2023年09月八年級數(shù)學(xué)上冊第二章軸對稱100題培優(yōu)訓(xùn)練有難度【含答案】

一、單選題

1.如圖，直角三角形ABC中，AC=BC,AD是△ABC的角平分線，動點(diǎn)M、N同時從A點(diǎn)出

發(fā),以相同的速度分別沿A—C—B和A—B—C方向運(yùn)動，并在邊BC上的點(diǎn)E相遇，連接AE,

①AE平分△ABC的周長，②AE是△ABD的角平分線，③AE是△ABD的中線.以上結(jié)論正確的

有（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

2.如圖，在等腰a/lBC中，AB=AC,^BAC=120°,4D_LBC于點(diǎn)D,點(diǎn)P是CA延長線上一點(diǎn),

點(diǎn)O在40延長線上，OP=0B,下面的結(jié)論：@LAP0-LOBD=30°；②ABPO是正三角形；

@AB-AP=A0-,⑥S四邊形AOBP=2S&BOC,其中正確的個數(shù)是（）

P

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.如圖，在矩形紙片ABCD中，AD=10,AB=8,將AB沿AE翻折，使點(diǎn)B落在B,處，AE為

折痕，再將EC沿EF翻折，使點(diǎn)C恰好落在線段EB'上的點(diǎn)C'處，EF為折痕，連接4C'.若CF=

/1

3,則吃的值為（）

4.已知如圖將長方形ABCD沿GH折疊后A點(diǎn)落在點(diǎn)E,D點(diǎn)落在點(diǎn)F,請分析以下結(jié)論:

①N1=N3；②GE平分NHGB；③GH平分NAGE；④2N2-Nl=180°.

A.1B.2C.3D.4

5.如圖，D為/BAC的外角平分線上一點(diǎn)并且滿足BD=CD,/DBC=NDCB,過D作DEJ_AC

于E,DF_LAB交BA的延長線于F,則下列結(jié)論：①△CDE空Z\BDF；②CE=AB+AE；

③NBDC=NBAC；④NDAF=NCBD.其中正確的結(jié)論有（）個

6.如圖，AB為。。的直徑，P為弦BC上的點(diǎn)，ZABC=30°,過點(diǎn)P作PDJLOP交。0于點(diǎn)D,過

點(diǎn)D作DE〃AB交AB的延長線于點(diǎn)E.若點(diǎn)C恰好是AD的中點(diǎn)，BE=6,則PC的長是（）

7.平行四邊形ABCD中，A.ACB=45°,AC,BD交于點(diǎn)。，E是BC邊上一點(diǎn)，連接

AE,過點(diǎn)B作BF1AE并延長交AC于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)H,已知,AF=

3,EF=1,則下列結(jié)論：①ZBAE=2乙CBH；②S“BE=2夕;③BE=近CO;@GH=

CH中正確的個數(shù)是（）.

AD

H

B'

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（1,1）,（3,1）,若正方形ABCD第1次沿x

軸翻折，第2次沿y軸翻折，第3次沿x軸翻折，第4次沿y軸翻折，第5次沿x軸翻折，…則第

2021次翻折后點(diǎn)C對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

B.(3,3)

C.(-3,3)D.(-3,-3)

9.如圖，在矩形4BCC中，AB=5,BC=5g,點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動（含B、C兩點(diǎn)），連接4P,

以點(diǎn)A為中心，將線段/P逆時針旋轉(zhuǎn)60。到4Q,連接DQ,則線段DQ的最小值為（）

D

BP

5

A.B.5V2c55/3D.3

2

10.如圖，在矩形紙片ABCD中，4）=9,AB=7,點(diǎn)、F是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E在4。上，將

矩形紙片沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A處.點(diǎn)B恰好落在邊CD上的點(diǎn)B處，交AD

于點(diǎn)G,若CB'=3,則四邊形EFB'G的面積等于（）

A.苧B.皇C.苧D.嚕

二、填空題

11.如圖，矩形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)0,點(diǎn)E在AD上，且DE=CD,連接OE,NABE弓

ZACB,若AE=2,則0E的長為.

12.對于坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，先將該點(diǎn)向右平移I個單位，再向上平移2個單位，這種點(diǎn)的運(yùn)動稱為

點(diǎn)的斜平移，如點(diǎn)P（2,3）經(jīng)1次斜平移后的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,5）.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,0）.如

圖，點(diǎn)M是直線I上的一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B,點(diǎn)B關(guān)于直線1的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C.若點(diǎn)

B由點(diǎn)A經(jīng)n次斜平移后得到，且點(diǎn)C的坐標(biāo)為（7,6）,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為及n的值

13.如圖，矩形ABCD中，AB=9,AD=12,點(diǎn)M在對角線BD上，點(diǎn)N為射線BC上一動點(diǎn),

連接MN,DN,且NDNM=NDBC,當(dāng)ADMN是等腰三角形時，線段BN的長

14.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)完矩形的知識后一起探討了一個紙片折疊問題：如何將一張平行四

邊形紙片ABCD的四個角向內(nèi)折起，拼成一個無縫隙、無重疊的矩形EFGH.圖中EF,FG,

GH,HE表示折痕，折后B.D的對應(yīng)點(diǎn)分別是M,N.若48=8cm,AD=10cm,zB=

60°,則紙片折疊時AH的長應(yīng)取

15.如圖，在RtAABC中，Z.ABC=90°，AB=5,BC=8,點(diǎn)P是射線BC上一動點(diǎn)，

連接AP,將AABP沿AP折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B落在線段BC的垂直平分線上時，BP

的長等于.

