2022-2023學(xué)年廣東省深圳市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2022-2023學(xué)年廣東省深圳市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz＝1+i（i是虛數(shù)單位），則|z|＝（）A．12 B．2 C．22 3．（5分）已知tanα＝2，則cos2α＝（）A．45 B．35 C．-44．（5分）某戶居民今年上半年每月的用水量（單位：t）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.07.7小明在錄入數(shù)據(jù)時(shí)，不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)9.6錄成96，則這組數(shù)據(jù)中沒有發(fā)生變化的量是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．極差 D．標(biāo)準(zhǔn)差5．（5分）已知m，n是空間兩條不重合的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A．m∥α，m?β，α∩β＝n，則m∥n B．m∥n，m∥α，n?α，則n∥α C．α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n6．（5分）在梯形ABCD中，若AB→=2DC→，且AC→A．32 B．2 C．527．（5分）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足m+n＝2，則下列不等式恒成立的為（）A．lnm+lnn≥0 B．m2+n2≤2 C．1m+1n8．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，則不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集為（）A．（0，2） B．(0，1C．（0，3） D．(0，二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知函數(shù)f(x)=cos(2x+πA．f（x）的最小正周期為π B．f（x）的圖象關(guān)于(-π12C．f（x）的圖象關(guān)于x=5π12D．f（x）在(0，π（多選）10．（5分）將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次，記事件A＝“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B＝“兩次點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”，事件C＝“兩次點(diǎn)數(shù)之和為5”，則（）A．事件A∪B是必然事件 B．事件A與事件B是互斥事件 C．事件B包含事件C D．事件A與事件C是相互獨(dú)立事件（多選）11．（5分）用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，則（）A．f(1B．f（x）為奇函數(shù) C．?x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2） D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和為3（多選）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．AB1⊥A1M B．三棱錐C1﹣AMB1的體積不變 C．|A1M|+|C1M|的最小值為3+5D．當(dāng)M是BC的中點(diǎn)時(shí)，過A1，M，C1三點(diǎn)的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面積為26三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）lg2+lg5+π0＝．14．（5分）母線長為3的圓錐，其側(cè)面展開圖是圓心角為2π3的扇形，則該圓錐的體積為15．（5分）高中數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃測量某大廈的高度，選取與底部B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)基測點(diǎn)C與D．現(xiàn)測得∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，CD＝100米，在點(diǎn)C測得大廈頂A的仰角∠ACB＝60°，則該大廈高度AB＝米（精確到1米）．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，316．（5分）四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AB＝2，CD=22，EF＝1，點(diǎn)P滿足PA→?PB→四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+θ），其中θ∈(0，π2)（1）求θ；（2）若x∈[0，π4]，求f18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b＝2c﹣2acosB．（1）求A；（2）若a=33，c＝2b，求△ABC的面積S19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在[1，8]上的最大值為3．（1）求a的值；（2）當(dāng)x∈[1，8]時(shí)，2﹣f（x）﹣f（x）+t?0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．20．（12分）某工廠引進(jìn)了一條生產(chǎn)線，為了解產(chǎn)品的質(zhì)量情況，現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測量其技術(shù)參數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）由頻率分布直方圖，估計(jì)樣本技術(shù)參數(shù)的平均數(shù)和75%分位數(shù)（精確到0.1）；（2）現(xiàn)從技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間[40，50），[50，60），[60，70）的三組中，采用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品，再從這6件產(chǎn)品中任選3件產(chǎn)品，記事件A＝“這3件產(chǎn)品中技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間[40，50）內(nèi)的產(chǎn)品至多1件”，事件B＝“這3件產(chǎn)品中技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間[50，60）內(nèi)的產(chǎn)品至少1件”，求事件A∩B的概率．21．（12分）如圖，三棱錐P﹣ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在圓O上，AB為圓O的直徑，且AB＝6，PA=PC=22，BC=25，平面PAC⊥平面PCB，點(diǎn)E是（1）證明：平面PAC⊥平面ABC；（2）點(diǎn)F是圓O上的一點(diǎn)，且點(diǎn)F與點(diǎn)C位于直徑AB的兩側(cè)．當(dāng)EF∥平面PAC時(shí)，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．22．（12分）已知函數(shù)f(x)=|14x2-x|，g（x）＝kx，f（x（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，設(shè)函數(shù)φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1?x?6），用M，m分別表示φ（x）的最大值與最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范圍．

