曲阜師范學(xué)院：數(shù)學(xué)分析期期末考試試題

數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院05－06學(xué)年第一學(xué)期期末考試試題考試科目：數(shù)學(xué)分析年級(jí)：05適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)信息與計(jì)算科學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)考試時(shí)間：120分鐘考試方式：閉卷試卷類別：A試題滿分：100分考生注意：答案全部寫在答題紙上，寫清題號(hào)，不必抄題．一．判斷題(正確的劃√,錯(cuò)誤的劃×，每小題2分，共20分).1．若數(shù)列收斂，則必為有界數(shù)列．2．無(wú)窮小量與一個(gè)有界變量的乘積仍是一個(gè)無(wú)窮小量．3．若單調(diào)數(shù)列中有一個(gè)子列收斂，則數(shù)列收斂．4．若，，且，，則必有．5．若在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)也可導(dǎo)．6．若在點(diǎn)連續(xù)，在點(diǎn)不連續(xù)，則在點(diǎn)一定不連續(xù)．7．設(shè)在上可導(dǎo)，若在上嚴(yán)格單調(diào)增加，則在上必有．8．若在取的最大值，則．9．若在上一致連續(xù)，則在上必定一致連續(xù)．10．若為可導(dǎo)的偶函數(shù)，則必為奇函數(shù)．二．?dāng)⑹龆x并用定義證明（每題9分，共18分）1．?dāng)⑹龅亩x，并用定義證明．2．?dāng)⑹龊瘮?shù)在上一致連續(xù)的定義，并用定義證明在上一致連續(xù)．三．計(jì)算下列各題（每題4分，共24分）1．；2．；3．設(shè)，求；4．；5．設(shè)，求；6．設(shè)，且已知，,試求．四．按要求解答下列各題（1-4每題8分，第5題6分，共38分）1．設(shè)，，，證明:的極限存在并求其值．2．設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)，為的最大值，則．3．?dāng)⑹鲩]區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的有界性定理，并用有限覆蓋定理證明．4．按函數(shù)作圖步驟，作函數(shù)的圖像．5．若函數(shù)滿足：，對(duì),，有，其中是常數(shù)，對(duì)，令，，則收斂，且滿足，且有誤差估計(jì)式：，．?dāng)?shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院05－06學(xué)年05級(jí)第一學(xué)期期末考試《數(shù)學(xué)分析》（A）試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一．判斷題(正確的劃√，錯(cuò)誤的劃×，每小題2分，共20分)1．√；2.√；3.√；4．×；5．×；6．×；7．×；8．×；9．×；10．√．二．?dāng)⑹龆x并證明（每題9分，共18分）1．(1)，，當(dāng)時(shí)，有．(2)證明：，由于，所以要使，只須，即，取，則當(dāng)時(shí)，有，所以.2．(1)在上一致連續(xù):，，，只要，就有．(2)證明:，由于有，所以取，則當(dāng)，就有，所以在上一致連續(xù)．三．計(jì)算下列各題（每題4分，共24分）1．；2．；3．;4．；5．.6．．四．按要求解答下列各題（1－4每題8分，第5題６分，共38分）1．證明：(1)先利用數(shù)學(xué)歸納法證明有上界；(2)由以及可知單調(diào)上升，因而由單調(diào)有界定理知的極限存在，設(shè)，在兩邊取極限得，解得（舍去負(fù)值）得，所以．2．證明：，，又在點(diǎn)可導(dǎo)，所以，因而有．3．(1)有界性定理：若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上有界．（2分）(2)證明：由連續(xù)函數(shù)的局部有界性，對(duì)每一點(diǎn)，都存在鄰域及正數(shù)，使得，，考慮開區(qū)間集，顯然是的一個(gè)無(wú)限開覆蓋．由有限覆蓋定理，存在的一個(gè)有限子集覆蓋了，且存在正數(shù)，使得對(duì)一切有，，令，則對(duì)任何，必屬于某，因而，即在上有界．（6分）4.解：(1)定義域(2)函數(shù)在上是奇函數(shù)。(3)曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為。(4)，令，得。（5），令，得（6）漸近線，（7）列表+－－+－－0++凹增極大值點(diǎn)凹減拐點(diǎn)凸減極小值點(diǎn)凸增極大值，極小值，拐點(diǎn)。5.證明：(1)先證明為Cauchy列，因而收斂，設(shè)。(，)(2)易知函數(shù)在上連續(xù)，在兩邊取極限得。(3)在兩邊令可得，.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2004--2005學(xué)年第二學(xué)期期末考試試題考試科目：數(shù)學(xué)分析年級(jí)：04適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，信息，概率時(shí)間：120分鐘考試方式：閉卷試卷類別：A卷試題滿分:100分注意：答案全部寫在答題紙上，寫清題號(hào)，不必抄題。