2021-2022學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊-第四章 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù) 章末復(fù)習(xí) 教案（含答案）

《指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)》章末復(fù)習(xí)學(xué)問脈絡(luò)復(fù)習(xí)重點(diǎn)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算、對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算是兩個(gè)重要的學(xué)問點(diǎn)，它們既是學(xué)習(xí)和爭辯指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，也是高考必考內(nèi)容之一，學(xué)習(xí)中應(yīng)賜予足夠的重視．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的基本初等函數(shù)．它們的圖象與性質(zhì)始終是高考考查的重點(diǎn)．特殊應(yīng)當(dāng)提示的是，由于指數(shù)函數(shù)y＝ax，對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)的圖象與性質(zhì)都與a的取值有親密的聯(lián)系，因此，在a的值不確定時(shí)，肯定要留意對它們進(jìn)行分類爭辯．1.對數(shù)、對數(shù)函數(shù):主要考查對數(shù)的運(yùn)算法則以及利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較對數(shù)值的大小，求定義域、值域、最值，以及對數(shù)函數(shù)與相應(yīng)指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系.對數(shù)的運(yùn)算、以對數(shù)函數(shù)為載體考查函數(shù)值的大小比較及單調(diào)性的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)．另外，以對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為載體考查不等式的求解問題也應(yīng)予以關(guān)注.2.指數(shù)、指數(shù)函數(shù)：這類題型多以指數(shù)及指數(shù)函數(shù)為載體,考查指數(shù)的運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)圖象的應(yīng)用.指數(shù)、指數(shù)函數(shù)重點(diǎn)考查的題型仍以考查對概念的理解、指數(shù)的運(yùn)算為主．以指數(shù)或指數(shù)型函數(shù)為命題背景，重點(diǎn)考查參數(shù)的計(jì)算和比較大小等問題，題目以中低檔題為主.3.冪函數(shù)：重點(diǎn)是考查冪函數(shù)的定義及冪函數(shù)的圖象與性質(zhì).例題演練一、指數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算例1.計(jì)算：(1)＋－10＋；(2)lg5(lg8＋lg1000)＋3lg22＋＋lg0.06.解析：(1)原式＝＋－＋1＝＋－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.(2)原式＝lg5(3lg2＋3)＋3lg22＋lg1－lg6＋lg6－2＝3lg2×lg5＋3lg5＋3lg22－2＝3lg2(lg5＋lg2)＋3lg5－2＝3lg2＋3lg5－2＝3(lg2＋lg5)－2＝3－2＝1.點(diǎn)評：解答該題主要是利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則、對數(shù)的運(yùn)算法則、對數(shù)恒等式即可得出.解決這類問題首先要嫻熟把握指數(shù)式、對數(shù)式的積、商、冪、方根的運(yùn)算法則，嫻熟掌握各種變形．如＝a，ab＝N，＝(其中>0，a>0，a≠1)是同一數(shù)量關(guān)系的不同表示形式，因此在很多問題中要能嫻熟進(jìn)行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇適合題目的形式進(jìn)行運(yùn)算．【舉一反三】1.假如＝1＋，＝1＋，用x表示y,則＝________.2.(多選)下列計(jì)算正確的是A． B．，a＞0， C． D．已知，則3.(1)已知＝a，計(jì)算和的值；(2)已知＝0.3010，＝0.4771，求的值．二、指數(shù)、對數(shù)型函數(shù)的定義域、值域例2.已知－3≤≤－，求函數(shù)f(x)＝·的最大值和最小值．解析：∵－3≤≤－，∴≤≤3，∴f(x)＝·＝(－1)(－2)＝()2－3＋2＝－.當(dāng)＝3時(shí)，＝2，當(dāng)＝時(shí)，＝－.點(diǎn)評：求指數(shù)型與對數(shù)型函數(shù)的定義域主要通過構(gòu)建不等式(組)來求解，有時(shí)解不等式(組)時(shí)要借助于指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．涉及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的值域問題有兩個(gè)類型，一是形如＝和＝的函數(shù)，一般要先求的值域，然后利用指數(shù)、對數(shù)的單調(diào)性求解；二是形如＝和＝的函數(shù)，則要依據(jù)和的范圍，利用函數(shù)＝f(x)的性質(zhì)求解．