2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四章 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù) 4.5.2 用二分法求方程的近似解教案 新人教A版必修第一冊

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5.2用二分法求方程的近似解教案新人教A版必修第一冊科目授課時間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級、授課課時授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5.2用二分法求方程的近似解教案新人教A版必修第一冊教材分析本節(jié)課選自《2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5.2用二分法求方程的近似解教案新人教A版必修第一冊》，在學(xué)生學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上，進一步探討方程的近似解法。本節(jié)內(nèi)容通過二分法這一算法，將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為實際操作，既鞏固了學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解，又培養(yǎng)了學(xué)生的動手能力和解決問題的能力。二分法的教學(xué)與實踐相結(jié)合，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，加深對數(shù)學(xué)學(xué)科的認識，符合高中生的認知發(fā)展需求，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的實用性和工具性。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。通過用二分法求解方程近似解的過程，學(xué)生將掌握從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，培養(yǎng)邏輯思維和推理能力，進而提高解決問題的效率。學(xué)生能夠理解算法思想，運用數(shù)學(xué)語言和符號進行準確表達，加強數(shù)學(xué)運算的熟練度和準確性，體會數(shù)學(xué)在解決實際問題中的廣泛應(yīng)用，從而提升數(shù)學(xué)學(xué)科的綜合素養(yǎng)。重點難點及解決辦法重點：理解二分法的基本原理，掌握運用二分法求解方程近似解的方法。

難點：如何正確確定初始區(qū)間，以及如何精確判斷區(qū)間端點的取舍。

解決辦法：通過具體案例和圖示，引導(dǎo)學(xué)生直觀感受二分法的原理，明確其步驟和條件。針對難點，采用以下策略：

1.通過分析函數(shù)性質(zhì)，教授學(xué)生如何選擇合適的初始區(qū)間，確保包含方程的根。

2.利用數(shù)軸和具體示例，講解區(qū)間端點的取舍規(guī)則，強調(diào)精確度與效率的平衡。

3.設(shè)計互動環(huán)節(jié)，讓學(xué)生動手實踐，互相討論，教師巡回指導(dǎo)，及時解答學(xué)生疑惑，幫助學(xué)生突破難點。教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法：

(1)講授法：通過生動的語言和直觀的圖示，向?qū)W生講解二分法的原理和步驟，確保學(xué)生理解算法的基本概念。

(2)討論法：在講解完二分法的基本原理后，組織學(xué)生進行小組討論，讓學(xué)生通過互相交流，探討如何選擇初始區(qū)間和判斷區(qū)間端點的取舍，促進學(xué)生的思維碰撞和知識內(nèi)化。

(3)實驗法：安排學(xué)生在計算機上使用數(shù)學(xué)軟件（如幾何畫板、Mathematica等）進行二分法實驗，通過實際操作體驗算法的執(zhí)行過程，增強學(xué)生的實踐能力和直觀感受。

2.教學(xué)手段：

(1)多媒體設(shè)備：利用PPT展示二分法的步驟、案例和關(guān)鍵公式，通過動態(tài)圖示和視頻演示，幫助學(xué)生更直觀地理解算法的執(zhí)行過程。

(2)教學(xué)軟件：使用數(shù)學(xué)軟件進行現(xiàn)場演示，通過實時調(diào)整參數(shù)和觀察結(jié)果，讓學(xué)生清晰地看到二分法的每一步變化，提高學(xué)生對算法過程的理解。

(3)網(wǎng)絡(luò)資源：提供在線數(shù)學(xué)資源和自主學(xué)習(xí)平臺，鼓勵學(xué)生在課后使用這些資源進行復(fù)習(xí)和拓展學(xué)習(xí)，實現(xiàn)課堂學(xué)習(xí)與自主學(xué)習(xí)的有效結(jié)合。教學(xué)實施過程1.課前自主探索

教師活動：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過學(xué)校在線學(xué)習(xí)平臺，發(fā)布預(yù)習(xí)資料，包括二分法的概念和基本步驟的PPT，要求學(xué)生提前了解二分法的原理。

設(shè)計預(yù)習(xí)問題：圍繞二分法的應(yīng)用，設(shè)計問題，如“如何確定初始區(qū)間？”“二分法的基本步驟有哪些？”引導(dǎo)學(xué)生自主思考。

監(jiān)控預(yù)習(xí)進度：通過學(xué)習(xí)平臺的數(shù)據(jù)反饋，了解學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，及時調(diào)整教學(xué)計劃。

