新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單+鞏固練習(xí)專題11 等差數(shù)列與等比數(shù)列（解析版）

專題11等差數(shù)列與等比數(shù)列一、知識速覽二、考點速覽知識點1數(shù)列的有關(guān)概念1、數(shù)列的定義及表示（1）數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．（2）數(shù)列的表示法：數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析式法．2、數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列SKIPIF1<0其中n∈N*遞減數(shù)列SKIPIF1<0常數(shù)列SKIPIF1<0按其他標(biāo)準(zhǔn)分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使SKIPIF1<0擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列周期數(shù)列對n∈N*，存在正整數(shù)常數(shù)k，使SKIPIF1<03、數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列SKIPIF1<0的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表達，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．4、數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項(或前幾項)，且任一項SKIPIF1<0與它的前一項SKIPIF1<0(或前幾項)間的關(guān)系可用一個公式來表示，那么這個公式叫做數(shù)列的遞推公式．知識點2等差數(shù)列的概念及公式1、等差數(shù)列的定義（1）文字語言：一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)；（2）符號語言：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù))．2、等差中項：若三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項．3、通項公式與前n項和公式（1）通項公式：SKIPIF1<0．（2）前SKIPIF1<0項和公式：SKIPIF1<0．（3）等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系=1\*GB3①通項公式：當(dāng)公差SKIPIF1<0時，等差數(shù)列的通項公式SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的一次函數(shù)，且一次項系數(shù)為公差SKIPIF1<0.若公差SKIPIF1<0，則為遞增數(shù)列，若公差SKIPIF1<0，則為遞減數(shù)列．=2\*GB3②前n項和：當(dāng)公差SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.知識點3等差數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項和．1、等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)：（1）通項公式的推廣：SKIPIF1<0．（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（3）若SKIPIF1<0的公差為d，則SKIPIF1<0也是等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0．（4）若SKIPIF1<0是等差數(shù)列，則SKIPIF1<0也是等差數(shù)列．2、等差數(shù)列前SKIPIF1<0項和的性質(zhì)（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）兩個等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之間的關(guān)系為SKIPIF1<0.（4）數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…構(gòu)成等差數(shù)列．3、關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì)（1）若項數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）若項數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.知識點4等比數(shù)列的概念及公式1、等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母SKIPIF1<0表示。數(shù)學(xué)語言表達式：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為非零常數(shù))．2、等比中項性質(zhì)：如果三個數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，那么SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等比中項，其中SKIPIF1<0.注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項。3、通項公式及前n項和公式（1）通項公式：若等比數(shù)列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公比是SKIPIF1<0，則其通項公式為SKIPIF1<0；通項公式的推廣：SKIPIF1<0.（2）等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.知識點5等比數(shù)列的性質(zhì)已知SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．1、等比數(shù)列的基本性質(zhì)（1）相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…仍是等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0.（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0仍是等比數(shù)列．（3）若SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0口訣：下標(biāo)和相等，項的積也相等推廣：SKIPIF1<0（4）若SKIPIF1<0是等比數(shù)列，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）是以SKIPIF1<0為首項，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列。（5）若SKIPIF1<0是等比數(shù)列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0構(gòu)成公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列。2、等比數(shù)列前SKIPIF1<0項和的性質(zhì)（1）在公比SKIPIF1<0或SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……仍成等比數(shù)列，其公比為SKIPIF1<0；（2）對SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；（3）若等比數(shù)列SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0項，則SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是數(shù)列SKIPIF1<0的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和；（4）等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)，且SKIPIF1<0）一、由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法及具體策略1、常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法.2、具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系；⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0處理.【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…則該數(shù)列的第211項為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由題意，該數(shù)列可表示為SKIPIF1<0，該數(shù)列的通項公式為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：A.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列SKIPIF1<0的前四項依次是2，0，2，0，則SKIPIF1<0的通項公式不可能是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意知，SKIPIF1<0.對于A，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0符合條件，故A正確；對于B，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0符合條件，故B正確；對于C，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0符合條件，故C正確；對于D，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，不符合條件，故D錯誤.故選：D.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）根據(jù)數(shù)列的前4項，寫出它的一個通項公式：（1）9，99，999，9999，…；（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0.【解析】（1）數(shù)列SKIPIF1<0為：9，99，999，9999，…，分析可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，故SKIPIF1<0.（2）數(shù)列SKIPIF1<0為：SKIPIF1<0，分析可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，故SKIPIF1<0.（3）數(shù)列SKIPIF1<0為：SKIPIF1<0，分析可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，故SKIPIF1<0.（4）數(shù)列SKIPIF1<0為：SKIPIF1<0，分析可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，故SKIPIF1<0.二、數(shù)列周期性解題策略1、周期數(shù)列的常見形式（1）利用三角函數(shù)的周期性，即所給遞推關(guān)系中含有三角函數(shù)；（2）相鄰多項之間的遞推關(guān)系，如后一項是前兩項的差；（3）相鄰兩項的遞推關(guān)系，等式中一側(cè)含有分式，又較難變形構(gòu)造出特殊數(shù)列．2、解決此類題目的一般方法：根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進而求有關(guān)項的值或者前SKIPIF1<0項的和．【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A正確，SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是周期數(shù)列，周期為3．SKIPIF1<0，故B錯誤；SKIPIF1<0，故D正確．故選：ACD．