16.如圖，正方形ABCD中，4B=6,點(diǎn)E在邊上，且DE=2.將△ADE沿AE對折

至△AFE,延長EF交BC于點(diǎn)G,連接AG,CF.

下列結(jié)論：

①AABG=^AFG；

（2）AGAE=45°；

③BG=GC；

@AG//CF；

⑤ACFE是等腰三角形.

其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號）.

17.如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)，DC=2BD=4,以點(diǎn)D為頂點(diǎn)作正方形

DEFG,且DE=BC,連接AE,AG.若將正方形DEFG繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)AE取最小值時，AG的

長為________

18.如圖，AD,BE在AB的同側(cè)，AD=2,BE=2,AB=4,點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，若NDCE=

120°,則DE的最大值是.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4,A2,A3...A”在x軸上，Bi,B2,...Bn

在直線丫=4》上.若4(1,0),且，^A2B2A3...^AnBnAn+1都是等邊三角

形，從左到右的小三角形(陰影部分)的面積分別記為S1,S2,S3...sn,則sn可表示

20.如圖，等腰△力BC底邊BC的長為4cm,面積是12cm腰AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)

F,若D為BC邊上的中點(diǎn)，M為線段EF上一動點(diǎn)，則4BDM的周長最小值為cm.

三、解答題

21.在△ABC中，ABAC=a,AB=AC,過點(diǎn)A作zEAF=(使點(diǎn)E,A,尸按順時針的順序排列

),過點(diǎn)C作直線CM1直線AE,垂足為點(diǎn)M,直線CM交直線AF于點(diǎn)N,連接BN.

BB

N

J

AC

(1)如圖1,若a=90。，4￡4尸的邊都在NB4C的內(nèi)部，作點(diǎn)C關(guān)于4E的對稱點(diǎn)C'.

①皿E+4B4F=▲。,BN▲CW：(填域“=”)

②求證：MN=CM+BN.

(2)如圖2,若a=130。，4EAF的邊都在ZBAC的夕卜部，當(dāng)4M=4,MN=^BN,△力CN的面

積為12時，請直接寫出CM的長；

(3)若90。＜戊＜180。，4EAF有一條邊在NB4C的內(nèi)部，請直接寫出線段MN,BN,CN之間的

等量關(guān)系.

22.如圖，在ABC中，ZC=90°,BC=6cm,AC=8cm,按圖中所示方法將△BCD沿BD折疊，

使點(diǎn)C落在AB邊的C點(diǎn)，那么△ADC的面積是多少平方厘米？

23.如圖，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，其頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-2,2),B(一4,-2),C(-

1,-2).在坐標(biāo)系中畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的AABC，.

24.閱讀、填空并將說理過程補(bǔ)充完整：如圖，已知點(diǎn)D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，且

NAED=NB,延長DE與BC的延長線交于點(diǎn)F,NBAC和/BFD的角平分線交于點(diǎn)G.那么AG

與FG的位置關(guān)系如何？為什么？

解：AG±FG.將AG、DF的交點(diǎn)記為點(diǎn)P,延長AG交BC于點(diǎn)Q.

因?yàn)锳G、FG分別平分NBAC和NBFD（已知）

所以/BAG=A,￡（角平分線定義）

又因?yàn)镹FPQ=▲+NAED,▲=▲+ZB

（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）

NAED=NB（已知）

所以/FPQ=L（等式性質(zhì)）

（請完成以下說理過程）

25.已知NAOB=90。，0M是NAOB的平分線，按以下要求解答問題：

（1）如圖1,將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線0M上移動，兩直角邊分別與OA,0B交于點(diǎn)C,D.

（圖1）

①比較大?。篜CPD.（選擇或或"="填空）；

②證明①中的結(jié)論.

（2）將三角板的直角頂點(diǎn)P在射線0M上移動，一直角邊與邊OA交于點(diǎn)C,且OC=1,另一直角

邊與直線0B,直線0A分別交于點(diǎn)D,E,當(dāng)以P,C,E為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似時，試求

OP的長.（提示：請先在備用圖中畫出相應(yīng)的圖形，再求0P的長）.

26.證明：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

(要求：在給出的AA8C中用尺規(guī)作出A3、AC邊的中點(diǎn)M、N,保留作圖痕跡，不要求寫作

法，并根據(jù)圖形寫出已知、求證和證明)

27.如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)E在邊BC上移動(點(diǎn)E不與點(diǎn)B,C重合)，滿足

ZDEF=ZB,且點(diǎn)D.F分別在邊AB、AC±.

