2023新教材高中數(shù)學第五章三角函數(shù)三角函數(shù)的概念練習新人教A版必修第一冊

5.2三角函數(shù)的概念

5.2.1三角函數(shù)的概念

知識對點練

知識點一三角函數(shù)的定義

1.已知角。的終邊與單位圓交于點彳一坐，一鄉(xiāng)，則cos。的值為（

)

11

AB-

-0-2-

1^I)..

答案A

解析由三角函數(shù)的定義可知cos"=一半.

2.若角。的終邊上有一點戶（一4a,3a）（a#0）,則2sin。+cos。的值是（）

22-2

A~13.￡或一￡

555

2

C.—~D.與a有關但不能確定

□

答案B

3423

解析當方>0時，sinacosa=-2sina+cosa=--當水0時，sina

□o□o

422?2

cosQ=~2sinQ+cosa=-故2sina+coso的值是7■x或一二

o9o□o

3.（多選）下列命題中，是真命題的為（）

A.終邊相同的角的同名三角函數(shù)的值相等

B.終邊不同的角的同名三角函數(shù)的值不相等

C.若sino>0,則。是第一、二象限的角

x

D.若。是第二象限的角，且〃（x,0是其終邊上一點，則cosn=

yjx+y

答案AD

解析由三角函數(shù)的定義知A正確；對于B,可舉反例sin2usin^S，則B錯誤；對于

OO

C,角。的終邊可能在y軸的非負半軸上，C錯誤；對于D,由三角函數(shù)的定義，知COSQ=

V^+7,D正確.故選AD.

5

4.已知角。的終邊經(jīng)過點戶（5加,12）,且coso=—府，則加=

答案一1

5

解析cosa=—/〈0,則。的終邊在第二或第三象限，又點。的縱坐標是正數(shù)，所以

5/775

a是第二象限角,所以派0.由,解得力=-1.

、25癡+14413

5.已知角。終邊上一點戶（一4，y）,且sina=￥~y,求cos。和tan。的值.

y郊

解sina—

g一

當y=0時，sin。=0,cos^=-1,tana=0.

當yWO時，由勺二爐=中外解得y=土哼^

當y=字時,（f，華）,？=乎,

.3亞

?.cosa=-彳，tanQ=—^r.

3亞

.?cosa=-tana=*.

43

知識點二三角函數(shù)的符號

6.若sin〃＜cos0,且sin0,cos。＜0,則角0的終邊位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案D

解析由sin，?cos?＜0,可知sinS,cos0—正一負，又sin，＜cos，，可知cos夕〉0,

sin夕〈0,則《為第四象限角,故選D.

一.aaa

7.a是第三象限角，且cos—=—cos—,則可所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案B

解析因為。是第三象限角，所以24又+n＜?！?晝二AGZ.所以A"

3兀一_.aaaa

+丁，所以丁在第二象限或第四象限.又因為cos—=—cos—,所以cos-^VO,所以才在t

第二象限.

8.當。為第二象限角時，三二——竺，的值是()

sin°|cosa\

A.1B.0C.2D.—2

答案c

解析；a為第二象限角，...sina>0,cosa<0.

.|sina|cosasinacos。2

??sina\cosasina—cosa'

9.(多選)下列各三角函數(shù)值符號為負的是()

A.sin(-100°)B.cos(-220°)

C.tan(―10)D.cosn

答案ABCD

解析因為一100°角是第三象限角，所以sin(—100°)<0；因為一220°角是第二象限

角，所以cos(-220°)<0；因為一10?(一子，一3口)，所以角一10是第二象限角，所以

tan(—10)<0；cos1=—K0.故選ABCD.

10.已知=一——,且lg(cos。)有意義，則角。在第象限.

Isin.QL\sma

答案四

解析由一?^---=一'一，得sin〃<0,由lg(cos。)有意義，可知cosa>0,所以

Isina|smo

a在第四象限.

11.函數(shù)y=?cosx+d—tanx的定義域為.

答案卜卜;+2dW2E,AGz|

cosx20,

解析由題意得、由cosx20,得角x的終邊在y軸上或第一象限或第四

、一tanxNO.

象限或x軸正半軸上.由一tanx>0,得tanx<0,則角x的終邊在第二象限或第四象限或x

軸的正半軸上或x軸的負半軸上.綜上，角x的終邊在第四象限或x軸的正半軸上.所以函

數(shù)的定義域為卜一]+2內(nèi)0<2■，Aez].

12.(1)已知。是第二象限角，判斷3sinacos。+2tan4+4cos。的符號；

⑵若sin。<0,cosa>0,則a是第幾象限角?

解(I)：。是第二象限角，

Asin<?>0,cos^<0,tan^<0.

/.3sinacosa+2tana+4cosa<0.

⑵???sina<0,。為第三象限角或第四象限角.

又cosa>0,二a為第四象限角.

13.判斷下列各式的符號:

(l)sinl05°?cos230"；

(3)cos6,tan6.

解(1)V105°，2300分別為第二、第三象限角,

.\sinl05°>0,cos230°<0..\sinlO50?cos230°<0.

