2023九年級數(shù)學(xué)下冊 第一章 直角三角形的邊角關(guān)系2 30°45°60°角的三角函數(shù)值教案 （新版）北師大版

2023九年級數(shù)學(xué)下冊第一章直角三角形的邊角關(guān)系230°，45°，60°角的三角函數(shù)值教案（新版）北師大版課題：科目：班級：課時：計(jì)劃1課時教師：單位：一、教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來自北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊第一章《直角三角形的邊角關(guān)系》的第三節(jié)《30°，45°，60°角的三角函數(shù)值》。這部分內(nèi)容主要讓學(xué)生掌握特殊角度（30°，45°，60°）的三角函數(shù)值，并能夠運(yùn)用這些值解決實(shí)際問題。

教學(xué)內(nèi)容包括：

1.引導(dǎo)學(xué)生通過特殊三角形的邊長關(guān)系，推導(dǎo)出30°，45°，60°角的正弦、余弦和正切函數(shù)值。

2.讓學(xué)生通過實(shí)踐活動，驗(yàn)證這些特殊角度的三角函數(shù)值。

3.教授如何運(yùn)用這些特殊角度的三角函數(shù)值解決實(shí)際問題，如計(jì)算直角三角形的邊長、角度等。

4.通過例題和練習(xí)，使學(xué)生熟練掌握特殊角度的三角函數(shù)值，并能夠靈活運(yùn)用。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算。

1.數(shù)學(xué)抽象：通過特殊三角形的邊長關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生從具體的情境中抽象出30°，45°，60°角的三角函數(shù)值，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。

2.邏輯推理：引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐活動，驗(yàn)證特殊角度的三角函數(shù)值，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

3.數(shù)學(xué)建模：教授學(xué)生如何運(yùn)用特殊角度的三角函數(shù)值解決實(shí)際問題，如計(jì)算直角三角形的邊長、角度等，培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：通過例題和練習(xí)，使學(xué)生熟練掌握特殊角度的三角函數(shù)值，并能夠靈活運(yùn)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。三、教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

本節(jié)課的核心內(nèi)容是30°，45°，60°角的三角函數(shù)值。具體重點(diǎn)包括：

（1）引導(dǎo)學(xué)生通過特殊三角形的邊長關(guān)系，推導(dǎo)出30°，45°，60°角的正弦、余弦和正切函數(shù)值。

（2）讓學(xué)生通過實(shí)踐活動，驗(yàn)證這些特殊角度的三角函數(shù)值。

（3）教授如何運(yùn)用這些特殊角度的三角函數(shù)值解決實(shí)際問題，如計(jì)算直角三角形的邊長、角度等。

（4）通過例題和練習(xí)，使學(xué)生熟練掌握特殊角度的三角函數(shù)值，并能夠靈活運(yùn)用。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

本節(jié)課的難點(diǎn)主要在于引導(dǎo)學(xué)生從具體的情境中抽象出30°，45°，60°角的三角函數(shù)值，以及如何運(yùn)用這些值解決實(shí)際問題。具體難點(diǎn)包括：

（1）如何引導(dǎo)學(xué)生通過特殊三角形的邊長關(guān)系，推導(dǎo)出30°，45°，60°角的三角函數(shù)值。

（2）如何讓學(xué)生通過實(shí)踐活動，驗(yàn)證這些特殊角度的三角函數(shù)值。

（3）如何教授學(xué)生運(yùn)用這些特殊角度的三角函數(shù)值解決實(shí)際問題。

（4）如何通過例題和練習(xí)，使學(xué)生熟練掌握特殊角度的三角函數(shù)值，并能夠靈活運(yùn)用。

針對以上難點(diǎn)，教師可以采取以下教學(xué)方法：

（1）運(yùn)用多媒體演示特殊三角形的邊長關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生直觀地理解并推導(dǎo)出三角函數(shù)值。

（2）設(shè)計(jì)有趣的實(shí)踐活動，如制作三角形模型，讓學(xué)生親自動手驗(yàn)證特殊角度的三角函數(shù)值。

（3）結(jié)合實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用特殊角度的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算和解決，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

