2019年秋高中數(shù)學必修四第一章《三角函數(shù)》教學設計

第一章三角函數(shù)

§1.1.1任意角(1)

教學目的：讓學生充分了解角的范圍的推廣，并會靈活運用相應知識解決相關題。

教學重點：負角，正角，零角，象限角，終邊相同的概念及其簡單之用。

教學難點：終邊相同角，負角的概念。

教學用具：多媒體

教學課時：1課時

教學類型：新授課

教學過程

一.復習

初中學過的角的概念/

1.角的基本要素

始邊0A,終邊0B,頂點0。

2.特殊角(讓學生回答)0A

0°角,90。角,180。角和360。角的定義

二.新課

引入看課本P2的齒輪旋轉情況,可以看出在一定時間兩個齒輪都旋轉了一定角度，但各

個齒輪的旋轉方向不同，為了解決方向問題，我們就引入了負角的概念。

1.正角，負角和零角

規(guī)定：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角；

按順時針方向旋轉形成的角叫做負角；

如果一條射線沒作任何旋轉，稱其為零角。

思考：1.如果手表慢了1.25小時，需要將分針旋轉多少度讀方可校對.

2.如果手表快了2小時,需要將分針旋轉多少度方可校對.

總結:角的范圍可以推廣到大于360°或小于-360P的角.

2.任意角

任意角包括正角，負角，零角.

3.象限角

象限角定義:角的始邊與X軸正向重合，終邊所在的象限就稱角為第幾象限角.

判斷：30。、-120°、460°、280°、100°各為第幾象限角？

思考：①90。、180°各為第幾象限角？

②20。,380°各為第幾象限角，兩角有什么關系？

4.終邊相同角

顧名思義：終邊相同的兩個角就是終邊相同角。

例.328°=-32°+360°-390°=-32°-360°-32°=-32°+0

-32°的終邊相同角為一32。+左.360。（左ez）

一般地，我們有所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個集合

S={j3\j3=a+k?360°,k&z}

即任一與角。終邊相同的角，都可以表示成角戊與整數(shù)個周期的和.

1.在0°~360P范圍內，找出與-950°12'角終邊相同的角，并判定它是第幾象限角.

總結:判斷象限角的其本方法:/3=k?360°+a（kwZ）使得0。Wa<360P，根據(jù)a所在象限

確定P.

例2.

例3.

課內練習

①寫出終邊在X正半軸上的角的集合.

②寫出終邊在X負半軸上的角的集合.

③寫出終邊在X軸上的角的集合.

④練習P6.1.2

三.作業(yè)P101.2

四.教后感

§1.1.1任意角（2）

教學目的：讓學生充分了解角的范圍的推廣，并會靈活運用相應知識解決相關題。

教學重點：負角，正角，零角，象限角，終邊相同的概念及其簡單之用。

教學難點：終邊相同角，負角的概念。

教學用具：多媒體

教學課時：1課時

教學類型：新授課

教學過程

三.鞏固復習

1.正角，負角和零角

規(guī)定：按逆時針方向旋轉形成的角叫做正角；

按順時針方向旋轉形成的角叫做負角；

如果一條射線沒作任何旋轉，稱其為零角。

2.任意角

任意角包括正角，負角，零角.

3.象限角

象限角定義:角的始邊與X軸正向重合，終邊所在的象限就稱角為第幾象限角.

4.終邊相同角

顧名思義：終邊相同的兩個角就是終邊相同角。

.328°=-32°+360°—390°=—32。一360P-32°=-32°+0

-32°的終邊相同角為一32。+左.360。(左ez)

一般地，我們有所有與角a終邊相同的角，連同角a在內，可構成一個集合

S={j3\j3=a+k?360°,k&z}

即任一與角。終邊相同的角，都可以表示成角戊與整數(shù)個周期的和.

