天津市和平區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試質(zhì)量調(diào)查試題含解析

PAGE11-天津市和平區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試質(zhì)量調(diào)查試題（含解析）一、選擇題1.計(jì)算：（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】干脆利用組合數(shù)公式求解即可．【詳解】由組合數(shù)公式可得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查組合數(shù)公式的應(yīng)用，是基本學(xué)問(wèn)的考查．2.從、、中任取兩個(gè)字母排成一列，則不同的排列種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】從、、中任取兩個(gè)字母排成一列，干脆利用排列數(shù)公式可得出結(jié)果.【詳解】由排列數(shù)的定義可知，從、、中任取兩個(gè)字母排成一列，則不同的排列種數(shù)為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.五名應(yīng)屆畢業(yè)生報(bào)考三所高校,每人報(bào)且僅報(bào)一所院校,則不同的報(bào)名方法的種數(shù)是()A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意，每個(gè)人可以報(bào)任何一所院校，則結(jié)合乘法原理可得：不同的報(bào)名方法的種數(shù)是.本題選擇D選項(xiàng).4.從名男生和名女生中選出名學(xué)生參與一項(xiàng)活動(dòng)，要求至少一名女生參與，不同的選法種數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】從反面考慮，從名學(xué)生中任選名的全部選法中去掉名全是男生的狀況，即為所求結(jié)果．【詳解】從名學(xué)生中任選名，有種選法，其中全為男生的有種選法，所以選出名學(xué)生，至少出名女生選法有種.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查組合問(wèn)題，也可以干脆考慮，分類探討，在出現(xiàn)“至少”的問(wèn)題時(shí)，利用正難則反的方法求解較為簡(jiǎn)潔，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知的綻開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)所給的二項(xiàng)式，利用二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式寫出第項(xiàng)，整理成最簡(jiǎn)形式，令的指數(shù)為，求得，再代入系數(shù)求出結(jié)果．【詳解】二項(xiàng)綻開(kāi)式通項(xiàng)為，令，得，由題意得，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是正確寫出二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)，在這種題目中通項(xiàng)是解決二項(xiàng)綻開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題的工具．6.已知隨機(jī)變量，若，則，分別為（）A.和 B.和 C.和 D.和【答案】C【解析】【分析】利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差公式求出和，然后利用期望和方差的性質(zhì)可求出和的值.【詳解】，，.，，由期望和方差的性質(zhì)可得，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查均值和方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意二項(xiàng)分布的性質(zhì)的合理運(yùn)用．7.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事務(wù)A發(fā)生的概率相同，若事務(wù)A至少發(fā)生1次的概率為，則事務(wù)A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：可從事務(wù)的反面考慮，即事務(wù)A不發(fā)生的概率為，由此可易得結(jié)論．詳解：設(shè)事務(wù)A在一次試驗(yàn)中發(fā)生概率為，則，解得．故選A．點(diǎn)睛：在求“至少”、“至多”等事務(wù)的概率時(shí)，通常從事務(wù)的反而入手可能較簡(jiǎn)潔，如本題中“至少發(fā)生1次”的反面為“一次都不發(fā)生”，若本題求“至多發(fā)生3次”的概率，其反面是“至少發(fā)生4次”即“全發(fā)生”．8.在5件產(chǎn)品中，有3件一等品和2件二等品，從中任取2件，以為概率的事務(wù)是()A.恰有1件一等品 B.至少有一件一等品C.至多有一件一等品 D.都不是一等品【答案】C【解析】【分析】將件一等品編號(hào)為，件二等品的編號(hào)為，列舉出從中任取件的全部基本領(lǐng)件的總數(shù)，分別計(jì)算選項(xiàng)的概率，即可得到答案．【詳解】將3件一等品編號(hào)為1,2,3,2件二等品編號(hào)為4,5，從中任取2件有10種取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．其中恰含有1件一等品的取法有：(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，恰有1件一等品的概率為P1＝，恰有2件一等品的取法有：(1,2)，(1,3)，(2,3)．故恰有2件一等品的概率為P2＝，其對(duì)立事務(wù)是“至多有一件一等品”，概率為P3＝1－P2＝1－＝.【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算問(wèn)題，其中明確古典概型的基本概念，以及古典的概型及概率的計(jì)算公式，合理作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：9.名同學(xué)排成一排照相，其中同學(xué)甲站在中間，則不同的排法種數(shù)為_(kāi)_______（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，不用管甲，其余人全排列即可，依據(jù)排列數(shù)的定義可得出結(jié)果.