（4）通過舉例子、講解思路、引導(dǎo)學(xué)生思考等方式，使學(xué)生熟練掌握特殊角度的三角函數(shù)值，并能夠靈活運(yùn)用。四、教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊第一章《直角三角形的邊角關(guān)系》的第三節(jié)《30°，45°，60°角的三角函數(shù)值》的教材或?qū)W習(xí)資料，以便學(xué)生能夠跟隨教學(xué)進(jìn)度進(jìn)行學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源。例如，可以準(zhǔn)備一些展示特殊三角形（30°-60°-90°、45°-45°-90°、60°-30°-90°）的圖片和圖表，以及一些展示特殊角度（30°，45°，60°）的三角函數(shù)值的應(yīng)用場景的視頻，以便在教學(xué)過程中為學(xué)生提供直觀的視覺和聽覺輔助，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和理解力。

3.實(shí)驗(yàn)器材：如果涉及實(shí)驗(yàn)，確保實(shí)驗(yàn)器材的完整性和安全性。例如，準(zhǔn)備一些測量工具（如量角器、直尺等），以及一些用于制作和測量三角形的材料（如硬紙板、繩子、夾子等），確保學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過程中能夠安全、準(zhǔn)確地進(jìn)行測量和制作。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，布置教室環(huán)境，如分組討論區(qū)、實(shí)驗(yàn)操作臺等。例如，可以將教室分成幾個小組討論區(qū)，每個區(qū)域配備一些桌椅和白板或黑板，以便學(xué)生進(jìn)行小組討論和展示；同時，設(shè)置一個實(shí)驗(yàn)操作臺，配備一些實(shí)驗(yàn)器材和材料，以便學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作。

5.其他準(zhǔn)備：提前檢查多媒體設(shè)備（如投影儀、音響等）是否正常運(yùn)行，確保教學(xué)過程中能夠順利進(jìn)行多媒體演示和播放。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：引起學(xué)生對30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的興趣，激發(fā)其探索欲望。

過程：

開場提問：“你們知道特殊角度（30°，45°，60°）的三角函數(shù)值是什么嗎？它們在數(shù)學(xué)和生活中有什么應(yīng)用？”

展示一些與特殊角度三角函數(shù)值相關(guān)的圖片或視頻片段，讓學(xué)生初步感受它們在幾何和三角學(xué)中的重要性。

簡短介紹特殊角度三角函數(shù)值的基本概念和重要性，為接下來的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

2.30°，45°，60°角的三角函數(shù)值講解（10分鐘）

目標(biāo)：讓學(xué)生了解30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的基本概念和推導(dǎo)過程。

過程：

講解30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的定義，包括正弦、余弦和正切函數(shù)值。

詳細(xì)介紹如何通過特殊三角形的邊長關(guān)系推導(dǎo)出這些特殊角度的三角函數(shù)值，使用圖表或示意圖幫助學(xué)生理解。

3.特殊角度三角函數(shù)值的應(yīng)用案例分析（20分鐘）

目標(biāo)：通過具體案例，讓學(xué)生深入了解特殊角度三角函數(shù)值的特性和重要性。

過程：

選擇幾個典型的應(yīng)用案例進(jìn)行分析。

詳細(xì)介紹每個案例的背景、特點(diǎn)和意義，讓學(xué)生全面了解特殊角度三角函數(shù)值的多樣性或復(fù)雜性。

引導(dǎo)學(xué)生思考這些案例對實(shí)際生活或?qū)W習(xí)的影響，以及如何應(yīng)用特殊角度三角函數(shù)值解決實(shí)際問題。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的合作能力和解決問題的能力。

過程：

將學(xué)生分成若干小組，每組選擇一個與特殊角度三角函數(shù)值相關(guān)的主題進(jìn)行深入討論。

小組內(nèi)討論該主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)以及可能的解決方案。

每組選出一名代表，準(zhǔn)備向全班展示討論成果。

5.課堂展示與點(diǎn)評（15分鐘）

目標(biāo)：鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力，同時加深全班對特殊角度三角函數(shù)值的認(rèn)識和理解。

過程：

各組代表依次上臺展示討論成果，包括主題的現(xiàn)狀、挑戰(zhàn)及解決方案。

其他學(xué)生和教師對展示內(nèi)容進(jìn)行提問和點(diǎn)評，促進(jìn)互動交流。

教師總結(jié)各組的亮點(diǎn)和不足，并提出進(jìn)一步的建議和改進(jìn)方向。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)特殊角度三角函數(shù)值的重要性和意義。

