湖南省新寧縣崀山培英學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題

PAGE21-湖南省新寧縣崀山培英學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（時(shí)量：120分鐘；分值：150分；）留意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（本大題共8個(gè)小題，毎小題5分，共計(jì)40分，在毎小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．已知集合，集合，若，則（）A． B． C． D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限3．某班有學(xué)生人，現(xiàn)將全部學(xué)生按隨機(jī)編號(hào)，若采納系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為的樣本（等距抽樣），已知編號(hào)為號(hào)學(xué)生在樣本中，則（）A．14 B．34 C．48 D．504．在△中，則的面積為（）A． B． C． D．5．“”是“”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件C．必要而不充分條件D．既不充分也不必要條件6．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．7．已知，，且.若恒成立，則的取值范圍為（）A．B．C．D．8．已知點(diǎn)，分別是雙曲線C：(，)的左?右焦點(diǎn)，M是C右支上的一點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為Q，若，則C的離心率為（）A． B．3 C． D．二、多選題（本大題共4個(gè)小題，毎小題5分，共計(jì)20分，在毎小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少有兩個(gè)是符合題目要求的，全對(duì)給5分，少選給2分，錯(cuò)選得0分，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）9．在下列命題中，正確的命題是（）A．平行于同始終線的兩條直線平行；B．垂直于同始終線的兩條直線平行；C．若直線垂直于平面，則它垂直于平面內(nèi)的全部直線；D．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.10．在下列函數(shù)中，最小正周期為的全部函數(shù)為（）A． B．C． D．11．在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，依次成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中不肯定成立的是（）A．，，依次成等差數(shù)列B．，，依次成等差數(shù)列C．，，依次成等差數(shù)列D．，，依次成等差數(shù)列12．設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A．定義域是B．時(shí)，圖象位于軸下方C．存在單調(diào)遞增區(qū)間D．有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分，請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13．已知向量，若，則____________.14．若是奇函數(shù)，滿意，則______.15．已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率，點(diǎn)是橢圓上位于其次象限內(nèi)的一點(diǎn)，若是腰長為4的等腰三角形，則的面積為_______.16．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有30個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是________．四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（本小題滿分10分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，；（1）求角的大??；（2）設(shè)中點(diǎn)為，且；求的最大值及此時(shí)的面積.18．（本小題滿分12分）已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和，求.19．（本小題滿分12分）如圖，在底面為矩形的四棱錐中，，，且，其中分別是線段的中點(diǎn)．（1）證明：平面；GF（2）證明：；GF（3）求：直線與平面所成角的正弦值.20．（本小題滿分12分）某制造商為運(yùn)動(dòng)會(huì)生產(chǎn)一批直徑為40mm的乒乓球，現(xiàn)隨機(jī)抽樣檢查20只，測(cè)得每只球的直徑（單位：mm40.0240.0039.9840.0039.9940.0039.9840.0139.9839.9940.0039.9939.9540.0140.0239.9840.0039.9940.0039.96（1）完成下面的頻率分布表，并在補(bǔ)全圖中頻率分布直方圖．分組頻數(shù)頻率20.105410100.5040.2010合計(jì)201.0050（2）假定乒乓球的直徑誤差不超過0.02mm為合格品，若這批乒乓球的總數(shù)為10000只，試依據(jù)抽樣檢查結(jié)果估計(jì)這批產(chǎn)品的合格只數(shù)．21．（本小題滿分12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，且.（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)作相互垂直的兩條直線分別交橢圓于另一點(diǎn)A，B，求證：直線AB過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）求證：；（3）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.參考答案1．A【解析】【分析】依據(jù)或，驗(yàn)證交集后求得的值.【詳解】因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，，不符合題意，當(dāng)時(shí)，.故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合的交集概念及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．A【解析】復(fù)數(shù)，它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限故選A3．C【解析】【分析】利用系統(tǒng)抽樣的特征可求出、，進(jìn)而可求解.【詳解】樣本容量為，樣本間隔為，編號(hào)為號(hào)學(xué)生在樣本中，，，.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣，考查了基本學(xué)問的駕馭狀況，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】由三角形面積公式可得：.本題選擇B選項(xiàng).5．A【解析】因?yàn)?，所以，所以“”是“”的充要條件，選A.6．C【解析】【分析】依據(jù)零點(diǎn)存在定理推斷．【詳解】，，，∴零點(diǎn)在區(qū)間上．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查零點(diǎn)存在定理，駕馭零點(diǎn)存在定理是解題基礎(chǔ)．7．C【解析】【分析】由題意，利用基本不等式，可得的最小值為12，得到，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍，得到答案．【詳解】由題意，利用基本不等式，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取等號(hào)，得，解得或，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式求最值，以及不等式的恒成立問題的求解，其中解答中利用基本不等式求得的最小值，合理轉(zhuǎn)化恒成立問題是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實(shí)力，屬于中檔試題．8．C【解析】【分析】由雙曲線的定義、對(duì)稱性和內(nèi)切圓的切線性質(zhì)，結(jié)合離心率公式即可得到所求值．【詳解】設(shè)的內(nèi)切圓在邊上的切點(diǎn)為，在上的切點(diǎn)為，如圖所示：則，，由雙曲線的對(duì)稱性可得，由雙曲線的定義可得，解得，又，即有，離心率．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，考查內(nèi)切圓的切線性質(zhì)，留意運(yùn)用雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．9．ACD【解析】【分析】利用平行公理推斷選項(xiàng)A；垂直于同始終線的兩條直線可能平行，相交或者異面，推斷出選項(xiàng)B；利用線面垂直的性質(zhì)定理推斷選項(xiàng)C；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線必平行推斷選項(xiàng)D．【詳解】對(duì)于A，平行于同始終線的兩條直線平行，正確；對(duì)于B，垂直于同始終線的兩條直線可能平行，相交或者異面，錯(cuò)誤；對(duì)于C，直線垂直于平面，則它垂直于平面內(nèi)的全部直線，正確；對(duì)于D，垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】本題考查空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，考查學(xué)生空間想象實(shí)力，屬于中檔題．10．ABC【解析】【分析】利用周期公式或圖像推斷即可.【詳解】對(duì)于A，，對(duì)于B，的周期是，的圖像是把的圖像的軸下方部分關(guān)于軸對(duì)稱，周期減半，故的周期是，對(duì)于C，，對(duì)于D，，故選：ABC.【點(diǎn)睛】此題考函數(shù)的周期的求法，屬于簡潔題.11．ABD【解析】【分析】首先利用等差數(shù)列的性質(zhì)，建立，進(jìn)一步利用正弦定理和余弦定理的關(guān)系式變換求出結(jié)果.【詳解】解：中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，依次成等差數(shù)列，

