2021-2022學年新教材高中數(shù)學模塊素養(yǎng)評價一含解析蘇教版選擇性必修第一冊

模塊素養(yǎng)評價（一）

(120分鐘150分)

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的）

泰州高二檢測)過兩直線：的交點且與

1.(2021?/ix-3y+1=0z12:x+2y+6=03x+y-1=0

平行的直線方程為（）

A.x-3y+l=0B.3x+y+7=0

C.x-3y-11=0D.3x+y+13=0

x-3y+1=0,

【解析】選D曲題意列方程組，

x+2y+6=0

x=-4

解得,_］，即兩直線/i：x-3y+l=0,/2：x+2y+6=0的交點為(-4,-1);

設與3x+y-1=0平行的直線方程為3x+y+m=0,則3x(-4)+(-1)+m=0,解得m=13,

故所求的直線方程為3x+y+13=0.

2.（2021?遵義高二檢測）雙曲線J-y2=1的焦點到漸近線的距離是（）

A.1B.^2C.小D.2

【解析】選A.雙曲若-y2=l的漸近線為y=士當x,

a2=3,b2=l,c2=a2+b2=3+1=4,即c=2,

則一個焦點F（2,0）,漸近線方程為叩x+y=0,

323

則焦點F到其漸近線的距離d=—/2==L

小閨3

3.（2021?紹興高二檢測）已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，若a9+3au<0,a.aii<0,且數(shù)列｛a。｝的前

n項和Sn有最大值，那么6取得最小正值時n等于（)

A.20B.17C.19D.21

【解析】選C.因為a9+3ali=(a9+an)+2ali=2aio+2ali=2(aio+an)<0.

所以aw+8ii<0,又aioean<O且Sn有最大值，得公差為負,可得aio>O,an<0,

又可得：S19=19aio>O,而S20=lO(aio+3H)<0,進而可得Sn取得最小正值時n=19.

4.(202］靖遠局二檢測)函數(shù)f(x)=(1-乂沱〉有()

A.最大值為1B.最小值為1

C.最大值為eD.最小值為e

【解析】選A.f(x)=-ex+(1-x)ex=-xe*,當x<0時，f4x)>0,當x>0時，「岡<0,

所以網(wǎng)在(-8,0)上單調遞增，在(0,+8)上單調遞減,所以f(x)有最大值為f(0)=1.

5.(2021?宜賓高二檢測)已知圓心在y軸上的圓C與直線x=3切于點M(3,2).若直線3x+4y

+m=0與圓C相切，則m的值為()

A.9B.7

C.-21或9D.-23ng7

【解析】選D.圓心在v軸上的圓C與直線x=3切于點M(3,2).

可得圓C的半徑為3,圓心為(0,2).

因為直線3x+4y+m=0與圓C相切，

I8+mI

所以由切線性質及點到直線的距離公式可得=3,解得m=-23或7.

732+42

6.已知正項數(shù)列同｝的前n項和為加，且ai=l,a*=2Sn+n+l(nGN*),設數(shù)列U

的前n項和為Tn,則Tn的取值范圍為()

A.(0,/B.(0,1)

C.(5,11D.,1)

【解析】選D.因為第+1=2Sn+n+1,

所以第=2Sn-i+n(n>2),

2

因此染+1-an=2(Sn-Sn-1)+1=2an+1,BPa?+1=(an+1),

又同｝為正項數(shù)列，所以an+i=an+l(n>2),al=2+l+l=4,a2=2滿足,

故數(shù)列｛a。｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以an=n(neN*),

1_1_J.

因此

11

3n3n+1n+l)n+1

1111

2-3n-n+1

因為nGN*,

所以/<Tn<l.

7.（2021?合肥高二檢測）已知拋物線C：y2=2Px（p>0）的焦點為F,準線與x軸交于點K,過點K

作圓（x-電2+丫2=中的切線，切點分別為點A,B.若AB=S，則P的值為（）

A.1B.小C.2D.3

【解析】選C.如圖，連接FA,

因為F就是圓（x-1

的圓心，

所以FA_LKA,且FA=5.

又KF=p,

所以/AKF=30°,那么/AKB=60°,

所以^AKB是等邊三角形，

g、lVI

所以AB=AK=2p.

