shù)經(jīng)過（﹣2，y1），（m，y1）兩點(diǎn)，∴＝m﹣得，即m＝2+b，∵1＜b＜2，∴3＜m＜4．22．（8分）（2023?鄞州區(qū)校級模擬）“五一”前夕，某超市銷售一款商品，進(jìn)價(jià)每件75元，售價(jià)每件140元，每天銷售40件，每銷售一件需支付給超市管理費(fèi)5元．從五月一日開始，該超市對這款商品開展為期一個(gè)月的“每天降價(jià)1元”的促銷活動，即從第一天（5月1日）開始每天的售價(jià)均比前一天降低1元．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的日銷售量y（件）與第x天（1≤x≤31，且x為整數(shù)）之間存在一次函數(shù)關(guān)系，x，y之間的部分?jǐn)?shù)值對應(yīng)關(guān)系如下表：第x天5101520日銷售量y（件）50607080（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝2x+40；（2）設(shè)第x天的利潤為W元，試求出W與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪一天的利潤最大？最大利潤是多少元？（3）銷售20天后，由于某種原因，該商品的進(jìn)價(jià)從第21天開始每件下降4元，其他條件保持不變，求超市在這一個(gè)月中，該商品的日銷售利潤不低于3430元的共有多少天？解：（1）觀察表格可知，y是x的一次函數(shù)，設(shè)y＝kx+b，把（5，50），（10，60）代入得：，解得：，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝2x+40，故答案為：y＝2x+40；（2）根據(jù)題意可得，W＝（140﹣x﹣75﹣5）（2x+40）＝﹣2x2+80x+2400＝﹣2（x﹣20）2+3200，∵﹣2＜0，1≤x≤31，∴當(dāng)x＝20時(shí)，W有最大值為3200元；∴第20天利潤最大，最大利潤為3200元；（3）根據(jù)題意，當(dāng)x＞20時(shí)，W＝[140﹣x﹣（75﹣4）﹣5]（2x+40）＝﹣2（x﹣22）2+3528，當(dāng)W＝3430時(shí)，﹣2（x﹣22）2+3528＝3430，解得x＝15或x＝29，∵x＞20，且x為整數(shù)，∴21≤x≤29時(shí)，W≥3430，即從第21天開始到第29天日銷售利潤不低于3430元；由（2）知，當(dāng)x≤20時(shí)，日銷售利潤均低于3430元，∴這一個(gè)月中，超市該商品的日銷售利潤不低于3430元的共有9天．23．（8分）（2023?海曙區(qū)校級三模）某商店購進(jìn)了一種消毒用品，進(jìn)價(jià)為每件8元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每天的銷售量y（件）與每件售價(jià)x（元）之間存在一次函數(shù)關(guān)系（其中8≤x≤15，且x為整數(shù)）．當(dāng)每件消毒用品售價(jià)為9元時(shí)，每天的銷售量為105件；當(dāng)每件消毒用品售價(jià)為11元時(shí)，每天的銷售量為95件．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)該商店銷售這種消毒用品每天獲利w（元），當(dāng)每件消毒用品的售價(jià)為多少元時(shí)，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？解：（1）設(shè)每天的銷售量y（件）與每件售價(jià)x（元）函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b，由題意可知：，解得：，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝﹣5x+150；（2）w＝y(tǒng)（x﹣8）＝（﹣5x+150）（x﹣8）＝﹣5x2+190x﹣1200＝﹣5（x﹣19）2+605，∵8≤x≤15，且x為整數(shù)，∴當(dāng)x＜19時(shí)，w隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝15時(shí)，w有最大值，最大值為﹣5×（15﹣19）2+605＝525．答：每件消毒用品的售價(jià)為15元時(shí)，每天的銷售利潤最大，最大利潤是525元．24．（8分）（2023春?金東區(qū)期末）6月是楊梅豐收季，某經(jīng)銷商銷售楊梅的進(jìn)價(jià)是每千克8元，當(dāng)銷售價(jià)定為每千克20元時(shí)，每天可銷售100千克，商家想采用提高銷量的辦法來增加利潤，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)：這種楊梅的售價(jià)每千克降低1元，日銷量增加20kg．（1）當(dāng)楊梅售價(jià)每千克降低多少元時(shí)，日銷售額可達(dá)3000元？