則：，

利用，

整理得：，

利用正弦和余弦定理得：，

整理得：，

即：依次成等差數(shù)列.此時(shí)對(duì)等差數(shù)列的每一項(xiàng)取相同的運(yùn)算得到數(shù)列，，或，，或，，，這些數(shù)列一般都不行能是等差數(shù)列，除非，但題目沒有說是等邊三角形，

故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查的學(xué)問要點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦和余弦定理的應(yīng)用及相關(guān)的運(yùn)算問題.12．BCD【解析】【分析】求出函數(shù)定義域推斷A，依據(jù)函數(shù)值的正負(fù)推斷B，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)確定原函數(shù)的增區(qū)間，推斷C，由導(dǎo)函數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性得極值，推斷D．【詳解】由題意，函數(shù)滿意，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，所以A不正確；由，當(dāng)時(shí)，，∴，所以在上的圖象都在軸的下方，所以B正確；∵，所以在定義域上有解，所以函數(shù)存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以C是正確的；由，則，所以，函數(shù)單調(diào)增，則函數(shù)只有一個(gè)根，使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)只有一個(gè)微小值，所以D正確；故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)的定義域，考查用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與極值，駕馭極值的定義，單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．13．8【解析】【分析】由可建立關(guān)系求出，再依據(jù)坐標(biāo)即可求出.【詳解】因?yàn)椋?，解得?4.15．【解析】【分析】由題意可計(jì)算出，，由是腰長為4的等腰三角形，且點(diǎn)在其次象限，可得、的值，過作于點(diǎn)，可得，的值，可得的面積.【詳解】解：由題意知，則，又，∴，由橢圓的定義得，又是腰長為4的等腰三角形，且點(diǎn)在其次象限，∴，，過作于點(diǎn)，則，，∴的面積為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義及簡潔的幾何性質(zhì)、三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力、數(shù)學(xué)計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.16．【解析】【分析】令，由正弦函數(shù)的周期性可得的零點(diǎn)，可得的零點(diǎn)相離間隔依次為和，由零點(diǎn)個(gè)數(shù)是30可得的最小值為，可得到所求范圍．【詳解】令，求得，即有或