又AB=S，所以p=2.

8.已知定義域為R的奇函數(shù)y=f(x)的導函數(shù)為y=f，(x),當x>0時，xf〈x)-f(x)<o,若

f(e)f(ln2)f(-3)

a,b=|n2,c=§—，貝！Ia,b,c的大小關系正確的是()

A.a<b<cB.b<c<a

C.a<c<bD.c<a<b

f(x)

【解析】選D.構造函數(shù)g(x)=~^,

xf'(x)-f(x)

所以g'(x)=

因為xf(x)-f(x)<0,

所以g，(x)<0,所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調遞減.

f(x)

因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以g(x)=^是偶函數(shù)，

、f(■3)

所以C=-=g(-3)=g⑶，

_3

f(e),、-f(ln2)?

因為a=7-=g(e),b=.2=g(/n2),

所以g(3)<g(e)<g(/n2),所以c<a<b.

二、多選題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分)

9.(2021撫I褊二檢測)已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=25,直線/：(2m+1)x+(m+1)y

-7m-4=0.則以下幾個說法正確的有()

A.直線/恒過定點(3,1)

B.圓C被y軸截得的弦長為4加

C.直線/與圓C恒相交

D.直線/被圓C截得的弦最長時，直線I的方程為2x-y-5=0

【解析】選ABC直線/的方程整理得m(2x+y-7)+x+y-4=0,

2x+y-7=0

由《,

X+y-4=0

x=3

解得,所以直線/恒過定點(3,1),A正確；

[y=l

在圓方程中令x=0,得l+(y-2產(chǎn)=25，丫=2±2乖,

所以y軸上的弦長為4#,B正確；

(3-1)2+(1-2產(chǎn)=5<25,

所以點(3,1)在圓內，直線/與圓一定相交，C正確；

直線/被圓C截得弦最長時,直線過圓心(1,2),

一1、125

貝(|(2m+1)+2(m+l)-7m_4=0,得m=-§,直線方程為§x+§y-§=0,即x+2y-5

=0,D錯.

y/5-1

10.(2021?無錫高二檢測)我們把離心率為七一的橢圓稱為黃金橢圓，類似地，也把離心率

m+1

為，一的雙曲線稱為黃金雙曲線，則()

X2y2

A.雙曲線3--1=—=I是黃金雙曲線

3y/5+1

v21/2

B.如果雙曲線前-云=l(a>0,b>0)是黃金雙曲線，那么b2=ac(c為半焦距)

C.如果雙曲線3-去=l(a>0,b>0)是黃金雙曲線，那么右焦點F2到一條漸近線的距離等于

焦距的四分之一

X2V2

.過雙曲線亞-京的右焦點且垂直于實軸的直線/交于兩點，

DC：=l(a>0,b>0)F2CM,N

0為坐標原點，若/MON=90。，則雙曲線C是黃金雙曲線

X2y2

【解析】選BD對于A：V-￡,=1,

3y/5+1

a2=3,b2=m+1,

所以c2=，^+4,

所以ezj=M手[f=匕?I，故A錯誤;

X2V2

對于B：雙曲線/-京=l(a>0,b>0)是黃金雙曲線，

cy[5+1

所以e=』=一z-，由c2=a?+b2,

aZ.

所以b2=產(chǎn)；/2-a?=、-a?=ac,故B正確；

22

對于c：雙曲線7X-aV=l(a>0,b>0)的一條漸近線

2

y=弓X,貝UF2(C,o)到其距離d喜X—/1如=b,而由B可知，b=ac￡c?,故C錯

誤；

對于D：M,N兩點的橫坐標為c,y2=6-1]b2,得M(c,?),N(c,-號),則OM—f

=(c,《,ON—玲=(~-￡),

b4

所以OM—玲,ON—玲二c2-至二0,則b2=ac,由B可知，雙曲線C是黃金雙曲線,故D正確.

