2023-2024學年四川省眉山市高一（下）期末數(shù)學試卷 （含解析）

2023-2024學年四川省眉山市高一（下）期末數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知復數(shù)z＝2﹣i，則2z﹣＝（）A．2﹣3i B．2﹣i C．6﹣i D．6﹣3i2．某中學高一年級有400人，高二年級有320人，高三年級有280人，若用隨機數(shù)法在該中學抽取容量為200的樣本，則高一年級李明同學被抽到的可能性為（）A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.23．已知向量，，若，則x＝（）A．2 B． C．3 D．4．已知sin（+α）＝，那么cos（π+α）＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．5．采購經理指數(shù)（PMI），是國際上通用的監(jiān)測宏觀經濟走勢的先行性指數(shù)之一，具有較強的預測、預警作用．綜合PMI產出指數(shù)是PMI指標體系中反映當期全行業(yè)（制造業(yè)和非制造業(yè)）產出變化情況的綜合指數(shù)，指數(shù)高于50%時，反映企業(yè)生產經營活動較上月擴張；低于50%，則反映企業(yè)生產經營活動較上月收縮．2023年我國綜合PMI產出指數(shù)折線圖如圖所示：根據(jù)該折線圖判斷，下列結論正確的是（）A．2023年各月綜合PMI產出指數(shù)的中位數(shù)高于53% B．2023年各月，我國企業(yè)生產經營活動景氣水平持續(xù)擴張 C．2023年第3月至12月，我國企業(yè)生產經營活動景氣水平持續(xù)收縮 D．2023年上半年各月綜合PMI產出指數(shù)的方差小于下半年各月綜合PMI產出指數(shù)的方差6．已知圓錐的側面積為8πm2，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為（）A． B． C． D．7．已知，則sin2α＝（）A． B． C． D．8．柏拉圖多面體是指每個面都是全等正多邊形的正多面體，具有嚴格對稱，結構等價的特點．六氟化硫具有良好的絕緣性和廣泛的應用性．將六氟化硫分子中的氟原子按圖1所示方式連接可得正八面體（圖2）．若正八面體外接球的體積為，則此正八面體的表面積為（）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E是BC的中點，F(xiàn)是DC上的一點，且DF＝2FC，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．（多選）10．下列命題正確的是（）A．若直線l與平面α平行，則平面α內有無數(shù)條直線與直線l平行 B．若直線l與平面α相交，則平面α內沒有直線與直線l平行 C．已知兩條相交直線m，n，若m∥平面α，則n∥平面α D．已知直線m，n，平面α，β，若m?α，n?β，α∥β，則m∥n（多選）11．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上單調，且f（）＜0，則（）A．函數(shù)f（）的圖象關于原點對稱 B．f（x）的圖象向左平移個單位長度后可能得到g（x）＝sin（ωx+）的圖象 C．ω的值不可能是整數(shù) D．f（x）在（0，π）上僅有兩個零點三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知復數(shù)，則＝．13．海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為海里處；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30°，距離為海里處；貨輪由A處向正北航行到D處時看燈塔B在東偏南30°，則燈塔C與D處之間的距離為海里．14．已知三棱錐O﹣ABC中，A，B，C三點在以O為球心的球面上，若AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，且三棱錐O﹣ABC的體積為，則球O的表面積為．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．已知向量．（1）若，求；（2）若，求與的夾角．16．某中學為調研學生在餐廳用餐的滿意度，在本校學生中隨機抽取了100人，對餐廳進行評分，滿分為100分整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)以20為組距分為4組，依次為：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，得到頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）．