學(xué)生活動：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生按照要求，自主學(xué)習(xí)二分法的相關(guān)知識。

思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生嘗試回答預(yù)習(xí)問題，記錄自己的理解和不解之處。

提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將預(yù)習(xí)筆記和問題通過平臺提交，以便教師了解預(yù)習(xí)效果。

教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和對知識的初步感知。

信息技術(shù)手段：利用在線平臺，實現(xiàn)資源的快速共享和預(yù)習(xí)進度的監(jiān)控。

作用與目的：

讓學(xué)生提前接觸二分法，為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

培養(yǎng)學(xué)生獨立思考和自主學(xué)習(xí)的能力。

2.課中強化技能

教師活動：

導(dǎo)入新課：通過一個實際問題引入二分法，如尋找某數(shù)的平方根。

講解知識點：詳細講解二分法的步驟，如何選擇初始區(qū)間，以及如何進行區(qū)間的劃分。

組織課堂活動：設(shè)計小組討論，讓學(xué)生合作解決具體的數(shù)學(xué)問題，如用二分法求方程的近似解。

解答疑問：針對學(xué)生在討論中產(chǎn)生的疑問，進行個別或集體解答。

學(xué)生活動：

聽講并思考：學(xué)生專心聽講，積極參與教師提出的問題。

參與課堂活動：在小組討論中，學(xué)生共同探討問題，應(yīng)用二分法解決實際問題。

提問與討論：學(xué)生針對不懂的問題提出疑問，與同學(xué)和老師共同討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

講授法：通過講解，幫助學(xué)生理解二分法的理論知識。

實踐活動法：通過小組討論，讓學(xué)生在實踐中掌握二分法的應(yīng)用。

合作學(xué)習(xí)法：通過小組合作，培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作能力。

作用與目的：

加深學(xué)生對二分法理論知識的理解，并通過實踐活動，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

培養(yǎng)學(xué)生的團隊合作意識和溝通能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動：

布置作業(yè)：根據(jù)本節(jié)課內(nèi)容，布置相關(guān)習(xí)題，要求學(xué)生在課后完成。

提供拓展資源：向?qū)W生推薦相關(guān)的學(xué)習(xí)資料，如高級算法書籍和網(wǎng)絡(luò)資源。

反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予學(xué)生反饋，指導(dǎo)學(xué)生改進。

學(xué)生活動：

完成作業(yè)：學(xué)生獨立完成作業(yè)，鞏固課堂所學(xué)知識。

拓展學(xué)習(xí)：利用教師提供的資源，進一步探索二分法的高級應(yīng)用。

反思總結(jié)：學(xué)生對自己的學(xué)習(xí)過程進行反思，總結(jié)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，提出改進措施。

教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：鼓勵學(xué)生自主完成作業(yè)，進行拓展學(xué)習(xí)。

反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生通過反思，不斷提升學(xué)習(xí)能力。

作用與目的：

鞏固學(xué)生對二分法的理解和應(yīng)用能力。

拓寬學(xué)生的知識視野，提高學(xué)生的自我反思和自我提升能力。知識點梳理1.二分法的基本概念

-二分法的定義：二分法是一種在有序數(shù)組中查找特定元素或在連續(xù)函數(shù)上尋找根的算法。

-二分法的應(yīng)用場景：適用于求解單調(diào)連續(xù)函數(shù)的根、查找有序數(shù)組中的元素等。

2.二分法的執(zhí)行步驟

-確定初始區(qū)間：選擇一個包含目標根的區(qū)間，確保函數(shù)在該區(qū)間的兩端點取值異號。

-縮小區(qū)間：根據(jù)函數(shù)值的符號，不斷將區(qū)間一分為二，逐步逼近目標根。

-判斷停止條件：當區(qū)間足夠小，或者函數(shù)值足夠接近0時，停止迭代。

3.二分法的算法分析

-時間復(fù)雜度：二分法的時間復(fù)雜度為O(logn)，其中n為迭代次數(shù)。

-空間復(fù)雜度：二分法只需常數(shù)級別的額外空間，空間復(fù)雜度為O(1)。

4.二分法的注意事項

-初始區(qū)間的選擇：應(yīng)確保區(qū)間端點異號，避免函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有根。