11.在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事："三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛

減一半，如此六日過其關"則下列說法正確的是()

A.此人第三天走了四十八里路

B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

1

c.此人第二天走的路程占全程的

D.此人前三天走的路程是后三天走的路程的8倍

【解析】選ABD.根據(jù)題意知，此人每天行走的路程成等比數(shù)列，設此人第n天走an里路,

1

則同｝是首項為a1,公比為q=5的等比數(shù)列.

ai(l-q6)

所以S6==378,解得ai=192.

i-q

1

2

所以a3=aiq=192x-=48,所以A正確.

由ai二192,Se=378，得互+a3+加+as+a6=Se-ai=378-192=186,

又192-186=6,所以B正確.

、11

因為a2=aiq=192x^=96,"S6=94.5,

所以az>/S6,所以C不正確.

2

因為ai+a2+a3=ai(l+q+q)

=192x(1+￡+/)=336,

所以后3天走的路程為378-336=42,而且42x8=336,所以D正確.

1

12.(2021?南通高二檢測)設函數(shù)f(x)=x/nx,g(x)=5x?,給定下列命題，其中正確的是()

A.若方程f(x)=k有兩個不同的實數(shù)根，則kG([,0)

B.若方程kf(x)=x2恰好只有一個實數(shù)根，則k<0

C.若xi>X2>0，總有m[g(xi)-g(x2)]>f(xi)-a2)恒成立，則m>l

D.若函數(shù)F(x)=f(x)-2ag(x)有兩個不同的極值點，則實數(shù)ae(0,今

【解析】選ACD.對于A,f(x)的定義域是(0,+8),

f(x)=/nx+1,

1

令f(x)>0，有/nx>-1,即x二,

可知f(x)在(o,3上單調遞減，在0，+8)上單調遞增，

所以極小值等于最小值，

所以f(x)min=ff1)=-7，

且當x玲0時f(x)玲0,又f(l)=0,

從而要使得方程f(x)=k有兩個不同的實數(shù)根，

即y=f(x)與y=k有兩個不同的交點，

所以kd(4,0)，故A正確；

對于B,易知x=1不是該方程的根,

當XXI時，f(x)，O,方程kf(x)=x2恰好只有一個實數(shù)根，

x

等價于y=k和y=族只有一個交點，

Inx-1_

/=―—―，又X>0且XH1,

(Inx)2

令yz>0,即/nx>l,有x>e,

x

知y=位在(O，1)和(1，e)單調遞減,在(e,+8)上單調遞增，

x=l是一條漸近線，極小值為e,

x

由y="的大致圖象可知k<0或k=e,故B錯誤；

對于C,當xi>x2>0時，m[g(xi)-g(x2)]>f(x0-僅)恒成立，

等價于mg(xi)-f(xi)>mg(x2)-fd)恒成立,

即函數(shù)y=mg(x)-f(x)在(0,+8)上為增函數(shù),

即『=mgz(x)-F(x)=mx-/nx-l>01亙成立,

Inx+1_

即m>--—在(0,+8)上恒成立，

Inx+1

令r(x)=---,

-Inx

則r'(x)=,

令r'(x)>0得/nx<0,有0<x<l,從而r(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+8)上單調遞減,

則r(x)max=I■⑴=1,于是m>l,故C正確；

對于D,F(x)=x/nx-ax2(x>0)有兩個不同的極值點，

Inx+1

等價于Fz(x)=/nx+l-2ax=0有兩個不同的正根，即方程2a=一~—有兩個不同的正根，

1

由C可知，0<2a<l,gp0<a<2,貝UD正確.

三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)

13.各項為正數(shù)的等比數(shù)列同｝中，a?與a10的等比中項為生，則/og3a4+/og3a8=.

A/B1

【解析】根據(jù)題意，等比數(shù)列同｝中，az與五。的等比中項為手，則有a2ai0=§,

1

又由等比數(shù)列的性質可得：a4a8=a2a1。=§,

1

貝!]/og3a4+/og3a8=/og3a4a8=/og3J=-1.

答案：-1

14.(2021?西安高二檢測)某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8

_.191

萬斤,每種植一萬斤蓮藕，成本增加0.5萬元.如果銷售額函數(shù)是f(x)=-oX3+7Tax2+Tx(x

o1Oz

是蓮藕種植量，單位：萬斤；銷售額的單位：萬元，a是常數(shù)).若種植2萬斤，利潤是2.5萬

元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕萬斤.