（1）估計該校餐廳得分的80%分位數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；（2）估計該校餐廳得分的平均數(shù)和方差s2．17．已知函數(shù)f（x）＝2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期為π．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個零點，求b的最小值．18．（17分）在我國古代數(shù)學名著《九章算術》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”．已知三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC．（1）從三棱錐P﹣ABC中選擇合適的兩條棱填空．若⊥，則該三棱錐為“鱉臑”；（2）已知三棱錐P﹣ABC是一個“鱉臑”，且AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，①若△PAC上有一點D，如圖1所示，試在平面PAC內作出一條過點D的直線l，使得l與BD垂直，說明作法，并給予證明；②若點D在線段PC上，點E在線段PB上，如圖2所示，且PB⊥平面EDA，證明∠EAB是平面EAD與平面BAC的二面角的平面角．19．（17分）為響應國家“鄉(xiāng)村振興”號召，農民王大伯擬將自家一塊直角三角形地按如圖規(guī)劃成3個功能區(qū)：△BNC區(qū)域為荔枝林和放養(yǎng)走地雞，△CMA區(qū)域規(guī)劃為“民宿”供游客住宿及餐飲，△MNC區(qū)域規(guī)劃為小型魚塘養(yǎng)魚供休閑垂釣．為安全起見，在魚塘△MNC周圍筑起護欄．已知AC＝40m，BC＝40m，AC⊥BC，∠MCN＝30°（1）若AM＝20m時，求護欄的長度（△MNC的周長）；（2）若魚塘△MNC的面積是“民宿”△CMA的面積的倍，求∠ACM；（3）當∠ACM為何值時，魚塘△MNC的面積最小，最小面積是多少？

參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知復數(shù)z＝2﹣i，則2z﹣＝（）A．2﹣3i B．2﹣i C．6﹣i D．6﹣3i【分析】將z＝2﹣i代入化簡計算即可．解：因為z＝2﹣i，所以．故選：A．2．某中學高一年級有400人，高二年級有320人，高三年級有280人，若用隨機數(shù)法在該中學抽取容量為200的樣本，則高一年級李明同學被抽到的可能性為（）A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2【分析】先根據(jù)題意結合分層抽樣的定義求出高一年級抽取的人數(shù)，再利用古典概型的概率公式可求得結果．解：由題意得高一年級應抽取人，所以高一年級李明同學被抽到的可能性為．故選：D．3．已知向量，，若，則x＝（）A．2 B． C．3 D．【分析】根據(jù)已知條件，結合向量共線的性質，即可求解．解：向量，，，則1?（1﹣x）＝2x，解得x＝．故選：B．4．已知sin（+α）＝，那么cos（π+α）＝（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】由已知利用誘導公式可得cosα＝，然后求出cos（π+α）的值．解：∵sin（+α）＝cosα＝，∴cos（π+α）＝﹣cosα＝﹣．故選：B．5．采購經理指數(shù)（PMI），是國際上通用的監(jiān)測宏觀經濟走勢的先行性指數(shù)之一，具有較強的預測、預警作用．綜合PMI產出指數(shù)是PMI指標體系中反映當期全行業(yè)（制造業(yè)和非制造業(yè)）產出變化情況的綜合指數(shù)，指數(shù)高于50%時，反映企業(yè)生產經營活動較上月擴張；低于50%，則反映企業(yè)生產經營活動較上月收縮．2023年我國綜合PMI產出指數(shù)折線圖如圖所示：根據(jù)該折線圖判斷，下列結論正確的是（）A．2023年各月綜合PMI產出指數(shù)的中位數(shù)高于53% B．2023年各月，我國企業(yè)生產經營活動景氣水平持續(xù)擴張 C．2023年第3月至12月，我國企業(yè)生產經營活動景氣水平持續(xù)收縮 D．