第10講空間中點直線平面之間的關(guān)系（6個知識點10種題型強(qiáng)化訓(xùn)練）原卷版

第10講空間中點、直線、平面之間的關(guān)系（6個知識點+10種題型+強(qiáng)化訓(xùn)練）知識導(dǎo)圖知識清單知識點一、平面的概念,畫法及表示法1．平面的概念幾何里所說的“平面”，是從課桌面、黑板面、平靜的水面等一些物體中抽象出來的．幾何里的平面是無限延展的．思考1：一個平面能否把空間分成兩部分？[提示]因為平面是無限延展的，一個平面把空間分成兩部分．2．平面的畫法(1)水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，它的銳角通常畫成45°，且橫邊長等于其鄰邊長的2倍．如圖①.(2)如果一個平面被另一個平面遮擋住，為了增強(qiáng)它的立體感，把被遮擋部分用虛線畫出來．如圖②.①②3．平面的表示法上圖①的平面可表示為平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.知識點二、平面的基本性質(zhì)基本事實內(nèi)容圖形符號基本事實1過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面A，B，C三點不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本事實2如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α事實3如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線P∈α，P∈β?α∩β＝l且P∈l思考：經(jīng)過空間任意三點能確定一個平面嗎？[提示]不一定，只有經(jīng)過空間不共線的三點才能確定一個平面．基本事實的推論推論1：經(jīng)過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．知識點三、異面直線及畫法1．異面直線(1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線．(2)異面直線的畫法：①②知識點四、空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系特點相交同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點平行同一平面內(nèi)，沒有公共點異面直線不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點思考：分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎？[提示]不一定．可能平行、相交或異面．知識點五、直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點無數(shù)個公共點一個公共點沒有公共點符號表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示思考：“直線與平面不相交”與“直線與平面沒有公共點”是一回事嗎？[提示]不是．前者包括直線與平面平行及直線在平面內(nèi)這兩種情況，而后者僅指直線與平面平行．知識點六、兩個平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點沒有公共點有無數(shù)個公共點(在一條直線上)符號表示α∥βα∩β＝l圖形表示知識復(fù)習(xí)題型1.平面分空間區(qū)域的數(shù)量1．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）三個不互相重合的平面將空間分成個部分，則不可能是（

）A． B． C． D．二、填空題2．（2324高二上·上海黃浦·階段練習(xí)）空間三個平面最多將空間分成個部分（填數(shù)字）.3．（2223高三·全國·對口高考）一個平面把空間分為部分；兩個平面把空間分為部分；三個平面把空間分為部分．4．（2324高二上·上海崇明·期中）三棱臺的各個面所在的平面，將空間劃分為個區(qū)域．三、解答題5．（2223高一·全國·隨堂練習(xí)）如果3個平面把空間分成4部分，那么這3個平面有怎樣的位置關(guān)系？如果3個平面把空間分成6部分，那么這3個平面有怎樣的位置關(guān)系？畫圖說明．題型2.平面的基本性質(zhì)一、單選題1．（2324高二上·江西宜春·期末）能確定一個平面的條件是（

）A．空間的三點 B．一個點和一條直線C．兩條相交直線 D．無數(shù)點2．（2324高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．空間中三點確定一個平面B．空間中兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面C．一條直線和一個點能確定一個平面D．四邊形一定是平面圖形二、多選題3．（2324高二上·廣東惠州·階段練習(xí)）設(shè)P表示一個點，a，b表示兩條不同直線，，表示兩個不同平面，下列說法不正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，，則D．若，，，則三、填空題4．（2024高二·全國·專題練習(xí)）設(shè)平面與平面相交于直線,直線，直線,,則M（用符號表示）．5．（2324高二上·上海普陀·期中）4條線段首尾相接得到一個四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)它的兩條對角線時，才是一個平面圖形．四、解答題6．（2223高一·全國·隨堂練習(xí)）在空間中，下列命題是否正確？為什么？(1)有兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形；(2)四邊相等的四邊形是菱形；(3)平行于同一條直線的兩條直線平行；(4)有兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．題型3.點（線）確定的平面數(shù)量問題一、單選題1．（2223高一下·山東煙臺·期末）下列幾何元素可以確定唯一平面的是（

）A．三個點 B．圓心和圓上兩點C．梯形的兩條邊 D．一個點和一條直線2．與正四面體的4個頂點的距離都相等的平面?zhèn)€數(shù)為（

）A．4個 B．6個 C．8個 D．前三個答案都不對二、填空題3．（2223高一下·江蘇·期中）空間有6個點，其中任意三點不共線，且有五個點共面，則這6個點最多可以確定個平面．4．（2324高二上·上?！て谀┤c不在同一直線上，則經(jīng)過這三個點的平面有個.5．（2324高二下·上?！るA段練習(xí)）空間中三條平行直線最多確定個平面.6．（2324高二上·上海靜安·期中）空間兩兩相交且不共點的三條直線可以確定平面．題型4.空間中點（線）共面問題一、單選題1．（2223高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，P，Q分別是棱，的中點，平面平面，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．過點BB．不一定過點BC．的延長線與的延長線的交點在上D．的延長線與的延長線的交點在上二、多選題2．（2223高一下·陜西咸陽·階段練習(xí)）下列說法，不正確的有（