二.例題

例4.(1)表示出終邊在y=x(x>0)上的角的集合。(x|x=k?3600+45°,k^z}

(2)表示出終邊在y=x上的角的集合。{^x=^*180°+45°,^eZ}

例5.(1)寫出第一象限角的集合。

(2)寫出第一、二象限角的集合。

(3)寫出第一、三象限角的集合。

答案：(1)?360°<x<k?3600+90°,k&z}

(2)同左?360°<x<k?360°+1800母中k?360°+90°,k&z}

(3){R左?1800<x〈左?180。+90°,左eZ}

解題步驟：①寫出在(0°,360°)內的范圍。②轉化為相應的終邊相同角。

③有必要時，可合并或化簡。

課內練習

已知角e的終邊般厚的陰影部分內，寫出符合條件的a的集角

①丫V///②Y|

例7.已知的和76是中邊相同角且0°<8<180°,求滿足昆件的。的集合

解.由題知夕夕=夕+左?360°n6?=k?60°

0°<0<180°

M={00,60°,120°,1800}

a

例8.已知a為第一象限角，則一為第幾象限角？

3

解法一.設1=々?360°+4(0°<他<90°)三=左?120°+?(0°<^-<30°)

當時，為第一象限角，

當時，為第二象限角，

當時，為第三象限角，

如此循環(huán)，可知為第一，二或第三象限角.

解法二.由題知,k-360°<a<k?3600+90°

左?1200<c(k?1200+30°

A:=0,1,2,3,4--?

三.作業(yè)整理例題在作業(yè)本上，復習并預習下一節(jié)內容

四.教后感

§1.1.2弧度制

教學目的：1、理解1弧度的角，弧度制的意義

2、掌握角度與弧度的換算公式，能熟練進行角度與弧度的換算

3、熟記特殊角的弧度數(shù)

教學重點：使學生理解弧度的意義，正確的進行角度與弧度換算

教學難點：弧度概念及其與角度的關系

教學用具：多媒體

課時安排：1課時

教學類型：新授課

教學過程：

一、課題導入

初中，我們學過角的度量，1°的角時怎樣定義的呢？［周角的—為r的角］這種用度作

360

為單位來度量角的單位制叫做角度制。

今天，我們再來學習另一種在數(shù)學和其他學科中常用的度量角的單位制一一弧度制

二、講解新課

1、1弧度的角定義

我們把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角。用符號rad表示，讀作弧度。

［練習］:周角的弧度角是多少？平角呢？直角呢？

［探究］:見課本P7

2、角度制與弧度制的換算

???周角的弧度數(shù)是2石在角度制下是360。

360°=2加ad180°=nrad

nl°=需rad（角度化弧度時用）

1on

lrad=（￡）°（弧度化角度時用）

TI

3、例題講解

例1、課本P8——例1

例2——4見課本P8-9例2——例4

［練習］:見課本P10練習

4、特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)對應表

見課本P。9

5、角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R之間建立起一一對應關系：每一個角

都有唯一的一個實數(shù)（即這個角的弧度數(shù)）與它對應；反過來，每一個實數(shù)也都有唯一

的一個角（即弧度數(shù)等于這個實數(shù)的角）與它對應。

6、小結：本節(jié)課學習了（1）弧度制定義

（2）角度與弧度的換算公式及方法

三、作業(yè)