過程：

簡要回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，包括特殊角度三角函數(shù)值的定義、推導(dǎo)過程、應(yīng)用案例等。

強(qiáng)調(diào)特殊角度三角函數(shù)值在數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的價值和作用，鼓勵學(xué)生進(jìn)一步探索和應(yīng)用特殊角度三角函數(shù)值。

布置課后作業(yè)：讓學(xué)生撰寫一篇關(guān)于特殊角度三角函數(shù)值的應(yīng)用案例的短文或報(bào)告，以鞏固學(xué)習(xí)效果。六、知識點(diǎn)梳理本節(jié)課的主要知識點(diǎn)包括30°，45°，60°角的三角函數(shù)值的定義、推導(dǎo)過程以及應(yīng)用。具體知識點(diǎn)如下：

1.30°角的三角函數(shù)值：

-正弦函數(shù)值：sin30°=1/2

-余弦函數(shù)值：cos30°=√3/2

-正切函數(shù)值：tan30°=1/√3

2.45°角的三角函數(shù)值：

-正弦函數(shù)值：sin45°=cos45°=√2/2

-正切函數(shù)值：tan45°=1

3.60°角的三角函數(shù)值：

-正弦函數(shù)值：sin60°=√3/2

-余弦函數(shù)值：cos60°=1/2

-正切函數(shù)值：tan60°=√3

4.特殊角度三角函數(shù)值的推導(dǎo)過程：

-通過特殊三角形的邊長關(guān)系，利用直角三角形的性質(zhì)，推導(dǎo)出30°，45°，60°角的三角函數(shù)值。

5.特殊角度三角函數(shù)值的記憶方法：

-利用特殊三角形的形狀和角度關(guān)系，記憶特殊角度的三角函數(shù)值。例如，30°角的正弦函數(shù)值是1/2，因?yàn)樘厥馊切蔚膬蓷l直角邊長度比為1:√3，其中一條直角邊長度為1，另一條為√3，所以正弦函數(shù)值為1/2。

6.特殊角度三角函數(shù)值的應(yīng)用：

-解決直角三角形的問題：通過特殊角度的三角函數(shù)值，可以直接計(jì)算直角三角形的邊長、角度等。

-解決實(shí)際問題：特殊角度的三角函數(shù)值在日常生活中的應(yīng)用非常廣泛，例如計(jì)算物體的面積、體積等。

7.特殊角度三角函數(shù)值的擴(kuò)展：

-除了30°，45°，60°角，還可以引導(dǎo)學(xué)生探索其他特殊角度的三角函數(shù)值，如15°，75°等，以及它們的應(yīng)用。七、課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了30°，45°，60°角的三角函數(shù)值。通過講解和案例分析，我們了解了這些特殊角度的三角函數(shù)值的定義和重要性。我們發(fā)現(xiàn)了這些特殊角度的三角函數(shù)值在解決直角三角形問題和實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用。同時，我們也探討了如何推導(dǎo)和記憶這些特殊角度的三角函數(shù)值。希望同學(xué)們能夠深刻理解并掌握這些知識，并在日常生活中善于運(yùn)用。

當(dāng)堂檢測：

下面進(jìn)行當(dāng)堂檢測，以鞏固本節(jié)課所學(xué)的知識。

1.選擇題：

（1）sin30°的值是（）。

A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1

（2）cos45°的值是（）。

A.1/2B.√2/2C.√3/2D.1

（3）tan60°的值是（）。

A.1/2B.√2/2C.√3D.√3/2

2.填空題：

（1）一個直角三角形的兩個銳角分別是30°和60°，那么這個三角形的第三個角是____°。

（2）如果一個直角三角形的兩個直角邊長分別是3和4，那么這個三角形的斜邊長是____。

3.解答題：

（1）計(jì)算一個直角三角形的兩個銳角分別是30°和45°時，第三個角的度數(shù)。

（2）已知直角三角形的兩個銳角分別是45°和60°，求該三角形的斜邊長。

請同學(xué)們認(rèn)真作答，檢測自己對本節(jié)課知識的掌握情況。八、教學(xué)反思與改進(jìn)今天在講解30°，45°，60°角的三角函數(shù)值時，我注意到了一些問題。首先，在講解正弦、余弦和正切函數(shù)值時，我發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生對這些概念的理解并不清晰。他們?nèi)菀谆煜?、余弦和正切的概念，?dǎo)致在計(jì)算和應(yīng)用時出現(xiàn)錯誤。

