橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（10大題型）完整版講（原卷版）

橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)重點(diǎn)：1、根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確畫出它們的圖形；2、掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；難點(diǎn)：1、橢圓離心率對(duì)橢圓形狀的影響；2、利用幾何性質(zhì)解決有關(guān)問題。一、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程范圍，，對(duì)稱性關(guān)于軸、原點(diǎn)對(duì)稱軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)：；短軸長(zhǎng)：長(zhǎng)軸長(zhǎng)：；短軸長(zhǎng)：頂點(diǎn)離心率離心率越接近1，則橢圓越圓；離心率越接近0，則橢圓越扁通徑通徑的定義：過焦點(diǎn)且垂直于焦點(diǎn)軸的橢圓的弦長(zhǎng)通徑的大?。憾?、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上點(diǎn)在橢圓內(nèi)點(diǎn)在橢圓上點(diǎn)在橢圓外三、直線與橢圓的位置關(guān)系1、直線與橢圓的位置關(guān)系：聯(lián)立消去y得一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程．①直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)(或兩個(gè)公共點(diǎn)）；②直線和橢圓相切直線和橢圓有一個(gè)切點(diǎn)(或一個(gè)公共點(diǎn))；③直線和橢圓相離直線和橢圓無(wú)公共點(diǎn)．2、解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于x（或y）的一元二次方程；（3）寫出根與系數(shù)的關(guān)系；（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的形式；（5）代入求解．四、直線與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式1、定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線段稱為橢圓的弦．2、求弦長(zhǎng)的方法（1）交點(diǎn)法：將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求．（2）根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被橢圓截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長(zhǎng)公式為：五、解決橢圓中點(diǎn)弦問題的兩種方法：1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；2、點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線(不平行于軸)過橢圓()上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有。證明：設(shè)、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴。特殊的：直線(存在斜率)過橢圓()上兩點(diǎn)、，線段中點(diǎn)為，則有。題型一由橢圓方程研究其幾何性質(zhì)【例1】（2023秋·四川資陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【變式11】（2023秋·江蘇鹽城·高二?？计谀┮阎獧E圓，分別為它的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最大值為B．焦距為C．點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為D．橢圓的離心率為【變式12】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）（多選）關(guān)于橢圓有以下結(jié)論，其中正確的有（）A．離心率為B．長(zhǎng)軸長(zhǎng)是C．焦距2D．焦點(diǎn)坐標(biāo)為【變式13】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）曲線與曲線的（）.A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B．焦距相等C．離心率相等D．短軸長(zhǎng)相等題型二由橢圓幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程【例2】（2022秋·北京昌平·高二?？计谥校┮阎獧E圓：的離心率，短軸的右端點(diǎn)為，為線段的中點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．B．C．D．【變式21】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且短半軸長(zhǎng)為的橢圓方程是（）A．B．C．D．【變式22】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，橢圓過點(diǎn)且與橢圓有公共的焦點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【變式23】（2023秋·重慶·高二?？茧A段練習(xí)）焦點(diǎn)在軸上且中心為原點(diǎn)的橢圓與橢圓：離心率相同，且，在第一象限內(nèi)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，則的方程題型三求橢圓離心率的值【例3】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【變式31】（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若（為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【變式32】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)），是橢圓E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓E上一點(diǎn)，點(diǎn)N在x軸上，滿足，，則橢圓E的離心率為.【變式33】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為.題型四求橢圓離心率的取值范圍【例4】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，以為直徑的圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，則橢圓離心率的范圍為（）．A．B．C．D．【變式41】（2023秋·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)P是橢圓C：上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A是橢圓C的上頂點(diǎn)．當(dāng)P為下頂點(diǎn)時(shí)，取到最大值，則橢圓C的離心率的取值范圍為．【變式42】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為為橢圓上的任意一點(diǎn)，的最小值取值范圍為，其中，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．【變式43】（2023秋·重慶·高二?？茧A段練習(xí)）設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，橢圓C上的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．題型五點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系【例5】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)在橢圓上，則下列說法正確的是（）A．點(diǎn)不在橢圓上B．點(diǎn)不在橢圓上C．點(diǎn)在橢圓上D．無(wú)法判斷上述點(diǎn)與橢圓的關(guān)系【變式51】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）點(diǎn)P(4cosα，2sinα)(α∈R)與橢圓C：＋＝1的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)P在橢圓C上B．點(diǎn)P與橢圓C的位置關(guān)系不能確定，與α的取值有關(guān)C．點(diǎn)P在橢圓C內(nèi)D．點(diǎn)P在橢圓C外【變式52】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）點(diǎn)在橢圓的外部，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式53】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）（多選）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l1與過F2的直線l2交于點(diǎn)M，設(shè)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，若l1⊥l2，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．C．D．題型六直線與橢圓的位置關(guān)系【例6】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）直線與橢圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．2D．無(wú)數(shù)個(gè)【變式61】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓，直線，則直線l與橢圓C的位置關(guān)系為（）A．相交B．相切C．相離D．不確定【變式62】（2023秋·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線：與橢圓：有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式63】（2023秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)和（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求直線和橢圓C的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．題型七直線與橢圓相切應(yīng)用【例7】（2022秋·新疆烏魯木齊·高二校考期末）設(shè)橢圓，點(diǎn)在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程.【變式71】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）若方程有解，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式72】（2023·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）求橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離，并求出此時(shí)橢圓上的點(diǎn)的坐標(biāo).【變式73】（2021秋·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程，則的最大值是（）A．B．C．D．題型八直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問題【例8】（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）過橢圓的右焦點(diǎn)且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則等于（）A．4B．2C．1D．4【變式81】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）過橢圓的左焦點(diǎn)作直線和橢圓交于A、B兩點(diǎn)，且，則這樣直線的條數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【變式82】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）過橢圓的左焦點(diǎn)引直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且，則直線方程為．【變式83】（2023秋·重慶·高二校考階段練習(xí)）已知圓：和圓：，以動(dòng)點(diǎn)為圓心的圓與其中一個(gè)圓外切，與另一個(gè)圓內(nèi)切.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（1）求軌跡的方程；（2）過的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上.若為以為斜邊的等腰直角三角形，求的長(zhǎng)度.題型九橢圓的中點(diǎn)弦與點(diǎn)差法【例9】（2023秋·江西九江·高二?？茧A段練習(xí)）若橢圓的弦被點(diǎn)平分，則所在直線的方程為（）A．B．C．D．【變式91】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知橢圓四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則橢圓C的方程是（）A．B．C．D．【變式92】（2023春·四川成都·高二?？茧A段練習(xí)）橢圓與直線相交于A，B兩點(diǎn)，過的中點(diǎn)M與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率為2，則（）A．B．C．D．2【變式93】（2023秋·重慶九龍坡·高二校考期末）已知橢圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則橢圓的離心率是（）A．B．C．D．題型十橢圓的綜合問題【例10】（2023春·河南周口·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓過原點(diǎn)的弦相互垂直，求四邊形面積的最大值．【變式101】（2023秋·江西上饒·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓方程為，過點(diǎn)，的直線傾斜角為，原點(diǎn)到該直線的距離為．（1）求橢圓的方程；（2）對(duì)于，是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線分別交橢圓于點(diǎn)P，Q，且，若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式102】（2023秋·江西宜春·高二校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)圓與圓內(nèi)切，且與圓：外切，記動(dòng)圓的圓心的