2021-2022學年人教A版選擇性必修第二冊 第5章5.1.2 導數(shù)的概念及其幾何意義

5.1.2導數(shù)的概念及其幾何意義

學習任務核心素養(yǎng)

1.經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，體1.通過導數(shù)概念和導

會導數(shù)概念的實際背景.數(shù)幾何意義的學習，培

2.了解導函數(shù)的概念，理解導數(shù)的幾何意義.養(yǎng)數(shù)學抽象及直觀想

3.根據(jù)導數(shù)的幾何意義，會求曲線上某點處的象的核心素養(yǎng).

切線方程.（重點）2.借助切線方程的求

4.正確理解曲線“過某點”和“在某點”處的解，提升數(shù)學運算核心

切線，并會求其方程.（易混點）素養(yǎng).

［情境導學?探新知］情境趣味導學?預習素養(yǎng)感知

令情境與問題

跳水運動員的跳臺距水面高度分為5米、7.5米和10米3種，奧運會、世界

錦標賽等限用10米跳臺.跳臺跳水根據(jù)起跳方向和動作結(jié)構(gòu)分向前、向后、向

內(nèi)、反身、轉(zhuǎn)體和臂立6組.比賽時，男子要完成4個有難度系數(shù)限制的自選動

作和6個無難度系數(shù)限制的自選動作，女子要完成4個有難度系數(shù)限制的自選動

作和4個無難度系數(shù)限制的自選動作.每個動作的最高得分為10分，以全部動

作完成后的得分總和評定成績.

如下圖，表示跳水運動中運動員的重心相對于水面的高度隨時間變化的函數(shù)

%（/）=-4.9P+4.8/+11的圖象，根據(jù)圖象,請描述比較曲線。（。在r=/o,t\,t2

附近的變化情況.

知識點1函數(shù)y=/（x）在%=xo處的導數(shù)

如果當Ar-0時，平均變化率非無限趨近于一個確定的值，即若有極限，

則稱y=/（九）在x=xo處可導,并把這個確定的值叫做y=/（x）在x=xo處的導數(shù)（也

稱為瞬時變化率),記作/'(xo)或Z1?即/(次)=11md加+黑心0)

簡記：函數(shù)y=/(幻在x=xo處的導數(shù)就是函數(shù)y=/(x)在(九0,/O))處的瞬時

變化率.

思考f'(xo)>O和廣(xo)VO反映了怎樣的意義？

［提示］尸(xo)>O反映了瞬時變化率呈增長趨勢，/(xo)VO反映了瞬時變化

率呈下降趨勢.

體驗,1./0)=/在尤=1處的導數(shù)為()

A.2xB.2C.2+AxD.1

(1+Ax)2—I2

B|/'(l)=lim-----、----=lim(2+Ax)=2.故選B.］

△x-oAx-o

知識點2導數(shù)的幾何意義

(1)導數(shù)的幾何意義

如圖，割線PoP的斜率人用;？記Ax=x—次，當點P沿著曲線y=f(x)

無限趨近于點Po時，即當Ax-O時，々無限趨近于函數(shù)y=/(九)在x=xo處的導數(shù)，

因此，函數(shù)y=f(x)在x=xo處的導數(shù)fTro)就是切線PoT的斜率ko,即ko=lim

Ar-0

於)+Ax)-兀視)=/w.

⑵切線方程

曲線y=/(x)在點(X。，/(X。))處的切線方程為y—f(xo)=f'(xo)(x—X0).

體驗2.函數(shù)y=/(x)在x=x()處的導數(shù)尸(xo)的幾何意義是()

A.在點(xo,人優(yōu)))處與y=/a)的圖象只有一個交點的直線的斜率

B.過點(xo,/(xo))的切線的斜率

C.點(如/(xo))與點(0,0)的連線的斜率

D.函數(shù)y=/(x)的圖象在點(xo,/(xo))處的切線的斜率

D［根據(jù)導數(shù)幾何意義的規(guī)定知，只有D正確.在(xo,/(xo))處的切線可能

與函數(shù)有多個交點.］

知識點3導函數(shù)

對于函數(shù)y=/(x),當x=xo時,/'(xo)是一個唯一確定的數(shù)，當x變化時，尸(x)

就是x的函數(shù)，我們稱它為y=/(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))，即ff(x)=y=lim

AAJ0

於+Ax)~/(x)

△x

體驗’3.求函數(shù)/(x)=—f+3無的導數(shù).

