2023新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3-4函數(shù)的應(yīng)用一練習(xí)新人教A版必修第一冊

3.4函數(shù)的應(yīng)用(一)

知識

知識點一用一次函數(shù)模型解決實際問題

1.某水果批發(fā)市場規(guī)定，批發(fā)蘋果不少于100千克時，批發(fā)價為每千克2.5元，小王攜

帶現(xiàn)金3000元到市場采購蘋果，并以每千克2.5元買進，如果購買的蘋果為x千克，小王付

款后的剩余現(xiàn)金為y元，則y與x之間的函數(shù)解析式為()

A.y=3000-2.5^(100^^1200)

B.y=3000-2.5^(100<X1200)

C.y=3000-2.5^(0<X1200)

D.y=3000—2.5x(0W■1200)

答案A

解析本題為一次函數(shù)模型.?；3000+2.5=1200,

.?.100WxW1200,故選A.

2.一家報刊攤點從報社進報的價格是每份0.12元，賣出的價格是每份0.20元，賣不掉

的報紙還可以以每份0.04元的價格退回報社，在一個月(以30天計算)里，有20天每天可賣

出400份，其余10天每天能賣出250份.但每天從報社買進的份數(shù)必須相同，他應(yīng)該每天從

報社買進多少份，才能使每月所獲得的利潤最大？并計算他一個月最多賺得多少元？

解設(shè)每天從報社買進x份(250W點400),則每月可銷售(20x+10X250)份，退回報社

10(x—250)份，又知賣出的報紙每份獲得利潤為0.08元，退回的報紙每份虧損0.08元.依

題意，每月獲得的利潤為f(x)=0.08X(20%+10X250)-0.08X10(^-250)=0.8%+400.V

/'(x)在區(qū)間［250,400］上是增函數(shù)....當(dāng)x=400時，f(x)取得最大值，最大值為720.即每天

買進400份，每月所得最大利潤為720元.

知識點二用二次函數(shù)模型解決實際問題

3.某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，禾?。轁?單位：萬元)分別為4=—V+21X

和0=2x(其中銷售量單位：輛).若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤為

()

A.90萬元B.60萬元

C.120萬元D.120.25萬元

答案C

解析設(shè)公司在甲地銷售x輛，則在乙地銷售(15—x)輛，公司獲利為/=—V+21x+

.(19、192_

2(15—jr)=-/+19^+30=—I―12+30+—,，當(dāng)x=9或10時，/最大為120萬元.

4.某桶裝水經(jīng)營部每天房租、工作人員工資等固定成本為200元，每桶水進價為5元,

銷售單價與日銷售量的關(guān)系如下表:

銷售單價（元）6789101112

日銷售量（桶）480440400360320280240

請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？

解設(shè)每桶水在進價的基礎(chǔ)上上漲X元出售，利潤為y元，由表格中的數(shù)據(jù)可知，價格

每上漲1元，日銷售量就減少40桶，所以漲價x元后，日銷售桶數(shù)480—405—1）=520—

40x〉0,.\0<^<13.

則利潤y=（520-W）^-200=-40/+520^-200=-40^-^+1490.V0<X13,

當(dāng)x=6.5時，利潤最大.

即當(dāng)銷售單價為11.5元時，這個經(jīng)營部才能獲得最大利潤，最大利潤為1490元.

知識點三用累函數(shù)模型解決實際問題

5.某藥廠研制出一種新型藥劑，投放市場后其廣告投入x（萬元）與藥品利潤y（萬元）存

在的關(guān)系為y=x"（a為常數(shù)），其中x不超過5萬元.已知去年投入廣告費用為3萬元時，

藥品利潤為27萬元，若今年廣告費用投入5萬元，預(yù)計今年藥品利潤為萬元.

答案125

解析由已知投入廣告費用為3萬元時，藥品利潤為27萬元，代入了=x"中，即3"=

27,解得a=3,故函數(shù)關(guān)系式為尸入,，所以當(dāng)x=5時，y=125.

知識點四用分段函數(shù)模型解決實際問題

6.某小區(qū)物業(yè)管理中心制訂了一項節(jié)約用水措施，作出如下規(guī)定：如果某戶月用水量不

超過10立方米，按每立方米加元收費；月用水量超過10立方米，則超出部分按每立方米2以

元收費.已知某戶某月繳水費16加元，則該戶這個月的實際用水量為（）

A.13立方米B.14立方米

C.18立方米D.26立方米

答案A

解析由已知得，該戶每月繳費y元與實際用水量x立方米滿足的關(guān)系式為y=

\mx,0WxWlO,

\由y=16〃，得x>10,所以2%—100=160.解得x=13.故選A.