1

-+

【解析】設銷售利潤為g(x)，得g(x)二8

9111o9

—ax2+-x-l--x=-ox3+T7ax2-1,

1622816

19

當x=2時,g(2)=-WX23+五ax22-1=2.5,

解得a=2.

19

所以g(x)=-ox3+gx2-1,

g'(x)=-gx2+4x=-gx(x-6),

所以函數(shù)g(x)在(0,6)上單調遞增，在(6,8)上單調遞減.

所以當X=6時，函數(shù)g(x)取得極大值即最大值.

答案：6

15.(2021?廣州高二檢測)已知數(shù)列同｝的前n項和是1,且a。+加=3n-1,則數(shù)列的通

項公式an=.

【解析】由題得an+Sn=3n-1,an-1+Sn-1=3n-4,

、13

兩式相減得an=5an-1+5,

1

所以an-3=5(an-i-3),

所以B-3｝是一個等比數(shù)列，

所以an-3=(ai-3)住)。T=(1-3)停)…，

所以an=3-gn-2.

答案：3-d)n"

V2fw

16.(2021?貴陽高二檢測)在橢圓彳+x2=l上有兩個動點P,Q,E(0,1)為定點，EPXEQ,

則EP—3QP—玲的最小值為.

【解析】由題意得EP—fQP一玲=EPT?(EP—f-EQ--)=EP—>2-EP—，EQT=

EP—>2.

設橢圓上一點P(x,y)，則EP―>=(X,y-1),

EP—>2=x2+(y-1)2=(1-及+(y-1)2

42

又-2<y<2,所以當y=§時，EP—玲2取得最小值§.

茲里--

口木■3

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)(2021,北樂局一檢測)已知等差數(shù)列｛an｝；兩足a?=4,33+34=17.

⑴求數(shù)列同｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛bn｝滿足bi=2,再從①bn+l=2bn；?2bn+l=bn；③bn+1=-bn這三個條件中任選一

個作為已知條件，求數(shù)列同+bn｝的前n項和Tn.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解

答計分.

【解析】⑴設等差數(shù)列同｝的公差為d.

32-431+d=4

由彳，可得彳,

33+34=17[2ai+5d=17

解得ai=l,d=3.

所以an=ai+(n-l)d=3n-2

⑵選①：

,bn+1

==

由bi2,bn+12bn(導bn^0,b=2,

所以｛bn｝是等比數(shù)列，公比q=2.

所以bn=biqn-1=2n.

所以Tn=(ai+a2+...+an)+(bi+b2+...+bn)

n(l+3n-2)2(1-2n)

=2

3n2-n

=-—+2n+1-2

選②：

bn+11

由bi—2,2bn+1—bn可得bn，O/~—21

1

所以｛bn｝是等比數(shù)列，公比q=5.

mn-1mn-2

所以bnubiqn-jZ.R=R

所以Tn=(ai+a2+...+an)+(bi+b2+...+bn)

n(l+3n-2)2JL-1]

3n2-n小n-2

選③：

==

由bi=2,bn+1bn可得bn，OI-~1/

所以｛bn｝是等比數(shù)列，公比q二-1,

所以bn=biqn-i=2?(-1)….

所以Tn=(ai+a2+...+an)+(bi+b2+...+bn)

n(l+3n-2)2[1-(-1)n]

=n+

21-(-1)

3n2-n+2

=-------2--------(-邛

18.(12分)(2021?黃岡高二檢測)已知與x=-1相切的圓C的圓心在射線x-3y=0(x>0)上,且

被直線/：3x-4y+5=0截得弦長為473.

(1)求圓C的方程；

(2)若圓C上有且僅有2個點到與/平行的直線1的距離為2求直線「在X軸上截距的取值范圍.