2023年上半年各月綜合PMI產出指數(shù)的方差小于下半年各月綜合PMI產出指數(shù)的方差【分析】根據(jù)中位數(shù)的定義判斷A；利用擴張和收縮情況判斷BC；根據(jù)數(shù)據(jù)波動情況判斷D．解：根據(jù)折線圖得：各月PM的中位數(shù)小于53%，故A錯誤；2023年各月，2023年我國綜合PMI產出指數(shù)均大于50%，表明我國企業(yè)生產經宮活動持續(xù)擴張，故B正確，C錯誤；2023年上半年各月pMI比下半年各月PMI的波動大，則方差也大，故D錯誤．故選：B．6．已知圓錐的側面積為8πm2，且它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為（）A． B． C． D．【分析】利用圓錐側面積公式和側面展開圖是一個半圓可求出母線長和底面圓的半徑，繼而求出圓錐的高，再由圓錐體積公式求解即可．解：設圓錐的母線長為l，底面圓的半徑為r，圓錐的高為h，則S側＝πrl＝8π，又圓錐的側面展開圖是一個半圓，則，∴l(xiāng)2＝16，l＝4，∴4πr＝8π，r＝2，∴，∴．故選：B．7．已知，則sin2α＝（）A． B． C． D．【分析】由倍角公式及兩角差的正弦把已知等式變形，可得sin，兩邊平方后即可求得sin2α的值．解：∵，∴＝，整理得：sin，兩邊平方得：，即sin2α＝．故選：D．8．柏拉圖多面體是指每個面都是全等正多邊形的正多面體，具有嚴格對稱，結構等價的特點．六氟化硫具有良好的絕緣性和廣泛的應用性．將六氟化硫分子中的氟原子按圖1所示方式連接可得正八面體（圖2）．若正八面體外接球的體積為，則此正八面體的表面積為（）A． B． C． D．【分析】由已知找出正八面體外接球的球心，由體積求出外接球的半徑，進一步得到側面的邊長，則答案可求．解：如圖正八面體，連接AC和BD交于點O，∵EA＝EC，ED＝EB，∴EO⊥AC，EO⊥BD，又AC和BD為平面ABCD內相交直線，∴EO⊥平面ABCD，則O為正八面體的外接球的球心，設正八面體的外接球的半徑為R，則，得R＝1．∴OA＝OE＝OB＝1，可得正八面體的每一個側面都是邊長為的正三角形，則此正八面體的表面積為8×××＝．故選：D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分。（多選）9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E是BC的中點，F(xiàn)是DC上的一點，且DF＝2FC，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用向量加法法則運算判斷AB，先用加法法則求得，再利用數(shù)量積的定義及運算律求解判斷CD．解：由題意，，故A正確，B錯誤；因為，所以＝，故C錯誤，D正確．故選：AD．（多選）10．下列命題正確的是（）A．若直線l與平面α平行，則平面α內有無數(shù)條直線與直線l平行 B．若直線l與平面α相交，則平面α內沒有直線與直線l平行 C．已知兩條相交直線m，n，若m∥平面α，則n∥平面α D．已知直線m，n，平面α，β，若m?α，n?β，α∥β，則m∥n【分析】對于A，由線面平行的性質得平面α內有無數(shù)條直線與直線l平行；對于B，由線面相交的定義得平面α內沒有直線與直線l平行；對于C，n與平面α的位置關系不確定；對于D，m與n平行或異面．解：對于A，若直線l與平面α平行，則由線面平行的性質得平面α內有無數(shù)條直線與直線l平行，故A正確；對于B，若直線l與平面α相交，則由線面相交的定義得平面α內沒有直線與直線l平行，故B正確；對于C，兩條相交直線m，n，若m∥平面α，則n與平面α的位置關系不確定，故C錯誤；對于D，直線m，n，平面α，β，若m?α，n?β，α∥β，則m與n平行或異面，故D錯誤．故選：AB．（多選）11．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在（，）上單調，且f（）＜0，則（）A．函數(shù)f（）的圖象關于原點對稱 B．f（x）的圖象向左平移個單位長度后可能得到g（x）＝sin（ωx+）的圖象 C．ω的值不可能是整數(shù) D．f（x）在（0，π）上僅有兩個零點【分析】根據(jù)f（x）的表達式化簡f（）＝sin，從而判斷選項A；由函數(shù)f（x）在（，）上單調知≥﹣，根據(jù)條件得到＜ω≤，從而判斷選項C；由圖象變換知f（x+）＝g（x）＝sin（ωx+），化簡可得ω＝2+24k（k∈Z），從而判斷選項B；由x∈（0，π），知ωx+＞，而＜ωπ+＜π＜3π，從而判斷選項D．解：∵f（x）＝sin（ωx+），∴f（）＝sin（ω?