(1)求證：△BDE^ACEF；

(2)當(dāng)點(diǎn)E移動到BC的中點(diǎn)時，求證：FE平分NDFC.

28.將一個矩形紙片。4BC放置于平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。(0,0),點(diǎn)8(10,6)，點(diǎn)A在x軸，點(diǎn)C

在y軸.在AB邊上取一點(diǎn)￡),將4080沿CD翻折，點(diǎn)B恰好落在邊04上的點(diǎn)E處.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,求點(diǎn)￡坐標(biāo)和直線CE的解析式;

(2)點(diǎn)P為x軸正半軸上的動點(diǎn)，設(shè)。P=t.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段04(不包含端點(diǎn)A,0)上運(yùn)動時，過點(diǎn)P作直線/||y軸，直線/被4

CED截得的線段長為4求4關(guān)于f的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量f的取值范圍；

②在該坐標(biāo)系所在平面內(nèi)找一點(diǎn)G,使以點(diǎn)C,E,P,G為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，請直接寫出點(diǎn)

G的坐標(biāo).

29.在長方形紙片ABC。中，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，將ZL4ED沿4E所在的直線折疊，使點(diǎn)。落在點(diǎn)F

處.

(1)如圖1,若點(diǎn)F落在對角線4c上，且NBAC=54。，求ND4E的度數(shù).

(2)如圖2,若點(diǎn)F落在邊BC上，且=6,AD=10,求CE的長.

(3)如圖3,若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF的沿長線交BC于點(diǎn)G,且4B=6,AD=10,求CG的長.

30.已知RtAABC中，AC=BC=2.一直角的頂點(diǎn)P在AB上滑動，直角的兩邊分別交線段AC,BC

于E.F兩點(diǎn)

(1)如圖1,當(dāng)雋馬且PE_LAC時，求證：器馬；

PB3PF3

(2)如圖2,當(dāng)需=1時(I)的結(jié)論是否仍然成立？為什么？

(3)在(2)的條件下，將直角/EPF繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，設(shè)NBPF=a(0°<a<90°).連結(jié)EF,當(dāng)

△CEF的周長等于2+|乃時，請直接寫出a的度數(shù).

圖1圖2備用圖

31.已知：如圖，AD、BC相交于點(diǎn)O,AD=BC,NC=ND=90。.

求證：AO=BO,CO=DO.

cD

32.聯(lián)想三角形外心的概念，我們可引入如下概念。

定義：到三角形的兩個頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，叫做此三角形的準(zhǔn)外心。

舉例：如圖1,若PA=PB,則點(diǎn)P為△ABC的準(zhǔn)外心。

應(yīng)用：如圖2,CD為等邊三角形ABC的高，準(zhǔn)外心P在高CD上，且PD=：AB,求NAPB的

度數(shù)。

探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC=5,AB=3,準(zhǔn)外心P在AC邊上，試探究PA的長。

33.如圖，四邊形ABCD中，AB=BC,NABC=60。，P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且

ZAPD=120°.證明：PA+PD+PCNBD.

34.如圖，CN是等邊△ABC的外角NACM內(nèi)部的一條射線，點(diǎn)A關(guān)于CN的對稱點(diǎn)為D,連接

AD,BD,CD,其中AD,BD分別交射線CN于點(diǎn)E,P.

(1)依題意補(bǔ)全圖形.

(II)若/ACN=a,求/BDC的大小(用含a的式子表示).

(III)若PA=x,PC=y,求PB的長度(用x,y的代數(shù)式表示).

35.如圖

A

圖④

(1)動手操作：

如圖①，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)c，處，折痕為EF,若

ZABE=20°,那么NEFC'的度數(shù)為▲.

(2)觀察發(fā)現(xiàn)：

小明將三角形紙片ABC(AB>AC)沿過點(diǎn)A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為

AD,展開紙片(如圖②)；再次折疊該三角形紙片，使點(diǎn)A和點(diǎn)D重合，折痕為EF,展平紙片后

得到△AEF(如圖③).小明認(rèn)為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由.

(3)實(shí)踐與運(yùn)用：

將矩形紙片ABCD按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF,折痕與AD邊交于點(diǎn)E,與BC邊交

于點(diǎn)F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點(diǎn)A、點(diǎn)D都與點(diǎn)F重合，展

開紙片，此時恰好有MP=MN=PQ(如圖④)，求/MNF的大小.

36.如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，ZBAD=ZCAD,CE〃AD,CE交BA的延長線于

(1)求CE的長；

(2)求證：△ABC為等腰三角形.

(3)求^ABC的外接圓圓心P與內(nèi)切圓圓心Q之間的距離.

37.如圖，AAEF中，ZEAF=45°,AG_LEF于點(diǎn)G,現(xiàn)將△AEG沿AE折疊得到△AEB,將

△AFG沿AF折疊得到^AFD,延長BE和DF相交于點(diǎn)C.

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)連接BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N,將△ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得

到AADH,試判斷線段MN、ND、DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)若EG=4,GF=6,BM=3/，求AG、MN的長.

