2022年高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何用空間向量研究距離夾角問題作業(yè)新人教A版選擇性必修第一冊

1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題

[A級新教材落實與鞏固]

一、單項選擇題

1.如圖,在正四棱柱ABCD-ABCQ中，AA產(chǎn)2AB,則異面直線A】B與AD,所成角的余弦

值為（D）

2.二面角的棱上有A,B兩點，直線AC,BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都

垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2A/17,則該二面角的大小為（C）

A.150°B.45°C.60°D.120°

3.在直三棱柱ABC-ARG中，ZACB=90°,AC=1,CB=/,側(cè)棱AA,=1,側(cè)面AA^B

的兩條對角線的交點為D,則平面及BD與平面CBD所成角的余弦值等于（C）

【解析】建立如圖所示的坐標(biāo)系，由題意可知,

B（心,0,0）0）,（啦,0,1）,

C（0,0,0）,Dl22）,所以而=

CB,0,0）,BA=（一氈，1，0），

1

_V2,1,1

BB|=(O,0,1),前=12'2’2J.

設(shè)平面CBD和平面B,BD的一個法向量分別為n,,n2,

求得％=(0,1,—1),n2=3皿,0),

n2

所以Icos(nPn2)I"!'i*,0!~~，

|n1||n2|3

故平面,BI)與平面CBD所成角的余弦值為業(yè).

3

4.在矩形ABCD中，AB=1,BC=S,PA_L平面ABCD,PA=1,則PC與平面ABCD所

成的角。是(A)

A.30°B.45°

C.60°D.90°

【解析】建立

如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則P(O,0,1),c(i，S,o),則證=3也,-1),

平面ABCD的一個法向量為n=(0,0,1),所以sin。=|cosn)|==一

IPCI|n|2

所以PC與平面ABCD所成的角為30°.

5.在棱長為a的正方體ABCD-ABC。中,M是AA1的中點，則點片到平面MBD的距離是

(A)

AgaR弧「弧n弧

A?------D.---------C.-------D.-------

6643

【解析】如圖

所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則Ala,0,a),M['0,3,B(a,a,0),D(0,0,0),

2

0,0,

所以MAj=11

I].DB=(a,a,0).

a,0,

前=

設(shè)平面MBD的法向量為n=(x,y,z),

n?DM=ax+-z=0,

2

則令x=l,得n=(l,—1,—2),

n?DB=ax+ay=0,

In?MA】|

所以點兒到平面MBD的距離是

n6

6.在長方體0ABC-0AB￡中,0A=2,AB=3,AAt=2,則點01到直線AC的距離是(B)

AB2^/^

?13.13

rV143n2標(biāo)

C.--------1).----------

1313

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則A(2,0,0),0,(0,0,2),C(0,3,0),所以A01=(-2,0,2),AC=(一2,3,

AO,?AC4

0),所以AO「AC=(-2,0,2)(-2,3,0)=4,所以"------=亍，所以a到直線

AC|也3

“AO-闔三

AC的距離d=

13

二、多項選擇題

7.如圖，PA_L平面ABCD,正方形ABCD的邊長為1,E是CD的中點，F(xiàn)是AD上一點,

當(dāng)BF_LPE時，貝U(BC)

A.AF：FD=2：1

B.AF:FD=1:1

3

2

C.若PA=1,則異面直線PE與BC所成角的余弦值為4

3

D.若PA=1,則直線PE與平面ABCD所成角為30°

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=a,

fl1,o]

則B(l,0,0),C(l,1,0),E12J,P(0,0,a).

設(shè)點F的坐標(biāo)為(0,y,0),

則前=(-l,y,0),PE=t''a),

VBF±PE,.,.BF?PE=0,解得y=^,

2

[o,ol

即點F的坐標(biāo)為I2J,

.?.F為AD的中點，

；.AF：FD=1：1,B正確，A不正確.

若PA=1,則P(0,0,1),

-?1,-11——

PE=12J,BC=(0,1,0),cos(PE,BC〉

19

=-，故C正確.