）A．如果一條直線與另兩條直線都相交，那么這三條直線必共面B．如果三條直線兩兩都相交，那么它們能確定一個平面C．如果三條直線相互平行，那么這三條直線在同一個平面上D．如果一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線確定一個平面三、解答題3．（2024高一下·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在空間四面體中，、分別是、的中點，、分別是、上的點，且，.求證：、、、四點共面；4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在長方體中，，，，分別是，的中點，證明：四點共面．5．（2023高三·全國·專題練習(xí)）若所在的平面和所在平面相交，并且直線相交于一點O，求證：

(1)和、和、和分別在同一平面內(nèi)；(2)如果和、和、和分別相交，那么交點在同一直線上（如圖）.題型5.空間中的點共線及線共點問題一、單選題1．（2223高一下·河南開封·期末）如圖，在正方體中，為棱的靠近上的三等分點.設(shè)與平面的交點為，則（

）

A．三點共線，且B．三點共線，且C．三點不共線，且D．三點不共線，且二、多選題2．（2324高三上·山西大同·階段練習(xí)）已知正方體中，為的中點，直線交平面于點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三點共線 B．四點共面C．四點共面 D．四點共面三、解答題3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在平面外，三邊AB，AC，BC所在直線分別交平面于P，Q，R三點．求證：P，Q，R三點在同一直線上．4．（2023高三·全國·專題練習(xí)）平行六面體中，求證：，，，四對角線交于一點．5．（2023高三·全國·專題練習(xí)）四面體中，過各個面的三角形外心，分別作該面的垂線，求證：這四條垂線共點．6．（2324高二上·北京·階段練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，、分別是、的中點，，分別在，上，且.

(1)求證：；(2)設(shè)與交于點，求證：三點共線.7．（2023高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在空間四邊形中，，分別是，的中點，，分別是邊，上的點，且．求證：直線，，相交于一點．題型6.由平面的基本性質(zhì)作截面圖形一、單選題1．（2324高三下·江西·開學(xué)考試）已知一正方體木塊的棱長為4，點在校上，且.現(xiàn)過三點作一截面將該木塊分開，則該截面的面積為（

）A． B． C． D．二、填空題2．（2324高二下·山東青島·開學(xué)考試）如圖，直四棱柱的底面是邊長為2的正方形，分別是的中點，過點的平面記為，則平面截直四棱柱所得截面的面積為.

3．（2223高一下·河北邯鄲·期中）在正方體中，，E為棱上一點，且，則，E，C三點所在的平面截正方體所得截面的周長為.三、解答題4．（2223高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）如下圖，在正方體中，棱長為分別是的中點．(1)畫出過三點的平面與平面、平面的交線；(2)設(shè)過三點的平面與交于點，求的長．題型7.等角定理及應(yīng)用一、單選題1．（2223高一下·全國·單元測試）如圖，在四面體ABCD中，M，N，P，Q，E分別是AB，BC，CD，AD，AC的中點，則下列說法中不正確的是（

）

A．M，N，P，Q四點共面 B．C． D．四邊形MNPQ為梯形2．（2223高一·全國·課時練習(xí)）兩等角的一組對應(yīng)邊平行，則（

）A．另一組對應(yīng)邊平行 B．另一組對應(yīng)邊不平行C．另一組對應(yīng)邊垂直 D．以上都不對3．（2223高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）下列命題中，真命題有（

）①如果兩條相交直線與另外兩條相交直線分別平行，那么這兩條相交直線和另外兩條相交直線所成的銳角或直角相等；②如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別垂直，那么這兩個角相等或互補(bǔ)；③分別在兩個不同的平面內(nèi)且沒有公共點的直線互相平行；④，若，，則或.A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、解答題4．（2023高一·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是AB，BB1，BC的中點，求證：△EFG∽△C1DA1.題型8.異面直線的判定，異面直線所成的角，距離一、單選題1．（2324高二上·重慶·期末）在正方體中，點是棱的中點，則異面直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．（2324高二上·上海閔行·期末）如圖所示，正方體中，是線段上的動點（包含端點），則下列哪條棱所在直線與直線始終異面（