其次，在推導(dǎo)特殊角度三角函數(shù)值的過程中，我發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生難以跟上我的思路，尤其是在使用特殊三角形的邊長關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)時。這可能是因?yàn)槲以谥v解時過于跳躍，沒有給學(xué)生足夠的時間來消化和理解每個步驟。

為了改進(jìn)這些問題，我計(jì)劃在未來的教學(xué)中采取以下措施：

1.在講解正弦、余弦和正切函數(shù)值時，我會更加注重概念的解釋和比較，通過具體的例子和圖片來幫助學(xué)生理解這些概念之間的區(qū)別和聯(lián)系。

2.在推導(dǎo)特殊角度三角函數(shù)值時，我會更加注重步驟的清晰和連貫，給學(xué)生足夠的時間來跟隨我的思路，并鼓勵他們提出問題和參與討論。

3.我會設(shè)計(jì)更多的互動環(huán)節(jié)，如小組討論和練習(xí)題，以促進(jìn)學(xué)生的積極參與和思考。板書設(shè)計(jì)1.30°，45°，60°角的三角函數(shù)值：

-正弦函數(shù)值：sin30°=1/2，sin45°=√2/2，sin60°=√3/2

-余弦函數(shù)值：cos30°=√3/2，cos45°=1/2，cos60°=1/2

-正切函數(shù)值：tan30°=1/√3，tan45°=1，tan60°=√3

2.特殊角度三角函數(shù)值的推導(dǎo)過程：

-通過特殊三角形的邊長關(guān)系，利用直角三角形的性質(zhì)，推導(dǎo)出30°，45°，60°角的三角函數(shù)值。

3.特殊角度三角函數(shù)值的記憶方法：

-利用特殊三角形的形狀和角度關(guān)系，記憶特殊角度的三角函數(shù)值。

4.特殊角度三角函數(shù)值的應(yīng)用：

-解決直角三角形的問題：通過特殊角度的三角函數(shù)值，可以直接計(jì)算直角三角形的邊長、角度等。

-解決實(shí)際問題：特殊角度的三角函數(shù)值在日常生活中的應(yīng)用非常廣泛，例如計(jì)算物體的面積、體積等。

5.特殊角度三角函數(shù)值的擴(kuò)展：

-除了30°，45°，60°角，還可以引導(dǎo)學(xué)生探索其他特殊角度的三角函數(shù)值，如15°，75°等，以及它們的應(yīng)用。重點(diǎn)題型整理1.求解直角三角形的邊長問題：

-例題：已知直角三角形的兩個銳角分別是30°和45°，求斜邊長。

-解答：斜邊長=√(30°角的正弦值*45°角的余弦值)=√(1/2*√2/2)=√(1/2*√2/2)=√(1/2*1/2)=√(1/4)=1/2。

2.求解直角三角形的角度問題：

-例題：已知直角三角形的兩條直角邊長分別是3和4，求其中一個銳角的度數(shù)。

-解答：設(shè)銳角為θ，根據(jù)勾股定理，斜邊長=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。根據(jù)正弦函數(shù)的定義，sinθ=直角邊/斜邊，所以sinθ=3/5。由于θ為銳角，所以θ=arcsin(3/5)=36°。

3.利用特殊角度三角函數(shù)值解決實(shí)際問題：

-例題：一個梯形的上底長為5cm，下底長為10cm，高為8cm，求梯形的面積。

-解答：梯形的面積=(上底+下底)*高/2。將上底和下底的長度代入公式，得到梯形的面積=(5+10)*8/2=15*8/2=120/2=60cm^2。

4.利用特殊角度三角函數(shù)值進(jìn)行比例計(jì)算：

-例題：在直角三角形中，已知一個銳角為30°，且這個銳角的正弦值為1/2，求這個銳角的余弦值。

-解答：根據(jù)正弦和余弦的定義，sinθ=對邊/斜邊，cosθ=鄰邊/斜邊。設(shè)斜邊為c，對邊為a，鄰邊為b，則有sinθ=a/c=1/2，cosθ=b/c。因?yàn)棣葹殇J角，所以co