2022-2023學(xué)年廣東省深圳市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，則A∩B＝{1，2}，故選：D．2．（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足iz＝1+i（i是虛數(shù)單位），則|z|＝（）A．12 B．2 C．22 【解答】解：∵iz＝1+i，∴z=1+ii=∴|z|=1+(-1故選：D．3．（5分）已知tanα＝2，則cos2α＝（）A．45 B．35 C．-4【解答】解：因tanα＝2，則cos2α=cos故選：D．4．（5分）某戶居民今年上半年每月的用水量（單位：t）如下：月份1月2月3月4月5月6月用水量9.09.614.95.94.07.7小明在錄入數(shù)據(jù)時(shí)，不小心把一個(gè)數(shù)據(jù)9.6錄成96，則這組數(shù)據(jù)中沒有發(fā)生變化的量是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．極差 D．標(biāo)準(zhǔn)差【解答】解：只改變了其中一個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式知，平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差均發(fā)生了變化，實(shí)際數(shù)據(jù)由小到大排序?yàn)椋?.0，5.9，7.7，9.0，9.6，14.9，中位數(shù)為7.7，9.0的平均數(shù)，極差為14.9﹣4.0，錯(cuò)誤數(shù)據(jù)由小到大排序?yàn)椋?.0，5.9，7.7，9.0，14.9，96，中位數(shù)為7.7，9.0的平均數(shù)，極差為96﹣4.0，所以中位數(shù)沒有變化，極差變化了．故選：B．5．（5分）已知m，n是空間兩條不重合的直線，α，β是兩個(gè)不重合的平面，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A．m∥α，m?β，α∩β＝n，則m∥n B．m∥n，m∥α，n?α，則n∥α C．α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n D．α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，由平面與平面平行的性質(zhì)，可得A正確；對于B，由直線與平面平行的判定定理，可得B正確；對于C，m與n的位置關(guān)系不確定，可以平面、相交，也可以異面，C錯(cuò)誤；對于D，由平面與平面垂直的性質(zhì)，D正確．故選：C．6．（5分）在梯形ABCD中，若AB→=2DC→，且AC→A．32 B．2 C．52【解答】解：∵AB→=2DC∴AC→∴x=12，∴x+y=3故選：A．7．（5分）已知正實(shí)數(shù)m，n滿足m+n＝2，則下列不等式恒成立的為（）A．lnm+lnn≥0 B．m2+n2≤2 C．1m+1n【解答】解：對于A：∵m＞0，n＞0，m+n＝2，∴由基本不等式可得m+n≥2mn，∴mn≤1，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時(shí)，等號成立，lnm+lnn＝lnmn≤ln1＝0，故A錯(cuò)誤；∵2（m2+n2）＝（m2+n2）+（m2+n2）≥m2+n2+2mn＝（m+n）2＝4，可得m2+n2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝1時(shí)，等號成立，B錯(cuò)誤．對于C：1m+1n=12（1m+1n）（m當(dāng)且僅當(dāng)nm=mn，即m＝（m+n）2＝m+n+2mn≤2（m+n故m+n≤2，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n故選：C．8．（5分）已知函數(shù)f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，則不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集為（）A．（0，2） B．(0，1C．（0，3） D．(0，【解答】解：因?yàn)閒（x）＝ex+e﹣x+lg|x|，x≠0，所以f（﹣x）＝ex+e﹣x+lg|﹣x|＝ex+e﹣x+lg|x|＝f（x），即f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝ex+e﹣x+lgx，f′（x）＝ex﹣e﹣x+1∵y＝ex與y＝﹣e﹣x在（0，+∞）上均為單調(diào)遞增，∴y＝ex﹣e﹣x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴ex﹣e﹣x＞e0-1即當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＝ex﹣e﹣x+1∴偶函數(shù)f（x）＝ex+e﹣x+lg|x|在（0，+∞）上為增函數(shù)，∴不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）?|x+1|＞|2x﹣1|，且x+1≠0，2x﹣1≠0，解得：0＜x＜12，或1即不等式f（x+1）＞f（2x﹣1）的解集為(0，1故選：B．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知函數(shù)f(x)=cos(2x+πA．f（x）的最小正周期為π B．f（x）的圖象關(guān)于(-π12C．f（x）的圖象關(guān)于x=5π12D．f（x）在(0，π【解答】解：函數(shù)的最小正周期T=2π2=πf（-π12）＝cos（-π12×2+π6）＝cos0＝1≠0，即函數(shù)ff（5π12）＝cos（2×5π12+π6）＝cosπ＝﹣1，即f（當(dāng)0＜x＜π2時(shí)，0＜2x＜π，π6＜2x+π6＜故選：AC．（多選）10．（5分）將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲兩次，記事件A＝“第一次出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B＝“兩次點(diǎn)數(shù)之積為偶數(shù)”，事件C＝“兩次點(diǎn)數(shù)之和為5”，則（）A．