一．?dāng)⑹觯款}3分共12分）函數(shù)列在數(shù)集上非一致有界2．級(jí)數(shù)在數(shù)集上一致收斂的Cauchy原理3．微積分學(xué)基本定理4，積分第一中值定理計(jì)算（每題6分共30分）1．2．3．4．5．求級(jí)數(shù)的和討論斂散性（每題7分共28分）1．討論級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性2．設(shè)，討論在上的一致收斂性3．設(shè)，且數(shù)列有界，判斷級(jí)數(shù)的斂散性4．判斷級(jí)數(shù)的斂散性四．證明（1，2，3題每題8分，4題6分共30分）1．設(shè)函數(shù)列滿足（1），（2）在上一致收斂于則2．若在上連續(xù)，，證明：3．設(shè)為連續(xù)正值函數(shù)，證明當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞增的4．設(shè)在上單調(diào)，存在，如果導(dǎo)數(shù)在上連續(xù)，那么積分收斂數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2004--2005學(xué)年第二學(xué)期期末考試試題考試科目：數(shù)學(xué)分析年級(jí)：04適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)時(shí)間：120分鐘考試方式：閉卷試卷類別：B卷試題滿分:100分注意：答案全部寫在答題紙上，寫清題號(hào)，不必抄題。一．?dāng)⑹觯款}3分共12分）函數(shù)列在數(shù)集上一致有界2．級(jí)數(shù)一致收斂的Cauchy原理3．微積分學(xué)基本定理4，積分第一中值定理計(jì)算（每題6分共30分）1．2．3．4．5．求級(jí)數(shù)的和討論斂散性（每題7分共28分）1．設(shè)數(shù)列有界，討論級(jí)數(shù)的斂散性.2．討論級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與條件收斂性3．設(shè)，討論在上的一致收斂性4．討論無(wú)窮積分的收斂性四．證明（1，2，3題每題8分，4題6分共30分）1．設(shè)函數(shù)列滿足（1），（2）在上一致收斂于則2．設(shè)，且非負(fù)，若，使，則 3．設(shè)為連續(xù)正值函數(shù)，證明當(dāng)時(shí)，函數(shù)是單調(diào)遞增的4．設(shè)和在上都可積，證明不等式04--05學(xué)年第二學(xué)期04級(jí)《數(shù)學(xué)分析》A卷解答敘述（每題3分共12分）1．，，有。2．，當(dāng)時(shí)，對(duì)，，有3．設(shè)，是在上的一個(gè)原函數(shù)，則成立4．設(shè)和都在可積，在上不變號(hào)，則存在，使得，其中和分別表示在的下確界和上確界計(jì)算（每題6分共30分）1．解：3分6分2．解：3分.6分3．解：3分6分4．=3分=6分5．解：令，由冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)時(shí)， 3分 因?yàn)樗?分討論斂散性（每題7分共28分）解：考察級(jí)數(shù).因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂；3分當(dāng)時(shí)，由Cauchy判別法知，發(fā)散，故也發(fā)散；5分而當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，它是發(fā)散的；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，它是條件收斂的.7分解：令，易知，，有2分取，對(duì)，取及，有6分因此在上不一致收斂7分解：因?yàn)橛薪纾允沟谩?分又因?yàn)椋?分而當(dāng)時(shí)，收斂，故絕對(duì)收斂，從而收斂。7分解：取，則在上，單調(diào)減少，，且，3分由于。6分故收斂7分四．證明（1，2，3題每題8分，4題6分共30分）1．證明：由條件（1）（2）知，從而.1分對(duì)，由條件（2）存在，當(dāng)時(shí)，對(duì)，有.4分因此，當(dāng)時(shí)，有即8分2．若在上連續(xù)，，證明：證明：因?yàn)?，且，使，所以存在使?5分又因?yàn)樵诜秦?fù)，故8分證明：若，使得從而。2分因?yàn)?，所以存在使?5分又因?yàn)樵诜秦?fù)，故，矛盾8分證明：因?yàn)?分令，由于為連續(xù)正值函數(shù)，所以，6分所以，即是單調(diào)遞增的8分4.證明：不妨設(shè)在上單調(diào)遞減。因?yàn)榇嬖?，故由Cauchy收斂準(zhǔn)則知，當(dāng)時(shí)，有，3分故當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，有，6分04--05學(xué)年第二學(xué)期04級(jí)《數(shù)學(xué)分析》B卷解答一．?dāng)⑹觯款}3分共12分）2．