課本P.H習題1」A組7,8,9,10題

四.教后感

1.2任意角的三角函數(shù)（1）

教學目的：

1、掌握任意角的三角函數(shù)的定義。

2、掌握誘導公式（一）

3、會用定義及誘導公式求三角函數(shù)值。

4、體會特殊與一般關系及數(shù)形結合思想。

教學重點：

任意角的三角函數(shù)的定義、誘導公式（一）及應用。

教學難點:任意角的三角函數(shù)的定義、誘導公式（一）及應用

計算三角函數(shù)值。

授課類型：新授課

課時安排：2課時

教學過程：

一、復習引入：

1、銳角三角函數(shù)的定義。

2、角的概念的推廣及弧度制、象限角。

3、問題：直角三角形顯然不能包含所有的角，那么，仿照銳角三角函數(shù)定義，你認為如何定

義任意的三角函數(shù)？

二、新知識探究

1、三角函數(shù)的定義

角的概念的推廣關鍵是看角的縱邊所在位置，因此，可以借助平面直角坐標系來定義。

（1）比值,叫做a的正弦，記作sina,BPsincr=—；

rr

YY

（2）比值一叫做a的余弦，記作cosa,即cosa=—；

rr

⑶比值上叫做a的正切，記作tane,即tana=h；

xx

其中r=y)x2+y2o

學生思考討論：(1)銳角三角函數(shù)大小僅與角A的大小有關，與直角三角形的大小無關，這

里的三個比值有無類似性質？

(2)比值是否唯一確定？依據(jù)函數(shù)的定義，可以構成一個函數(shù)嗎？

(3)這三個函數(shù)的自變量是什么？x還是y?是r還是a。

(4)若P(x,y)是單位圓與縱邊的交點，則sina與cose的表達式如何？

師生共同小結：(1)只要a確定，就能在它的縱邊上取點，從而確定x及y值，算出r的值,

自變量為a。

(2)兩個量的比值為一個實數(shù)，由于角集合與實數(shù)之間可以建立一一對應關系，這三個比值

可以看成以實數(shù)(角用弧度表示)為自變量的函數(shù)。

(3)若P(x,y)是單位圓與縱邊的交點，則sina與cosa的表達式變?yōu)?/p>

sin。=y,cosa=x。

才若P(x,y)的坐標是P(l,y),則tana=y

2、定義域與值域

函數(shù)sinacosatana

定義域aGRaeR兀1r

aw左7?"H——eZ

2

值域-1<sina<1一1<cosa<1tanaR

3、公式(一)

由三角函數(shù)的定義可得

sin（2^7r+cr）=sina,cos（2左乃+a）=cosatan（2左乃+a）=tana其中左eZ。

4、三角函數(shù)值的符號

函數(shù)sinacosatana

第一象限+++

第二象限+——

第三象限——+

第四象限—+—

三、應用

1、求值，例1、例2、解(略)

解法要領：在縱邊上取一點，代入定義的公式。

例5、公式(一)的應用。

2、角的縱邊與三角函數(shù)值的符號。

例3與例4o

定義的應用。

四、解決課本練習：P*練習1、2、3、4、5、6、7?

小結：

主要內容1：三角函數(shù)的定義。2：定義域與值域。3：公式(一)

4：應用(1)求值，(2)角的縱邊所在象相與三角函數(shù)值的符號。

五.作業(yè)：P23A組1、2、3、4、5、6、7、8、9?

六.教學后記

L2任意角的三角函數(shù)(2)

教學目的：

1.理解有向線段的定義，正弦線、余弦線、正切線。

2.體會特殊與一般關系及數(shù)形結合思想。

教學重點：

理解有線線段的定義，正弦線、余弦線、正切線。

教學難點：

數(shù)與形的轉換解決問題。

授課類型：新授課

課時安排：1課時

教學過程：

二、復習引入：

1、任意角三角函數(shù)的定義。

2、在三角函數(shù)中，求三角函數(shù)的值，實際上是轉化為終邊上點的坐標的運算，是否能用某一

線段來表示？

二、新知識探究

1、有線線段

直角坐標系內，點的坐標與坐標軸的方向有關，因此，一個自然的想法是以坐標軸的方向來

規(guī)定坐標所對應線段的方向，以使它們的取值與P點的坐標聯(lián)系起來。因此，引進有線線段

的定義。

有線線段：帶有方向的線段叫有線線段。

2、用有向線段表示sina、cosa、tana的值。

如下圖，作單位圓與終邊相交于點P(x,y)

無論終邊在何位置，都有

MP

sincr=—=MP；

/、xOMex.

(5)cos。=—=---=OM；

rr

(6)tancif=--AT；

xr

其中r=lo

把分別叫做正弦線、余弦線、正切線。

注意，當角的終邊在第二或第三象限時，要確定正切線，必須作出反向延長線。

三、例題

例1、已知角a的正弦線和余弦線是方向一正一反、長度相等的有向線段，則。的終邊在:

A、第一象限的角平分線上B、第二象限的角平分線上

C、第三象限的角平分線上D、第四象限的角平分線上

答：B、D

四、練習、課本PI、2、3、4。

五.作業(yè):P25B組4、

六.教學后記

1.2.2同角三角函數(shù)的基本關系

教學目的：1.讓學生理解同角的三個三角函數(shù)間不獨立。

2.掌握基本規(guī)律--公式。

3.培養(yǎng)學生事物是相互聯(lián)系的辨證思想。

教學重點：公式的靈活運用

教學難點：公式的靈活運用

教學課時：1課時

教學類型：新授課

教學過程

-新課導入：

前面我們已經(jīng)學習了任意角的正、余弦和正切。那么對同一個角，這三個函數(shù)間有什

么關系呢？

二.公式推導：

設p(x,y)為角a的終邊與單位圓的交點，由三角函數(shù)的定義：

sincr=—,cos。=—,tana=—

11%

不難得到：sin2a+cos2a=y2+x2=1(平方關系)

sinay.乂/、

----=—=tana(商的關系)