JI7JI7n

⑵?.?丁<=-〈n,...k是第二象限角.

Zoo

>0,tan-^-<0.Asin-7-?tan-7-<0.

(3”.,筌<6<2兀，???6弧度的角是第四象限角.

cos6>0,tan6<0.

.*.cos6?tan6<0.

知識點三三角函數(shù)求值

14.sin(-1395°)的值是()

答案B

解析sin(—1395°)=sin(-4X360°+45°)=sin45°=羋.

9Ji(11nA

15.cos-j-+tanl-------l+sinll25°=()

A.1B.*\^3+2C.—y[2D.,\/2+"\y3

答案D

解析cos+tan(—1；)+sinll25°=cos(2冗+彳)+tan(-4冗+可)+

sin(3X3600+45°)=cos—+tan—+sin45°=木+木.

4J

16.式子潟in|mncosn—ncos(一n)+力〃tan-?--------

4cos2冗

答案n—2mn—m

解析原式=/X(—1)+/nnX(—1)—nX(—1)+/nnX(—1)Xl=n—2mn—/n.

17.計算下列各式的值：

(1)sin(-1395°)coslllO°+cos(-1020°)sin750°:

11

/、(12Jt

(2)sinl---g-l+cos---tan4n.

解⑴原式=sin(-4X360°+45°)cos(3X3600+30°)+cos(-3X360°+

60°)sin(2X3600+30°)

=sin450cos300+cos60°sin300

(2)原式=sin—2"an(4”+0)

冗2五1

=sin-+cos-z-X0=7.

652

18.求下列各式的值.

/、25冗1115冗

(l)cos---+tan|

(2)sin420°cos750°+sin(—690°)cos(-660°).

25nITH1

解⑴因為cos-^—=cos|

J+8JI=cosy=-,

15nJI

tan=tan|—4n=tan-=1,

25n/+1=之

所以cos3+tan

22,

(2)因為sin420°=sin(360°+60°)=sin60°=勺

cos750°=cos(2X360°+30°)=cos30°

_1

sin(-690°)=sin(—2X3600+30")=sin30°=29

1

cos(-660°)=cos(-2X3600+60°)=cos60°

2f

所以sin420°cos7500+sin(—690°)cos(—660°)1.

易錯特別練

易錯點一擴大角的取值范圍

。3。4

已知sink=mcos—=—7，試確定角。是第幾象限的角.

JIa

易錯分析本題易錯的地方是在得出24"+萬<萬<2衣"+",AeZ后，忽略條件中給

出的具體值的特殊性，得到錯解：4A"+n<a〈4An+2n,k6Z,故角。是第三或第四象

限的角或其終邊在y軸的負半軸上.

a344aJTa

正解因為siiry=w>0,cos*7=一鼻<0,所以方是第二象限的角，所以2行+—<—<2An

zozbz乙乙

+JI,AGZ.

3兀a3n

2kn+~^<—<2An+nkQZ,所以44兀+一^一<a<4A冗+2n,k

42

ez,故角a是第四象限的角.

易錯點二求三角函數(shù)值時忽略對參數(shù)進行分類討論

已知角a的終邊過點。（如，一3勿）（狂0）,求a的正弦值、余弦值、正切值.

易錯分析本題在得到r=yjm+~-3必血后易想當然地認為?>0,得出sina

3v15V150正卡口4

；0,cosa>tana=—3,造成漏解.

正解由題意，得LOP=7而+—3卬2=四|屈（。為坐標原點）.

(1)當m>0時，r=y[10m\=y[10/n,

-3卬3?myflO

則sin。cosa———=八

~yflO/n~10yjlO/n10

tana3.

⑵當zzKO時，r=y[101m\=—y[10m9

則siny*,…

yiotana=:3.

一10

綜合練

一、單項選擇題

1.cosl470°的值為（）

1#八1

A.-B.C.-D.

2

答案B

福

解析cosl470°=cos(4X360°+30°)=cos30°=干".

2.若角。終邊上一點的坐標為（1,-1）,則角。為（）

nJI

A.2k只+—,kGZB.2kakQZ

4

JI

C.k*+彳，kGZD.An——,kGZ

答案B

解析由角。終邊上一點的坐標為(1,-1),知角〃為第四象限角，且tano=-1,

故〃=2〃五一;，AWZ.故選B.

3.若tana>0,貝lj()

A.sin。>0B.cosa>0

C.sin2a>0D.cos2a>0

答案C

解析因為tana>0,所以a為第一或第三象限角，即2女人<。<24冗+5或20+

3Ji

五<。<2?兀十萬-,4￡Z.那么44五<2。<4?兀+?；?5冗+2n<2。<44冗+3打，4￡Z.所以

2a為第一或第二象限角或終邊在y軸的非負半軸上，從而sin24〉0.

4.已知角。的終邊經(jīng)過點P(3,-4),則sina+^^=()

COSa

13737-3

氏C

-一------

A.5152OD.X15

答案D

—44314

解名〒二?0(3,-4),Ar=5,.?.sina=~^=一三，cosa=",/.sino+-----=-三+

555cosa5

1=T|,故選D.

olb

5.若點尸(sin。，tana)在第三象限，則角a是()

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

答案D

解析因為點。(sina,tan。)在第三象限，所以sina<0,tana<0,所以a是第四象

限角,故選D.