，，得

或，，故函數(shù)的零點(diǎn)為或，，可得的零點(diǎn)相離間隔依次為和，∵在上恰有30個(gè)零點(diǎn)，∴的最小值為，∵，∴的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的零點(diǎn)，考查方程思想和運(yùn)算實(shí)力，駕馭正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．17．（1）；（2）的最大值為，此時(shí)的面積.【解析】【分析】（1）由條件利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)?正弦定理?余弦定理可得的值，從而求得的值；（2）設(shè)，則在中，可知，利用正弦定理求得?的值，可得的值，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得的最大值及此時(shí)的面積.【詳解】（1）因?yàn)?，故有，由正弦定理可得，即，由余弦定理可知，因?yàn)?，所?（2）設(shè)，則在中，由可知，由正弦定理及有，所以，所以，從而，由可知，所以當(dāng)，即時(shí)，的最大值為，此時(shí)，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查正弦型函數(shù)的定義域和值域，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平和分析推理實(shí)力.18．（1）∴（2）.【解析】分析：（1）依據(jù)等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列可求得和公差于是可得通項(xiàng)公式．（2）依據(jù)（1）可得，然后依據(jù)錯(cuò)位相減求和．詳解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則．∵，，成等比數(shù)列，∴，即，整理得．由解得，∴．（2）由（1）得，∴，①∴，②①②得．∴．點(diǎn)睛：弄清錯(cuò)位相減法的適用條件及解題格式是關(guān)鍵．在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，肯定要抓住數(shù)列的特征，即數(shù)列的項(xiàng)可以看作是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)公比不為1的等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得，所謂“錯(cuò)位”就是找“同類項(xiàng)”相減．19．(1)見證明；(2)見證明；(3)【解析】【分析】1）在平面內(nèi)找到一條直線與這條直線平行，再利用線面平行的判定定理說明線面平行．2）在平面內(nèi)找到兩條相交直線與這條直線垂直，再利用線面垂直的判定定理說明線面垂直．3）線面所成角的正弦值，幾何法：過線上一點(diǎn)做平面的垂線段，垂線段與這點(diǎn)到線面交點(diǎn)線段的比值即為線面所成角的正弦值．【詳解】（1）證明：分別是線段的中點(diǎn)在中，又四邊形是矩形，直線平面，直線平面，平面（2）證明：（法一）向量法以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．，又因?yàn)?，所以，平面（法二）設(shè)，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，，又因?yàn)橐驗(yàn)樗?，，因?yàn)樗?，因?yàn)?，所以，平面?）取中點(diǎn)，連接，連接因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以在中，又因?yàn)?，所以所以，又因?yàn)?，所以，【點(diǎn)睛】（1）線面的位置關(guān)系須要嫻熟駕馭其判定定理、性質(zhì)定理；（2）線面所成角的正弦值一般有兩種方法：幾何法：過線上一點(diǎn)做平面的垂線段，垂線段與這點(diǎn)到線面交點(diǎn)線段的比值即為線面所成角的正弦值；向量法：求出平面的法向量，法向量與直線的方向向量所成角的余弦值的肯定值即為線面所成角的正弦值．20．（1）見解析（2）9000只【解析】【分析】(1)依據(jù)所給的頻數(shù)和樣本容量，用頻數(shù)除以樣本容量做出每一組數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的頻率,填入表中，畫出對(duì)應(yīng)的頻率分步直方圖和頻率分布折線圖.(2)計(jì)算抽樣產(chǎn)品在的個(gè)數(shù)，計(jì)算合格率，即可求出這批產(chǎn)品的合格只數(shù).【詳解】解：（1）頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率20.10540.2010100.502540.2010合計(jì)201.0050頻率分布直方圖、頻率分布折線圖如圖所示．（2）因?yàn)槌闃拥?0只產(chǎn)品中在范圍內(nèi)的有18只，所以合格率為．所以依據(jù)抽樣檢查結(jié)果，可以估計(jì)這批產(chǎn)品的合格只數(shù)為9000．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是用樣本估計(jì)總體、頻數(shù)(率)分布直方圖、頻率分布折線，是中檔題.21．（1）；（2）證明見解析，.【解析】【分析】（1）由已知得，從而可求出的值，進(jìn)而可得橢圓的方程；（2）當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，由可得，從而可得，由此可得或，進(jìn)而可得直