新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 第27講 數(shù)列的概念（原卷版）

第27講數(shù)列的概念（精講）題型目錄一覽①數(shù)列的概念與通項公式②數(shù)列的性質(zhì)③與的關(guān)系一、知識點梳理一、知識點梳理一、數(shù)列的概念1.定義：按照一定順序排列的一列數(shù)，稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一項叫做數(shù)列的項.數(shù)列的項在這列數(shù)中是第幾項，則在數(shù)列中是第幾項，一般記為數(shù)列.2.對數(shù)列概念的理解（1）數(shù)列是按一定“順序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān)，這有別于集合中元素的無序性．因此，若組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個數(shù)列．（2）數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)，這也是數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別．（3）數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是正整數(shù)集和正整數(shù)集的有限子集.所以數(shù)列的函數(shù)的圖像不是連續(xù)的曲線，而是一串孤立的點.二、數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列其中n∈N＋遞減數(shù)列常數(shù)列按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)，使擺動數(shù)列的符號正負(fù)相間，如1，－1,1，－1，…三、數(shù)列的通項公式如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．即,不是每一個數(shù)列都有通項公式,也不是每一個數(shù)列都有一個個通項公式.四、數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的第1項(或前幾項)，且從第2項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．五、an與Sn的關(guān)系數(shù)列的前項和和通項的關(guān)系：則二、題型分類精講二、題型分類精講題型一數(shù)列的概念與通項公式策略方法數(shù)列的概念與通項公式1.根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，觀察出項與n之間的關(guān)系、規(guī)律，可使用添項、通分、分割等辦法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項公式來求．對于正負(fù)符號變化，可用或來調(diào)整．2.對于數(shù)列的通項公式要掌握：①已知數(shù)列的通項公式，就可以求出數(shù)列的各項；②根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式，這是一個難點，在學(xué)習(xí)中要注意觀察數(shù)列中各項與其序號的變化情況，分解所給數(shù)列的前幾項，看看這幾項的分解中．哪些部分是變化的，哪些是不變的，再探索各項中變化部分與序號的聯(lián)系，從而歸納出構(gòu)成數(shù)列的規(guī)律，寫出通項公式.【典例1】將1，5，12，22等稱為五邊形數(shù)，如下圖所示，把所有的五邊形數(shù)按從小到大的順序排列，就能構(gòu)成一個數(shù)列SKIPIF1<0，則該數(shù)列的第6項SKIPIF1<0（

）

A．49 B．50 C．51 D．52【題型訓(xùn)練】一、單選題1．南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，······，則第十層有（

）個球．

A．12 B．20 C．55 D．1102．分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決眾多傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，按照如圖1的分形規(guī)律可得知圖2的一個樹形圖，記圖2中第SKIPIF1<0行黑圈的個數(shù)為SKIPIF1<0，白圈的個數(shù)為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）

A．34 B．35 C．88 D．893．“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次運算，最終回到1.對任意正整數(shù)SKIPIF1<0，按照上述規(guī)則實施第SKIPIF1<0次運算的結(jié)果為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0均不為1，則SKIPIF1<0（

）A．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或44．歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價值的數(shù)學(xué)思想方法，對時代的進(jìn)步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個新的數(shù)列SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項的和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題6．如圖，第SKIPIF1<0個圖形由第SKIPIF1<0邊形“擴(kuò)展”而來的.記第SKIPIF1<0個圖形的頂點數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.