12%—10如x>10.

7.某公司招聘員工，面試人數(shù)按擬錄用人數(shù)分段計算，計算公式為y=

4x,XCN,

<2x+10,IOWXGOO,xeN,其中，x代表擬錄用人數(shù)，y代表面試人數(shù)，若面試人數(shù)

J.5x,xN100,xdN,

為60,則該公司擬錄用人數(shù)為（）

A.15B.40C.25D.130

答案C

解析令尸60,若4x=60,則x=15〉10,不符合題意；若2x+10=60,則x=25,滿

足題意；若L5x=60,則x=40<100,不符合題意.故擬錄用人數(shù)為25.

8.從甲家到乙家的途中經(jīng)過一書店，兩家距書店的距離均為2km,甲在早上8：00從

家出發(fā)去乙家，右圖是甲從家出發(fā)到乙家為止經(jīng)過的路程p（單位：km）與時間方（單位：min）

之間的關(guān)系？=AZ）的圖象，則尸廣1）的函數(shù)解析式是；方=25時，甲走的路程是

_km.

C1

元30W力W30,

5

答案f(z)=<2,30<K40,

3

2,40W方W60

Ilu

解析由題中圖象，知丹方）是分段函數(shù)，且可分為三段.當(dāng)0WZW30時，可設(shè)％=

因為點（30,2）在圖象上，所以2=304，所以左={所以%當(dāng)30<K40時，乃=2；

[2=40R+〃,

當(dāng)40WZW60時，設(shè)%=履+〃，因為點（40,2）和點（60,4）在圖象上，所以

[4=607+力,

1

解得｛10所以％=白力一2.

、〃=一2,

C1

-t,0WZW30,

15

所以2,30<^<40,

2,40WZW60,

v1U

15

當(dāng)t=25時，=77X25=-

153

9.某專營店銷售某運動會紀(jì)念章，每枚進價5元，同時每銷售一枚這種紀(jì)念章需向該地

籌委會交特許經(jīng)營管理費2元，預(yù)計這種紀(jì)念章以每枚20元的價格銷售時該店一年可銷售

2000枚，經(jīng)過市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)每枚紀(jì)念章的銷售價格在每枚20元的基礎(chǔ)上每減少一元則增加

銷售400枚，而每增加一元則減少銷售100枚，現(xiàn)設(shè)每枚紀(jì)念章的銷售價格為x元，x為整

數(shù).

(1)寫出該專營店一年內(nèi)銷售這種紀(jì)念章所獲利潤y(元)與每枚紀(jì)念章的銷售價格x(元)

的函數(shù)關(guān)系式，并寫出這個函數(shù)的定義域；

(2)當(dāng)每枚紀(jì)念章銷售價格1為多少元時，該特許專營店一年內(nèi)利潤y(元)最大，并求出

最大值.

解(1)依題意，

|[2000+40020—x]x-1,7<xW20,xdN*,

尸[[2000—100x-20]x-7,20Vx<40,x^N*,

所以

-400[x—162—81],7cxW20,xGN*,

y=<,「,47、108Q-

■-1001x—萬J—，20cx<40,xdN*,

定義域為{xGN*|7Vx<40}.

(2)因為

-400[x—162—81],7cxW20,xdN*,

y=147\1089]*

-100I1-^—,20cx<40,xGN',

所以當(dāng)7<W20時，則x=16時，％?=32400,

當(dāng)20cx<40時，則x=23或24時，^=27200,

綜上，當(dāng)x=16時，該特許專營店一年內(nèi)獲得的利潤最大，為32400元.

10.“水”這個曾經(jīng)被人認為取之不盡用之不竭的資源，竟然到了嚴重制約我國經(jīng)濟發(fā)

展，嚴重影響人民生活的程度.因為缺水，每年給我國工業(yè)造成的損失達2000億元，給我國

農(nóng)業(yè)造成的損失達1500億元，嚴重缺水困擾全國三分之二的城市.為了節(jié)約用水，某市打算

出臺一項水費政策，規(guī)定每季度每人用水量不超過5噸時，每噸水費1.2元，若超過5噸而

不超過6噸時，超過部分的水費加收200%,若超過6噸而不超過7噸時，超過部分的水費加

收400%,如果某人本季度實際用水量為x(xW7)噸,試計算本季度他應(yīng)交的水費y(單位:元).