38.如圖，正方形ABC。的邊04,0C都在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,3).將正方形ABC。繞點(diǎn)4順

時針旋轉(zhuǎn)磯0。<a<90。)，得到正方形2DEF,ED交線段OC于點(diǎn)G,ED的延長線交線段BC于點(diǎn)P,

(2)求NP4G的度數(shù)；

(3)當(dāng)41=42時，求點(diǎn)P的坐標(biāo);

(4)在(3)的條件下，直線PE上是否存在點(diǎn)M,使以點(diǎn)4G,M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角

形？若存在請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在請說明理由.

39.如圖1,在△A8C的外接圓。O中，A8=5是(DO的直徑，CDLAB,垂足為D,且CD=2,E為

AB的中點(diǎn).連接CE交A8于點(diǎn)P,其中

(1)連接OE,求證：OEJ_A&

(2)若線段4。與8。的長分別是關(guān)于x的方程x2—(m+2)x+〃-1=0的兩個根，求〃?，〃的值；

(3)如圖2,過戶點(diǎn)作直線/分別交射線CA,C8(點(diǎn)C除外)于點(diǎn)M,N,則就+擊的值是否

為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

40.如圖所示，在△ABC中，AB=AC,^BAC=80°,P在△ABC內(nèi)，^PBC=10°,Z.PCB=30°,

求ZPAB的度數(shù)？

(1)如圖1,P是銳角AABC內(nèi)一動點(diǎn)，把AAPC繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△AP，。，連接PP，，

這樣就可得出P4+PB+PC=BP+PP'+P'C,請給出證明過程.

(2)圖2所示的是一個銳角為30。的直角三角形公園(/8=30。，4c=90。)，其中頂點(diǎn)4、B、

C為公園的出入口，AB=20km,工人師傅準(zhǔn)備在公園內(nèi)修建一涼亭P,使該涼亭到三個出入口的距

離PA+PB+PC最小，求這個最小的距離.

42.如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角NBDC=120。的等腰三角形，M是AB延長線上一

點(diǎn)，N是CA延長線上一點(diǎn)，且/MDN=60。.試探BM,MN,CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明.

43.如圖，aZBC中，AB^AC.^A=108°,BD平分AABC交AC于。點(diǎn).

求證：BC=AC+CD.

44.如圖，矩形A8CD中，AB=6,BC=8,E為4。邊上一動點(diǎn)，過點(diǎn)E作EFJ.BC于點(diǎn)F,連接

AF,將aABF沿4F進(jìn)行翻折，得到△力B'F,連接EC.

（1）B,F+CF等于

(2)當(dāng)點(diǎn)8,落在線段EC上時(不與端點(diǎn)重合)，四邊形4FCE的周長等

于.

45.如圖，在nABCD中，以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F,再分別以點(diǎn)B、F為圓

心，大于：BF的相同長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；連接AP并延長交BC于點(diǎn)E,連接EF,則所

得四邊形ABEF是菱形.

(I)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形；

(II)若菱形ABEF的周長為16,AE=4V3,求NC的大小.

D

46.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，且

BCLOC于點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,2V3),ABH百，NB=60。，點(diǎn)D是線段0C上一點(diǎn)，且

0D=4,連接AD.

(1)求證：AAOD是等邊三角形；

(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)平行于AD的直線1從原點(diǎn)0出發(fā)，沿x軸正方向平移.設(shè)直線1被四邊形OABC截得的線

段長為m,直線1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t.

①當(dāng)直線I與x軸的交點(diǎn)在線段CD上(交點(diǎn)不與點(diǎn)C,D重合)時，請直接寫出m與t的函數(shù)

關(guān)系式(不必寫出自變量t的取值范圍)

如圖1,數(shù)學(xué)實(shí)踐課上，學(xué)習(xí)小組進(jìn)行探究活動，老師要求大家對矩形力BCD進(jìn)行如下操作：①

分別以點(diǎn)B,C為圓心，以大于的長度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)E,F,作直線EF交BC于點(diǎn)

0,連接Z。；②將AAB。沿A。翻折，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)P處，作射線AP交CO于點(diǎn)Q.

在矩形ABCD中，AD=5,AB=3.求線段CQ的長.

【問題解決】

經(jīng)過小組合作、探究、展示，其中的兩個方案如下：

方案一：連接。Q，如圖2.經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段CQ的長;

方案二：將AABO繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180。至△/?￡?()處，如圖3.經(jīng)過推理、計(jì)算可求出線段CQ的長.

請你任選其中一種方案求線段CQ的長.

48.已知命題：“P是等邊△ABC內(nèi)的一點(diǎn),若P到三邊的距離相等,則PA=PB=PC.

(1)寫出它的逆命題.判斷其逆命題成立嗎？若成立，請給出證明.

(2)進(jìn)一步證明:點(diǎn)P到等邊AABC各邊的距離之和為定值.

49.如圖

［感知］如圖①，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在AB、BC邊上，且AD=BE,易知：

△ADC^ABEA

(1)［探究］如圖②，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D、E分別在邊BA、CB的延長線上，且

AD=BE,△ADC與△BEA還全等嗎？如果全等，請證明：如果不全等，請說明理由.