）A． B．C． D．二、多選題3．（2223高一下·河南·期中）已知正方體中，M為的中點，則下列直線中與直線是異面直線的有（

）A． B． C． D．4．（2021高一下·湖南張家界·期中）如圖，在正方體中，、、、、、分別是棱、、、、、的中點，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A．直線和平行，和相交B．直線和平行，和相交C．直線和相交，和異面D．直線和異面，和異面三、填空題5．（2223高一·全國·課時練習(xí)）邊長為1的正方體中，直線和之間的距離為.四、解答題6．（2223高一·全國·課后作業(yè)）所有棱長都為1的四面體中，找到異面直線和的公垂線，求出和的距離．7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知P為所在平面外一點，，，E，F(xiàn)分別是PA和BC的中點．(1)求證：EF與PC是異面直線；(2)求EF與PC所成的角．8．（2223高一·全國·課后作業(yè)）已知S是矩形所在平面外一點，，，與所成角大小為，與所成角大小為，，分別求直線與的距離及與的距離．題型9.直線與直線平行一、單選題1．（2122高一下·河北石家莊·期中）下列說法正確的是（

）A．如果一條直線上的某一點在平面α內(nèi)，那么這條直線也在平面α內(nèi)B．如果兩條直線與同一個平面所成的角相等，那么這兩條直線互相平行C．如果兩條直線與同一條直線垂直，那么這兩條直線互相垂直D．如果兩條直線與同一條直線平行，那么這兩條直線互相平行二、多選題2．（2223高一下·浙江寧波·期中）下列命題是真命題的是（

）A．平行于同一直線的兩條直線平行 B．平行于同一平面的兩條直線平行C．平行于同一直線的兩個平面平行 D．平行于同一平面的兩個平面平行三、填空題3．在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別邊上的中點，則直線EG和FH的位置關(guān)系是．四、解答題4．（2324高二上·云南大理·期末）如圖，在棱長為3的正方體中，分別為棱的中點．(1)證明：；(2)求三棱錐的體積．5．（2223高一·全國·隨堂練習(xí)）如圖，在長方體中，底面是邊長為a的正方形，高為，點M，N分別是和的中點．

(1)判斷四邊形的形狀；(2)求四邊形的面積．題型10.線面、面面平行一、單選題1．（2223高一下·甘肅蘭州·期末）平面內(nèi)兩條直線，都平行于平面，則與的關(guān)系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．不確定2．（2324高二上·上海黃浦·期末）在如圖所示的正方體中，一條平行于的直線與該正方體的表面交于P、Q兩點，其中點P在側(cè)面上，有以下結(jié)論：①平面ABCD上不存在滿足條件的點Q；②平面上存在滿足條件的點Q，下列判斷正確的是（

）A．①，②均正確 B．①正確，②錯誤C．①錯誤，②正確 D．①，②均錯誤3．（2223高一下·河南洛陽·階段練習(xí)）已知表示兩條直線，表示平面，下列命題中正確的有（

）①若，且，則；②若相交且都在平面外，，則；③若，則；④若，且，則．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題4．（2223高一·全國·隨堂練習(xí)）若平面內(nèi)任意一條直線均平行于平面，則平面與平面的位置關(guān)系是．強(qiáng)化訓(xùn)練單選題1．已知是兩條異面直線，是兩條垂直直線，那么的位置關(guān)系是（

）A．平行或相交 B．異面或平行 C．異面或相交 D．平行或異面或相交2．下列說法不正確的是（

）A．三角形一定是平面圖形B．若四邊形的兩對角線相交于一點，則該四邊形是平面圖形C．圓心和圓上兩點可確定一個平面D．三條平行線最多可確定三個平面3．（2223高二上·福建廈門·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，分別是的中點．則異面直線所成的角為（

）A． B． C． D．4．如圖，在正方體中，點為正方形的兩條對角線的交點，點是棱的中點，則異面直線與所成角的正切值為（

）

A． B． C． D．5．如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°；④DM與BN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是（

）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④6．在正方體中，E為的中點，則異面直線DE與所成角的正切值為（

）A． B． C． D．7．（2223高二上·新疆·期中）在直三棱柱中，，分別是的中點，，則與所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．8．（2324高三上·遼寧·開學(xué)考試）已知一個棱長為2的正方體，點是其內(nèi)切球上兩點，是其外接球上兩點，連接，且線段均不穿過內(nèi)切球內(nèi)部，當(dāng)四面體的體積取得最大值時，異面直線與的夾角的余弦值為（

）.A． B． C． D．二、多選題9．在空間四面體中，如圖，分別是的中點，則下列結(jié)論一定正確的為（

）A． B．C．與相交 D．10.給出以下說法,其中正確的是A．不共面的四點中,其中任意三點不共線B．若點共面,點共面,則點共面C．若直線共面,直線共面,則直線共面D．過直線外一點和直線上三點的三條直線共面11.（2023·黑龍江·模擬預(yù)測）在正四棱柱中分別