【舉一反三】4.函數(shù)＝的定義域是_______.5．函數(shù)＝在區(qū)間[－1,2]上的值域是()A．[1,4] B.C．[1,2] D.三、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)例3.當(dāng)0＜≤時(shí)，＜，則a的取值范圍是()A.(0，)B.(，1)C.(1，)D.(，2)解析：當(dāng)0＜≤時(shí)，1＜≤2，要使＜，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得0＜a＜1，數(shù)形結(jié)合可知只需2＜，∴，即對0＜≤時(shí)恒成立，∴，解得＜a＜1，故選B項(xiàng).點(diǎn)評：解決此類問題要嫻熟把握指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，方程與不等式的求解可利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，也可利用圖象解決，對含參數(shù)的問題進(jìn)行分類爭辯，同時(shí)還要留意變量本身的取值范圍，以免消滅增根．對于圖象的推斷與選擇可利用圖象的變換，也要重視利用特殊點(diǎn)與選擇題中排解法的應(yīng)用．例4.已知函數(shù)（其中）為奇函數(shù)，求出的值.解題指導(dǎo)一：利用奇函數(shù)建立方程，從中整理出關(guān)于的方程，進(jìn)而解出.解析一：首先，由于恒成立，故該函數(shù)定義域?yàn)镽.由于函數(shù)為奇函數(shù)，故有，即=0，可得=0去分母得：整理后可得：，由于，于是，解得.由于，故.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，所以.解題指導(dǎo)二：利用奇函數(shù)建立恒成立方程，利用待定系數(shù)法求出的值.解析二：由于函數(shù)為奇函數(shù)，故有方程對任意實(shí)數(shù)恒成立，即方程兩端應(yīng)完全相同，由此可以達(dá)到待定系數(shù)的目的.由可得，可得，于是有，所以要使方程恒成立，則須，即，解得，由于，故.解題指導(dǎo)三：由于函數(shù)（其中）定義域?yàn)镽，即定義域有“0”，且函數(shù)為奇函數(shù)，故有，從而建立關(guān)于的方程，進(jìn)而解出.解析三：由于奇函數(shù)（其中）定義域?yàn)镽，故有，即，于是，由于，故有，所以.點(diǎn)評：咋一看，策略三思路簡潔，又具高效性.但是，這一解題思路又有它的缺陷，那就是定義域中必需有“0”，而且函數(shù)還得是奇函數(shù)，二者缺一不行，故這一方法并不具有通性，也就是說并不是一種通用的方法.策略一、策略二盡管過程較繁瑣，但是，這兩類方法卻代表了解答這類題型的通法.所以，以上三種解題方法并不能說哪種最好，哪種最不行行，到底用哪種方法，那就要在以上三種方法都把握了的基礎(chǔ)上，具體問題具體分析了.【舉一反三】6．函數(shù)＝的大致圖象是()7.若不等式在∈(1,2)內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.四、比較大小問題例5.設(shè)a＝，＝，＝，則a，，的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＜＜ B．＜a＜C．＜a＜ D．＜＜a解析：由于函數(shù)＝在它的定義域R上是減函數(shù)，∴a＝>＝>0.由于函數(shù)＝在它的定義域R上是增函數(shù)，且>，故有＝>＝，故a，，的大小關(guān)系是＜a＜，故選B項(xiàng).點(diǎn)評：比較大小的常用方法：(1)比較兩數(shù)(式)或幾個(gè)數(shù)(式)大小問題是本章的一個(gè)重要題型，主要考查冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用及差值比較法與商值比較法的應(yīng)用．常用的方法有單調(diào)性法、圖象法、中間搭橋法、作差法、作商法．(2)當(dāng)需要比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)均是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時(shí)，可將其看成某個(gè)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)的函數(shù)值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較．(3)比較多個(gè)數(shù)的大小時(shí)，先利用“0”和“1”作為分界點(diǎn)，即把它們分為“小于0”，“大于等于0，小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分內(nèi)利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小，比如例4．【舉一反三】8.設(shè)函數(shù)f(x)＝(a＞0且a≠1),＝4,則() A.＞B.＞C.＞D.＞9．如圖是指數(shù)函數(shù)①＝，②＝，③＝，④＝的圖象，則a、、、與1的大小關(guān)系是________.10.已知a=，=，=，則a，，的大小關(guān)系為（）A.a＜＜ B.a＜＜C.＜＜a D.＜a＜五、冪函數(shù)的性質(zhì)例6.