事件A∪B是必然事件 B．事件A與事件B是互斥事件 C．事件B包含事件C D．事件A與事件C是相互獨(dú)立事件【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2），事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2），A：事件A∪B是必然事件，故正確；B：因?yàn)锳∩B≠?，所以事件A與事件B不是互斥事件，故錯(cuò)誤；C．因?yàn)镃?B，所以事件B包含事件C，故正確；D．因?yàn)镻(A)=186×6=12，P(C)=46×6=19，P(AC)=26×6=所以事件A與事件C是相互獨(dú)立事件，故正確；故選：ACD．（多選）11．（5分）用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如，[﹣1.2]＝﹣2，[1.5]＝1．已知f（x）＝x+[x]，則（）A．f(1B．f（x）為奇函數(shù) C．?x1＞x2，使得f（x1）＜f（x2） D．方程f（x）＝3x﹣1所有根的和為3【解答】解：對于A，由題意可得f（12）=12+[12對于B，取x＝1.2，則f（1.2）＝1.2+[1.2]＝1.2+1＝2.2，f（﹣1.2）＝﹣1.2+[﹣1.2]＝﹣1.2﹣2＝﹣3.2≠f（1.2），所以f（x）不是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；對于C，由[x]的定義可知，?x1＞x2，有[x1]≥[x2]，所以f（x1）﹣f（x2）＝x1+[x1]﹣x2﹣[x2]＝（x1+x2）+[x1]﹣[x2]＞0，即f（x1）＞f（x2），故錯(cuò)誤；對于D，f（x）＝3x﹣1，即為x+[x]＝3x﹣1，整理得2x﹣[x]﹣1＝0，所以[x]＝2x﹣1，又因?yàn)閤﹣1＜[x]≤x，所以x﹣1＜2x﹣1≤x，解得0＜x≤1，當(dāng)x＝1時(shí)，滿足方程，即x＝1是方程的根，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，x+[x]＝x，方程可轉(zhuǎn)化為x＝3x﹣1，解得x=1故根的和為32故選：AD．（多選）12．（5分）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，且AB＝BC＝CC1＝2，M為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．AB1⊥A1M B．三棱錐C1﹣AMB1的體積不變 C．|A1M|+|C1M|的最小值為3+5D．當(dāng)M是BC的中點(diǎn)時(shí)，過A1，M，C1三點(diǎn)的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得的截面面積為26【解答】解：連接A1B，如圖所示，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝CC1＝2，ABA1B1為正方形，AB1⊥A1B，∠ABC＝90°，BC⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A1，BC⊥AB1，A1B，BC?平面A1BC，A1B∩BC＝B，AB1⊥平面A1BC，A1M?平面A1BC，AB1⊥A1M，A選項(xiàng)正確；由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，VC故三棱錐C1﹣AMB1的體積為定值，B選項(xiàng)正確；設(shè)BM＝t，0≤t≤2，MC＝2﹣t，A1C1|A其幾何意義是點(diǎn)(22，0)和點(diǎn)（2，2）到點(diǎn)（0，最小值為點(diǎn)(-22，0)到點(diǎn)（2，2）的距離，為16+82當(dāng)M是BC的中點(diǎn)時(shí)，A1cos∠MAsin∠MAS△CC1M=12×2×1=1，設(shè)點(diǎn)C到平面MA1得3h直三棱柱ABC﹣A1B1C1是正方體的一半，外接球的球心為A1C的中點(diǎn)O，外接球的半徑A1點(diǎn)O到平面MA1C1的距離為hO則過A1，M，C1三點(diǎn)的平面截三棱柱ABC﹣A1B1C1外接球所得截面圓的半徑為(3)2故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）lg2+lg5+π0＝2．【解答】解：lg2+lg5+π0＝lg10+1＝2．故答案為：2．14．（5分）母線長為3的圓錐，其側(cè)面展開圖是圓心角為2π3的扇形，則該圓錐的體積為223【解答】解：∵母線長為3的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于2π3∴側(cè)面展開圖的弧長為：3×2π3=側(cè)面展開圖的弧長＝底面周長，即2π＝2πr，∴r＝1，∴圓錐的高h(yuǎn)=9-1=2∴圓錐體積V=13×π×r2×h故答案為：22315．（5分）高中數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃測量某大廈的高度，選取與底部B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)基測點(diǎn)C與D．現(xiàn)測得∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，CD＝100米，在點(diǎn)C測得大廈頂A的仰角∠ACB＝60°，則該大廈高度AB＝212米（精確到1米）．參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3【解答】解：由∠BCD＝15°，∠BDC＝120°，可得∠CBD＝45°，又CD＝100米，由正弦定理可得CDsin∠CBD=BCsin∠BDC，即1002在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，所以AB＝BC?tan∠ACB＝506×3=故答案為：212．16．（5分）四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AB＝2，CD=22，EF＝1，點(diǎn)P滿足PA→?PB→【解答】解：以E為圓心，12∵EF=1=12AB∵PA→?PB∴PC=1∵F，P都在以E為圓心，12∴|PF→∴(PC故答案為：2．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+θ），其中θ∈(0，π2)（1）求θ；（2）若x∈[0，π4]，求f【解答】解：（1）因?yàn)閒(π6)=1，代入到f（x）＝sin（2x得f（π6）＝sin（π3+θ所以θ=π（2）x∈[0，π4]，（2x+此時(shí)，f（x）∈[1218．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b＝2c﹣2acosB．（1）求A；（2）若a=33，c＝2b，求△ABC的面積S【解答】解：（1）因?yàn)閎＝2c﹣2acosB，由正弦定理可得2sinC﹣2sinAcosB＝sinB，而sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，代入化簡得2cosAsinB＝sinB，因?yàn)锽∈（0，π），所以sinB＞0，所以cosA=1因?yàn)锳∈（0，π），故A=π（2）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，由（1）可知A=π3，又a=33，c代入上式可得，27＝b2+4b2﹣2b×2b×1解得b＝3，c＝6，所以△ABC的面積S=12bcsinA19．