河北省張家口市宣化區(qū)宣化第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期初考試試題

PAGE17-河北省張家口市宣化區(qū)宣化第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期初考試試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）若a，b，QUOTE，QUOTE，則下列不等式成立的是QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE若QUOTE是QUOTE的內(nèi)角，且QUOTE，則A與B的關(guān)系正確的是QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.無法確定已知QUOTE、a、x、b、QUOTE依次成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)x的值為QUOTEA.3 B.QUOTE C.3或QUOTE D.不確定過點(diǎn)QUOTE且與直線QUOTE垂直的直線方程是QUOTE

QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE一圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4，其側(cè)面積為QUOTE，則這個(gè)圓錐的體積為QUOTE

QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE已知m，n是兩條不同的直線，QUOTE，QUOTE是兩個(gè)不同的平面，若QUOTE，QUOTE，則下列命題正確的是QUOTEA.若QUOTE，QUOTE，則QUOTE

B.若QUOTE，且QUOTE，則QUOTE

C.若QUOTE，QUOTE，則QUOTE

D.若QUOTE，且QUOTE，則QUOTE已知a，b，c分別為QUOTE內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，若QUOTE，QUOTE，QUOTE，則QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE點(diǎn)QUOTE為圓QUOTE的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE已知正數(shù)QUOTE滿意QUOTE，則QUOTE的最小值為QUOTE

QUOTEA.5 B.QUOTE C.QUOTE D.2如圖，長(zhǎng)方體QUOTE中，QUOTE，QUOTE，那么異面直線QUOTE與QUOTE所成角的余弦值是QUOTE

A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE已知數(shù)列QUOTE的通項(xiàng)公式QUOTE，前n項(xiàng)和為QUOTE，若QUOTE，則QUOTE的最大值是QUOTEA.5 B.10 C.15 D.在三棱錐QUOTE中，QUOTE平面ABC，QUOTE，QUOTE，則三棱錐QUOTE的外接球的表面積為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）直線QUOTE恒過定點(diǎn)______．QUOTE中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知QUOTE，QUOTE，則QUOTE的最大值為______設(shè)數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和為QUOTE，若QUOTE，且QUOTE，則QUOTE______．設(shè)圓QUOTE：QUOTE圓QUOTE：QUOTE點(diǎn)A，B分別是圓QUOTE，QUOTE上的動(dòng)點(diǎn)，P為直線QUOTE上的動(dòng)點(diǎn)，則QUOTE的最小值為______．三、解答題（本大題共4小題，共48.0分）在長(zhǎng)方體QUOTE中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是QUOTE的中點(diǎn)．

QUOTE求證：QUOTE平面QUOTE；

QUOTE若QUOTE，求二面角QUOTE的正弦值．

在QUOTE中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿意：QUOTE．

QUOTEⅠQUOTE求角A的大??；

QUOTEⅡQUOTE若QUOTE，求QUOTE的最大值．

設(shè)QUOTE為正項(xiàng)數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和，且滿意QUOTE．

QUOTE求QUOTE的通項(xiàng)公式；

QUOTE令QUOTE，若QUOTE恒成立，求m的取值范圍．

20.已知兩個(gè)定點(diǎn)QUOTE，QUOTE，動(dòng)點(diǎn)P滿意QUOTE設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線l：QUOTE．QUOTE求曲線E的軌跡方程；

QUOTE若l與曲線E交于不同的C，D兩點(diǎn)，且QUOTE為坐標(biāo)原點(diǎn)QUOTE，求直線l的斜率；

QUOTE若QUOTE，Q是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過Q作曲線E的兩條切線QM，QN，切點(diǎn)為M，N，探究：直線MN是否過定點(diǎn)．

數(shù)學(xué)試卷答案和解析1.【答案】D

【解析】解：由QUOTE，

A.取QUOTE，QUOTE時(shí)不成立；

B.取QUOTE，QUOTE時(shí)不成立；

C.取QUOTE時(shí)不成立；

D.QUOTE，可得：QUOTE恒成立．

故選：D．

通過賦值法及利用不等式的基本性質(zhì)即可推斷出結(jié)論．

本題考查了賦值法、不等式的基本性質(zhì)，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．

2.【答案】B

【解析】解：由正弦定理得QUOTE，即QUOTE．

故選：B．

依據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)化為QUOTE，利用大角對(duì)大邊的性質(zhì)進(jìn)行推斷即可．

本題主要考查三角函數(shù)角的大小比較，結(jié)合正弦定理以及大邊對(duì)大角是解決本題的關(guān)鍵．

3.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)，考查了推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題．

由QUOTE、a、x、b、QUOTE依次成等比數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)的符合相同，即可得出．

【解答】

解：QUOTE、a、x、b、QUOTE依次成等比數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)的符合相同，