,1+13

平面ABCD的一個法向量為AP,

AP=(0,0,1),cos<AP,PE〉

故D不正確.故選BC.

8.在長方體ABCD-A'B'CzD'中，AB=2,AD=3,AA'=1,以D為原點，浪,DC,

DD7分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說法中正確的是

(ACD)

A.B薩=(-3,-2,1)

4

B.異面直線A'D與BD'所成角的余弦值為強(qiáng)

35

C.平面A'C'D的一個法向量為(-2,-3,6)

D.二面角C'-A'D-D'的余弦值為士

7

【解析】如圖，由題意可得A(3,0,0),

B(3,2,0),c(0,2,0),Dz(0,0,1),

Az(3,0,1),c'(0,2,1),B'(3,2,1),

所以BD'=(-3,—2,1),則A正確.DA'=(3,0,1),

BD7=(-3,-2,1),所以cos(Dr.BD7〉

DA7?BD7—8—-4南

ID/T|.IBD7I而X匹35

所以異面直線A'D與BD'所成角的余弦值為強(qiáng)，

35

則B不正確.設(shè)平面A'CD的一個法向量為n=(x，y.z),

由DA，=(3,0,1),DC'=(0,2,1),

n?帚=0,[3x+z=0,

則.所以,

n?DC7=0,I2y+z=o,

取z=6,得n=(-2,-3,6),則C正確.

由上可得平面A'C'D的一個法向量為n=(—2,-3,6),

又平面A'DD'的一個法向量為m=(0，1，0),

n?m—3

則cos<n,m)—=----,

|n|.|m|1X7

結(jié)合圖形可知二面角C'-A'D-D'的余弦值為之,

7

則D正確.故選ACD.

三、填空題

9.在正方體ABCD-ABCR中，M,N分別是棱AA】和BB,的中點，則sin〈5，D,N>=

5

暹

9一?

10.在正方體ABCD-ABCR中，直線BC與平面AJ3D所成角的余弦值為*=_.

3

【解析】如圖，

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1,

則D(0,0,0),A.d,0,1),B(l,1,0),

C,(0,1,1),所以DA|=(1,0,1),

DB=(1,1,0),BG=(—1,0,1),

設(shè)n=(x,y,z)為平面&BD的法向量，則

h?DA]=x+z=0,

,一令x=l,得n=(l,—1,—1).

n?DB=x+y=0,

設(shè)直線BC與平面A】BD所成角為0,

則sin0=|cos<n,BQ)I

IniIBCJ

2乖八，?鄧

—~TF=----,所以COSe=------.

72義勺333

11.在平行六面體ABCD-ARCD中，AB=1,AA,=3,AD=2,ZBAD=90°,ZBAA,=

ZDAA,=60o,則AC=而?

【解析】AC,=AB+AD+AA,,所以|ACjz=(而+AD+AA,)2=|AB|2+|AD|2+|AAj2+

2AB-AD+2AB?AA,+2AD-AA,=1+22+32+2X1X2Xcos90°+2XlX3Xcos60°+

2X2X3Xcos60°=23,所以lAC/二低，即人購=低.

12.如圖，在直四棱柱ABCD-AECD中，底面為直角梯形，AB〃CD且/ADC=90°,AD

=1,CD=3>BC=2,AA1=2,E是CG的中點，則AB到平面ABE的距離是—也

6

【解析】以D為原點，而，說，DD,的方向

分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(l,0,0),B(l,2#,0),E(0,他，1),

A,(l,0,2),所以—=(0,2而，0),

BE=(一1,一3,1),設(shè)平面ABE的法向量

為n=(x,y,z),則

n?AB=2^/3y=0,

,—解得x=z,y=0,取z=l,

n.BE——x—y/3y+z—0,

則n=(l,0,1).又易證AS〃平面ABE,

所以AB到平面ABE的距離等于點A1到平面ABE的距離.