(2)［拓展］如圖③，在△ABC中，AB=AC,Z1=Z2,點(diǎn)D、E分別在BA、FB的延長線上,

且AD=BE=CF,若AF=2AD,SAABF=6,貝USABCD的大小為

50.已知。。的直徑為10,點(diǎn)4,點(diǎn)8,點(diǎn)C在。。上，NCA3的平分線交。。于點(diǎn)D.

(1)如圖①，若BC為。。的直徑，AB=6,求AC,BD,CD的長；

(II)如圖②，若/CAB=60。，求的長.

51.如圖1,在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的

外部以AB為邊作等邊三角形ABE.點(diǎn)F是對角線BD上一動點(diǎn)(點(diǎn)F不與點(diǎn)B重合)，將線段AF

繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)60。得到線段AM,連接FM.

(1)求AO的長;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在線段BO上，且點(diǎn)M,F,C三點(diǎn)在同一條直線上時，求證：

AC=V3AM；

(3)連接EM,若△AEM的面積為40,請直接寫出△AFM的周長.

52.如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8,fiC=10,若A。平分N8AC交8C于點(diǎn)

D,求8。的長.

53.(本題10分)如圖，已知：AB是。O的直徑，點(diǎn)C在。O上，CD是。O的切線，ADLCD于

點(diǎn)D.E是AB延長線上一點(diǎn)，CE交。O于點(diǎn)F,連結(jié)OC,AC.

(1)求證：AC平分NDAO.

(2)若NDAO=105。,ZE=30°.

①求/OCE的度數(shù).

②若。O的半徑為2V2,求線段EF的長.

54.在回4BCD中，點(diǎn)O是對角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上，E。的延長線與邊4D交于點(diǎn)F,連接

BF、DE如圖1.

DFI)

(1)求證：四邊形BEDF是平行四邊形；

(2)若DE=DC,^CBD=45°,過點(diǎn)C作DE的垂線，與OE、BD、BF分別交于點(diǎn)G、H、P如

圖2.

①當(dāng)CD=JIU.CE=2時，求BE的長；

②求證：CD=CH.

55.如圖，已知在△ABC中，△ABC的外角NABD的平分線與/ACB的平分線交于點(diǎn)O,MN過

點(diǎn)O,且MN〃BC,分別交AB、AC于點(diǎn)M、N.求證：MN=CN-BM.

DBC

56.如圖，在菱形ABCD和菱形BEFG中，P是線段。尸的中點(diǎn)，連接PG,PC,若〃BC==

60°,證明：PGJ_PC且PG=KPC.

57.如圖所示，AD是/BAC的平分線，DE_LAB于E,DFLAC于F,且BD=CD,那么BE與CF

相等嗎？為什么？

E

58.問題提出：如圖①，將一張直角三角形紙片AABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，這時DE為折

痕，4CBE為等腰三角形；再繼續(xù)將紙片沿ACBE的對稱軸EF折疊，這時得到了兩個完全重合的矩

形(其中一個是原直角三角形的內(nèi)接矩形，另一個是拼合成的無縫隙、無重疊的矩形)，我們稱這樣

兩個矩形為“疊加矩形

圖①圖②圖③

知識運(yùn)用：

(1)如圖②，正方形網(wǎng)格中的aABC能折疊成“疊加矩形”嗎？如果能，請?jiān)趫D②中畫出折痕；

(2)如圖③，在正方形網(wǎng)格中，以給定的BC為一邊，畫出一個斜三角形ABC,使其頂點(diǎn)A在格

點(diǎn)上，且aABC折成的“疊加矩形”為正方形；

(3)若一個銳角三角形所折成的“疊加矩形”為正方形，那么它必須滿足的條件是什么？結(jié)合圖③，

說明理由。

拓展應(yīng)用：

(4)如果一個四邊形一定能折成"疊加矩形"，那么它必須滿足的條件是什么？

59.如圖是一座獨(dú)塔雙索結(jié)構(gòu)的斜拉索大橋，主塔采用倒“Y”字形設(shè)計(jì)，某學(xué)習(xí)小組利用課余時間測

量主塔頂端到橋面的距離.勘測記錄如下表:

活

“測量主塔頂端到橋面的距離

動

內(nèi)

容

成

組長：XXX組員：XXXXXXXXXXXX

員

測

量

測角儀，皮尺等

工

具

測

里E說明：左圖為斜拉索橋的側(cè)面示意圖，點(diǎn)A、C,

示D,B在同一條直線上，EFLAB,點(diǎn)A,C分別

意AcDB與點(diǎn)B,D關(guān)于直線EF對稱

圖

測乙4的大小28°

量AC的長度84m

數(shù)

CD的長度12m

據(jù)

請利用表中提供的信息,求主塔頂端E到AB的距離(參考數(shù)據(jù)：sin28°，0.47,cos280”

0.88,tan28°?0.53).

60.如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線段為這個三角形的特異

線，稱這個三角形為特異三角形.

(1)如圖1,△ABC中，ZB=2ZC,線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E.

求證：AE是△ABC的一條特異線.

(2)如圖2,已知BD是△ABC的一條特異線，其中NA=30°,NABC為鈍角，求出所有可

能的NABC的度數(shù).

