2023年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題真題答案解析（精校打印版）

年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃測(cè)試數(shù)學(xué)試題考試時(shí)間2023年6月29日10：00-11：00，總共20道單選題，時(shí)間為1小時(shí)1.定義有理復(fù)數(shù)為實(shí)部和虛部均為有理數(shù)的復(fù)數(shù)，無(wú)理復(fù)數(shù)為實(shí)部和虛部為無(wú)理數(shù)的復(fù)數(shù)，半有理復(fù)數(shù)為實(shí)部和虛部一個(gè)是有理數(shù)一個(gè)是無(wú)理數(shù)的復(fù)數(shù)，已知在復(fù)平面內(nèi)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)均為半有理復(fù)數(shù)，則三角形的重心對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A.只能是有理復(fù)數(shù)或半有理復(fù)數(shù)B.只能是無(wú)理復(fù)數(shù)或伴有理復(fù)數(shù)C.只能是半有理復(fù)數(shù)D.以上都不對(duì)2.方程在上解得個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.3.數(shù)列滿足：，則除以7的余數(shù)為（）A.1B.2C.4D.以上都不對(duì)4.集合，則的元素兩兩互素的三元子集個(gè)數(shù)為_(kāi)______.5．函數(shù)在上最大值是_______.6.集合，則的互不相交各元素之和為17的倍數(shù)的二元子集最多有_____個(gè).7.方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為_(kāi)____.8.十邊形內(nèi)任意三條對(duì)角線都不會(huì)在其內(nèi)部交于同一點(diǎn)，問(wèn)這個(gè)十邊形所有對(duì)角線可以把這個(gè)十邊形劃分為_(kāi)_____個(gè)區(qū)域.9.一個(gè)三角形的一條高長(zhǎng)為2，另一條高長(zhǎng)為4，則這個(gè)三角形內(nèi)切圓半徑取值范圍是______.10.表示正整數(shù)除以的余數(shù)之和，則滿足的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.11.已知正整數(shù)數(shù)列嚴(yán)格遞增，，且，則這樣的數(shù)組的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.12.已知點(diǎn)，延長(zhǎng)至使，那么點(diǎn)到距離最大值和最小值之積為_(kāi)_____.13.三個(gè)互不相等的正整數(shù)最大公約數(shù)為20，最小公倍數(shù)為20000，那么這樣的不同的正整數(shù)組的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.14.由構(gòu)成的集合元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.15.已知集合，甲蟲(chóng)第一天在原點(diǎn),第天從第天位置出發(fā)沿向量移動(dòng)，其中，用表示第天甲蟲(chóng)可能在多少個(gè)不同的位置上，則______.16.方程解得個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.17.已知均為正整數(shù)，且均為正整數(shù)，則的最大值和最小值之和為_(kāi)_____.18.已知，且是的一個(gè)排列，則得到的不同數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.19.已知正整數(shù)且，則在取得最大值的情況下，的最大值為_(kāi)_____.20.由50個(gè)隊(duì)伍進(jìn)行排球單循環(huán)比賽，勝一局積1分，負(fù)一局積0分，且任取27支隊(duì)伍能找到一個(gè)全部戰(zhàn)勝其余26支隊(duì)伍和一支全部負(fù)于其余26支隊(duì)伍的，問(wèn)這50支隊(duì)伍總共最少有______種不同的積分.2023年北京大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃測(cè)試數(shù)學(xué)試題解析1.定義有理復(fù)數(shù)為實(shí)部和虛部均為有理數(shù)的復(fù)數(shù)，無(wú)理復(fù)數(shù)為實(shí)部和虛部為無(wú)理數(shù)的復(fù)數(shù)，半有理復(fù)數(shù)為實(shí)部和虛部一個(gè)是有理數(shù)一個(gè)是無(wú)理數(shù)的復(fù)數(shù)，已知在復(fù)平面內(nèi)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)均為半有理復(fù)數(shù)，則三角形的重心對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A.只能是有理復(fù)數(shù)或半有理復(fù)數(shù)B.只能是無(wú)理復(fù)數(shù)或伴有理復(fù)數(shù)C.只能是半有理復(fù)數(shù)D.以上都不對(duì)解：D重心為有理復(fù)數(shù)的例子：重心為無(wú)理復(fù)數(shù)的例子：重心為半有理復(fù)數(shù)的例子：2.方程在上解得個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.解：0設(shè)，則方程為，考慮方程實(shí)根，設(shè)其共軛虛根為，得，所以沒(méi)有模長(zhǎng)為1的根。3.數(shù)列滿足：，則除以7的余數(shù)為（）A.1B.2C.4D.以上都不對(duì)解：B設(shè)數(shù)列滿足：,則，進(jìn)而，所以4.集合，則的元素兩兩互素的三元子集個(gè)數(shù)為_(kāi)______.解：42三個(gè)奇數(shù)：兩個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，按照選擇的偶數(shù)分類(lèi)計(jì)算可得答案為5．函數(shù)在上最大值是_______.解：在上等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)取得。6.集合，則的互不相交各元素之和為17的倍數(shù)的二元子集最多有_____個(gè).解：由，所以答案為7.方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為_(kāi)____.解：1設(shè)，則所以在上單調(diào)遞增，其次數(shù)為5，只有一個(gè)實(shí)根.8.十邊形內(nèi)任意三條對(duì)角線都不會(huì)在其內(nèi)部交于同一點(diǎn)，問(wèn)這個(gè)十邊形所有對(duì)角線可以把這個(gè)十邊形劃分為_(kāi)_____個(gè)區(qū)域.解：246設(shè)分成區(qū)域的個(gè)數(shù)為，其相當(dāng)于某個(gè)具有個(gè)面的多面體的投在其中一個(gè)面所在面的投影，則,其中所以.9.一個(gè)三角形的一條高長(zhǎng)為2，另一條高長(zhǎng)為4，則這個(gè)三角形內(nèi)切圓半徑取值范圍是______.解：設(shè)三角形的邊為，內(nèi)切圓半徑為，則則，所以.10.表示正整數(shù)除以的余數(shù)之和，則滿足的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____.解：0設(shè)除以這9個(gè)數(shù)的余數(shù)為易得由題