則QUOTE．

故選：B．

4.【答案】C

【解析】解：由于直線QUOTE的斜率為QUOTE，故所求直線的斜率等于QUOTE，故所求直線的方程為QUOTE，即QUOTE，

故選：C．

由兩直線垂直的性質(zhì)求出所求直線的斜率，再用點(diǎn)斜式求直線的方程，化為一般式．

本題主要考查兩直線垂直的性質(zhì)，用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．

5.【答案】C

【解析】解：圓錐的綻開圖為扇形，半徑QUOTE，側(cè)面積為為扇形的面積，

所以扇形的面積QUOTE，解得QUOTE，

所以弧長(zhǎng)QUOTE，所以底面周長(zhǎng)為QUOTE，

由此可知底面半徑QUOTE，所以底面面積為QUOTE，

圓錐體的高為QUOTE，

故圓錐的體積QUOTE，

故選：C．

利用圓錐的側(cè)面綻開圖，扇形的面積，然后轉(zhuǎn)化求解圓錐的體積．

本題考查圓錐的體積的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算實(shí)力．

6.【答案】D

【解析】解：對(duì)于A，若QUOTE，QUOTE，則QUOTE或QUOTE與QUOTE相交，故錯(cuò)；

對(duì)于B，若QUOTE，且QUOTE，則m與QUOTE不肯定垂直，故錯(cuò)；

對(duì)于C，若QUOTE，QUOTE，則QUOTE與QUOTE位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；

對(duì)于D，QUOTE，QUOTE，QUOTE，則QUOTE，故正確．

故選：D．

利用面面、線面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，干脆判定．

本題考查命題真假的推斷，是中檔題，解題時(shí)要仔細(xì)審題，留意空間中線線、線面、面面間相互關(guān)系的合理運(yùn)用．

7.【答案】D

【解析】解：QUOTE，QUOTE，QUOTE，

QUOTE由正弦定理QUOTE，可得：QUOTE，

QUOTE由余弦定理QUOTE，可得：QUOTE，解得：QUOTE，負(fù)值舍去．

故選：D．

由已知利用正弦定理可求c的值，依據(jù)余弦定理可得QUOTE，解方程可得a的值．

本題主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．

8.【答案】C

【解析】解：QUOTE是圓QUOTE的弦，圓心為QUOTE

QUOTE設(shè)AB的中點(diǎn)是QUOTE滿意QUOTE

因此，AB的斜率QUOTE

可得直線AB的方程是QUOTE，化簡(jiǎn)得QUOTE

故選：C．

由垂徑定理，得AB中點(diǎn)與圓心C的連線與AB相互垂直，由此算出AB的斜率QUOTE，結(jié)合直線方程的點(diǎn)斜式列式，即可得到直線AB的方程．

本題給出圓的方程，求圓以某點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線方程，著重考查了直線與圓的方程、直線與圓的位置關(guān)系等學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題．

9.【答案】C

【解析】解：QUOTE，所以，QUOTE，

則QUOTE，

所以，QUOTE，

當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE，即當(dāng)QUOTE時(shí)，等號(hào)成立，

因此，QUOTE的最小值為QUOTE，

故選：C．

由QUOTE得QUOTE，再將代數(shù)式QUOTE與QUOTE相乘，利用基本不等式可求出QUOTE的最小值．

本題考查利用基本不等式求最值，對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題．

10.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查異面直線所成的角，考查空間想象實(shí)力、運(yùn)算實(shí)力和推理論證實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．

先將QUOTE平移到QUOTE，得到的銳角QUOTE就是異面直線所成的角，在三角形QUOTE中再利用余弦定理求出此角即可．

【解答】

解：如圖，設(shè)QUOTE，則QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE．

將QUOTE平移到QUOTE，則QUOTE是異面直線QUOTE與QUOTE所成角，

QUOTE，QUOTE，QUOTE

QUOTE．

故選：A．

11.【答案】B

【解析】解：依據(jù)題意，數(shù)列QUOTE的通項(xiàng)公式是QUOTE，

其前n項(xiàng)和是QUOTE，有QUOTE，

即當(dāng)QUOTE最大時(shí)，QUOTE取得最大值；

若QUOTE，且QUOTE，

解可得：QUOTE，

即當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE的值為正．

即當(dāng)QUOTE，QUOTE時(shí)，QUOTE，

此時(shí)QUOTE取得最大值10．

故選：B．

依據(jù)題意，由數(shù)列的性質(zhì)可得QUOTE，結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE的值為正，進(jìn)而可得當(dāng)QUOTE，QUOTE時(shí)，QUOTE取得最大值，利用通項(xiàng)公式計(jì)算QUOTE的值，即可得答案．

本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與前m項(xiàng)和的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．