（12分）已知函數(shù)f（x）＝logax（a＞0且a≠1）在[1，8]上的最大值為3．（1）求a的值；（2）當(dāng)x∈[1，8]時(shí)，2﹣f（x）﹣f（x）+t?0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）＝logax在[1，8]上單調(diào)遞減，此時(shí)f（x）max＝f（1）＝0≠3，不滿足題意；當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）＝logax在[1，8]上單調(diào)遞增，此時(shí)f（x）max＝f（8）＝loga8＝3，解得a＝2；（2）令m＝log2x，因?yàn)閤∈[1，8]，所以m∈[0，3]，所以2﹣f（x）﹣f（x）+t≥0?2﹣m﹣m+t≥0?t≥m﹣2﹣m在m∈[0，3]上恒成立，令g（m）＝m﹣2﹣m，m∈[0，3]，易知g（m）在[0，3]上為增函數(shù)，所以g（m）max＝3﹣2﹣3=23所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為[23820．（12分）某工廠引進(jìn)了一條生產(chǎn)線，為了解產(chǎn)品的質(zhì)量情況，現(xiàn)從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，測量其技術(shù)參數(shù)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）由頻率分布直方圖，估計(jì)樣本技術(shù)參數(shù)的平均數(shù)和75%分位數(shù)（精確到0.1）；（2）現(xiàn)從技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間[40，50），[50，60），[60，70）的三組中，采用分層抽樣的方法抽取6件產(chǎn)品，再從這6件產(chǎn)品中任選3件產(chǎn)品，記事件A＝“這3件產(chǎn)品中技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間[40，50）內(nèi)的產(chǎn)品至多1件”，事件B＝“這3件產(chǎn)品中技術(shù)參數(shù)位于區(qū)間[50，60）內(nèi)的產(chǎn)品至少1件”，求事件A∩B的概率．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可知，平均數(shù)為：15×0.1+25×0.25+35×0.3+45×0.15+55×0.1+65×0.05+75×0.05＝37.5，因?yàn)?.1+0.25+0.3＝0.65＜0.75，0.1+0.25+0.3+0.15＝0.8＞0.75，所以75%分位數(shù)落在[40，50）內(nèi)，設(shè)其為x，則0.65+（x﹣40）×0.015＝0.75，解得x≈46.7，即75%分位數(shù)約為46.7；（2）采用分層抽樣，根據(jù)三個(gè)區(qū)間的比例關(guān)系3：2：1，依次抽取3個(gè)，2個(gè)，1個(gè)，區(qū)間[40，50）內(nèi)的3件產(chǎn)品記為a1，a2，a3，區(qū)間[50，60）內(nèi)的2件產(chǎn)品記為b1，b2，區(qū)間[60，70）內(nèi)的1件產(chǎn)品記為c，從這6件產(chǎn)品中任選3件，所有情況為：（a1，a2，a3），（a1，a2，b1），（a1，a2，b2），（a1，a2，c），（a1，a3，b1），（a1，a3，b2），（a1，a3，c），（a1，b1，b2），（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，a3，b1），（a2，a3，b2），（a2，a3，c），（a2，b1，b2），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，b2，），（a3，b1，c），（a3，b2，c），（b1，b2，c），共20種，事件A∩B分為：①從[40，50）抽0個(gè)，從[50，60）里面抽2個(gè)，從[60，70）里面抽1個(gè)，包含基本事件為：（b1，b2，c），共1種，所以P1=1②從[40，50）抽1個(gè)，從[50，60）里面抽1個(gè)，從[60，70）里面抽1個(gè)，包含基本事件為：（a1，b1，c），（a1，b2，c），（a2，b1，c），（a2，b2，c），（a3，b1，c），（a3，b2，c），共6種，所以P2=6③從[40，50）抽1個(gè)，從[50，60）里面抽2個(gè)，從[60，70）里面抽0個(gè)，包含基本事件為：（a1，b1，b2），（a2，b1，b2），（a3，b1，b2，），共3種，所以P3=3所以P（A∩B）＝P1+P2+P3=121．（12分）如圖，三棱錐P﹣ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C在圓O上，AB為圓O的直徑，且AB＝6，PA=PC=22，BC=25，平面PAC⊥平面PCB，點(diǎn)E是（1）證明：平面PAC⊥平面ABC；（2）點(diǎn)F是圓O上的一點(diǎn)，且點(diǎn)F與點(diǎn)C位于直徑AB的兩側(cè)．當(dāng)EF∥平面PAC時(shí)，作出二面角E﹣BF﹣A的平面角，并求出它的正切值．【解答】解：（1）因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以∠ACB＝90°，由AC2＝AB2﹣BC2，可得AC＝4．因?yàn)镻A=PC=22滿足PA2+PC2＝AC2，所以PA⊥PC．因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面PCB，平面PAC∩平面PCB＝PC，PA?平面PAC，所以PA⊥平面PCB，又BC?平面PCB，所以PA⊥BC．因?yàn)锽C⊥AC，PA，AC?平面PAC，且PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，因?yàn)锽C?平面ABC，所以平面PAC⊥平面ABC．（2）取AC的中點(diǎn)O1，連接O1P和O1B，再取O1B的中點(diǎn)M，連接ME．在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)M作BF的垂線，垂足為點(diǎn)N，連接EN，則∠ENM即為二面角E﹣BF﹣A的平面角．證明如下：因?yàn)镻A＝PC，且O1是AC的中點(diǎn)，所以PO1⊥AC．由（1）知平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PO1?平面PAC，所以PO1⊥平面ABC．因?yàn)镋M是△PO1B的中位線，則EM∥PO1，所以EM⊥平面ABC．因?yàn)锽F?平面ABC，所以BF⊥EM．因?yàn)锽F⊥MN，MN，ME?平面ENM，且MN∩ME＝M，所以BF⊥平面ENM．又EN?平面ENM，所以BF⊥EN，由二面角的平面角的定義可知∠ENM即為二面角E﹣BF﹣A的平面角．連接FM，并延長FM交BC于點(diǎn)T．由EM是△BPQ的中位線，得EM∥PO1，PO1?