COS6ZX

由三角函數(shù)及勾股定理，也可直觀看出sin2a+cos2[=l。

注：恒等式定義若等式/(x)=g(x),對/(x),g(x)有意義的公共范圍內的任一個x都成

立，則/(X)=g(x)叫做恒等式。例如X=Mx—1)就是恒等式。

%-1

顯然-----=tan。，只在。wnn——時成立。

cosa2

三.公式的應用

以上兩個關系可用于求三角函數(shù)值域，證明恒等式。

3

例6.已知：sincr=--,求cos/tana的值。

解：：sina<0且sincu/1,r.tz在第三或四象限，由

.22i216

sinF+cos。=Ineos=—

25

①當a在第三象限時，cosa=-J史?=一士=>tana=紅色=(-3)x(-。)=3

V255cosa544

43

②當a在第四象限時，coscr=—,tana=——

54

注：使用同角三角函數(shù)間的關系式求值時，應先用平方關系，從而引發(fā)討論。

例7.求證：

證法1：（綜合法）見課本

證法2：（分析綜合法）見課本

<=cos2x=(l+sinx)(l-sinx)

分析：（在草稿上完成）要（1）成立

<=(：052%=1—51112%<=51112%+(：052尤=1即可。

課堂練習：P23練習1,2,3,4,5

四.習題1.210,11,12,13

五.教后感

1.3三角函數(shù)的誘導公式

教學目的1.學會將0°?360。的角的三角函數(shù)轉化成銳角的三角函數(shù)值.

2.能夠運用誘導公式進行簡單三角函數(shù)式的求值、化簡與恒等式的證明.

3.提高對數(shù)學內部聯(lián)系的認識.

教學重點：誘導公式的探究,運用誘導公式進行簡單三角函數(shù)式的求值、化簡與恒等式的證明,

提高對數(shù)學內部聯(lián)系的認識.

教學難點：發(fā)現(xiàn)圓的幾何性質（特別是對稱性）與三角函數(shù)性質的聯(lián)系,特別是直角坐標系內關

7T

于直線y=x對稱的點的性質與（］土a）的誘導公式的關系.

授課類型：新授課

課時安排：3課時

教具：多媒體

教學過程：

一.引入課題

前面學習過的終邊相同角的同名三角函數(shù)值相等這一公式的重要作用在于能夠把不在0°

360°內的角的三角函數(shù)值轉化成0°?360°內角的三角函數(shù)值.

例如：S由1125°=S%(3x360°+45°)=Sin450=#

Cos(—2003°)=Gos(—6x360°+157°)=Cosl5T

總之任意一個角尸＜0°或￡＞360。總可以在0°?360。內找到一個與角夕的終邊相同的角

a，并通過公式一可將S沅夕轉化成S/a再求值，但是a不一定是銳角，那么當a是第二、第

三、第四象限角時能否轉化成銳角再求值呢？換名話說，第二、第三、第四象限角與第一象

限的角有什么聯(lián)系呢？

二.新課

1.當0°＜。＜90°即是銳角，是第一象限的角時下列各角與戊的關系是什么？

形式象限與a的關系

aI

n-aII關于y軸對稱

III關于原點對稱

—ccIV關于X軸對稱

2TI-aIV關于X軸對稱

2.下面首先探究第HI象限的角"+2的三角函數(shù)值與第I象限的角a的三角函數(shù)值的聯(lián)系.

探究過程詳見教材P27

3.值得注意的問題：

(1)公式中a是任意的角也成立為什么？

(2)公式中正負符號的記法：

把a看成銳角(實際上a可以是任意角)形式上萬+2為第ni象限的角故其三個三角函數(shù)的公

式符號與第III象限角的三個三角函數(shù)的值的真正符號相同如下：

三角函數(shù)象限符號公式二公式符號

sin[3III—sin(?+。)=-sinor—

cos/?III—cos(>r+a)=-cos?！?/p>

tan[3III+tanQr+a)=tana+

4.求解第三象限角的三角函數(shù)值的基本步驟：

1.大角化成小角：用公式一

(所為大角指的是不在0°?360。之間的角的三角函數(shù)值可用公式一化歸成0°

360°之間的角的三角函數(shù)值)

2.0°?360°間第HI象限角：用公式二

(第III象限角總可以寫成口+a的形式，故可用公式二將其化歸成銳角再求值)