【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】4047【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，兩式相減并整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因此數(shù)列SKIPIF1<0是以3為周期的周期數(shù)列，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：4047【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數(shù)列的前2009項之和為.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0是以4為周期的數(shù)列，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.三、求數(shù)列最大項或最小項的方法（1）將數(shù)列視為函數(shù)SKIPIF1<0當(dāng)x∈N*時所對應(yīng)的一列函數(shù)值，根據(jù)SKIPIF1<0的類型作出相應(yīng)的函數(shù)圖象，或利用求函數(shù)最值的方法，求出SKIPIF1<0的最值，進而求出數(shù)列的最大(小)項．（2）通過通項公式SKIPIF1<0研究數(shù)列的單調(diào)性，利用SKIPIF1<0確定最大項，利用SKIPIF1<0確定最小項．（3）比較法：①若有SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，所以數(shù)列SKIPIF1<0的最小項為SKIPIF1<0；②若有SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，所以數(shù)列SKIPIF1<0的最大項為SKIPIF1<0．【典例1】（2023秋·河北張家口·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項的積為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0（）．A．有最大項，有最小項B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項D．無最大項，無最小項【答案】A【解析】當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為最小項，SKIPIF1<0為最大項．故選：A【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項積SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值與最小值的和為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2D．3【答案】C【解析】∵數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項積SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時也適合上式，∴SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時，數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，最小值為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最大值與最小值之和為2.故選：C.【典例3】（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的最小項為SKIPIF1<0B．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的最大項為SKIPIF1<0C．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的最小值為－0.8D．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0的最大值為2.4【答案】BCD【解析】SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0單調(diào)遞減，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的最大項為SKIPIF1<0，無最小項，故A錯誤，B正確；SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，各項為正且SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故CD正確，故選：BCD四、等差數(shù)列的基本運算的解題策略1、等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程思想．2、數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．【典例1】（2023秋·江西吉安·高三?？奸_學(xué)考試）已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0為其前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．36B．45C．54D．63【答案】B【解析】設(shè)公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.【典例2】（2023秋·湖南益陽·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0最大【答案】AB【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確；SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0錯誤；故選：SKIPIF1<0【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則實數(shù)m的值是．【答案】SKIPIF1<0【解析】依題意SKIPIF1<0，設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0五、等差數(shù)列的判定與證明的方法：1、定義法：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差數(shù)列；2、定義變形法：驗證是否滿足SKIPIF1<0；3、等差中項法：SKIPIF1<0為等差數(shù)列；4、通項公式法：通項公式形如SKIPIF1<0為常數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0為等差數(shù)列；5、前n項和公式法：SKIPIF1<0為常數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0為等差數(shù)列．注意：（1）若判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0即可；（2）如果要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項法．【典例1】（2023·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項不為零，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】2023【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0兩式相加得SKIPIF1<0.故數(shù)列SKIPIF1<0的奇數(shù)項成等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是1與SKIPIF1<0的等差中項，求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列.【答案】證明見解析【解析】證明：因為SKIPIF1<0是1與SKIPIF1<0的等差中項，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，是常數(shù)，故數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．已知SKIPIF1<0．證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列；【答案】證明見解析【解析】證明：因為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列．【典例4】（2023秋·江蘇南京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知公比大于1的等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項公式；（2）記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析【解析】（1）方法1：設(shè)公比為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0是等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0；方法2：設(shè)公比為SKIPIF1<0，由等比數(shù)列性質(zhì)得出SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式作差可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．方程同除以SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．所以數(shù)列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列．六、等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用1、在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)m≠n時，d＝eq\f(am－an,m－n)為公差公式，利用這個公式很容易求出公差，還可變形為am＝an＋(m－n)d.2、等差數(shù)列{an}中，每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列．3、等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特別地，若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.【典例1】（2023·河南·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)SKIPIF1<0是等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．15B．30C．45D．60【答案】C【解析】由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.【典例2】（2022秋·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：B七、等差數(shù)列的前n項和常用的性質(zhì)應(yīng)用1、等差數(shù)列的依次k項之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數(shù)列．2、數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))?數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．3、若S奇表示奇數(shù)項的和，S偶表示偶數(shù)項的和，公差為d，①當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)2n－1時，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).【典例1】（2023秋·天津河?xùn)|·高三?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．90B．40C．50D．60【答案】D【解析】因為SKIPIF1<0為等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0成等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：D【典例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且其公差為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例3】（2022秋·陜西榆林·高三?？