12.【答案】C

【解析】解：如圖，

由題意，QUOTE的外接圓的半徑QUOTE．

QUOTE平面ABC，且QUOTE，

QUOTE三棱錐QUOTE的外接球的半徑R滿意QUOTE．

QUOTE三棱錐QUOTE的外接球的表面積為QUOTE．

故選：C．

由題意畫出圖形，求出底面三角形ABC的外接圓的半徑，進(jìn)一步求得三棱錐QUOTE的外接球的半徑，再由球的表面積公式求解．

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．

13.【答案】QUOTE

【解析】解：QUOTE直線QUOTE，

QUOTE由題得QUOTE，

QUOTE，

解得QUOTE，QUOTE，

QUOTE直線過定點(diǎn)QUOTE

故答案為：QUOTE

直線QUOTE，化為QUOTE，由此能求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)．

本題考查直線經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查直線方程的性質(zhì)等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是基礎(chǔ)題．

14.【答案】QUOTE

【解析】解：由QUOTE，QUOTE，

由余弦定理得QUOTE，

即QUOTE，

故QUOTE，

即QUOTE的最大值為QUOTE，

故答案為：QUOTE．

結(jié)合余弦定理以及基本不等式，利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．

本題主要考查三角形面積最值的計(jì)算，結(jié)合余弦定理，以及基本不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．

15.【答案】QUOTE

【解析】解：由于數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和為QUOTE，若QUOTE，所以QUOTE常數(shù)QUOTE，

所以數(shù)列QUOTE是以QUOTE為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，

故QUOTE，整理得QUOTE，

故答案為：QUOTE．

干脆利用遞推關(guān)系式的變換求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步求出結(jié)果．

本題考查的學(xué)問要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力和轉(zhuǎn)換實(shí)力及思維實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型．

16.【答案】QUOTE

【解析】解：可知圓QUOTE的圓心QUOTE，QUOTE，圓QUOTE的圓心QUOTE，QUOTE，如圖所示

對(duì)于直線QUOTE上的任一點(diǎn)P，由圖象可知，要使QUOTE的得最小值，

則問題可轉(zhuǎn)化為求QUOTE的最小值，

即可看作直線QUOTE上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和的最小值減去7，

又QUOTE關(guān)于直線QUOTE對(duì)稱的點(diǎn)為QUOTE，

由平面幾何的學(xué)問易知當(dāng)QUOTE與P、QUOTE共線時(shí)，QUOTE取得最小值，

即直線QUOTE上一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和取得最小值為QUOTE

QUOTE的最小值為QUOTE．

故答案為：QUOTE

求出圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圓的地產(chǎn)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．

本題主要考查圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合結(jié)合對(duì)稱性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有肯定的難度．

17.【答案】證明：QUOTE連接QUOTE，QUOTE，F(xiàn)分別為AB，QUOTE的中點(diǎn)，

QUOTE長(zhǎng)方體QUOTE中，QUOTE，QUOTE，

QUOTE四邊形QUOTE是平行四邊形，

QUOTE，QUOTE

QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE，QUOTE平面QUOTE

解：QUOTE在長(zhǎng)方體中，分別以DA，DC，QUOTE為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則QUOTE0，QUOTE，QUOTE0，QUOTE，QUOTE2，QUOTE，

QUOTE1，QUOTE，QUOTE，QUOTE，

QUOTE，QUOTE，QUOTE，

設(shè)平面QUOTE的一個(gè)法向量QUOTE，

則QUOTE，

取QUOTE，則QUOTE

同樣可求出平面QUOTE的一個(gè)法向量QUOTE

QUOTE二面角QUOTE的正弦值為QUOTE．

【解析】QUOTE連接QUOTE，推導(dǎo)出QUOTE，則四邊形QUOTE是平行四邊形，從而QUOTE，QUOTE，由此能證明QUOTE平面QUOTE．

QUOTE在長(zhǎng)方體中，分別以DA，DC，QUOTE為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角QUOTE的正弦值．

本題考查線面平行的證明，考查三面角的正弦值的求法，考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題．

18.【答案】解：QUOTEⅠQUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE由余弦定理可得：QUOTE，

又在QUOTE中，QUOTE，

QUOTE．

QUOTEⅡQUOTE由QUOTEⅠQUOTE及QUOTE，可得：QUOTE，即QUOTE，

QUOTE，當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE時(shí)等號(hào)成立，

QUOTE，則QUOTE，當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE時(shí)等號(hào)成立，

故QUOTE的最大值為2．

【解析】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．

QUOTEⅠQUOTE由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得QUOTE，由余弦定理可得QUOTE，結(jié)合范圍QUOTE，可求A的值．

QUOTEⅡQUOTE由QUOTEⅠQUOTE及QUOTE，可得QUOTE，由QUOTE，即可求得QUOTE的最大值．

19.【答案】解：QUOTE由題QUOTE，QUOTE

令QUOTE，得QUOTE，解得QUOTE，

當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE，QUOTE

QUOTE得：QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

即QUOTE

QUOTE是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

QUOTE；

QUOTE，

QUOTE，

若QUOTE恒成立，則QUOTE，

QUO