+）＝sin，故函數(shù)f（）為奇函數(shù)，故函數(shù)f（）的圖象關于原點對稱，故選項A正確；∵函數(shù)f（x）在（，）上單調，∴≥﹣，即T≥，即≥，故0＜ω≤3，∵f（）＝sin（?ω+）＜0，又∵＜?ω+≤，故π＜?ω+≤，故＜ω≤3，∵函數(shù)f（x）在（，）上單調，∴y＝sint在（?ω+，?ω+）上單調，故?ω+≤，故＜ω≤，則ω的值不可能是整數(shù)，故選項C正確；將f（x）的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)f（x+）＝sin（ωx+ω+）的圖象，若f（x+）＝g（x）＝sin（ωx+），則ω+＝+2kπ，故ω＝2+24k（k∈Z），又∵＜ω≤，∴不存在ω，使f（x）的圖象向左平移個單位長度后得到g（x）＝sin（ωx+）的圖象，故選項B錯誤；∵x∈（0，π），∴ωx+＞，＜ωπ+＜π＜3π，故?x1、x2∈（0，π），使ωx1+＝π，ωx2+＝2π，故f（x）在（0，π）上僅有兩個零點，故選項D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知復數(shù)，則＝．【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)z，可得共軛復數(shù)，從而求得其模長．解：由，則，則，所以．故答案為：．13．海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為海里處；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30°，距離為海里處；貨輪由A處向正北航行到D處時看燈塔B在東偏南30°，則燈塔C與D處之間的距離為海里．【分析】先在△ABD中利用正弦定理求出AD，再在△ACD中利用余弦定理求出CD．解：在△ABD中，，則∠ABD＝45°，由正弦定理得，，得，得AD＝6，在△ACD中，AD＝6，，則由余弦定理得，所以．故答案為：．14．已知三棱錐O﹣ABC中，A，B，C三點在以O為球心的球面上，若AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，且三棱錐O﹣ABC的體積為，則球O的表面積為52π．【分析】先求出△ABC的外接圓的半徑r，再計算出棱錐的高|OO1|，利用勾股定理求出球的半徑，從而求出表面積．解：如圖所示設△ABC的外接圓的圓心為O1，半徑為r，在△ABC中，由余弦定理可得：|AC|＝＝2，∵2r＝＝＝4，解得：r＝2．又由題知S△ABC＝×2×2×sin120°＝，又三棱錐O﹣ABC的體積為＝S△ABC?|OO1|，所以棱錐O﹣ABC的高|OO1|＝3，∴球O的半徑R＝＝，∴球O的表面積為4πR2＝52π．故答案為：52π．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．已知向量．（1）若，求；（2）若，求與的夾角．【分析】（1）利用向量減法的坐標運算及共線向量的坐標表示求出x，再求出向量的模．（2）利用向量加法的坐標運算及向量垂直的坐標表示求出x，再求出向量夾角．解：（1）向量，則，由，得2（3﹣x）＝3，解得，即，所以．（2）向量，則，由，得2×3+3（3+x）＝0，解得x＝﹣5，則，，而，因此，而，所以與的夾角．16．某中學為調研學生在餐廳用餐的滿意度，在本校學生中隨機抽取了100人，對餐廳進行評分，滿分為100分整理評分數(shù)據(jù)，將分數(shù)以20為組距分為4組，依次為：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，得到頻率分布直方圖如圖所示（同一組中的數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表）．（1）估計該校餐廳得分的80%分位數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)；（2）估計該校餐廳得分的平均數(shù)和方差s2．【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)的定義計算即可；（2）根據(jù)平均數(shù)和方差的定義計算即可．解：（1）由題意可得20×（0.005+0.010+a+0.015）＝1，解得a＝0.020．該校餐廳得分在8（0分）以下的頻率為0.1+0.2+0.4＝0.7，該校餐廳得分在[80，100]的頻率為0.3，因此，該校餐廳得分的80%分位數(shù)在[80，100]內，由，可以估計該校餐廳得分的80%分位數(shù)為．眾數(shù)為最高矩形對應區(qū)間的中點值，即為70．