6.2　與圓有關(guān)的位置關(guān)系

第頁6.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系學(xué)用P68[過關(guān)演練](40分鐘90分)1.(2019·湖南湘西州)已知☉O的半徑為5cm,圓心O到直線l的距離為5cm,則直線l與☉O的位置關(guān)系為(B)A.相交 B.相切C.相離 D.無法確定【解析】∵圓心到直線的距離=圓的半徑,∴直線和圓相切.2.如圖為4×4的網(wǎng)格圖,A,B,C,D,O均在格點上,點O是(B)A.△ACD的外心 B.△ABC的外心C.△ACD的內(nèi)心 D.△ABC的內(nèi)心【解析】如圖,點O是△ABC的邊AC的垂直平分線和邊BC的垂直平分線的交點,即點O是△ABC的外心.3.(2019·廣東深圳)如圖,一把直尺,60°的直角三角板和光盤如圖擺放,A為60°角與直尺交點,AB=3,則光盤的直徑是(D)A.3 B.33C.6 D.63【解析】設(shè)三角板與圓的切點為C,光盤的圓心為O,連接OA,OB,由切線長定理知AB=AC=3,OA平分∠BAC,∴∠OAB=60°,在Rt△ABO中,OB=ABtan∠OAB=33,∴光盤的直徑為63.4.(2019·山東泰安)如圖,BM與☉O相切于點B,若∠MBA=140°,則∠ACB的度數(shù)為(A)A.40° B.50° C.60° D.70°【解析】連接OA,OB,∵BM是☉O的切線,∴∠OBM=90°,∵∠MBA=140°,∴∠ABO=50°,∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=50°,∴∠AOB=80°,∴∠ACB=12∠AOB=40°5.如圖,兩個同心圓,大圓的半徑為5,小圓的半徑為3,若大圓的弦AB與小圓有公共點,則弦AB的取值范圍是(D)A.4<AB≤5 B.8<AB≤10C.4≤AB≤5 D.8≤AB≤10【解析】∵大圓的弦AB與小圓有公共點,即弦AB與小圓相切或相交.當AB與小圓相切時,AB最小,∵大圓半徑為5,小圓的半徑為3,∴AB的最小值為252-32=8.當AB過圓心時,AB最大,為10,∴8≤6.如圖,AB是☉O的直徑,AM,BN是☉O的兩條切線,點D,點C分別在AM,BN上,DC切☉O于點E.連接OD,OC,BE,AE,BE與OC相交于點P,AE與OD相交于點Q,已知AD=4,BC=9.以下結(jié)論:①☉O的半徑為132;②OD∥BE;③PB=181313;④tan∠CEP=23.其中正確的有A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【解析】由切線長定理可知AD=DE=4,BC=CE=9,∴DC=4+9=13,過點D作DH⊥BC于點H,∴HC=9-4=5,∴DH=132-52=12,即AB=12,∴☉O的半徑為122=6,故①錯誤;由切線長定理可知OD⊥AE,∴∠AQO=90°,又∵AB為直徑,∴∠AEB=90°,∴∠AQO=∠AEB,∴OD∥BE,故②正確;在Rt△AOD中,∵AO=6,AD=4,∴OD=42+62=213,∴cos∠ADO=ADOD=4213=213,又∵∠CBE=∠CEB=∠CDO=∠ADO,∴cos∠CBE=BPBC=213,解得BP=181313,故③正確;在Rt△AOD中,tan∠ADO=AOAD7.(2019·黑龍江大慶)在△ABC中,∠C=90°,AB=10,且AC=6,則這個三角形的內(nèi)切圓半徑為2.

【解析】∵∠C=90°,AB=10,AC=6,∴BC=102-62=8,∴這個三角形的內(nèi)切圓半徑8.(2019·山東威海)如圖,在扇形CAB中,CD⊥AB,垂足為D,☉E是△ACD的內(nèi)切圓,連接AE,BE,則∠AEB的度數(shù)為135°.

【解析】連接EC.∵點E是△ADC的內(nèi)心,∴∠AEC=90°+12∠ADC=135°,在△AEC和△AEB中,AE=AE,∠EAC=∠EAB,AC=AB,∴9.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,點O在AB上,OB=2,以O(shè)B長為半徑的☉O與AC相切于點D,交BC于點F,OE⊥BC,則弦BF的長為2.

【解析】連接OD,∵☉O與AC相切,∴OD⊥AC,∵∠C=90°,OE⊥BC,∴四邊形CDOE是矩形,∵OD=OB=2,∴CE=OD=2,∵BC=3,∴BE=1,∴BF=2.10.如圖,給定一個半徑為2的圓,圓心O到水平直線l的距離為d,即OM=d.我們把圓上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)記為m.如d=0時,l為經(jīng)過圓心O的一條直線,此時圓上有四個到直線l的距離等于1的點,即m=4.由此可知:(1)當d=3時,m=1;

(2)當m=2時,d的取值范圍是1<d<3.