平面PAC，EM?平面PAC，所以EM∥平面PAC．當(dāng)EF∥平面PAC時(shí)，EM，EF?平面EFM，且EM∩EF＝E，所以平面EFM∥平面PAC．由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知TF∥AC．因?yàn)辄c(diǎn)M是O1B的中點(diǎn)，所以FT過點(diǎn)O，由此可知FT＝5．因?yàn)锳C⊥BC，所以FT⊥BC，且BT＝CT．由FT2+BT2＝BF2，可知BF=30，由△FTB∽△FNM得MN所以MN=236，EM=所以二面角E﹣BF﹣A的平面角的正切值為6422．（12分）已知函數(shù)f(x)=|14x2-x|，g（x）＝kx，f（x（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）用max{α，β}表示α，β中的最大值，設(shè)函數(shù)φ（x）＝max{f（x），g（x）}（1?x?6），用M，m分別表示φ（x）的最大值與最小值，求M，m，并求出M﹣m的取值范圍．【解答】解：（1）由題意得f(x)=1顯然f（x）≥0，且（0，0）是函數(shù)f（x）與g（x）圖象的一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)k＜0時(shí)，g（x）＜0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，與f（x）圖象無交點(diǎn)；在區(qū)間（﹣∞，0），g（x）與f（x）圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意．當(dāng)k＝0時(shí)，函數(shù)f（x）與g（x）圖象有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)（0，0），（4，0），不合題意．當(dāng)k＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）與g（x）圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則方程-14x2+x=kx，14x2-x=kx均有正根，分別為x由k＞04(1-k)＞04(k+1)＞0，可得0＜所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，1）；（2）由（1）可知，當(dāng)k∈（0，1）時(shí)，f（x）與g（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)非零交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1＝4（1﹣k），x2＝4（k+1），當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，f（x）＞g（x），max{f（x），g（x）}＝f（x），當(dāng)x∈（x1，x2）時(shí)，f（x）≤g（x），max{f（x），g（x）}＝g（x），當(dāng)x∈（x2，+∞）時(shí)，f（x）＞g（x），max{f（x），g（x）}＝f（x），當(dāng)34≤k＜1時(shí)，x1＜1，x2＞6，φ（x）＝g（x）（1≤x≤6），M＝φ（6）＝6k，m＝φ（1）＝k，M﹣m＝5k∈[當(dāng)12≤k＜34時(shí)，1＜x1≤2，x2≥6，φ（f（x）在[1，x1）上為增函數(shù)，且g（x）為增函數(shù)，故φ（x）在[1，6]上為增函數(shù)，M＝φ（6）＝6k，m＝f（1）=34，M﹣m＝6k-34∈[當(dāng)14＜k＜12時(shí)，2＜x1＜3，5＜x2＜6，φ（且φ（x）在[1，2]上為增函數(shù)，在[2，x1）上為減函數(shù)，在[x1，6]上為增函數(shù)，φ（1）＝f（1）=34，φ（x1）＝f（x1）＞f（1），φ（2）＝f（2）＝1，φ（6）＝f（6）＝3＞故M＝φ（6）＝3，m＝f（1）=34，M﹣m當(dāng)0＜k≤14時(shí)，3≤x1＜4，4＜x2≤5，φ（x）且φ（x）在[1，2]上為增函數(shù)，在[2，x1）上為減函數(shù)，在[x1，6]上為增函數(shù)，φ（1）＝f（1）=34，φ（x1）＝f（x1）≤f（1），φ（2）＝f（2）＝1，φ（6）＝f（6）＝3＞故M＝φ（6）＝3，m＝f（x1）＝f（4﹣4k）＝﹣4k2+4k，M﹣m＝4k2﹣4k+3∈[94綜上，當(dāng)34≤k＜1時(shí)，M＝6k，m＝當(dāng)12≤k＜34時(shí)，M＝6k當(dāng)14＜k＜12時(shí)，M當(dāng)0＜k≤14時(shí)，M＝3，m＝﹣4k2+4所以M﹣m的取值范圍為：[942022-2023學(xué)年湖北省武漢市5G聯(lián)合體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）復(fù)數(shù)3-i1+iA．1+2i B．1+i C．1﹣2i D．1﹣i2．（5分）設(shè)m為直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．m∥α，α∥β，且m?β?m∥β B．α∥β，且m與α相交?m與β相交 C．m∥α，m∥β?α∥β D．α∥β，且m?α?m∥β3．（5分）在正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AC的中點(diǎn)，則異面直線AE，F(xiàn)G所成角的余弦值為（）A．12 B．35 C．334．（5分）某次投籃比賽中，甲、乙兩校都派出了10名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，甲校運(yùn)動(dòng)員的得分分別為8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，這些成績可用如圖中的（1）所示，乙校運(yùn)動(dòng)員的得分可用如圖中的（2）所示．則以下結(jié)論中，正確的是（）A．甲校運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)為7.5 B．乙校運(yùn)動(dòng)員得分的75%分位數(shù)為10 C．甲校運(yùn)動(dòng)員得分的平均數(shù)大于8 D．甲校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差5．（5分）在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a=2，b=6，A＝30°，則邊A．2 B．22或6 C．2或22 6．（5分）如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分別為AB，AC靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成左右兩部分體積為V1和V2，那么V1：V2＝（）A．7：5 B．14：13 C．5：7 D．13：147．（5分）如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是4，過PO的中點(diǎn)O1作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下幾何體的表面積為（）A．(7+45)π B．