［解］因為by=f(x+Ax)-/(X)=［-(X+AX)2+3(X+AX)］-(-X2+3X)=-

(Ax)2—2x-Zk￥+3,Ax,

所以第=一以一"+3.

故函數(shù)的導數(shù)/(x)=lim乎=lim(―Ax—2x+3)=—2x+3.

zlv->0"Ax—o

［介作探究?釋疑難］疑難問題解惑?學科素養(yǎng)形成

□類型1利用定義求函數(shù)在某點處的導數(shù)

【例1】(1)已知函數(shù)/(X)在x=xo處可導，若

Xxo+2Ax)-y(xo)

lim------7-------=1，貝V(xo)=()

A.2B.1C.2D.0

⑵求函數(shù)y=/(x)=x—(在x=-1處的導數(shù).

(DC土甯二幽=1,吐駕檢出,即小。)=

Ax-oaA、j。NAX乙

+1

選

2m-故c

牙

-0

⑵［解］因為?=/(—1+-)—/(-1)=-1+——^^一0=

—2Ax4"(Ar)2

-1+ArJ

2

“Ay—2Ax+(Z\x)—2+Ax/,一一己i

所以心=(T+詞口=F不，故函數(shù)在尤=一1處的導數(shù)川-一|=史

Ay—2+Ar

-72=lim—r--=2.

MAr-o—1+Ax

廠.......?退思領悟......

1.利用定義求函數(shù)/(尤)的導數(shù)的步驟

(1)求函數(shù)值的改變量△y=/(x+Ax)—/(x)；

△.丫火*+醺)一段)

(2)求函數(shù)的平均變化率

AA--AX

(3)取極限，得r(x)=lim儀.

其中，在第二步求平均變化率時，要注意對黨的變形與約分，如果變形或約

分不徹底，可能導致極限lim把不存在；在對堯取極限時，必須將把變形到當

八丫一°IWIWIW

Ax-0時，分母是一個非零常數(shù)的形式.

2.求函數(shù)/(%)在某一點次處的導數(shù)，通常可以有兩種方法：一是直接利用

函數(shù)在某一點次處的導數(shù)的定義求解；二是先利用導數(shù)的定義求出函數(shù)的導函

數(shù)，再計算導函數(shù)在次處的函數(shù)值.

［跟進訓練］

Y

1.建造一棟面積為x0)2的房屋需要成本y萬元，y是x的函數(shù)，y=/(x)=m

上器十0.3,求尸(100),并解釋它的實際意義.

［解］根據(jù)導數(shù)的定義，得

/X100)=lim需

As

/(100+4r)-/(100)

=lim----------------

△x-o

lOO+Ax+d100+Ax+3-(100+、100+3)

].(1.y]100+Ax-10)

史lw+lOAx)

.r±,_____]

股L1010X(^/100+Ax+10)

=0.105.

尸(100)=0.105表示當建筑面積為100n?時，成本增加的速度為1050元/n?.

13類型2導數(shù)幾何意義的理解與應用

【例2】已知函數(shù)/(x)在R上有導函數(shù)，且/(x)的圖象如圖所示，則下列

不等式正確的是()

A.f\a)<f'(b)<f'(c)

C.尸⑷〈尸(c)Vf'?D.f'(c)<f'(a)<f'(b)

(2)如圖所示，點A(2,1),8(3,0),E(x,0)(x20),過點E作OB的垂線/.記

△AOB在直線/左側(cè)部分的面積為S,則函數(shù)S=/(x)的圖象為下列選項中的

)

嘗試與發(fā)現(xiàn)

利用導數(shù)的幾何意義去理解，導數(shù)值越大，變化率越大.

(1)A(2)D[⑴由題意可知，f'(a),尸(份，/(c)分別是函數(shù)/(X)在x=a、x

=b和》=,處切線的斜率，則有尸(a)<0勺?'(/?)勺''((?),故選A.

(2)函數(shù)的定義域為［0,+8).