解由題意可知，①當(dāng)xG[0,5]時f(x)=1.2x；

②若超過5噸而不超過6噸時，超過部分的水費加收200%,

即當(dāng)xG(5,6]時,

f(x)=1.2X5+(x—5)XL2X3=3.6x—12；

③若超過6噸而不超過7噸時，超過部分的水費加收400%,即當(dāng)xd(6,7]時，f(x)=

1.2X5+(6—5)XL2X3+(x—6)XL2X5=6%-26.4.

1.2x,0<J^5,

所以尸<3.6X-12,5cA6,

、6x—26.4,6<J^7.

課時綜合練

一、單項選擇題

1.一種商品售價上漲2%后，又下降了2%,那么這種商品的最終售價y與原來的售價x

之間的函數(shù)關(guān)系為()

A.y=0.96xB.y=0.98x

C.y=0.9996xD.y=x

答案c

解析由題意可得y=x(l+2%)(1—2%)=0.9996x.

2.據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為2000輛次，其中變速車存車費是每

輛一次0.8元，普通車存車費是每輛一次0.5元.若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費總收入

為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是()

A.y=0.3^+800(0^^2000,x6N*)

B.y=0.3x+1600(0W■2000,xGN*)

C.y=-0.3X+800(0WJ<2000,xdN*)

D.y=-0.3^+1600(0^^2000,x^N*)

答案D

解析由題意，知變速車存車數(shù)為(2000—x)輛次，則總收入y=0.5x+(2000—x)X0.8

=0.5^+1600-0.8x=-0.3x+1600(0W啟2000,x^N*).

3.某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品每天的銷量加(件)

與售價x(元/件)之間的關(guān)系滿足一次函數(shù)：必=162—3x.若要使每天獲得最大的銷售利潤，

則該商品的售價應(yīng)定為()

A.40元/件B.42元/件

C.54元/件D.60元/件

答案B

解析設(shè)每天獲得的銷售利潤為y元，則y=(x—30)?(162—3x)=-3(x—42>+432,

所以當(dāng)x=42時，獲得的銷售利潤最大，故該商品的售價應(yīng)定為42元/件.

4.某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.當(dāng)每輛

車的月租金每增加50元時，未出租的車將會增加1輛.租出的車每輛每月需要維護費150

元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.要使租賃公司的月收益最大，則每輛車的月租金

應(yīng)定為()

A.4050元B.4000元C.4100元D.4150元

答案A

解析設(shè)每輛車的月租金為x(x>3000)元，則租賃公司月收益為

（X—3000x—3000

尸1°°—（才一150）————X50,

50

/1

整理得y=—而+162x—21。。。=一而（x—4。5。）2+3。7。5。.

.??當(dāng)x=4050時，p取最大值為307050.即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時，租賃公司

的月收益最大為307050元.

5.某電信公司推出兩種手機收費方式：Z種方式是月租20元，6種方式是月租0元.一

個月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時間方（分鐘）與電話費s（元）的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)通話150分鐘時,

這兩種方式電話費相差（）

A.10元B.20元C.30元D.—JG

答案A

解析設(shè)A種方式對應(yīng)的函數(shù)解析式為S=ka+20.B種方式對應(yīng)的函數(shù)解析式為s=

ka,當(dāng)t=100時，1004+20=1004，.?.%—%=《2=150時，150人一150^—20=150Xq一

55

20=10.；.A正確.

6.一個人以6米/秒的速度去追停在交通燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25米時，交通燈由紅

變綠，汽車以1米/秒2的加速度勻加速開走，那么（）

A.人可在7秒內(nèi)追上汽車

B.人可在10秒內(nèi)追上汽車

C.人追不上汽車，其間距最少為5米

D.人追不上汽車，其間距最少為7米

答案D

解析設(shè)汽車經(jīng)過2秒行駛的路程為s米，則s=52,車與人的間距公（s+25）—61

=^t2—6t+25=-|（t—6）2+7,當(dāng)2=6時，，取得最小值7,故選D.