(8+45)π C．8．（5分）在△ABC中，A=π6，B=π2，BC＝1，D為AC中點(diǎn)，若將△BCD沿著直線BD翻折至△BC′D，使得四面體C′﹣ABD的外接球半徑為1，則直線A．33 B．23 C．53二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知互不相同的9個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下的7個(gè)數(shù)據(jù)與原9個(gè)數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征中不變的是（）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．第41百分位數(shù) D．方差（多選）10．（5分）已知向量a→=(1，3A．若a→∥bB．若a→⊥b→，C．a(chǎn)→?bD．存在θ，使得|（多選）11．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別a，b，c，a2＝2bcsinA，下列說法正確的是（）A．若a＝1，則S△ABCB．△ABC外接圓的半徑為bcaC．cb+bD．A=π4時(shí)，c（多選）12．（5分）如圖，正四面體ABCD的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱BD，CD上的點(diǎn)，且BE＝DF＝t，t∈（0，1），則（）A．不存在t，使得BC∥平面AEF B．直線AC與直線EF異面 C．不存在t，使得平面AEF⊥平面BCD D．三棱錐A﹣DEF體積的最大值為2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.雙空題第一空2分，第二空3分.13．（5分）已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于3km，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東20°，則燈塔A與燈塔B的距離為km14．（5分）已知a→=(2，23)，e→為單位向量，向量a→，e→的夾角為π15．（5分）如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P為CD上一點(diǎn)，且滿足AP→=mAC16．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為3，動(dòng)點(diǎn)P在△AB1C內(nèi)，滿足D1P=14，則點(diǎn)P四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）（1）設(shè)z∈C，在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為Z，那么求滿足條件：2＜|z|＜3的點(diǎn)Z的集合的圖形面積；（2）已知復(fù)數(shù)z1=m+(4-m2)i（m∈R），z2＝x+（λ+2x）i（λ，x∈R）且z1+18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sin（A﹣B）＝sinC﹣sinB．（1）求角A；（2）若△ABC外接圓的半徑為263，求△19．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A1為正方形，面AA1C1C為菱形∠CAA1＝60°，側(cè)面AA1C1C⊥面ABB1A1．（1）求證：AC1⊥面CA1B1；（2）求二面角C﹣BB1﹣A的余弦值．20．（12分）為了深入學(xué)習(xí)領(lǐng)會(huì)黨的二十大精神，某高級中學(xué)高一全體學(xué)生參加了《二十大知識競賽》．試卷滿分為100分，所有學(xué)生成績均在區(qū)間[40，100]分內(nèi)．已知該校高一選物理方向、歷史方向的學(xué)生人數(shù)分別為180、120．現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取了30名學(xué)生的答題成績，繪制了如圖樣本頻率分布直方圖．（1）根據(jù)樣本頻率分布直方圖，計(jì)算圖中a的值，并估計(jì)該校全體學(xué)生成績的平均數(shù)和第71百分位數(shù)；（2）已知所抽取選物理方向和歷史方向?qū)W生答題成績的平均數(shù)、方差的數(shù)據(jù)如下表，且根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)出總成績的方差為140，求高一年級選物理方向?qū)W生成績的平均數(shù)x1和高一年級選歷史方向?qū)W生成績的方差s選科方向樣本平均數(shù)樣本方差物理方向x175歷史方向60s221．（12分）已知△ABC的面積為332，且AB→?AC（1）求角A的大?。唬?）設(shè)M為BC的中點(diǎn)，且AM=72，∠BAC的平分線交BC于N，求線段22．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝AD＝2BC＝2，△PAD≌△BAD．（1）M為PC上一點(diǎn)，且PM→=λMC→，當(dāng)PA∥平面（2）設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，證明l∥面ABCD；（3）當(dāng)平面PAD與平面PBC所成的銳二面角的大小為45°時(shí)，求PC與平面ABCD所成角的正弦值．

2022-2023學(xué)年湖北省武漢市5G聯(lián)合體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）復(fù)數(shù)3-i1+iA．1+2i B．1+i C．1﹣2i D．1﹣i【解答】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)3-i1+i=(3-i)(1-i)故選：C．2．（5分）設(shè)m為直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．m∥α，α∥β，且m?β?m∥β B．α∥β，且m與α相交?m與β相交 C．m∥α，m∥β?α∥β D．α∥β，且m?α?m∥β【解答】解：由m∥α，α∥β，得m?β或m∥β，而m?β，所以m∥β，故A正確；由α∥β，且m與α相交，可得m與β相交，故B正確；由m∥α，m∥β，得α∥β或α與β相交，故C錯(cuò)誤；由α∥β，得α與β無公共點(diǎn)，又m?α可得m與β無公共點(diǎn)，則m∥β，故D正確．故選：C．3．（5分）在正四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AC的中點(diǎn)，則異面直線AE，F(xiàn)G所成角的余弦值為（）A．12 B．35 C．33【解答】解：連接DE，因?yàn)辄c(diǎn)F，G分別為棱CD，AC的中點(diǎn)，所以FG∥AD，所以∠EAD或其補(bǔ)角為異面直線AE，F(xiàn)G所成角，設(shè)正四面體的邊長為a，則AE=DE=32a，AD由余弦定理得：cos∠EAD=A所以異面直線AE，F(xiàn)G所成角的余弦值為33故選：C．4．（5分）某次投籃比賽中，甲、乙兩校都派出了10名運(yùn)動(dòng)員參加比賽，甲校運(yùn)動(dòng)員的得分分別為8，6，7，7，8，10，9，8，7，8，這些成績可用如圖中的（1）所示，乙校運(yùn)動(dòng)員的得分可用如圖中的（2）所示．