-精度控制：根據(jù)實際問題，設(shè)定合適的精度要求，以確定迭代停止的條件。

-邊界處理：在編寫代碼時，注意處理邊界條件，避免出現(xiàn)死循環(huán)或遺漏根。

5.二分法在實際問題中的應(yīng)用

-求解方程的近似解：利用二分法求解一元二次方程、對數(shù)方程等連續(xù)函數(shù)的近似根。

-查找有序數(shù)組中的元素：在有序數(shù)組中查找特定元素或滿足條件的元素位置。

6.二分法的數(shù)學(xué)原理

-中值定理：連續(xù)函數(shù)在區(qū)間兩端點異號時，至少存在一個根。

-二分法的遞推關(guān)系：通過不斷二分，區(qū)間長度以2的負指數(shù)冪遞減，逼近根。

7.二分法的教學(xué)策略

-結(jié)合實際案例：通過實際問題引入二分法，使學(xué)生理解算法的實用性和價值。

-動手實踐：鼓勵學(xué)生編寫代碼或使用數(shù)學(xué)軟件，親身體驗二分法的執(zhí)行過程。

-理論與實踐相結(jié)合：在講解算法原理的同時，注重培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和解決問題的能力。

本節(jié)課的知識點梳理涵蓋了二分法的基本概念、執(zhí)行步驟、算法分析、注意事項、實際應(yīng)用、數(shù)學(xué)原理和教學(xué)策略。這些知識點與教材緊密相關(guān)，旨在幫助學(xué)生全面理解和掌握二分法，為解決實際問題打下堅實基礎(chǔ)。板書設(shè)計1.標題：用二分法求方程的近似解

-二分法原理與應(yīng)用

2.二分法步驟

-確定初始區(qū)間

-縮小區(qū)間

-判斷停止條件

3.注意事項

-初始區(qū)間選擇

-精度控制

-邊界處理

4.算法分析

-時間復(fù)雜度：O(logn)

-空間復(fù)雜度：O(1)

5.實際應(yīng)用案例

-求解方程近似解

-有序數(shù)組元素查找

6.數(shù)學(xué)原理

-中值定理

-二分法遞推關(guān)系

7.教學(xué)策略

-結(jié)合實際案例

-動手實踐

-理論與實踐相結(jié)合

板書設(shè)計以清晰的結(jié)構(gòu)和簡潔明了的方式呈現(xiàn)二分法的核心知識點，突出重點，使學(xué)生能夠直觀地把握二分法的基本原理和步驟。同時，板書設(shè)計注重藝術(shù)性和趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性。反思改進措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.實踐性強：本節(jié)課通過數(shù)學(xué)軟件的現(xiàn)場演示和學(xué)生的動手實驗，使學(xué)生在實踐中掌握二分法的應(yīng)用，增強了學(xué)習(xí)的體驗感和實用性。

2.互動性高：課堂中組織了小組討論和問題解答環(huán)節(jié)，鼓勵學(xué)生提問和分享，提高了學(xué)生的參與度和思考深度。

（二）存在主要問題

1.學(xué)生參與度不均：在小組討論中，部分學(xué)生參與度不高，可能是因為問題難度不適宜或?qū)W生準備不足。

2.教學(xué)評價單一：目前對學(xué)生的學(xué)習(xí)評價主要依賴課后作業(yè)和課堂問答，缺乏過程性評價和多元化評價手段。

（三）改進措施

針對學(xué)生的參與度問題，我計劃在今后的教學(xué)中：

1.分層次設(shè)計問題，確保問題難度適中，既能激發(fā)學(xué)生的思考，又不會讓學(xué)生感到過于困難。

2.增加課堂互動，通過抽問、小組競賽等方式，鼓勵更多學(xué)生參與到課堂討論中來。

針對教學(xué)評價單一的問題，我將：

1.引入課堂觀察表，對學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)進行記錄，作為過程性評價的一部分。

2.結(jié)合線上平臺的使用，設(shè)置在線測試和討論區(qū)，鼓勵學(xué)生在課后進行知識鞏固和問題探討，豐富評價方式。課后作業(yè)1.求方程$e^x-2=0$的近似解，要求精度為$10^{-6}$。

2.用二分法求函數(shù)$f(x)=\ln(x)-1$在區(qū)間$[2,3]$內(nèi)的根，并說明你的初始區(qū)間選擇。

3.給定有序數(shù)組$[1,3,5,7,9,11,13,15]$，用二分法查找元素$9$的位置。

4.求解方程$x^3-6x+9=0$的近似解，要求精度為$10^{-4}$。

5.用二分法求函數(shù)$f(x)=x^2-4$在區(qū)間$[1,2]$內(nèi)的根，并說明你的初始區(qū)間選擇。

答案：

1.近似解為$x\approx0