6.若角。的終邊在直線y=2x上，則sin。等于()

答案C

解析當角"的終邊在第一象限時，可設直線上一點一(1,2),則sina=/=羋;

-22m.

當角〃的終邊在第三象限時，可設直線上一點尸（-1,-2）,此時sina

5.

si-土羋.

□

7.在△/比'中，若sin4cos仇anCKO,則△力a'是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.銳角或鈍角三角形

答案C

解析VsinJ＞0,...cosB,tanC中一定有一個小于0,即8,C中有一個鈍角.

8.使lg（sin0cos〃）+#—cos6有意義的〃在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

答案C

解析由題意有sin^cos。＞0且一cos由sin，cos。＞0,知0為第一象限角或

第三象限角；由一cos。20,知0為第二象限角或第三象限角或終邊在y軸上或在x軸非正

半軸上，.1夕為第三象限角.

二、多項選擇題

9.已知角。的終邊過點以4,-3）,則下面各式中正確的是（）

34

4-BS4=-

A.sm5co5

C.tana=--D.tana=--

43

答案ABC

解析由角的終邊過點戶（4,-3）,得角。是第四象限角，故sin。=

—33

tana于=一點故選ABC.

10.下列說法正確的是（）

A.正角的正弦值是正的，負角的正弦值是負的，零角的正弦值是零

B.設月是第三象限的角，且sinj=-sin4，貝科是第四象限的角

C.對任意的角a,都有|sin。+cos。|=|sint|+|coso|

D.若cosci與tana同號，則a是第一或第二象限的角

答案BD

解析對于A,正角和負角的正弦值均可正、可負，A錯誤；對于B,由/是第三象限的

角，可知總是第二象限角或第四象限角，又sinj=-sin1所以4是第四象限角，B正確；

對于C,令a=斗二則|sin。+cos。|=sin^-+cos^-|=0,|sina|+|cosa\=

3n3冗r-

sin—+cos—=yJ2,C錯誤；對于D,若cosQ>0,tan^>0,則a是第一象限角，

若cosa<0,tano<0,則。是第二象限角，D正確.故選BD.

11.下列結(jié)論正確的是（）

A.―一?是第三象限角

B.若圓心角為《的扇形的弧長為n,則該扇形面積為萼

O4

3

C.若角a的終邊過點P（-3,4）,則cosa=-w

D.若角。為銳角，則角2a為鈍角

答案BC

解析對于A,一胃的終邊與胃相同，為第二象限角，所以A不正確；對于B,設扇形

66

Ji13幾

的半徑為r,則pr=門，所以r=3,扇形面積為jX3Xn=〒，所以B正確；對于3角

O乙乙

3

。的終邊過點戶（-3,4）,根據(jù)三角函數(shù)定義，cos6/=--,所以C正確；對于D,角。為

0

Ji

銳角時，0<。<5，則0<2。<兀，所以D不正確.故選BC.

12.在平面直角坐標系X。中，角。以公為始邊，終邊經(jīng)過點尸（1,血（水0）,則下列

各式一定為正的是（）

A.sina+cosaB.cosa—sina

,sina

C.sinacos。D.--------

tana

答案BD

解析???角a以Ox為始邊，終邊經(jīng)過點戶（1,勿）（欣0）,???o是第四象限角，???sina〈0,

cosa>0,tan。<0,1.cos。+sin4不一定是正數(shù)，故A錯誤；cosa—sina>0,故B正確；

cos^sin<z<0,故C錯誤；->0,故D正確.故選BD.

tana

三、填空題

13.若角。的終邊經(jīng)過點（2sin30°,—2cos30°）,則sina=________.

答案一當

解析所給點的坐標為(1,一十)，故sin。

2,

5it

cos^+tan|

14.求值:V

0

答案平

方

解析原式=cos(2n+—l+tan|2

n五3

=cos—+tan—&2+73仄_小2?

63

15.已知a的終邊經(jīng)過點(3a-9,a+2),且sina>0,costz<0,則a的取值范圍是

答案(一2,3)

解析：。的終邊過點(3a—9,a+2),則

d+2

sinCL=/7>0,

73a—9a+2

3，一9

且COSa—/<0,

73a—9a+2二

即a+2>0且3a—9<0,解得一2〈水3.

16.已知|是角a的終邊上一點，則cos〃=角a的最小正值是

15jr

答案2~

由于很

解析

,所以「在第四象限，即。是第四象限角，所以a=2An-g,當4=1時,

a取得最小正值為5*3T.

O

四、解答題

17.已知角。的終邊落在直線尸x上，求sin。，cosa,tan。的值.

解當角。的終邊在第一象限時，在角。的終邊上取點。(1,1),由r=4,得sin。

_^2_亞,

—2，cosa—2，tana—1；

當角。的終邊在第三象限時，在角a的終邊上取點。（一1,-1）,

%cos.亞

由r=y[2t得sinotana=1.