(3)如圖3,△ABC是一個腰長為2的等腰銳角三角形，且它是特異三角形，若它的頂角

度數(shù)為整數(shù)，請求出其特異線的長度；若它的頂角度數(shù)不是整數(shù)，請直接寫出頂角度數(shù).

61.在我們學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)教科書中，有一個數(shù)學(xué)活動，其具體操作過程是：

第一步：對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合，得到折痕EF,把紙片展開(如圖①);

第二步：再一次折疊紙片，使點(diǎn)A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B,得到折痕BM,同時得到線

段BN(如圖②).

如圖②所示建立平面直角坐標(biāo)系，請解答以下問題：

(I)設(shè)直線BM的解析式為y=kx,求k的值；

(II)若MN的延長線與矩形ABCD的邊BC交于點(diǎn)P,設(shè)矩形的邊AB=a,BC=b；

(i)若a=2,b=4,求P點(diǎn)的坐標(biāo)；

(ii)請直接寫出a、b應(yīng)該滿足的條件.

62.如圖，BE,CF是△ABC的角平分線，ANLBE于N,AMLCF于M,求證：MN〃BC.

63.(1)圖(1)中，C點(diǎn)為線段AB上一點(diǎn)，AACM,△CBN是等邊三角形，AN與BM相等嗎？

說明理由；

(2)如圖(2)C點(diǎn)為線段AB上一點(diǎn)，等邊三角形ACM和等邊三角形CBN在AB的異側(cè)，此

時AN與BM相等嗎？說明理由；

(3)如圖(3)C點(diǎn)為線段AB外一點(diǎn)，Z\ACM,△CBN是等邊三角形，AN與BM相等嗎？說

明理由.

64.如圖，已知等邊△ABC邊長為1,D是△ABC外一點(diǎn)且NBDC=120。，BD=CD,NMDN=60。求

△AMN的周長.

65.已知：△ABC中，記/BAC=a,ZACB=|3.

(1)如圖1,若AP平分NBAC,BP,CP分別平分△ABC的外角NCBM和NBCN,BD±AP

于點(diǎn)D,用a的代數(shù)式表示NBPC的度數(shù)，用p的代數(shù)式表示NPBD的度數(shù).

(2)如圖2,若點(diǎn)P為△ABC的三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，BD_LAP于點(diǎn)D,猜想(1)中的兩個

結(jié)論是否發(fā)生變化，補(bǔ)全圖形并直接寫出你的結(jié)論.

66.正方形ABCD的CD邊長作等邊△DCE,AC和BE相交于點(diǎn)F,連接DF.求NAFD的度數(shù).

67.如圖，△ABC和△AOD是等腰直角三角形，AB=AC,AO=AD,/BAC=/OAD=90。，點(diǎn)O是

(1)求證：()B=DC；

(2)求NDCO的大小；

(3)設(shè)/AOB=a,那么當(dāng)a為多少度時，△COD是等腰三角形.

68.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。在線段4B上，點(diǎn)E在線段4c上，EF||CD交4B于點(diǎn)F,N1+42=

180°.

c

AFDB

⑴求證：AC||DG；

(2)若CD平分乙4CB,CG平分NCDB,交BC于點(diǎn)G,且乙4=40。，求乙4cB的度數(shù).

(3)若CD平分乙4C8,DG平分/CDB,交BC于點(diǎn)G,求NCD8和NB關(guān)系并說明理由.

69.如圖，在Rt^ABC中，z/CB=90。，AB=10cm,AC=6cm,動點(diǎn)P從B出發(fā)沿射線BC以

Icm/s的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t(s).

(1)求BC邊的長.

(2)當(dāng)AABP為等腰三角形時，求t的值.

70.已知：如圖，BD為AABC的角平分線，且BD=BC,E為BD延長線上的一點(diǎn)，BE=

B4,過E作EF_LAB,F為垂足.求證：

①ZL4B0三AEBC；

②AE=CE；

③BA+BC=2BF.

71.如圖，在AABC中，E是4。上的一點(diǎn)，EB=EC,Z.ABE=Z.ACE,請說明AD1

BC.

解：因?yàn)镋B=EC(已知)，

所以乙EBC=Z.ECB(①).

又因?yàn)橐?BE=/ACE(已知)，

所以/.ABE+乙EBC=/.ACE+乙ECB(②).

KP/.ABC=Z.ACB.

所以AB=AC(③).

在AABE和^ACE中，

AB=ZC(已姐

EB=EC(己糊，④

AE=AE(④)

所以三ZiACE(⑤).

W/-BAD=/.CAD(⑥).

所以AD1BC(⑦).

72.如圖，已知△ABC,ZB=40°.

(1)在圖中，用尺規(guī)作出△ABC的內(nèi)切圓0,并標(biāo)出。O與邊AB,BC,AC的切點(diǎn)D,E,F

(保留痕跡，不必寫作法)；

(2)連接EF,DF,求NEFD的度數(shù).