7.某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品x噸所需費用為P元,而賣出x噸的價格為每噸。元，已知產(chǎn)=1000

1V

+5^+—/,ga+z若生產(chǎn)出的產(chǎn)品能全部賣出，且當(dāng)產(chǎn)量為150噸時利潤最大，此時每

10b

噸的價格為40元，則有（）

A.3=45,6=—30B.a=30,6=-45

C.3=—30,8=45D.a=—45,6=—30

答案A

解析設(shè)生產(chǎn)x噸產(chǎn)品全部賣出，獲利潤為y元，則y=—尸=x[a+*—

1000+5矛+/，=以一卡卜+（@—5）X一1000（入＞0）.由題意知，當(dāng)x=150時，y取最大值,

司=45,

解得

6=—30.

8.某市居民自來水收費標(biāo)準(zhǔn)如下：每戶每月用水量不超過4噸時，每噸為1.8元；當(dāng)用

水量超過4噸時，超過的部分每噸3元.某月甲、乙兩戶共交水費y元，已知甲、乙兩戶該

月用水量分別為5x噸、3x噸.則y關(guān)于x的函數(shù)為（）

4

14.4x,0<個,

A.20.4才一4.8

4

9.6JT—24,x>~

lo

r4

14.4JT,OWXWE，

5

44

B.20.4x—4.8,鏟

4

24jr—9.6,x>~

Vo

4

14.4—x,OW后m

C.20.4x~4.8

4

9.6^—24,x>~

4

14.x,

5

4

24才一9.6,x>~

V3

答案B

解析當(dāng)甲的用水量不超過4噸，即5xW4時，乙的用水量也不超過4噸，則y=l.8(5x

+3x)=14.4x；當(dāng)甲的用水量超過4噸，乙的用水量不超過4噸時，3xW4,且5x>4,即2

所以尸4X1.8+3xX1.8+3(5x—4)=20.4x—4.8；當(dāng)乙的用水量超過4噸，即3入>4時，y

=2X4X1.8+3X[(3x—4)+(5x—4)]=24x—9.6.

r4

14.4x,OWxW/,

5

所以尸廣(x)=<20.4A—4.8,

4

24jr—9.6,x>~.

Vo

二、多項選擇題

9.一根彈簧原長13cm,它所掛的重量不超過16kg,并且重量每增加1kg,彈簧就伸

長gcm,則下列關(guān)于掛重量彈簧長度y(單位：cm)與所掛重量x(單位：kg)的說法正確的是

()

A.y隨x的增大而增大B.y的最大值為21

C.y隨x的增大而減小D.y的最小值為13

答案ABD

解析設(shè)y=13+4x,由題意知仁!,故y=13+(x,自變量x的取值范圍是[0,16],

故y隨x的增大而增大；當(dāng)x=16時，y取得最大值21；當(dāng)x=0時，y取得最小值13.故選

ABD.

10.某地長途汽車客運公司規(guī)定旅客可隨身攜帶一定質(zhì)量的行李，如果超過規(guī)定，則需

要購買行李票.行李費用y(元)與行李質(zhì)量x(kg)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則()

A.y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是了=9一6

B.旅客最多可免費攜帶行李的質(zhì)量為30kg

C.若一旅客攜帶行李的質(zhì)量為70kg,則需購買8元的行李票

D.若一旅客購買了4元的行李票，則該旅客攜帶行李的質(zhì)量為45kg

答案BC

解析設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=#x+6（H0）.由圖象可知，當(dāng)x=60時，y=6；

（604+6=6,1

當(dāng)x=80時，尸1。.所以Lc,,,八解得6=-6.所以y與x之間的函數(shù)關(guān)系式

[80A+b=10.3

11

L，x〉30,歹6,x〉30,

為y=<故A不正確;由y=<可知，旅客最多可免費

、0,xW30,[0,W30

1

歹6,x〉30,

攜帶行李的質(zhì)量為30kg,故B正確；在尸1中，令x=70,得尸8,

[0,W30

1

~x-&,x〉30,

故若一旅客攜帶行李的質(zhì)量為70kg,則需購買8元行李票，C正確；在5

10,后30

中，令y=4,貝啟x—6=4,x=50,故若一旅客購買了4元的行李票，則該旅客攜帶行李的

質(zhì)量為50kg,D不正確.故選BC.