則以下結(jié)論中，正確的是（）A．甲校運(yùn)動(dòng)員得分的中位數(shù)為7.5 B．乙校運(yùn)動(dòng)員得分的75%分位數(shù)為10 C．甲校運(yùn)動(dòng)員得分的平均數(shù)大于8 D．甲校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差【解答】解：甲校派出的10名運(yùn)動(dòng)員參賽成績從小到大為：6，7，7，7，8，8，8，8，9，10，其中位數(shù)為：8，平均數(shù)為：6+7×3+8×4+9+1010=7.8，故選項(xiàng)A、其方差為：110[（6﹣7.8）2+3×（7﹣7.8）2+4×（8﹣7.8）2+（9﹣7.8）2+（10﹣7.8）2]＝1.16，標(biāo)準(zhǔn)差為1.16乙校派出的10名運(yùn)動(dòng)員參賽成績分別為：6，7，8，9，9，9，9，10，10，10，則其平均數(shù)為：110方差為：110[（6﹣8.7）2+（7﹣8.7）2+（8﹣8.7）2+4×（9﹣8.7）2+3×（10﹣8.7）2]＝1.61，標(biāo)準(zhǔn)差為1.61所以甲校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙校運(yùn)動(dòng)員得分的標(biāo)準(zhǔn)差，故選項(xiàng)B正確，D錯(cuò)誤．故選：B．5．（5分）在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a=2，b=6，A＝30°，則邊A．2 B．22或6 C．2或22 【解答】解：因?yàn)閍=2，b=6，由余弦定理得cosA=3則c=2或c＝22故選：C．6．（5分）如圖所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若E、F分別為AB，AC靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成左右兩部分體積為V1和V2，那么V1：V2＝（）A．7：5 B．14：13 C．5：7 D．13：14【解答】解：設(shè)三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V＝V1+V2＝Sh，因?yàn)镋、F分別為AB，AC靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，所以S△AEF則V1=1所以V1：V2＝13：14．故選：D．7．（5分）如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是4，過PO的中點(diǎn)O1作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下幾何體的表面積為（）A．(7+45)π B．(8+45)π C．【解答】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則r=12×2＝1，圓錐的母線長為22+4過PO的中點(diǎn)O′作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下的幾何體的表面積為π×2×25+2π×1×2+π×22＝（8+45）π故選：B．8．（5分）在△ABC中，A=π6，B=π2，BC＝1，D為AC中點(diǎn)，若將△BCD沿著直線BD翻折至△BC′D，使得四面體C′﹣ABD的外接球半徑為1，則直線A．33 B．23 C．53【解答】解：∵A=π6，B=π2，BC＝1，∴AC＝2，又∴AD＝CD＝BD＝1，則BC′＝C′D＝BD＝1，即△BC′D為等邊三角形，設(shè)△BC′D的外接圓圓心為G，△ABD的外接圓圓心為O，取BD中點(diǎn)H，連接C′H，OH，OG，OB，OC′，OD，∵A=π6，BD＝1，∴OB=1又四面體C′﹣ABD的外接球半徑為1，∴O為四面體C′﹣ABD外接球的球心，由球的性質(zhì)可知：OG⊥平面BC′D，又C′H?平面BC′D，∴OG⊥C′H，∵C′G=23CH=23設(shè)點(diǎn)C′到平面ABD的距離為d，由VC′﹣OBD＝VO﹣C′BD得：13又△OBD與△C′BD均為邊長為1的等邊三角形，∴d=OG=6直線BC′與平面ABD所成角的正弦值為dBC′故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）已知互不相同的9個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，則剩下的7個(gè)數(shù)據(jù)與原9個(gè)數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征中不變的是（）A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．第41百分位數(shù) D．方差【解答】解：設(shè)這9個(gè)數(shù)分別為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，且x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7＜x8＜x9，中位數(shù)是x5，去掉最大數(shù)和最小數(shù)，得x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，中位數(shù)也是x5，所以中位數(shù)不變，選項(xiàng)A正確；由41%×9＝3.69，得x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9的第41百分位數(shù)為第4個(gè)數(shù)x4，由41%×7＝2.87，得x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8的第40百分位數(shù)為第3個(gè)數(shù)x4，故第41百分位數(shù)不變，選項(xiàng)C正確；設(shè)這9個(gè)數(shù)分別1，2，3，4，5，6，7，8，9，則平均數(shù)為19方差為19×[（1﹣5）2+（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2+（8﹣5）2+（9﹣5）2]去掉最大數(shù)和最小數(shù)，得2，3，4，5，6，7，8，平均數(shù)為17方差為17×[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2+（8﹣5）此時(shí)方差改變了，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；設(shè)這9個(gè)數(shù)分別﹣1，2，3，4，5，6，7，9，10，則平均數(shù)為19去掉最大數(shù)和最小數(shù)，得2，3，4，5，6，7，9，計(jì)算平均數(shù)為17×（2+3+4+56+7+9）=36故選：AC．（多選）10．（5分）已知向量a→=(1，3A．若a→∥bB．若a→⊥b→，C．a(chǎn)→?bD．