又因為0.005×20+0.010×20+0.02×x＝0.5，所以x＝10，所以餐廳得分的中位數(shù)為60+10＝70．（2）餐廳得分的平均數(shù)為（分）；估計該校餐廳得分的方差為s2＝（30﹣68）2×0.1+（50﹣68）2×0.2+（70﹣68）2×0.4+（90﹣68）2×0.3＝356．17．已知函數(shù)f（x）＝2sinωxcosωx+2sin2ωx﹣（ω＞0）的最小正周期為π．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象．若y＝g（x）在[0，b]（b＞0）上至少含有10個零點，求b的最小值．【分析】（I）根據(jù)二倍角的三角函數(shù)公式與輔助角公式化簡得，利用周期公式算出ω＝1，得函數(shù)解析式為．再由正弦函數(shù)單調區(qū)間的公式，解關于x的不等式即可得到函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；（II）根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式，得出函數(shù)g（x）的解析式為g（x）＝2sin2x+1．由此解g（x）＝0得sin2x＝﹣，利用正弦函數(shù)的圖象解出或，可見g（x）在每個周期上恰有兩個零點，若g（x）在[0，b]上至少含有10個零點，則b大于或等于g（x）在原點右側的第10個零點，由此即可算出b的最小值．解：（Ⅰ）由題意，可得f（x）＝＝．∵函數(shù)的最小正周期為π，∴＝π，解之得ω＝1．由此可得函數(shù)的解析式為．令，解之得∴函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間是．（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，可得函數(shù)y＝f（x+）+1的圖象，∵∴g（x）＝+1＝2sin2x+1，可得y＝g（x）的解析式為g（x）＝2sin2x+1．令g（x）＝0，得sin2x＝﹣，可得2x＝或2x＝解之得或．∴函數(shù)g（x）在每個周期上恰有兩個零點，若y＝g（x）在[0，b]上至少含有10個零點，則b不小于第10個零點的橫坐標即可，即b的最小值為．18．（17分）在我國古代數(shù)學名著《九章算術》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”．已知三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC．（1）從三棱錐P﹣ABC中選擇合適的兩條棱填空．若AB⊥BC，則該三棱錐為“鱉臑”；（2）已知三棱錐P﹣ABC是一個“鱉臑”，且AC＝1，AB＝2，∠BAC＝60°，①若△PAC上有一點D，如圖1所示，試在平面PAC內作出一條過點D的直線l，使得l與BD垂直，說明作法，并給予證明；②若點D在線段PC上，點E在線段PB上，如圖2所示，且PB⊥平面EDA，證明∠EAB是平面EAD與平面BAC的二面角的平面角．【分析】（1）由“鱉臑”的定義求解即可；（2）①連接CD，在△PAC內，過點D作l⊥CD，即可得l為所求直線，利用線面垂直的判定定理和性質證明l⊥平面BCD，即可證明l⊥BD；②延長ED，BC，交于點F，連接AF，利用線面垂直的判定定理證明AF⊥平面PAB，由二面角的平面角的定義即可證明．解：（1）因為PA⊥平面ABC，AB，AC，BC?平面ABC，則PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，故△PAC與△PAB是兩個直角三角形，當AB⊥BC時，則△BAC為直角三角形，因為PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，則BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以BC⊥PB，則△BPC為直角三角形，故該三棱錐為“鱉臑”；（2）①連接CD，在△PAC內，過點D作l⊥CD，即可得l為所求直線，證明如下：在△ABC中，由余弦定理可得，由勾股定理逆定理可知，BC⊥AC，又因為PA⊥底面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又l?平面PAC，則l⊥BC，又l⊥CD，CD∩BC＝C，CD，BC?平面BCD，所以l⊥平面BCD，又BD?平面BCD所以l⊥BD；②延長ED，BC，交于點F，連接AF，因為點F∈平面ADE，點F∈平面ABC，所以平面ADE∩平面ABC＝AF，因為PA⊥底面ABC，且AF?平面ABC所以PA⊥AF，因為PB⊥平面EDA，AF?平面EDA，所以PB⊥AF，又因為P