7．Farey序列是指把在0到1之間的所有分母不超過SKIPIF1<0的最簡分?jǐn)?shù)及0（視為SKIPIF1<0）和1（視為：SKIPIF1<0）按從小到大的順序排列起來所形成的數(shù)列，記作F－n，例如F－4就是SKIPIF1<0．則F－7的項數(shù)為．8．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為正整數(shù)），則SKIPIF1<0.9．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一個數(shù)列：SKIPIF1<0其中從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”．那么SKIPIF1<0

是斐波那契數(shù)列中的第項．題型二數(shù)列的性質(zhì)策略方法1．解決數(shù)列周期性問題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．2．判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法(1)作差(或商)法．(2)目標(biāo)函數(shù)法：寫出數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)到數(shù)列中去．3．求數(shù)列中最大(小)項的兩種方法(1)根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性判斷．(2)在數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0最大，則SKIPIF1<0若SKIPIF1<0最小，則SKIPIF1<0【典例1】若數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓(xùn)練】一、單選題1．在數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的個位數(shù)，則SKIPIF1<0（

）A．4 B．3 C．2 D．12．若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，則使得SKIPIF1<0最小時的n是（

）A．4 B．5 C．6 D．74．已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，前n項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取最小值時n的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．95．設(shè)SKIPIF1<0是等比數(shù)列，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，則“對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0”是“數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不是充分也不是必要條件7．在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，對所有的正整數(shù)SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<08．已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0最小時，SKIPIF1<0（

）A．9 B．10 C．11 D．129．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則下列結(jié)論成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的通項公式是SKIPIF1<0，則該數(shù)列中的最大項和最小項依次為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．412．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．－1 B．SKIPIF1<0 C．0 D．SKIPIF1<013．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．斐波那契數(shù)列SKIPIF1<0可以用如下方法定義：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的第100項為（

）A．0 B．1 C．2 D．315．在數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<016．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若存在實數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．已知無窮實數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0．若數(shù)列SKIPIF1<0既有最大項，也有最小項，則在：①“SKIPIF1<0且數(shù)列SKIPIF1<0嚴(yán)格減”和②“SKIPIF1<0且數(shù)列SKIPIF1<0嚴(yán)格增”中，SKIPIF1<0可能滿足的條件是（

）A．不存在 B．只有①

C．只有② D．①和②二、多選題18．定義“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的積都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積，已知數(shù)列SKIPIF1<0是等積數(shù)列，且SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項的和為SKIPIF1<0，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．公積為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．則下列結(jié)論中正確的是（

）A．SKIPIF1<0是等比數(shù)列 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<020．斐波那契數(shù)列是數(shù)學(xué)中的一個有趣的問題，它滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，人們在研究它的過程中獲得了許多漂亮的結(jié)果SKIPIF1<0某同學(xué)據(jù)此改編，研究如下問題：在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列選項正確的是（

）A．SKIPIF1<0是單調(diào)遞增數(shù)列，SKIPIF1<0是單調(diào)遞減數(shù)列B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0三、填空題22．）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.23．在數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.24．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.25．若數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為．26．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.若存在常數(shù)SKIPIF1<0，對于任意SKIPIF1<0，恒有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是.27．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且對任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是.28．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0為遞增數(shù)列，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為．29．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．30．已知SKIPIF1<0是各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列，其前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．給出下列四個結(jié)論：①SKIPIF1<0；②數(shù)列SKIPIF1<0有最大值，無最小值；③SKIPIF1<0；④存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0.其中所有正確結(jié)論的序號是．題型三與的關(guān)系策略方法已知Sn求an的三個步驟(1)利用a1＝S1求出a1．(2)當(dāng)n≥2時，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表達(dá)式．(3)看a1是否符合n≥2時an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項公式合寫；否則應(yīng)寫成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))【典例1】已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．16 B．18 C．20 D．25【題型訓(xùn)練】一、單選題1．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．5 C．7 D．82．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．9 B．16 C．31 D．333．若數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．7 B．8 C．15 D．164．“斐波那契數(shù)列”由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家列昂納多?斐波那契發(fā)現(xiàn)，因為斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱該數(shù)列為“兔子數(shù)列”.斐波那契數(shù)列SKIPIF1<0滿足:SKIPIF1<0，記其前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為常數(shù))，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．1011 D．20226．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則下列結(jié)論中錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．已知首項為3的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1435 B．1436 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則下列各式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0為單調(diào)遞增數(shù)列，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題11．設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列