當xW［0,2］時，在單位長度變化量Ar內(nèi)面積變化量AS越來越大，即圖象

切線的斜率/<x)在［0,2］內(nèi)越來越大，因此，函數(shù)S=/(x)的圖象是上升的，且

圖象是下凸的：

當x￡(2,3)時，在單位長度變化量Ax內(nèi)面積變化量AS越來越小，即圖象

切線的斜率/<x)在(2,3)內(nèi)越來越小，因此，函數(shù)S=/(x)的圖象是上升的，且

圖象是上凸的：

當xe［3,+8)時，在單位長度變化量Ar內(nèi)面積變化量AS為0,即圖象切

線的斜率尸(x)在［3,+8)內(nèi)為常數(shù)0,此時，函數(shù)圖象為平行于x軸的射線.故

選D.］

］.......?成思領悟?..........................

導數(shù)幾何意義理解中的兩個關鍵

關鍵點一：y=/(x)在點尤=尤。處的切線斜率為則上>0%'(九0)>0；k<Q

知，(無0)<0；R=O%'(xo)=O.

關鍵點二：，'(xo)|越大臺在X0處瞬時變化越快；，'(刈)|越小臺在X0處瞬時變

化越慢.

［跟進訓練］

2.(1)已知函數(shù)/(X)的圖象如圖，設尸(X)是/(X)的導函數(shù)，則尸。㈤與廣(XB)

的大小關系正確的是()

A.

B.

C.f'(XA)=f'(XB)

D.廣(XA)與廣(XB)的大小關系不確定

⑵某家電制造集團為盡快實現(xiàn)家電下鄉(xiāng)提出四種運輸方案，據(jù)預測，這四

種方案均能在規(guī)定時間T內(nèi)完成預期的運輸任務Qo,各種方案的運輸總量。與

時間，的函數(shù)關系如下所示.在這四種方案中，運輸效率(單位時間內(nèi)的運輸量)

逐步提高的是()

(1)A(2)B［(1)由導數(shù)的幾何意義可得，則廣(鼎)與廣(心)分別為A,8處

的切線斜率，結(jié)合圖象可知，:(X4)"〈XB).

(2)從函數(shù)圖象上看，要求圖象在［0,4上越來越陡峭，在各選項中，只有B

項中圖象的切線斜率在不斷增大，即運輸效率(單位時間內(nèi)的運輸量)逐步提

高.故選B.］

□類型3求切線方程

【例3】已知曲線Cy=V

⑴求曲線。在橫坐標為x=l的點處的切線方程；

(2)求曲線C過點(1,1)的切線方程.

［解］(1)將x=l代入曲線C的方程得y=l,切點尸(1,1).

Al(1+Ax)3-1

y|x=i=hrm=hrm最

Ax-o八A人Ax-o乙5

=lim[3+3Ax+(Ax)2]=3.

.?.z=yk=i=3.

曲線在點尸(1,1)處的切線方程為y—l=3(x-l),

即3x-j-2=0.

(2)設切點為。(xo,>-()),由(1)可知y'|=.=3看，由題意可知的2=訓=.,

XATOXX0

ryo—1o1a,“9

即-=3x6,又yo=x8,所以-=3xo6,即2高一3而o+1=0,解行xo=l

xo—1xo—1

或xo=-2?

①當%0=1時，切點坐標為(1,1),相應的切線方程為3x—y—2=0.

②當九0=-g時，切點坐標為(一；，—相應的切線方程為升"=非+；),

即3x-4），+l=0.

［母題探究］

1.(變條件)把題中條件'/=■?”改成“y=1?”，求曲線在尤=1點處的切線

方程.

［解］把x=l代入丁=/得y=F=］.

即切點P(l,1),

2-

r兇(1+AX)1

外=i=hmA=limT-

AA-O公兀Ax-oX

=lim(Ax+2)=2,

Ax-o

.".k=y'\x=i=2.

曲線在P(l,1)處的切線方程為

y—1=2(x—1),即2x~y—1=0.

2.(變條件)把題中條件“y=T”改成"y=9+l”，求曲線過點(1,1)的切

線方程.

Ay=(尤+&)3+1———1

闞Ar

3MAX)2+3/AX+(AX)3

一Ax

=3xAx+Sx2+(A%)2,

則limT^=3X2,因此y'=3/.

