2021新高考二輪復習·數(shù)學第二編 七 規(guī)范答題系列六

規(guī)范答題系列六

概率與統(tǒng)計類解答題

例

(12分)某校高三年級有500名學生，一次考試的英語成績服從正態(tài)

分布N(100,17.52),數(shù)學成績的頻率分布直方圖如下:

(1)如果成績高于135分的為特別優(yōu)秀，則本次考試英語、數(shù)學成績特別優(yōu)秀

的學生大約各多少人？

(2)試問本次考試英語和數(shù)學的平均成績哪個較高，并說明理由；

(3)如果英語和數(shù)學兩科成績都特別優(yōu)秀的共有6人，從(1)中的這些學生中隨

機抽取3人，設3人中兩科成績都特別優(yōu)秀的有^人，求^的分布列和數(shù)學期望.

參考公式及數(shù)據(jù)：

若X?，rr),貝1JP(ju-+a)=0.68,P(ju-+2(r)=0.96,P("

~3cr<XW〃+3cr)=0.99.

解題思路第(1)問，根據(jù)正態(tài)分布及頻率分布直方圖可以得出英語成績和數(shù)

學成績特別優(yōu)秀的概率，從而求得結果；第⑵問，根據(jù)正態(tài)分布可得英語的平均

成績，根據(jù)頻率分布直方圖可得數(shù)學的平均成績，即可得結論；第⑶問，寫出4

的所有可能取值，分別計算其概率，寫出分布列，計算數(shù)學期望即可.

解(1)因為英語成績服從正態(tài)分布M100,17.52),

所以英語成績特別優(yōu)秀的概率

Pl=P（X2135）=（1-0.96）x1=0.02,（2分）

由頻率估計概率，得數(shù)學成績特別優(yōu)秀的概率

3

P2=0.0016X20X-=0.024,

所以英語成績特別優(yōu)秀的學生大約有500X0.02=10人，

數(shù)學成績特別優(yōu)秀的學生大約有500X0.024=12A.（4分）

（2）本次考試英語的平均成績?yōu)?00分，

數(shù)學的平均成績?yōu)?0X0.16+80X0.168+100X0.48+120X0.16+

140X0.032=94.72分，因為94.72<100,所以本次考試英語的平均成績較高.（6

分）

（3）英語和數(shù)學成績都特別優(yōu)秀的有6人，則單科成績特別優(yōu)秀的有10人，f

可取的值有0,1,2,3,（7分）

所以P（4=0）=錯誤！=錯誤！，尸4=1）=錯誤！=錯誤！，

尸（。=2）=錯誤！=錯誤！，P（4=3）=錯誤！=錯誤！，（9分）

故^的分布列為

0123

327151

r

14565628

（10分）

3271519

E（a=0X-+lX^+2X-+3X^=g.

3X69

或因為《服從超幾何分布，所以石?=1-=殺（12分）

踩點得分

1.根據(jù)正態(tài)分布計算出英語成績特別優(yōu)秀的學生人數(shù)給2分.

2.根據(jù)頻率分布直方圖計算出數(shù)學成績特別優(yōu)秀的學生人數(shù)給2分.

3.計算出數(shù)學的平均成績，并與英語平均成績相比較給2分.

4.正確寫出^的所有可能取值給1分.

5.求出隨機變量對應的概率值給2分，每個0.5分.

6.寫出隨機變量的分布列給1分.

7.根據(jù)公式求出數(shù)學期望值給2分.

答題啟示

1.求解正態(tài)分布問題的關鍵：一是〃，片所反映的變量的特征，二是正態(tài)曲

線的對稱性.

2.由頻率分布直方圖求解數(shù)值時，要注意縱軸表示的是頻率/組距.

3.求分布列要先確定離散型隨機變量的可能取值，然后分別求出每個取值對

應事件的概率，最后列出分布列的表格，切忌直接列出分布列，痛失步驟分.

［跟蹤訓練］

（2020?河北省張家口高三5月模擬）（12分）2019年第十三屆女排世界杯共12

支參賽球隊，比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊進行U場比賽，最后靠積分

選出最后冠軍.積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3-0或3-1取

勝的球隊積3分，負隊積0分；而在比賽中以3-2取勝的球隊積2分，負隊積1

分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為中國隊和美國隊，中國隊積26分，美國隊

積22分.第10輪中國隊對抗塞爾維亞隊，設每局比賽中國隊取勝的概率為

p（0<p<l）.

（1）第10輪比賽中，記中國隊3-1取勝的概率為加），求加）的最大值點P。；

（2）以⑴中的加作為2的值.

①在第10輪比賽中，中國隊所得積分為求g勺分布列;

②如果第10輪中國隊積3分，判斷中國隊能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過

后，無論最后一輪即第U輪結果如何，中國隊積分最多）？若能，求出相應的概

率；若不能，請說明理由.

解⑴%）=C/（l-p）=3p3（「p）.（l分）

因此，（/?）=3［3p2（l-夕）+必-1）］=322（3-4p）.（2分）

令f（P）=0,得"=|,當"（o,D時，/'（P）＞0,加）在（0,|）上為增函數(shù)；

當p￡住,1）時,/⑦）＜0,加）在修，1）上為減函數(shù)（4分）

所以加）的最大值點po=*（5分）

（2）由⑴知遇.

①珀勺可能取值為3,2,1,0.

尸（。=3）=（1）3+需）彳1一（|=鬻（6分）

Pg=2）=端）［1—1）2=衰,（7分）

P4=1）=C（1—護|/=皂,（8分）

PG=0）=（1-+c（i-|）3x|=梟9分）

所以4的分布列為

3210

189812713

P

256512512256

（10分）

②