73.如圖：

(1)如圖1,已知：在△ABC中，NBAC=90。，AB=AC,直線m經(jīng)過點(diǎn)A,BD_L直線m,

CE,直線m,垂足分別為點(diǎn)D、E.證明：DE=BD+CE.

(2)如圖2,將(1)中的條件改為：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并

且NBDA=NAEC=NBAC=a,其中a為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？若成

立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

C

B

DAE

圖2

(3)拓展與應(yīng)用：如圖3,D、E是D、A、E三點(diǎn)所在直線m上的兩動點(diǎn)(D、A、E三點(diǎn)互不

重合)，點(diǎn)F為/BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE,若

ZBDA=ZAEC=ZBAC,試判斷△DEF的形狀.

圖3

74.將一個直角三角形紙片A3。，放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(遍，0),點(diǎn)8(0,1),點(diǎn)0

(0,0).過邊上的動點(diǎn)M(點(diǎn)M不與點(diǎn)O,A重合)作MN_LA8于點(diǎn)N,沿著MN折疊該紙

片，得頂點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)月'，設(shè)。"=〃7,折疊后的△4WW與四邊形。A7N8重疊部分的面積為S.

(I)如圖①，當(dāng)點(diǎn)4與頂點(diǎn)8重合時，求點(diǎn)"的坐標(biāo)；

(II)如圖②，當(dāng)點(diǎn)A',落在第二象限時，AM與。8相交于點(diǎn)C,試用含加的式子表示S；

(Ill)當(dāng)S=烏時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).

圖①圖②

75.已知：等邊△ABC,CE〃AB,D為BC上一點(diǎn)，且/ADE=60。，求證：AADE是等邊三角形.

BD

76.已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC,ADLBC于點(diǎn)D,以AC為邊作等邊三角形ACE,直

線BE交直線AD于點(diǎn)F,連接FC.

(I)如圖1,120o〈NBAC<180。，△ACE與△ABC在直線AC的異側(cè)，且FC交AE于點(diǎn)M.

①求證：ZFEA=ZFCA；

②猜想線段FE,AD,FD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)60o<NBAC<120。，且△ACE與△ABC在直線AC的異側(cè)時，利用圖2畫出圖形探究

線段FE,AD,FD之間的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你的結(jié)論.

77.在6X6的網(wǎng)格中已經(jīng)涂黑了三個小正方形，請?jiān)趫D中涂黑一塊(或兩塊)小正方形，使涂黑的

四個(或五個)小正方形組成一個軸對稱圖.

78.如圖，已知直線PA交。O于A、B兩點(diǎn)，AE是。O的直徑，點(diǎn)C為。。上一點(diǎn)，且AC平分

ZPAE,過C作CDJ_PA,垂足為D.

E

(1)求證：CD為。O的切線；

(2)若CD=2AD,。。的直徑為10,求線段AB的長.

79.如圖，在△ABC中，AB=AC,BO平分乙4BC交4c于點(diǎn)。，過點(diǎn)4作AE||BC交的延長線于點(diǎn)

E.

(1)若484C=40。，求NE的度數(shù)；

(2)若F是DE上的一點(diǎn)，且4F=AD,判斷BD與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

80.如圖，△A8C是邊長為10的等邊三角形，P是AC邊上一動點(diǎn)，由A向C運(yùn)動(與A、C不重

合).

(I)如圖1,若點(diǎn)。是8c邊上一動點(diǎn)，與點(diǎn)P同時以相同的速度由C向8運(yùn)動(與C、B不

重合).求證：BP=AQ-,

(II)如圖2,若。是C8延長線上一動點(diǎn)，與點(diǎn)尸同時以相同的速度由8向C8延長線方向運(yùn)

動(Q不與B重合)，過產(chǎn)作PELAB于E,連接PQ交AB于。，在運(yùn)動過程中線段EO的長是否

發(fā)生變化？如果不變，求出線段EO的長；如果發(fā)生改變，請說明理由.

81.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,BD平分/ABC,交AC于點(diǎn)D,AF1BD,垂足

為點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.求證：AD=CF.

D

BFc

82.如圖，四邊形ABCD為菱形，ZBAD=60°,E為直線BD上的動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B和點(diǎn)D重

合），直線CE繞C點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60。與直線AD相交于點(diǎn)F,連接EF.

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在線段BD上時，ZCEF=度；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在BD延長線上時，試判斷/DEF+/DFE與/CEF度數(shù)之間的關(guān)系，并說

明理由；

（3）如圖③，若四邊形ABCD為平行四邊形，/DBC=NDCB=45。，E為直線BD上的動點(diǎn)（點(diǎn)

E不與點(diǎn)B和點(diǎn)D重合），射線CE繞C點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)45。與直線AD相交于點(diǎn)F,連接EF,探究

/DEF+NDFE與/CEF度數(shù)之間的關(guān)系.（直接寫出結(jié)果）

83.小明坐于堤邊垂釣，如圖①，河堤AC的坡角為30。，AC長等米，釣竿AO的傾斜角是60。,

其長為3米，若AO與釣魚線OB的夾角為60。，求浮漂B與河堤下端C之間的距離（如圖②）.