（2）當(dāng)楊梅售價(jià)定為多少元時(shí)，才能使商家一天的利潤最大？一天的最大利潤是多少元？解：（1）設(shè)當(dāng)楊梅售價(jià)每千克降低x元時(shí)，日銷售額可達(dá)3000元，由題意可得：（20﹣x）（100+20x）＝3000，解得x1＝5，x2＝10，答：當(dāng)楊梅售價(jià)每千克降低5元或10元時(shí)，日銷售額可達(dá)3000元；（2）設(shè)當(dāng)楊梅售價(jià)定為m元時(shí)，利潤為w元，由題意可得：w＝（m﹣8）[100+（20﹣m）×20]＝﹣20（m﹣16.5）2+1445，∴當(dāng)m＝16.5時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝1445，答：當(dāng)楊梅售價(jià)定為16.5元時(shí)，才能使商家一天的利潤最大，一天的最大利潤是1445元．25．（8分）（2023?縉云縣一模）某天，小明在足球場上練習(xí)“落葉球”（如圖1），足球運(yùn)動軌跡是拋物線的一部分，如圖2，足球起點(diǎn)在A處，正對一門柱CD，距離AC＝12m，足球運(yùn)動到B的正上方，到達(dá)最高點(diǎn)2.5m，此時(shí)AB＝10m．球門寬DE＝5m，高CD＝2m．（1）以水平方向?yàn)閤軸，A為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，求足球運(yùn)動軌跡拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）請判斷足球能否進(jìn)球網(wǎng)？并說明理由．（3）小明改變踢球方向，踢球時(shí)，保持足球運(yùn)動軌跡拋物線形狀不變的前提下，足球恰好在點(diǎn)E處進(jìn)入球網(wǎng)．若離A點(diǎn)8m處有人墻GH，且GH∥CF，人起跳后最大高度為2.2m，請?zhí)角蟠藭r(shí)足球能否越過人墻，并說明理由．解：（1）由題意得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣10，2.5），設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x+10）2+2.5，將（0，0）代入得，0＝100a+2.5，解得，∴足球運(yùn)動軌跡拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）足球不能進(jìn)球網(wǎng)，理由如下：當(dāng)x＝﹣12時(shí)，，∵2.4＞2，∴足球不能進(jìn)球網(wǎng)．（3）足球能越過人墻，理由如下：∵足球運(yùn)動軌跡拋物線形狀不變，并經(jīng)過點(diǎn)（0，0），∴設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．如圖，由題意知，四邊形CDEF是矩形，則CF＝DE＝5，在Rt△ACF中，由勾股定理得，∵足球恰好在點(diǎn)E處進(jìn)入球網(wǎng)，∴拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣13，2），將（﹣13，2）代入得，，解得，∴，∵GH∥CF，∴△AGH∽△ACF，∴，即，解得，把代入得，，∵，∴足球能越過人墻．26．（10分）（2023?余姚市二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，﹣3），且經(jīng)過D（2，﹣3）．（1）求b和c的值；（2）點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)的一動點(diǎn)，將線段AB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得A′B′，其中A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是A′、B′．①當(dāng)B′與D點(diǎn)重合時(shí)，請?jiān)趫D中畫出線段A′B′，并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，若線段A′B′與拋物線y＝x2+bx+c有公共點(diǎn)，請直接寫出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)m的取值范圍．解：（1）把（0，﹣3）和（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3，（2）①如圖，過P點(diǎn)作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，則∠PEB＝∠PFD＝90°，EF＝3，由旋轉(zhuǎn)得：∠BPD＝90°，PB＝PD，∴∠EPB+∠BPE＝90°，∠EPB+∠FPD＝90°，∴∠BPE＝∠FPD，∴△P