【解析】⑴依題意設圓心坐標C(3t,t),t>0,圓心到直線/：3x-4y+5=0的距離為

I9t-4t+5I

=t+l,

+42

又圓與X=rl相切,則圓的半徑r=3t+l,

因為弦長為4s,所以(3t+I)2=12+(t+l)2,

3

解得t=l或t=-5(舍去),

所以圓心C(3,1),r=4,

所以圓的方程為(x-3/+(y-1)2=16.

|5+m|

⑵設直線/'的方程為3x-4y+m=0/則圓心到直線廠的距離為d=~^—,當且僅當2<d<6

時，圓C上有且僅有2個點到/，的距離為2；

|5+m|

即2<―--<6,

所以-35<m<-15或5cm<25,

設直線/'在x軸上的截距為a,則2=-f,m=-3a,

所以-35<-3a<-15或5-3a<25,

35-255

角牟得5<a<y36-y<a<--.

19.(12分)已知｛an｝為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列，81=bl—1,95—5(34"33),bs—4(b4-ba).

⑴求同｝和｛bn｝的通項公式；

(2)cn=a2nb2n+l,求數(shù)列｛j｝的前n項和Sn.

【解析】⑴設等差數(shù)列同｝的公差為d,等比數(shù)列｛bn｝的公比為q,

由ai二1,a5=5(a4-a3),可得l+4d=5d,

解得d=1,所以an=l+n-l=nr

432

由bi=1,b5=4(b4-b3),可得q=4(q-q),

解得q=2,所以bn=2ny

2nn

(2)由⑴可得汕=2n,b2n+i=2=4,

所以Cn=a2nb2n+i=2nx4n,

1

故Sn=2x4+4x42+6x43+...+2(n-1)x4。-+2nx4n

nn1

4Sn=2x42+4x43+6x44+...+2(n-l)x4+2nx4+,

上述兩式相減，得-23n+1

3Sn=2x4+2x4+2x4+...+2x4"-2nx4

4(1-4n)

=2x-2nx4n+1

1-4

=一|-(2n1)xzr+i,

86n-2

所以Sn=g+—^—X4n+1.

a-ex

20.(12分)已知函數(shù)f(x)=q-(aGR,a#0).

⑴當a=1時，求曲線y=f(x)在點(1,f⑴)處切線的方程；

⑵求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間.

【解析】(1)當a=1時，f(x)(x*0),f(l)=e,切點(1,e),

e'x"e”

f'(x)=F^,k=f(l)=0,

所以切線方程為y-e=0,即丫=6.

exx-exex(x-1)

(2)fz(x)=a—乒—=a(xiO),

①a>0，當x-l>0,

即x>l時，f(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增；

當x-1<0,即x<0或0<x<l時,f(x)<0,

函數(shù)f(x)在每個區(qū)間上單調遞減；

②a<0，當x-1>0,

即x>l時,f(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減；

當x-1<0,即x<0或0<x<l時，f(x)>0,

函數(shù)f(x)在每個區(qū)間上單調遞增；

綜上所述,a>0時,f(x)的單調遞增區(qū)間為(1,+8),單調遞減區(qū)間為(--,0),(0,1)；

a<0時,f(x)的單調遞增區(qū)間為(-8,0),(0,1),單調遞減區(qū)間為(1,+8).

21.(12分)已知橢圓C：§

=l(a>b>0)的兩個頂點分別為點A(-2,0),B(2,0),離心率

d+5

⑴求橢圓C的方程；

(2)點D為X軸上一點，過D作X軸的垂線交橢圓C于不同的兩點M,N,過D作AM的垂線

交BN于點E.

證明：4BDE與4BDN的面積之比為定值.

【解析】⑴因為焦點在x軸上，兩個頂點分別為點A(-2,0),B(2,0),所以a=2,

因為e=；=乎今c=S,所以b2=a2-c2=1,所以橢圓C的方程為寧+y2=1；

x2

(2)設D(xo,0),M(xo,yo),N(x°,-yo),yo>O,可得yj

直線AM的方程為：片之…,

Xo+2

因為DE,AM，所以kDE=-丁

Xo+2

直線DE的方程：y=-(x-xo),

-yo

直線BN的方程：y=--------(x-2),

Xo-2

直線DE與直線BN的方程聯(lián)立可得

Xo+2

v=-(X-xo)

<

-yo

y=—;(x-2)

<X。-2

Xo+2vo

整理為：k（x"）=仁僅-2）,

即(xj-4)(x-xo)=yo(x-2),

/|-x]

(Xo-4)(X-Xo)=——(X-2),計算可得

4xo+2

XE=~^