，使對(duì)及有.2．，當(dāng)時(shí)，對(duì)，有3．設(shè)，是在上的一個(gè)原函數(shù)，則成立4．設(shè)和都在可積，在上不變號(hào)，則存在，使得，其中和分別表示在的下確界和上確界計(jì)算（每題6分共30分）1．解：3分6分2．解：3分.6分3．解：3分6分4．=，3分=，6分5．解：令，由冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知當(dāng)時(shí)， 3分 因?yàn)樗裕?分三．討論斂散性（每題7分共28分）1．解：因?yàn)橛薪纾允沟?2分又因?yàn)椋?分而當(dāng)時(shí)，收斂，故絕對(duì)收斂，從而收斂.7分2．解：考察級(jí)數(shù).因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂；3分當(dāng)時(shí)，由Cauchy判別法知，發(fā)散，故也發(fā)散；5分而當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，它是發(fā)散的；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，它是條件收斂的.3．解：令，易知，，有2分取，對(duì)，取及，有6分因此在上不一致收斂。7分4．解：當(dāng)時(shí)，.2分又當(dāng)時(shí)無(wú)窮積分收斂，故無(wú)窮積分收斂，5分從而無(wú)窮積分收斂7分四．證明（1，2，3題每題8分，4題6分共30分）1．證明：由條件（1）（2）知，從而.1分對(duì)，由條件（2）存在，當(dāng)時(shí)，對(duì)，有.4分因此，當(dāng)時(shí)，有即8分2．證明：因?yàn)?，且，使，所以存在使?5分又因?yàn)樵诜秦?fù)，故。8分3．證明：3分令，由于為連續(xù)正值函數(shù)，所以，6分所以，即是單調(diào)遞增的8分4．證明：對(duì)任給實(shí)數(shù)，有，即2分從而左端的二次三項(xiàng)式的判別式，即，4分即。6分證明：（1）在的鄰域中連續(xù)；（2）在的鄰域中具有有界的偏導(dǎo)函數(shù)，；（3）在點(diǎn)不能微分。04級(jí)第三學(xué)期<<數(shù)學(xué)分析>>期末考試試題解答（A卷）一．解：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，--------------------2分且，--------------------------4分，-------------------------8分于是得到的Fourier級(jí)數(shù)為，-----------------------------------------10分二．1．極限解：由不等式得，-----------------------------------5分而故有-----------------------------------9分2．解：由鏈?zhǔn)揭?guī)則，-------------------------------7分于是----------------------------------9分3．解：令，----------------------------------3分則----------------6分==-----------------9分4．解：在方程的兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，得，----------------------------------------3分整理得到。---------------------------------------5分在方程的兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，得，-----------------------------------------7分整理得到------------------------------------9分5．解：令，則------------------------------3分以為心，以為半徑作圓，其中小于原點(diǎn)到集合的距離。記與所圍的區(qū)域?yàn)?。表示順時(shí)針?lè)较虻膱A周。則由格林公式得-------------------------------------------6分由此推出-----------------------------------------9分6．解：--------------5分---------------------------------9分三．解：令注意到當(dāng)時(shí)有，由weierstrass判別法知在上一致收斂。----------------------------------4分對(duì)于，作變換，得由于，即一致有界。---------6分而函數(shù)關(guān)于單調(diào)減少，且對(duì)成立于是知關(guān)于一致趨于0，由Dirichlet判別法知在上一致收斂。--------------------------8分棕上所述，關(guān)于在上一致收斂--------------9分四．1．證明：對(duì)，當(dāng)時(shí)，利用微分中值定理得------------