【詳解】依據(jù)題意，甲在中間位置固定了，不用管，其它名同學(xué)全排列即可，所以排法種數(shù)共有種.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題是排列問(wèn)題，有限制條件的要先支配，最終支配沒(méi)有條件要求的即可，屬于一般基礎(chǔ)題．10.某省實(shí)行高考改革，考生除參與語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理科中選考科.學(xué)生甲想報(bào)考某高校的醫(yī)學(xué)專業(yè)，就必需要從物理、生物、政治科中至少選考科，則學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為_(kāi)_______（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理科中任選科的選法中減去只選化學(xué)、歷史、地理科的狀況，利用組合計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.【詳解】從物理、生物、政治科中至少選考科，也可以理解為：在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理科中任選科選法中減去只選化學(xué)、歷史、地理科的狀況，科中任選科的選法種數(shù)為，因此，學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查組合問(wèn)題，也可以干脆考慮，分類探討，在出現(xiàn)“至少”的問(wèn)題時(shí)，利用正難則反的方法求解較為簡(jiǎn)潔，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.11.的綻開(kāi)式中的有理項(xiàng)共有__________項(xiàng)．【答案】3【解析】，，因?yàn)橛欣眄?xiàng)，所以，共三項(xiàng)．填3.12.從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事務(wù)A＝“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，事務(wù)B＝“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝________.【答案】【解析】試題分析：利用互斥事務(wù)的概率及古典概型概率計(jì)算公式求出事務(wù)A的概率，同樣利用古典概型概率計(jì)算公式求出事務(wù)AB的概率，然后干脆利用條件概率公式求解．解：P（A）=，P（AB）=．由條件概率公式得P（B|A）=．故答案．點(diǎn)評(píng)：本題考查了條件概率與互斥事務(wù)的概率，考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，解答的關(guān)鍵在于對(duì)條件概率的理解與公式的運(yùn)用，屬中檔題．13.甲、乙兩人參與一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的道試題中，甲能答對(duì)其中的道，乙能答對(duì)其中的道，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出道題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì)道題才算合格，則甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】設(shè)事務(wù)表示甲考試合格，事務(wù)表示乙考試合格，計(jì)算出、，則甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為，由此能求出結(jié)果.【詳解】設(shè)事務(wù)表示甲考試合格，事務(wù)表示乙考試合格，則，.則甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式、對(duì)立事務(wù)概率公式等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是中等題．三、解答題：14.在件產(chǎn)品中，有件正品，件次品，從這件產(chǎn)品中隨意抽取件.（1）共有多少種不同的抽法？（2）抽出的件中恰有件次品的抽法有多少種？（3）抽出的件中至少有件次品的抽法有多少種？【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）從這件產(chǎn)品中隨意抽出件，是組合問(wèn)題，利用組合數(shù)的定義可得出結(jié)果；（2）抽出件中恰好有件次品是指件正品，件次品，利用組合計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果；（3）在件產(chǎn)品中隨意抽出件的抽法種數(shù)減去件產(chǎn)品全是正品的抽法種數(shù)，用間接法求解．【詳解】（1）從這件產(chǎn)品中隨意抽出件，共有種不同的抽法；（2）抽出的件中恰好有件次品的抽法，是指件正品，件次品，有種不同的抽法；（3）抽出的件中至少有件次品的抽法種數(shù)，可以在件產(chǎn)品中隨意抽出件的抽法種數(shù)減去件產(chǎn)品全是正品的抽法種數(shù)，因此，共有種不同的抽法.【點(diǎn)睛】本題考查組合學(xué)問(wèn)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知.（1）當(dāng)時(shí)，求：①綻開(kāi)式中的中間一項(xiàng)；②綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值；（2）若綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大，求綻開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù).【答案】（1）①；②；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，利用二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式，可求出特定的項(xiàng)以及常數(shù)項(xiàng)的值；（2）依據(jù)綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大于求出的值，再利用二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求出綻開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)．