【解析】(1)當d=3時,又圓的半徑為2,則圓上只有一個到直線l的距離等于1的點,所以m=1;(2)當m=2時,即圓上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)為2,這時d的取值范圍是1<d<3.11.如圖,在平面直角坐標系中,點A,B,C的坐標分別為(0,3),(4,3),(0,-1),則△ABC外接圓的圓心坐標為(2,1).

【解析】作弦AB,AC的垂直平分線,根據(jù)垂徑定理的推論,則交點O1即為圓心,∵點A,B,C的坐標分別為(0,3),(4,3),(0,-1),∴O1的坐標是(2,1).12.如圖,在△AOB中,∠O=90°,AO=8cm,BO=6cm,點C從A點出發(fā),在邊AO上以2cm/s的速度向O點運動;與此同時,點D從點B出發(fā),在邊BO上以1.5cm/s的速度向O點運動.過OC的中點E作CD的垂線EF,則當點C運動了

178s時,以C點為圓心、1.5cm為半徑的圓與直線EF相切.【解析】設(shè)運動時間為t,則AC=2t,BD=1.5t,OC=8-2t,OD=6-1.5t,∴OCOA=ODOB,∵∠O=∠O,∴△OCD∽△OAB,∴∠OCD=∠A,∵EF⊥CD,∴∠EFC=∠O=90°,∴△EFC∽△BOA,∴CFCE=OAAB,∵CE=12OC=4-t,∴CF=45(4-t),當CF=1.5時,直線EF與圓相切,∴4513.(8分)(2019·遼寧撫順)如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB為直徑作☉O,點D為☉O上一點,且CD=CB,連接DO并延長交CB的延長線于點E.(1)判斷直線CD與☉O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若BE=4,DE=8,求AC的長.解:(1)連接OC.∵CB=CD,CO=CO,OB=OD,∴△OCB≌△OCD,∴∠ODC=∠OBC=90°,∴OD⊥DC,∴DC是☉O的切線.(2)設(shè)☉O的半徑為r.在Rt△OBE中,∵OE2=EB2+OB2,∴(8-r)2=r2+42,∴r=3,∵tan∠E=OBEB=CDDE∴CD=BC=6,在Rt△ABC中,AC=AB2+B14.(8分)(2019·天津)已知AB是☉O的直徑,弦CD與AB相交,∠BAC=38°.(1)如圖1,若D為AB的中點,求∠ABC和∠ABD的大小;(2)如圖2,過點D作☉O的切線,與AB的延長線交于點P,若DP∥AC,求∠OCD的大小.解:(1)∵AB是☉O的直徑,弦CD與AB相交,∠BAC=38°,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-38°=52°,∵D為AB的中點,∠AOB=180°,∴∠AOD=90°,∴∠ABD=45°.(2)連接OD,∵DP切☉O于點D,∴OD⊥DP,即∠ODP=90°,由DP∥AC,又∠BAC=38°,∴∠P=∠BAC=38°,∵∠AOD是△ODP的一個外角,∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°,∴∠ACD=64°,∵OC=OA,∠BAC=38°,∴∠OCA=∠BAC=38°,∴∠OCD=∠ACD-∠OCA=64°-38°=26°.15.(10分)(2019·湖北黃石)如圖,已知A,B,C,D,E是☉O上五點,☉O的直徑BE=23,∠BCD=120°,A為BE的中點,延長BA到點P,使BA=AP,連接PE.(1)求線段BD的長;(2)求證:直線PE是☉O的切線.解:(1)連接DE,∵∠BCD+∠DEB=180°,∴∠DEB=180°-120°=60°,∵BE為直徑,∴∠BDE=90°,在Rt△BDE中,DE=12BE=12×2BD=3DE=3×3=(2)連接EA,∵BE為直徑,∴∠BAE=90°,∵A為BE的中點,∴∠ABE=45°,∵BA=AP,EA⊥BA,∴△BEP為等腰直角三角形,∴∠PEB=90°,∴PE⊥BE,∴直線PE是☉O的切線.16.(10分)已知A,B,C是☉O上的三個點,四邊形OABC是平行四邊形,過點C作☉O的切線,交AB的延長線于點D.(1)如圖1,求∠ADC的大小;(2)如圖2,經(jīng)過點O作CD的平行線,與AB交于點E,與AB交于點F,連接AF,求∠FAB的大小.解:(1)∵CD是☉O的切線,C為切點,∴OC⊥CD,即∠OCD=90°.∵四邊形OABC是平行四邊形,∴AB∥OC,即AD∥OC.∴∠ADC=90°.(2)連接OB,則OB=OA=OC.∵四邊形OABC是平行四邊形,∴OC=AB.∴OA=OB=AB,即△AOB是等邊三角形.∴∠AOB=60°.由OF∥CD,∠ADC=90°,得∠AEO=∠ADC=90°.∴OF⊥AB,∴BF=∴∠FOB=∠FOA=12∠AOB=30°∴∠FAB=12∠FOB=15°[名師預(yù)測]1.如圖,AB是☉O的直徑,直線PA與☉O相切于點A,PO交☉O于點C,連接BC,若∠P=40°,則∠ABC的度數(shù)為(B)A.20° B.25° C.40° D.50°【解析】∵PA是切線,∠P=40°,AB是☉O的直徑,∴∠PAO=90°,∠POA=50°,∴∠ABC=12∠POA=25°2.如圖,AB是☉O的弦,AC是☉O的切線,A為切點,BC經(jīng)過圓心.若∠B=20°,則∠C的大小等于(D)A.20° B.25° C.40° D.50°【解析】連接OA,∵AC是☉O的切線,∴∠OAC=90°,∵∠B=20°,∴∠AOC=40°,∴∠C=50°.3.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD,AB,BC分別與☉O相切于E,F,G三點,過點D作☉O的切線交BC于點M,切點為N,則DM的長為(A)A.133 B.C.4133 D.【解析】連接OE,OF,ON,OG,如圖,在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°,CD=AB=4.∵AD,AB,BC分別與☉O相切于E,F,G三點,∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°,∴四邊形AFOE,FBGO都是正方形,∴AF=BF=AE=BG=2,∴DE=3,∵DM是☉O的切線,∴DN=DE=3,MN=MG,∴CM=5-2-MN=3-MN,在Rt△DMC中,DM2=CD2+CM2,∴(3+MN)2=(3-MN)2+42,解得MN=43,∴DM=3+44.如圖,AB為☉O的直徑,直線l與☉O相切于點C,AD⊥l,垂足為D,AD交☉O于點E,連接OC,BE.若AE=6,OA=5,則線段DC的長為4.