例題：求下列各三角函數(shù)的值

、o、3、2萬

1）585°2）——3）----

63

求解過程略

歸納與演繹

（這一部分的教學可進行類比教學）

相當于第II與第IV象限的角

1.n—a和一a與a的關系（見新課1.）

2.公的推導（略）

3.符號的判別

三角函數(shù)象限符號公式四公式符號

sin0II+sinQr—。)=sina+

cos/?II—COS(7T-df)=一cos?！?/p>

tan0II—tan(7r-a)=-tana—

三角函數(shù)象限符號公式三公式符號

sin0IV—sin(-cr)=-sina—

cos/?IV+cosQa)=cosa+

tan/3IV—tan(-cr)=-tana—

4.學生類比一中解題步驟,小結相當于第二或第四象限的角解題步驟（略）

例題:求下列各角的三角函數(shù)值

277r7TC4-7T

1）?2）—看（兩種必須會的方法）3）—390P書—（

第一課時作業(yè):P30練習1）、2）P33A組1）、B組1）

第二課時把例3與習題相結合，以學生練習為主

1.講解例3

2.練習P30練習3）

3.習題P33A組3）、4）

作業(yè)：一課一練

第三課時

講解教材P30并完成課后練習

方法同上

需強調的是

形如。-a的角相當于第一象限的角故公式符號全+

2

7T

形如一+a的角相當于第二象限角，公式符號與第二象限角的三角函數(shù)值的符號相同

2

作業(yè)B組2)與一課一練

教學后記：

1.3三角函數(shù)的誘導公式

教學目的：

(1)使學生掌握從單位圓的對稱性與任意角終邊的對稱性中推導誘導公式.

(2)能正確的運用誘導公式求任意角的三角函數(shù)值，能進行簡單三角函數(shù)式的化簡與恒等式

證明.

(3)正確培養(yǎng)學生知識的運用能力.

(4)培養(yǎng)學生數(shù)形結合思想.

教學重點：運用誘導公式進行三角函數(shù)式的求值、化簡與證明.

教學難點：如何運用誘導公式進行三角函數(shù)式的求值、化簡與證明，提高對數(shù)學內部聯(lián)系的

認識.

教學過程

1、基本知識及其功能

(1)誘導公式

公式一：利用誘導公式一可把任意角三角函數(shù)轉化為0?2”角的三角函數(shù)值.

公式二：是m+a與a之間的關系式，若a為銳角時可把0?2n間第三象限角轉化

為銳角求值.

公式三：研究角a與-a間關系，常用來把任意負角求值轉化為正角求值.

公式四：研究乃-。與a間關系，若a為銳角時可把0?2m間第二象限角轉化為銳角求值.

公式五：研究a與三一a間關系，可實現(xiàn)正、余弦相互轉化.

2

公式六：研究a與W+a間關系，若a為銳角時，可把0?2兀間第二象限角g+a轉化為銳角

22

求值.

*其它誘導公式：

公式七：sin（2Ji-a）=-sinacos（2兀-a）=cosatan（2兀-a）=-tana

?/3%\/37c\.

公式八:sin(——+a)=~cosacos(——+a)=smatan(—+a)=-cota

222

*/3冗\/3九\.

公式九:sm(---oc尸一cosacos(---a)=~smatan(--a)=cota

222

(2)注意：

①各公式中角a可以是任意角，也可看成是銳角.

②公式一、二、三、四、七簡記“函數(shù)名不變，符號看象限.”

③公式五、六、八、九簡記“函數(shù)名改變，符號看象限.”

④任意角的三角函數(shù)求值轉化為銳角三角函數(shù)求值的一般步驟：

公式三或一公式一

任意負角的三角函數(shù)-----------A任意正角的三角函數(shù)-------日”

公式二或四或六

的角的三角函數(shù)曾角三角函數(shù).

此過程充分體現(xiàn)把未知知識轉化為已知問題的數(shù)學思想，即化歸思想.

⑤在運用公式時，方法不是唯一的.

2、例題

例1、求sin(-3")的值

3

、注]./16x.16萬.乙工4萬、.4萬.(,兀、.萬石

法1：sin——")=-sm---=一sin(4"+——)=-sin——=-sin(乃+一)=sin—=——

3333332

法2：sin(--^-)=sin(-6^-+—)=sin—=sin(^--)=sin—=—

333332

注意：方法不唯一.

例2：若sinO=@，則——cos(7——+--------------8s(2萬-。)-----的值是多少.

cos^[sin(—萬—6)—1]cos(萬+0)sin(—+6)-sin(^-+0)

利用誘導公式對被求式進行化簡答案：6

3、練習：

(1)(2001年全國高考題)tan3000+sin450°的值為：B

A1+V3BI-V3C-1~-^3D-1+V3

(2)(1999年廣東高考題)tan3150-tan(-300°)+cot(-300°)的值是：」

(3)(2004年湖北高考題)tan2010°的值為：立

3

課后作業(yè)：例題的再思考，運用多種方法求解.