茧A段練習(xí)）若等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由等差數(shù)列前SKIPIF1<0項和的性質(zhì)得SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0.【典例4】（2022·浙江·高三專題練習(xí)）在項數(shù)為2n＋1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項的和為165，所有偶數(shù)項的和為150，則n等于（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【解析】分別設(shè)該數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和分別為SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴n＝10，故選:B.八、等差數(shù)列前n項和最值求法1、二次函數(shù)法：將Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方．轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題，但要注意n∈N*，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對稱性來確定n的值，更加直觀．2、鄰項變號法：當(dāng)a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))時，Sn取得最大值；當(dāng)a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))時，Sn取得最小值．特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．【典例1】（2023秋·天津武清·高三天津市武清區(qū)城關(guān)中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0取得最大值時，SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】因為SKIPIF1<0是等差數(shù)列，所以由SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此該數(shù)列是遞減數(shù)列，顯然當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，故答案為：SKIPIF1<0【典例2】（2023·四川南充·模擬預(yù)測）等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．60B．50C．SKIPIF1<0D．30【答案】D【解析】由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，故選：D【典例3】（2023秋·江蘇·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0最大C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則A正確.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0最小，故B錯誤.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，對稱軸為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則C錯誤.因為SKIPIF1<0，所以D正確.故選：AD【典例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0及數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）求SKIPIF1<0的最小值及對應(yīng)的n的值．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，n＝8或n＝9【解析】（1）由等差數(shù)列的前n項和公式可知SKIPIF1<0，所以k＝0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．當(dāng)n＝1時也符合上式，故SKIPIF1<0．（2）由（1）可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是關(guān)于n的二次函數(shù)，又SKIPIF1<0，所以當(dāng)n＝8或n＝9時，SKIPIF1<0取得最小值，故SKIPIF1<0．九、已知{an}為等差數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和的步驟第一步，解不等式an≥0(或an≤0)尋找{an}的正負(fù)項分界點．第二步，求和：①若an各項均為正數(shù)(或均為負(fù)數(shù))，則{|an|}各項的和等于{an}的各項的和(或其相反數(shù))；②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，這時數(shù)列{an}只有前面有限項為正數(shù)(或負(fù)數(shù))，可分段求和再相加．【典例1】（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0前三項的和為SKIPIF1<0，前三項的積為8.（1）求等差數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求數(shù)列SKIPIF1<0的前10項和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）105【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，不成等比數(shù)列；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0成等比數(shù)列，滿足條件.故SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故數(shù)列SKIPIF1<0的前10項和為SKIPIF1<0.【典例2】（2023秋·廣東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項公式；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（2）因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0；綜上所述：SKIPIF1<0.【典例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）設(shè)SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，綜上所述：SKIPIF1<0.十、求解等比數(shù)列的基本量常用的思想方法1、方程的思想：等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中聯(lián)系著五個量：SKIPIF1<0，已知其中三個量，可以通過解方程(組)求出另外兩個量；其中基本量是a1與q，在解題中根據(jù)已知條件建立關(guān)于a1與q的方程或者方程組，是解題的關(guān)鍵．2、分類討論思想：在應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，必須分類求和，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；在判斷等比數(shù)列單調(diào)性時，也必須對SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分類討論．【典例1】（2023秋·湖南岳陽·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．3【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A【典例2】（2023秋·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)公比為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：C.【典例3】（2023秋·山東濟南·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）記SKIPIF1<0為等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．85D．120【答案】C【解析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，變形可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.十一、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用1、等比數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用問題的解題突破口等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形，二是等比中項公式的變形，三是前n項和公式的變形．根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．2、應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)解題時的2個注意點（1）在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0”，可以減少運算量，提高解題速度．（2）在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形．此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用．【典例1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．3B．6C．9D．18【答案】B【解析】因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：B【典例2】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）記等比數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C.【典例3】（2022秋·黑龍江哈爾濱·高三?？计谥校┰谡椀缺葦?shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】在正項等比數(shù)列SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【典例4】（2023秋·云南·高三?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．90B．135C．150D．180【答案】C【解析】由題意，在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列，∴有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（舍）或SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：C.【典例5】（2022秋·廣東佛山·高三?？茧A段練習(xí)）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】120【解析】因為在等比數(shù)列中，若項數(shù)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案為：120十二、等比數(shù)列的判定與證明常用的方法：1、定義法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0為常數(shù)且SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列．2、等比中項法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列．3、通項公式法：SKIPIF1<0SKIPIF1<0數(shù)列SK