又AA】=(0,0,2),所以點A1到平面ABE的距離

四、解答題

13.如圖，多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AECF所截而得到的，其中AB=4,

BC=2,BE=1,CG=3.

⑴求廊的值:

(2)求點C到平面AEC,F的距離.

7

解：以D為原點，DA,DC,DF所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C,(0,4,3).

(1)設(shè)F(0,0,a),由酢=E。，

得(一2,0,a)=(-2,0,2),解得a=2.

所以F(0,0,2),BF=(—2,-4,2).

所以|前=:(-2)z+(-4)2+3=2m.

⑵設(shè)n=(x,y,z)為平面AECF的法向量,

n?靠=0,(4y+z=0,

由,得,

n?AF=0,I-2x+2z=0，

1f.1;_1fI]I

取z=l,則n=l4J.又CC|=(0,0,3),

所以點C到平面AEC,F的距離d=(a.

|n|11

14.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAJ_底面ABCD,AB〃CD,AD=CD=1,ZBAD=120°,

ZACB=90°.

(1)求證：BC_L平面PAC；

8

解：（1）證明：因為PA_L底面ABCD,BCU平面ABCD,

所以PA_LBC.因為NACB=90°,所以BCLAC.

又PACIAC=A,所以BC_L平面PAC.

⑵設(shè)AP=h,取CD的中點E,

易得AADC是正三角形.

則AE_LCD,所以AE_LAB.

又PAJ_底面ABCD,所以PA_LAE,PA1AB,

故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),P(0,0,h),

他Lol他-1,°].B(0,

cl22J,D122

2,0),

使1-h]

所以PC=122J,

DC=(0,1,0).

設(shè)平面PDC的法向量ri|=（X],yi，z）,

nl?PC=0,

則._

Hi?DC=0,

取x1=h,

他

由（1）知平面PAC的一個法向量為證=12'

所以|cos(ripBC〉，解得h=S

同理可求得平面PBC的一個法向量出=（3,他，2）,

扉?%|_2皿=重

所以，點A到平面PBC的距離為（1=--

In2|42

[B級素養(yǎng)養(yǎng)成與評價]

15.己知正方體ABCD-ARCD的棱長為3,E為CD的中點,則點已到平面AEG的距離

為(A)

A.mB.他C.啦D.1

【解析】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

9

則A(3,0,0),D,(0.0,3),E(°P°1

C,(0,3,3),

-3,

所以AE=川

A&=(-3,3,3),D￡=(0,3,0).

設(shè)n=(x,y,z)為平面AEG的法向量，則

3

3x+y=0,

fn.AE=0,w-2

n*ACi=0,「3x+3y+3z=0,

令x=l,所以y=2,z=—1,所以n=(l,2,—1),

所以D到平面AEG的距離為

ID。?nl/(0,3,0)-(1,2,—1)|

n

16.在正方體ABCD-ABCR中，點E為BB1的中點，則平面&ED與平面ABCD所成的二

2

面角的余弦值為

【解析】建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長為2,則D(2,0,0),At(0,0,

2),E(0,2,1),則A1D=(2,0,-2),A1E=(0,2,-1).

設(shè)平面A]ED的法向量為n=(x,y,z),

fn?A[D=0,[2x—2z=0,[x=z,

貝小/.：A

n?A]E=0,12y—z=0,1z=2y.

令y=l,得n=(2,1,2).

易知平面ABCD的法向量為m=(0,0,1),

10

則cos<n,m)=------=-.

n|m|3

17.如圖，在三棱柱ABC-ABG中，四邊形AAQC是邊長為4的正方形，平面ABC,平

面AA￡￡,AB=3,BC=5.

(1)求證：AA]J_平面ABC；

(2)求二面角的余弦值；

(3)證明在線段BC上存在點D,使得ADLAB并求空■的值.

解：(1)證明：因為四邊形AA￡C是正方形，所以AA1，AC.

又因為平面ABCJ_平面AA￡C,交線為A