教學后記:

1.4三角函數(shù)的圖像

教學目標：讓學生了解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖像的畫法及其圖像的特征.

教學重點：五點作圖法畫正、余弦函數(shù)的圖像，正、余弦函數(shù)圖像的特征.

教學難點：1、正弦函數(shù)圖像在［°2句內的畫法

2、由［°2司拓展為R上的正、余弦函數(shù)的圖像

教學用具：多媒體

教學類型：新授課

教學過程：

一、復習與鞏固

1、誘導公式

公式一sin（2左乃+。）=sin。cos(2左4+a)=cosatan(2左4+a)=tana

公式二sin(7r+cr)=-sinacos(?+a)=-cosatan(乃+a)=tancr

公式三sin(-cr)=-smacos(-cr)=cosatan(-cr)=-tana

公式四sin(7r-ez)=sinacos(〃一a)=-cosatan(〃一a)=-tana

m、

公式五sin(^--cif)=cosacosg-a)-sinatan(--cr)=cota

..TC..TC、.m、

公式六sm(—+a)=cosacos(—+a)—sinatan(—+a)=-cota

規(guī)律：奇變偶不變，符號看象限

2、三角函數(shù)線

二、新課

1、引入（1）作簡諧運動的試驗；（2）水波，水浪

2、直接可得波形圖像一/\/\

3、正課7

（一）正弦函數(shù)圖像的畫法

1、畫出y=sinx,xeD2的圖像

思考:上圖是否是y=sinx的圖像，為什么？因為y=sinx的定義域是R

當角x繼續(xù)增大時，圖像如何畫？當角x取負值時，圖像如何畫？

2、畫出y=sinx,xGR的圖像.

①畫法1

思考：正弦函數(shù)線與正弦函數(shù)圖像的區(qū)別和聯(lián)系？

(1)正弦函數(shù)線是個體，正弦函數(shù)圖像是整體

(2)正弦函數(shù)線是做正弦函數(shù)圖像的基礎，正弦函數(shù)圖像是包含有正弦函數(shù)線

②正弦函數(shù)圖像的畫法(2)

常規(guī)方法：描點法

由于我們已知正弦函數(shù)的圖像是波形，所以我們只需找出y=sinx的關鍵點即可，通常取以

該方法稱為五點作圖法，拓展以后，即可得到整個圖像

思考提問：由正弦函數(shù)的圖像可觀察出，正弦函數(shù)的定義域和值域分別是什么？

3、余弦函數(shù)圖像的畫法

.z冗、

y=cosx=sin(——Fx)y=sin%—y=sin(——Fx),(也艮Py=cos%)

由誘導公式2由2

y=sinx的圖像向左平移工個單位，即可得郅=sin(-+%)

可見只需把22也即是

y=co石的圖史

(1)平移得到圖像為，=c°sx(xe[0,2/r])

(l)y=1+sinxxe[0,2/r](2)y=-cos%(%e[0,2/r])

解法一、五點作圖法

解法二、(1)y=l+sinx是由y=sinx向上平移一個單位得到

(2)y=-cosx是由y=cosx關于x軸對稱得到(x,y)f(x,-y)

3

y=sin(x——乃)和y=cosxfi勺圖像

例2、想一想，函數(shù)2,并在同一直角坐標系中，畫出它

的草圖

5、總結

6、作業(yè)P53.1

課后反思

1.4三角函數(shù)的圖象和性質

教學目的：1.掌握正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的性質.

2.會求簡單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調區(qū)間.

教學重點：正、余弦函數(shù)的性質.

教學難點：正、余弦函數(shù)性質的理解與應用.

教學課時：3課時

教學類型：新授課

教具：多媒體

教學過程

二.引入：

上節(jié)我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象.今天，我們借助它們的圖象來研究它們有哪些性

二.講解新課：

觀察圖象可以看出:

1.定義域

函數(shù)y=sin%及y=cosx定義域都是實數(shù)集R[或(-8,+8)],分別記作：

y=sinx,尤eRy=cos%,xeR.

2.值域

因為在單位圓中，正弦線、余弦線的長度都是小于或等于半徑的長1的，所以

卜山乂<iJcosRW1,即一1<sin%<1,-1<cosx<1.

也就是說，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是[-1,1].