84.在△ABC中，AB=AC,BDJ_AC于D,CEJ_AB于E,BD、CE相交于F.

求證：AF平分/BAC

85.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑作。O交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作AC的垂線交AC

于點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn)F.

D

（1）求證：DE與。0相切;

(2)若CD=BF,AE=3,求DF的長.

86.將AABC的NC折起，翻折后角的頂點(diǎn)位置記作C，，當(dāng)C，落在AC上時（如圖1）,易證:

N1=2N2.當(dāng)C點(diǎn)落在CA和CB之間（如圖2）時，或當(dāng)C落在CB、CA的同旁（如圖3）時,

N1、/2、/3關(guān)系又如何？請寫出你的猜想，并就其中一種情況給出證明.

CB

圖1

圖3

87.四邊形ABCD中，^A=90°,AB=AD,DE平分Z.ADC,AE=2時，乙AED=,

CD=6V5，求DE的長.

88.在等腰三角形ABC中，三條邊分別為a、b、c,已知a=3,且b、c是關(guān)于x的方程x2+mx+2-

y=0的兩個實(shí)數(shù)根、求小ABC的周長。

89.如圖，在△ABC中,AB=AC,EF交AB于點(diǎn)E,交AC的延長線于點(diǎn)F,交BC于點(diǎn)D,且BE=CF.

求證:DE=DF.

A

90.若等腰三角形兩邊為4,1(),求底角的正弦值

91.在長方形4BC。中，AB=6,AD=8,點(diǎn)E是AD邊上的一點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊，點(diǎn)4的對應(yīng)點(diǎn)

為點(diǎn)F,射線EF與線段BC交于點(diǎn)G.

D(E)

(1)如圖1,當(dāng)E點(diǎn)和。點(diǎn)重合時?，求證：BG=DG；

(2)如圖2,連接DF,CF,若。F=CF,求△CDF的面積.

92.已知△力BC和△4DE都是等邊三角形，連接BD,將BD繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到BF,連接CE,

EF.

D____A

(1)如圖1,求證：①△ADB/△AEC；

②四邊形BCEF是平行四邊形；

(2)如圖2,M,N分別是BC,BE的中點(diǎn)，若△4DE的頂點(diǎn)E在4B邊上，AB=6,AD=2,求

MN的長.

93.直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C在直線DE上，CF平分NBCD.

B

(1)在圖1中，若/BCE=40。，求/ACF的度數(shù);

(2)在圖1中，若/BCE=a,直接寫出/ACF的度數(shù)(用含a的式子表示);

(3)將圖1中的三角板ABC繞頂點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，探究：寫出NACF與/BCE的度數(shù)

之間的關(guān)系，并說明理由.

94.如圖1,已知△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEF和小OFA均為邊長為a的等邊三角

形，點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn)，過P作PM〃AB交AF于M,作PN〃CD交DE于N.

(I)那么/MPN=，并求證PM+PN=3a；

(2)如圖2,聯(lián)結(jié)OM、ON.求證：OM=ON；

(3)如圖3,0G平分NMON,判斷四邊形OMGN是否為特殊四邊形，并說明理由.

95.已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內(nèi)作半圓，P是半圓上的動點(diǎn)

(不與點(diǎn)A、B重合)，連接PA、PB、PC、PD.

(1)如圖①，當(dāng)PA的長度等于時，ZPAB=60°；當(dāng)PA的長度等于時，△PAD是等腰三角

形；

(2)如圖②，以AB邊所在直線為x軸、AD邊所在直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系(點(diǎn)A

即為原點(diǎn)O),把APAD、△PAB,△PBC的面積分別記為，、S2、S3.坐標(biāo)為(a,b),試求2sls3

一S22的最大值，并求出此時a,b的值.

（圖①）(圖②)

96.在AABC中，48=AC,點(diǎn)Z）為線段8c上一個動點(diǎn)（不與B、C重合），以4。為一邊向4。的左

側(cè)作△4DE,使4D=4E,Z.DAE=^BAC,過點(diǎn)E作BC的平行線，交直線AB于點(diǎn)R連接BE.

(1)如圖1,若ZBAC=/.DAE=60°,判斷ABEF的形狀并說明理由;

(2)若zBAC=Z.DAE+60°,如圖2,判斷ABE尸的形狀，并說明理由.

97.已知邊長為4a的正方形ABCD中，P是對角線/C上的一個動點(diǎn)（與點(diǎn)4,C不重合），過點(diǎn)P作

PELPB,PE交射線DC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF14C,垂足為點(diǎn)F.

（德川圖）

（1）當(dāng)點(diǎn)E落在線段CD上時（如圖所示），設(shè)4P=x,z\PEF的面積為y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)

系式，并寫出函數(shù)的定義域;

（2）在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，APEC能否為等腰三角形？如果能，試求出4P的長，如果不能，試說

明理由.

98.

B/~~i~CBCD

DS2圖3

圖1

(1)如圖1,在△ABC中，NACB=2NB,NC=90。，AD為/BAC的平分線交BC于D,求

證：AB=AC+CD.(提示：在AB上截取AE=AC,連接DE)

(2)如圖