【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，的綻開(kāi)式共有項(xiàng)，綻開(kāi)式中的中間一項(xiàng)為；②綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，得，所求常數(shù)項(xiàng)的值為；（2）若綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大于，而綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則，即，解得.所以，綻開(kāi)式通項(xiàng)為，令，解得，因此，綻開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)綻開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．16.某中學(xué)中學(xué)畢業(yè)班的三名同學(xué)甲、乙、丙參與某高校的自主招生考核，在本次考核中只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等次.若考核為合格，則賜予分的降分資格；若考核為優(yōu)秀，則賜予分的降分資格.假設(shè)甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為、、，他們考核所得的等次相互獨(dú)立.（1）求在這次考核中，甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；（2）記在這次考核中，甲、乙、丙三名同學(xué)所得降分之和為隨機(jī)變量，請(qǐng)寫出全部可能的取值，并求的值.【答案】（1）；（2）全部可能的取值為、、、，.【解析】【分析】（1）計(jì)算出三名同學(xué)考核均為合格的概率，利用對(duì)立事務(wù)的概率公式可計(jì)算出所求事務(wù)的概率；（2）依據(jù)題意得出全部可能的取值為、、、，利用相互獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式和互斥事務(wù)概率計(jì)算公式能求出．【詳解】（1）由題意知，三名同學(xué)考核均為合格的概率為，因此，甲、乙、丙三名同學(xué)中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率為；（2）由題意知，隨機(jī)變量的全部可能取值有、、、，則，，.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事務(wù)概率乘法公式、對(duì)立事務(wù)概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是中等題．17.是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物.依據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，日均值在微克/立方米以下，空氣質(zhì)量為一級(jí)；在微克應(yīng)立方米微克立方米之間，空氣質(zhì)量為二級(jí)：在微克/立方米以上，空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某市年全年每天的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表：日均值（微克/立方米）頻數(shù)（天）（1）從這天的日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽出天，求恰有天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；（2）從這天的數(shù)據(jù)中任取天數(shù)據(jù)，記表示抽到監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求的分布列.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由表格可知：這天的日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有天達(dá)到一級(jí)，然后利用組合計(jì)數(shù)原理與古典概型的概率公式可計(jì)算出所求事務(wù)的概率；（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，然后利用超幾何分布即可得出隨機(jī)變量的分布列.【詳解】（1）由表格可知：這天的日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中，只有天達(dá)到一級(jí)．隨機(jī)抽取天，恰有天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率為；（2）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、，，，，.因此，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，同時(shí)也考查了超幾何分布及其分布列等基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)與基本技能，屬于中檔題．18.高二某班名同學(xué)期末考完試后，商議購(gòu)買一些學(xué)習(xí)參考書打算在高三時(shí)運(yùn)用，大家約定：每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子確定自己去哪購(gòu)買，擲出點(diǎn)數(shù)大于或等于的人去圖書批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買，擲出點(diǎn)數(shù)小于的人去網(wǎng)上購(gòu)買，且參與者必需從圖書批發(fā)市場(chǎng)和網(wǎng)上選擇一家購(gòu)買.（1）求這人中至多有人去圖書批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買的概率；（2）用、分別表示這人中去圖書批發(fā)市場(chǎng)和網(wǎng)上購(gòu)買的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）分布列見(jiàn)解析，.【解析】【分析】（1）由題意可知，名同學(xué)中每名同學(xué)去圖書批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買的概率為，然后利用互斥事務(wù)的概率加法公式和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式可計(jì)算出