2020年高中數(shù)學必修第一冊：指數(shù)冪的擴充 教學設計（北師大版）

第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)

第1節(jié)指數(shù)塞的擴充

3.1.1指數(shù)塞的擴充

教材分析

初中學習了整數(shù)指數(shù)幕的運算，本節(jié)將整數(shù)指數(shù)擴充到有理數(shù)指數(shù)和實數(shù)指數(shù)，著重是有理數(shù)

指數(shù)(分數(shù)指數(shù))的運算，完成了指數(shù)基運算的擴充，一方面使指數(shù)運算知識更加完整，揭示了開

方(根式)運算與乘方(指數(shù)式)運算的內(nèi)在聯(lián)系，另一方面為學習指數(shù)的運算性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的

性質(zhì)奠定了基礎。

教學目標與核心素養(yǎng)

⑴知識目標：

掌握有理數(shù)指數(shù)幕的含義和運算；掌握根式運算與指數(shù)運算的內(nèi)在聯(lián)系；正確進行有理數(shù)指數(shù)

基的運算；理解實數(shù)指數(shù)基的含義。

(2)核心素養(yǎng)目標：

通過實數(shù)指數(shù)塞的擴充和相關運算，使學生了解指數(shù)運算的發(fā)展過程，提高學生數(shù)學運算的核

心素養(yǎng)。

教學重難點

(1)正分數(shù)指數(shù)幕的含義和運算；

(2)有理數(shù)指數(shù)塞的運算；

(3)根式與分數(shù)指數(shù)累的相互轉(zhuǎn)化。

課前準備

多媒體課件

教學過程

一、知識引入

在初中，學習了整數(shù)指數(shù)基的運算及性質(zhì)

an=a-a-a......a__i

、“個a.?°=1a，

，，

am.a"=a"^,(am)n=a?,(a??爐

思考討論:

（1）薇甘菊是熱帶、亞熱帶地區(qū)危害最嚴重的雜草之一，它侵害田地的面積S（單位hn?）與年數(shù)t

（年）的關系式為

S=SyL057r

其中“為侵害面積的初始值

10

如果求10年后侵害的面積，則5=S0-1.057；如果求］5.5年后侵害的面積，就需要

計算S=So?LO57i5：這個指數(shù)運算與初中所學的指數(shù)運算有什么差異呢？

提示：指數(shù)是分數(shù).

27二

（2）對于分數(shù)指數(shù)塞，該如何運算呢？如'"?.

鬲2=32=3(⑨2=337=V3

提示:，乂，口J見.

二、新知識

m

1、給定正數(shù)。和正整數(shù)L且m%素），若存在唯一的正數(shù)》，使得〃=心，則稱》為a的晟次

事.

m

b=a；

記作，這就是正分數(shù)指數(shù)幕.

13

八乙則T513t=5"

例如:J，則

注意:

mmIcm

antin=0右

①當是正整數(shù)時，分數(shù)指數(shù)基滿足:

7

3^=V3a>0.a：=Va"府讀作“n

②與類似，當?shù)讛?shù)時,,其中

臚”，也叫根式運算.

次根號下

京=限=2版277=7272=9

例如:

m

Q；a>0

③根據(jù)分數(shù)指數(shù)'幕的定義，分數(shù)指數(shù)幕的條件是：底數(shù)

^7二一？，但不能寫成(-27)1=-3

雖然

例1.把下列各式中的正數(shù)》寫成正分數(shù)指數(shù)幕的形式:

65=20h4=25

⑴(2)

⑶〃=3m(mneN+)；⑷9m

b"=71(mneN+)

b=2；

i(Jb=2°z

解：⑴(2)

m9mJn

b=37b=JT==7T-n"

(3)(4)

2、類似負整數(shù)指數(shù)基的定義，給定°,正整數(shù)瓶7”且6箱互素），定義

1_1

至此，指數(shù)運算的指數(shù)已經(jīng)擴充到有理數(shù)了.

那么，指數(shù)是無理數(shù)的情況呢？以為例說明如下

0=1.414213…,所以

因為

L4<1.41<L414<-<V2<-<1.415<1.42<1.5

證左邊的數(shù)稱為企的不足近似值，右邊的數(shù)稱為迎的過剩近

上式

似值

10L4<10L41<10L414<???<<...<1OL41S<10L42<10L5

1°”越來越趨近于同一個數(shù)，即lO^5=25.954-

借助計算器，可算出

一般的，給定正數(shù)a,對任意無理數(shù)匕°都是一個確定的實數(shù).

a-a=-

同理

這樣，指數(shù)運算的指數(shù)已經(jīng)擴充到全體實數(shù)了.

3注意:

心都大于0

①給定一個正數(shù)°,對任意實數(shù)°,指數(shù)塞;

②0的任意正實數(shù)幕都等于0；

③0的0指數(shù)幕和負實數(shù)指數(shù)基都沒有意義。

例2.計算:

⑶5

4227

(1)(2)

解：⑴熨=砂=23=8

27T=(33)4=尸=；

(2)

(/=(2T)T=26=64

⑶16

思考討論(綜合練習)

(1)計算下列各式:

9?+6)-27

(2,嚴_0r2+Q繳+100n0

①②

(2)用分數(shù)指數(shù)幕表示下列各式(字母均表示正實數(shù)).

…(ab3y/a^

①yja-\/a

②

aia

92+(：)-2=(32)7+22=31

提示:(1)①2

②

(2護5—0.1-2+僅算;+100/=停用-(總7+吟)產(chǎn)+100=那短

(2)①^Ja-y/a=(a-aT=(tfp=a?

②而I而___==(曲_?成1S即1=33葉n1=兩311

三、課堂練習

教材P76,練習1、2.

四、課后作業(yè)

教材P77,習題3-1：A組第1、2、3,B組第1題.

教學反思