存在θ，使得|【解答】解：a→=(1，3對于A，若a→則sinθ=3cosθ，即tanθ=3對于B，若a→則cosθ+3sinθ=0，解得tanθ∵0≤θ≤π，∴θ=5π6，故對于C，a→∵0≤θ≤π，∴π6∴sin(θ+π∴a→?b對于D，不妨設(shè)|a則a→故cos＜a→，b→a→=(1，3∵不存在實(shí)數(shù)λ（λ＜0）使得，a→∴a→與b∴假設(shè)不成立，即不存在θ，使得|a→-故選：AB．（多選）11．（5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別a，b，c，a2＝2bcsinA，下列說法正確的是（）A．若a＝1，則S△ABCB．△ABC外接圓的半徑為bcaC．cb+bD．A=π4時(shí)，c【解答】解：A中，a＝1，由題意可得2bcsinA＝1，所以S=12bcsinA=12?B中，設(shè)外接圓的半徑r，由正弦定理asinA=2r，因?yàn)閍2＝2bcsinA，所以r=bcC中，cb+bc≥2cb?bc=2，當(dāng)且僅當(dāng)cb=bc，即b＝D中，A=π4，因?yàn)閍2＝2bcsinA，可得a2=2bc，由余弦定理可得cosA=b2所以cb+bc=故選：ABD．（多選）12．（5分）如圖，正四面體ABCD的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱BD，CD上的點(diǎn)，且BE＝DF＝t，t∈（0，1），則（）A．不存在t，使得BC∥平面AEF B．直線AC與直線EF異面 C．不存在t，使得平面AEF⊥平面BCD D．三棱錐A﹣DEF體積的最大值為2【解答】解：因?yàn)橹本€AC與平面BCD交于點(diǎn)C，EF?平面BCD，且不經(jīng)過點(diǎn)C，所以直線AC與直線EF異面，故B正確．當(dāng)t=12時(shí)，E，F(xiàn)分別是棱BD，CD的中點(diǎn)，此時(shí)BC∥EF，因?yàn)镋F?平面BC?平面AEF，所以BC∥平面AEF，故A錯(cuò)誤．設(shè)O為△BCD的中心，連接AO，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)A有且只有一條直線AO垂直于平面BCD，所以經(jīng)過點(diǎn)A且垂直于平面BCD的平面一定經(jīng)過直線AO，即當(dāng)且僅當(dāng)E，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，平面AEF⊥平面BCD，因?yàn)镈E＝1﹣t，DF＝t，所以DB→=1設(shè)BC的中點(diǎn)為M，連接DM，則DO=因?yàn)镋，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以13(11-t+1因?yàn)棣ぃ僵?＜0，所以此方程無解，所以不存在t∈（0，1），使得平面AEF⊥平面BCD，故C正確．易知AO=AD2-DO2=AD2-(所以△DEF的面積S=12r?（t﹣1）?sinπ3≤34當(dāng)且僅當(dāng)t=12時(shí)等號成立，所以三棱錐A﹣DEF體積的最大值為13故選：BC．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.雙空題第一空2分，第二空3分.13．（5分）已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于3km，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東20°，則燈塔A與燈塔B的距離為3km【解答】解：由題意，AC＝BC=3，∠ACB由余弦定理可得AB=A所以燈塔A與燈塔B的距離為，3km．故答案為：3．14．（5分）已知a→=(2，23)，e→為單位向量，向量a→，e→的夾角為π3，則向量【解答】解：∵a→=(2，23∴|e→|=1，|a∴a→?e∴向量a→在向量e→上的投影向量為a→故答案為：2e→15．（5分）如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD→=2DB→，P為CD上一點(diǎn)，且滿足AP→=mAC【解答】解：由AD→=2DB又C，P，D三點(diǎn)共線，則有AP→=mAC∵AP→∴2-2m3=12又CD→且∠BAC=π3，AC＝2，故AP→?CD→==-1=-1＝3．故答案為：3．16．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為3，動(dòng)點(diǎn)P在△AB1C內(nèi)，滿足D1P=14，則點(diǎn)P的軌跡長度為【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，如圖，如圖，E為正三角形AB1C的外心，D1E⊥平面AB1C，根據(jù)幾何關(guān)系，不難得出D1E＝32×(3因?yàn)辄c(diǎn)P在ΔAB1C內(nèi)，滿足D1P=14，則EP=因此點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)E為圓心，2為半徑的圓在ΔAB1C內(nèi)的圓弧，而ΔAB1C為正三角形，則三棱錐B﹣AB1C必為正三棱錐，E為正ΔAB1C的中心，于是正ΔAB1C的內(nèi)切圓半徑EH＝AB1×3則cos∠HEF=32，即∠HEF=π6所以圓在ΔAB1C內(nèi)的圓弧為圓周長的12即點(diǎn)P的軌跡長度為12?2π故答案為：2π．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）（1）設(shè)z∈C，在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)為Z，那么求滿足條件：2＜|z|＜3的點(diǎn)Z的集合的圖形面積；（2）已知復(fù)數(shù)z1=m+(4-m2)i（m∈R），z2＝x+（λ+2x）i（λ，x∈R）且z1+【解答】解：（1）由復(fù)數(shù)的幾何意義知：所表示的圖形為圓環(huán)，面積為π?32﹣π?22＝5π；（2）∵z1=m+(4-m2)i（m∈R），z2＝x+（λ+2x）i（λ，x∈R）且z∴x+m+（λ+2x+4﹣m2）i＝0，∴m＝﹣x，λ+2x+4﹣m2＝0，∴λ＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5，當(dāng)x＝1時(shí)，λ有最小值為﹣5，故λ范圍為[﹣5，+∞）．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sin（A﹣B）＝sinC﹣sinB．（1）求角A；（2）若△ABC外接圓的半徑為263，求△【解答】解：（1）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sin（A﹣B）＝sinC﹣sinB，由sin（A﹣B）＝sinC﹣sinB得，sin（A﹣B）＝sin（A+B）﹣sinB，所以sinB＝sin（A+B）﹣sin（A﹣B）＝2cosAsinB，又0＜B＜π，所以sinB＞0，所以cosA=1因?yàn)?＜A＜π，所以A=π（2）由△ABC外接圓的半徑為263，則得由余弦定理得，cosA=b2+c2-a22bc所以b2+c2＝bc+8≥2bc，解得bc≤8，所以S△ABC故△ABC面積的最大值為2319．（12分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A1為正方形，面AA1C1C為菱形∠CAA1＝60°，側(cè)面AA1C1C⊥面ABB1A1．（1）求證：AC1⊥面CA1B1；（2）求二面角