Ax-o"

設過點”(1,1)的直線與曲線y=d+l相切于點尸(M),看+1),根據(jù)導數(shù)的

幾何意義知曲線在點P處的切線的斜率為&=3/①，過點M和點P的切線的斜

率&=3+111②,由①一②得3x6=解得xo=O或陽)=,，所以％=0或人

XO—1X0—12

27

=彳，因此過點A/(l,1)且與曲線丁=爐+1相切的直線有兩條，方程分別為y—

27

1=彳(工—1)和y=l,即27元—4y—23=0和y=l.

［....????成思領悟.....—

利用導數(shù)的幾何意義求切線方程的方法

(1)若已知點(xo,yo)在已知曲線上，求在點(九0,yo)處的切線方程，先求出函

數(shù)＞=/(尤)在點xo處的導數(shù)，然后根據(jù)直線的點斜式方程，得切線方程y-yo=

f'(xo)(x—xo).

(2)若點(xo,yo)不在曲線上，求過點(xo,yo)的切線方程，首先應設出切點坐

標，然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點坐標，進而求出切線方程.

[當堂達標?夯基礎]:誄堂知識檢測?小結(jié)問題點評

1.下面說法正確的是()

A.若尸(刈)不存在，則曲線y=/Q)在點(xo,/(xo))處沒有切線

B.若曲線y=/(x)在點(xo,/(次))處有切線，則/(xo)必存在

C.若尸(xo)不存在，則曲線y=/(x)在點(須，/(刈))處的切線斜率不存在

D.若曲線y=/(x)在點(xo,/(xo))處沒有切線，則/(xo)有可能存在

C[根據(jù)導數(shù)的幾何意義及切線的定義知曲線在(xo,")處有導數(shù)，則切線

一定存在，但反之不一定成立，故A,B,D錯誤.]

2.已知尸(x)是/(x)的導函數(shù)，且1(1)=3,則lim火I"J2AA)=()

3

A.3B.6C.-6D.-2

「「??￡，「、Q.川)一川+2醺)-2[Al+2Ax)-Xl)]

c[./'⑴=3,..rhm7-=lim-------------------=-2hm

Ax—oAx-oAJO

/(1+2AX)-A1),上

--2A,r--y，(l)=-6,故選C.]

3.某司機看見前方50m處有行人橫穿馬路，這時司機開始緊急剎車，在剎

車的過程中，汽車的速度。是關于剎車時間/的函數(shù)，其圖象可能是()

A[根據(jù)題意，剎車過程中，汽車速度呈下降趨勢，排除選項C,D;由于

是緊急剎車，則汽車速度下降非?？?，則圖象較陡，排除選項B,故選A.]

4.設曲線/(%)=加在點(1,a)處的切線與直線2x—y—6=0平行，則a等

a(]+Ax)2—〃X]2

1[因為尸(l)=lim

Ax-o△x

2aAr+a(Ax)2

=lim-----T7-----=lim(2a+a/^x)=2a,

Ax-oAv-o

所以2a=2,所以a=l.］

5.已知曲線＞=21-7在點P處的切線方程為8x-y—15=0,則切點P的

坐標為.

(2,1)［設切點P(〃z,〃)，切線斜率為3

由y'=lim4^=lim[2(x+—7]—(2f-7)

Ax-OAx-oAx

=lim(4x+2Ax)=4x,

得k=y'\x=m=4m.

由題意可知4"?=8,：.m=2.

代入>=2*2—7得n=1.

故所求切點P為(2,1).]

(-------------------1陶園02窗?-------------

回顧本節(jié)知識，自我完成以下問題：

(1)廣(刑)是如何反映函數(shù)y=/(x)的圖象特征的？

［提示］曲線的升降、切線的斜率與尸(次)的關系如下:

尸(xo)的曲線/(x)在x=xo附切線的

切線的傾斜角

付KX方X3近的升降情況斜率k

尸(xo)>O上升k>0銳角

/，(xo)<O下降k<0鈍角

零角(切線與X軸平

尸(xo)=O平坦k=O

行)

(2)函數(shù)y=/(x)在x=xo處的導數(shù)尸(xo)與導函數(shù)/(x)之間的區(qū)別和聯(lián)系是什

么？

［提示］區(qū)別