3.最大值與最小值

由圖象可知：

對于正弦函數(shù)y=sinx,xeR

JT

⑴當且僅當x=萬+2左斗左eZ時,y取得最大值1.

TT

(2)當且僅當x=--+2k小左eZ時,y取得最小值-1.

而余弦函數(shù)

(1)當且僅當x=2bz■次eZ時，y取得最大值1.

(2)當且僅當x=(2、+1)],(eZ時,y取得最小值-1.

4.周期性

從前面的學習我們已經(jīng)看到，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)值具有“周而復始”的變化規(guī)律，又由

sinq+2左")=sinx,cos8+2左乃)=cosx,keZ

知:當自變量x的值增加2乃的整數(shù)倍時，函數(shù)值重復出現(xiàn).

數(shù)學上，用周期性這個概念來定量刻畫這種“周而復始”的變化規(guī)律.

周期函數(shù)定義：

對于函數(shù)y=/(x)，如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內的每一個值時，都有

/(x+T)=/(x),那么函數(shù)/(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期凋期

函數(shù)的周期不止一個.例如，對于y=sin尤,xeR來說,2",4乃,…2漢—4肛…都是它的周期,

一般地,2左萬(左eZ且左中0)都是它的周期.

最小正周期定義：

如果在周期函數(shù)y=/(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做了(x)

的最小正周期.根據(jù)上述意義，可知:正弦函數(shù).余弦函數(shù)都是周期函數(shù).2k兀(keZ且左w0)都

是它的周期,最小正周期是2萬。

5.奇偶性：

觀察正弦曲線，余弦曲線，可以看到：

正弦曲線關于原點0對稱,余弦曲線關于y軸對稱

由誘導公式sin(一無)=-sinx,cosQx)=cosx可知：

正弦函數(shù)是奇函數(shù),余弦函數(shù)是偶函數(shù).

6.單調性：

Jr37r

我們可以在正弦函數(shù)的一個周期的區(qū)間上(如)討論它的單調性，再利用它的周期性,

把單調性擴展到整個定義域.

閱讀課P42-43引導學生觀察正弦曲線，共同探討得出：

TT1T

正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［-5+2左肛5+2左乃］(左€2)上都是增函數(shù),其值從-1增大到1;在

每一個閉區(qū)間［1+2左左,m+2左刈(左62)上都是減函數(shù),其值從1減少到-1.

探究:類似地，你能寫出余弦函數(shù)的單調區(qū)間嗎？

三.例題與練習

例1：課本p40例2

思考:你能從例2的解答過程中歸納一下函數(shù)的周期與解析式中哪些量有關？

練習:課本41頁練習第1題，第2題

練習:課本46頁練習第2題

例2:課本43頁例3

練習:課本46頁練習第1題第4題

例3:課本44頁例4

例4:課本44頁例5

練習課本46頁練習第4題第5題

四.小結：

1學會利用數(shù)形結合的方法掌握正余弦函數(shù)的圖象和性質.

2熟練掌握正弦余弦函數(shù)圖象性質的簡單應用

五.布置作業(yè)

課本53頁第2-8題.

六.教后感

1.4.3正切函數(shù)的圖像與性質

教學目的：1.借助圖象理解正切函數(shù)在22上的性質（如單調性、最大和最小值,圖象與x

軸交點等）.

2.會求正切函數(shù)的定義域、周期、單調區(qū)間

3.體會正切函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.

教學重點:正切函數(shù)的性質

教學難點:正切函數(shù)的性質的理解與應用

教學時數(shù):2課時

教學方法:啟發(fā)引導式

教具準備:多媒體

教學過程：

第一課時

回顧引入

（冗wfcrH——Kez）

正切函數(shù)的定義域,值域是什么？2

正切函數(shù)有哪些性質？（周期性、奇偶性、單調性、最大值、最小值）

單位圓中的正切線如何表示？

二.講授新課

（一）作出y=tanx的圖像

1.如何作出丁=1211”在22上的圖像.圖略見050圖1.4—9

[兀]

y=tanxGAKTI-\——，左wz

2.作出2的圖像！

(二)討論正切函數(shù)的性質

1.周期性

71

tan("+x)=tan%xeRx^—+k7ikez

二正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是萬

2.奇偶性

71

tan-(x)=—tanvx&Rx^—+knkez

正切函數(shù)是奇函數(shù)

3.單調性

由圖形知丁日皿龍在2'2是單調增函數(shù)

(----F&7T,--k7l),kGZ.