【解析】設(shè)OC交BE于點F.∵AB為☉O的直徑,∴∠AEB=∠DEF=90°,∵直線l與☉O相切于點C,∴OC⊥l,又AD⊥l,∴四邊形CDEF是矩形,∴OC⊥BE,EF=DC.在Rt△ABE中,AB=2OA=10,AE=6,∴BE=AB2-AE2=102-5.如圖,☉M與x軸相交于點A(2,0),B(8,0),與y軸相切于點C,則圓心M的坐標是(5,4).

【解析】連接AM,作MN⊥x軸于點N,∴AN=BN.∵點A(2,0),點B(8,0),∴OA=2,OB=8,∴AB=OB-OA=6,∴AN=BN=3,∴ON=OA+AN=2+3=5,∴點M的橫坐標是5.∵☉M與y軸相切,∴圓的半徑是5.在Rt△AMN中,MN=AM2-AN2=52-326.如圖,AB是☉O的切線,B為切點,圓心O在AC上,∠A=30°,D為BC的中點.(1)求證:AB=BC;(2)試判斷四邊形BOCD的形狀,并說明理由.解:(1)∵AB是☉O的切線,∴∠OBA=90°,∠AOB=90°-30°=60°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=12∠AOB=30°,∴∠OCB=∠A∴AB=BC.(2)四邊形BOCD為菱形.理由:連接OD,交BC于點M,∵D是BC的中點,∴OD垂直平分BC.在Rt△OMC中,∵∠OCM=30°,∴OC=2OM=OD,∴OM=MD,∴四邊形BOCD為菱形.7.如圖,已知A,B是☉O上兩點,△OAB外角的平分線交☉O于另一點C,CD⊥AB交AB的延長線于點D.(1)求證:CD是☉O的切線;(2)E為AB的中點,F為☉O上一點,EF交AB于點G,若tan∠AFE=34,BE=BG,EG=310,求☉O的半徑解:(1)連接OC,如圖,∵BC平分∠OBD,∴∠OBC=∠CBD,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠OCB=∠CBD,∴OC∥AD,∵CD⊥AB,∴OC⊥CD,∴CD是☉O的切線.(2)連接OE,交AB于點H,∵E為AB的中點,∴OE⊥AB,∵∠ABE=∠AFE,∴tan∠ABE=tan∠AFE=34∴在Rt△BEH中,tan∠HBE=EHBH設(shè)EH=3x,BH=4x,∴BE=5x,∵BG=BE=5x,∴GH=x,在Rt△EHG中,x2+(3x)2=(310)2,解得x=3,∴EH=9,BH=12,設(shè)☉O的半徑為r,則OH=r-9,在Rt△OHB中,(r-9)2+122=r2,解得r=252即☉O的半徑為2528.如圖,在△ABC中,∠C=90°,以AB上一點O為圓心,OA長為半徑的圓恰好與BC相切于點D,分別交AC,AB于點E,F.(1)若∠B=30°,求證:以A,O,D,E為頂點的四邊形是菱形;(2)若AC=6,AB=10,連接AD,求☉O的半徑和AD的長.解:(1)如圖1,連接OD,OE,ED.∵BC與☉O相切于點D,∴OD⊥BC.∴∠ODB=90°=∠C,∴OD∥AC.∵∠B=30°,∴∠A=60°.∵OA=OE,∴△AOE是等邊三角形,∴AE=AO=OD,∴四邊形AODE是平行四邊形.又∵OA=OD,∴四邊形AODE是菱形.(2)設(shè)☉O的半徑為r.∵OD∥AC,∴△OBD∽△ABC.∴ODAC=OBAB,即r6∴☉O的半徑為154如圖2,連接OD,DF.∵OD∥AC,∴∠DAC=∠ADO.∵OA=OD,∴∠ADO=∠