11.某上市股票在30天內(nèi)每股的交易價格戶（元）與時間力（天）組成有序數(shù)對（力,。，點（力，

P）落在如圖所示的兩條線段上，該股票在30天內(nèi)（包括30天）的日交易量〃（萬股）與時間大（天）

的部分數(shù)據(jù)如表所示：

A.第10天的股價是8元

B.日交易量〃（萬股）關(guān)于時間t（天）的函數(shù)關(guān)系是片一t+40

C.該股票第20天時，每股的交易價格達到最大值

D.第15天時，日交易額最大，為125萬元

答案BCD

解析當(dāng)0WK20時，設(shè)函數(shù)解析式為P=at+b,把點（0,2）和（10,4）代入得

1

[6=2,

解得15???片泉+2,當(dāng)-2。時，P=6,當(dāng)2』W3。時，設(shè)函

[10a+6=4,

,b=2,

[1

20勿+〃=6,m=——,

數(shù)解析式為P=mt+n,把點（20,6）和（30,5）代入得解得〈10：.P

30〃+/?=5,

、〃=8,

ri

7^+2,0^Z<20,

15

=——t+8,工戶當(dāng)方=10時，P=4,故A錯誤；沒M=ct

一31+8,20WZW30.

[6c+d=34,[c=-l,

+d（cW0）,把點（6,34）和點（13,27）代入得L°,zn解得,_：.M=~t+

[13c+d=27,〔d=40,

40,故B正確；由題圖知，第20天時該股票每股的交易價格達到最大值，故C正確；

「1

-t+2,0WK20,

5

???該股票每股交易價格々J]

一3方+8,20W方W30,

日交易量〃=一方+40,???該股票日交易額y=PM=

—J/+61+80,0WK20,

5

^7^-12^+320,20WXW30,

當(dāng)0WK20時，尸一（/+6%+80；當(dāng)方=15時，％ax=125；當(dāng)20WZW30時，y=~:^

01u

—12%+320；當(dāng)7=20時，辰（=120.綜上所述，在這30天內(nèi)第15天日交易額最大，最大值

為125,故D正確.故選BCD.

12.國家規(guī)定個人稿費納稅辦法是不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000

元的按超過800元部分的14%納稅；超過4000元的按全部稿酬的11.2%納稅，則（）

A.納稅額y（元）與稿費x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為

'00<^800,

y=\x—800X14%800〈忘4000

111.x〉4000

B.稿費為4800元時，應(yīng)納稅560元

C.稿費為600元時，不用納稅

D.某人出版一本書共納稅420元，則這個人應(yīng)得稿費（扣稅前）為3750元或3800元

答案AC

解析由題意知，納稅額y（元）與稿費x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

00〈忘800,

<x-800X14%800〈啟4000,

11.2%xx>4000,

V48004000,稿費為4800元時，應(yīng)納稅11.2%義4800=537.6（元）；：600元不超過

800元，.?.不用納稅;令（x—800）X0.14=420,解得x=3800,令11.2%矛=420,得x=3750（舍

去），故這個人應(yīng)得稿費（扣稅前）為3800元.故選AC.

三、填空題

13.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園（陰影部分），

則其邊長x為m.

I*------40m------

答案20

解析設(shè)矩形花園的寬為y,則京=33,即尸40—x,矩形花園的面積S=x（40—x）

=~x+40JT=—（^r—20）2+400,當(dāng)x=20ni時，面積最大.

14.某數(shù)學(xué)練習(xí)冊，定價為40元.若一次性購買超過9本，則每本優(yōu)惠5元，并且贈送

10元代金券；若一次性購買超過19本，則每本優(yōu)惠10元，并且贈送20元代金券.某班購

買x（x￡N*,后40）本，則總費用f（x）與x的函數(shù)關(guān)系式為（代金券相當(dāng)于等價金額）.

40x,0<^r<10,

答案廣(入)=卜5才一10,10^X20,x￡N*

、30x—20,20^^40

解析當(dāng)0〈水10時，F(xiàn)(x)=40x；當(dāng)10Wx<20時，f(x)=35%—10；

當(dāng)20WxW40時，f(x)=30x—20.

40JT,0Kl0,

所以F(x)=<35x—10,10Wx<20,x￡N*

、30x—20,20W后40

15.網(wǎng)上購鞋常常看到下面這樣一張表，第一行可以理解為腳的長度，第二行是我們習(xí)

慣稱呼的“鞋號”.

中國鞋碼實際

220225230235240245250255

標(biāo)準(zhǔn)(mm)

中國鞋碼

3435363738394041

習(xí)慣叫法(號)

習(xí)慣稱為“30號”的童鞋，對應(yīng)的腳實際尺寸為mm.

答案200

解析設(shè)腳的長度為ymm,對應(yīng)的鞋碼為x碼，則y=5x+50,當(dāng)x=30時，y=5X30

+50=200.

16.某市出租車收費標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價

付費)；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收