由周期性知丁=tan%在22內都是增函數(shù)

注意：只能說在某個區(qū)間內是增函數(shù)，不能說丁=1皿”在定義域范圍是增函數(shù).與

y=(”>D在某個某個定義域范圍內是增函數(shù)是有區(qū)別的.

值域由圖形可知正切函數(shù)的值域是實數(shù)集R

(三)例題講解

_TC、

y=tan(z2xH——)

例1.求3的定義域,周期.

解略(1)定義域：212(2)2

注:求最小正周期，對丁=tan(g+e),用時求之.

三.課堂練習.4J—4

四.教學小結:本節(jié)學習了正切函數(shù)的圖象與性質（周期性,奇偶性，單調性,值域）

五作業(yè):鳥36，7

六.教學后記

第二課時

一.復習回顧

1.正切函數(shù)的圖象

2.正切函數(shù)的性質

二.講授新課

例L求函數(shù)wtangx+g）的定義域周期和單調區(qū)間例6

（1）定義域1x卜工2k+g,左ez

(2)T=2

(3)單調遞增區(qū)間(-g+2k,g+24，左ez

例2.求函數(shù)丁=瞿二吧的定義域.

Vl-2sinx

tan%<1

1-tan%>0

解:由<.1(1)

l-2sinx>0sinx<—

2

利用單位圓的有向線段先在（-2,2）和（石，至）

2222

上找出滿足⑴式的X取值范圍再寫函數(shù)的定義域

|x\2k7i--<x<2k兀+—或2k力+—<x<2k兀+—,k&z}

[|2664

例3.下列四個命題中正確的是（）

A.正切函數(shù)在整個定義域內是增函數(shù)

B.周期函數(shù)一定有最小正周期

C.函數(shù)y=3tan"的圖象關于Y軸對稱

解：由1：tan工〉tan四=一1排除A

44

7?（x）=0是周期函數(shù)，但沒有最小正周期.排除B

y=3tan7^=3tan|x|知可選C

例5.寫函數(shù)3tanx-620成立的X的集合.

j兀-I7C71

\{XK7lH——<X<K7l——,kGz}

62

三.課堂練習：月25,6

四.作業(yè):489P54B2

五..教學后記.

L5y=Asin（&￥+0）的圖像與性質

教學目的：通過作丁=Asin（"氏十°）的圖象，使學生會作線性復合函數(shù)的圖象，從而深

入理解運動變換的觀念，進而培養(yǎng)他們的創(chuàng)造意識.

重點:用參數(shù)思想討論y=Asin3：+0）的圖象變換過程.

難點:圖象變換與函數(shù)解析式變換的內在聯(lián)系的認識.

課型:新授

學時:2

教學進程：

如何用了（X）的圖像做出了（X土>°）的圖像.

命題1.（橫向平移）/（無土。*°>°）的圖像可由/（X）的圖像上的點向左（“+”）或向右（）平

移夕個單位而得到.

例1：用/（X）的圖象作出/（x±9）的圖象.

f（x）=sinx,（p=—

（1）3

命題2.（橫向伸縮變換）/（加》。>°）的圖像可由/（*）的圖像上的點縱坐標不變，橫坐標伸

縮到原來的。而得到.

注：“橫向伸縮變換”也叫“周期變換”

例2.用N=smx,xe[0,2捫的圖像作y=5詢2%,%6[0,1]的圖像

解:步驟：1.取關鍵點列變換表:

作業(yè):習題1.5A組1,2,(1),(2)

第二課時

命題3.(縱向伸縮變換)"(x)(A>°)的圖像可由/(%)的圖像上的點橫坐標不變縱坐標伸縮

到原來的A倍而得到.

注:縱向伸縮變換也叫“振幅變換”.

如何用AM的圖像作出/(x)±B(B>0)的圖像.

命題4.(縱向平移)/(x)±3(3>0)的圖像可由/'(X)的圖像上的點向上(“+”)或

向下(“-")平移B個單位而得到.

例3.判斷下面兩個命題是否正確.

(1)y=sin(2x+q)的圖像可由sin2x的圖像向左平移"得到.

(2)函數(shù)y=/(x-的圖像可由/(x),xe即,網(wǎng)的圖像向右平移3個單位

而得到.

解：(1)不正確，應是sin2尤的圖像向左平移工.

6

(2)不正確，因為/(%)的定義域是［也用，當xepn,加時，/(x-3)不一定有意義.

如何