函數(shù)f(x)＝是冪函數(shù)，且當(dāng)∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)是增函數(shù)，求f(x)的解析式．解：依據(jù)冪函數(shù)定義得，，解得＝2或＝1，當(dāng)＝2時(shí)，f(x)＝在(0，＋∞)上是增函數(shù)，當(dāng)＝1時(shí)，f(x)＝，在(0，＋∞)上是減函數(shù)，不合要求．∴f(x)的解析式為f(x)＝.點(diǎn)評：1.求解冪函數(shù)的解析式時(shí)，要明確冪函數(shù)的定義：形如，留意的系數(shù)為1，很多考查冪函數(shù)定義的題型都從“的系數(shù)為1”入手.其次，求解冪函數(shù)的解析式時(shí)往往要用到冪函數(shù)的性質(zhì)，多位圖像與單調(diào)性.2.本題在求解中常因不理解冪函數(shù)的概念而找不出“”這一等量關(guān)系，導(dǎo)致解題受阻.【舉一反三】11.已知冪函數(shù)f(x)＝，當(dāng)＞1時(shí)，恒有f(x)＜，則a的取值范圍是()A．（0,1） B．（－∞，1）C．（0，+∞） D．（－∞，0）12.設(shè)函數(shù)f(x)＝．(1)畫出函數(shù)＝f(x)的圖象；(2)爭辯方程|f(x)|＝a的解的個(gè)數(shù)．(只寫明結(jié)果，無需過程)反思總結(jié)1.指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數(shù)運(yùn)算．(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號，底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)，底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)．(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來解答．2.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用問題解題策略(1)比較大小問題．常利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值(0或1)法．(2)簡潔的指數(shù)方程或不等式的求解問題．解決此類問題應(yīng)利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，要特殊留意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)進(jìn)行分類爭辯．(3)解決指數(shù)函數(shù)的綜合問題時(shí)，要把指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)同函數(shù)的其他性質(zhì)(如奇偶性、周期性)相結(jié)合，同時(shí)要特殊留意底數(shù)不確定時(shí)，對底數(shù)的分類爭辯．3.對數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡合并．(2)將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算．4.應(yīng)用對數(shù)型函數(shù)的圖象可求解的問題(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點(diǎn)時(shí)，常利用數(shù)形結(jié)合思想．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．5.對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用多用在復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性上，即求形如＝的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，其一般步驟為：(1)求定義域，即滿足f(x)>0的的取值集合；(2)將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)＝及＝f(x)；(3)分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(4)若這兩個(gè)函數(shù)同增或同減，則＝為增函數(shù)，若一增一減，則＝為減函數(shù)，即“同增異減”.6.解決對數(shù)函數(shù)綜合問題應(yīng)留意：(1)要分清函數(shù)的底數(shù)是a∈(0,1)，還是a∈(1，＋∞)；(2)確定函數(shù)的定義域，無論爭辯函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某共性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行；(3)假如需將函數(shù)解析式變形，肯定要保證其等價(jià)性，否則結(jié)論錯(cuò)誤．7.冪函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用(1)比較冪值的大小問題比較冪值的大小，關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)：(1)若指數(shù)相同而底數(shù)不同，則構(gòu)造冪函數(shù)(2)若指數(shù)不同而底數(shù)相同，則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)．若指數(shù)與底數(shù)都不同，需考慮是否能把指數(shù)或底數(shù)化為相同，是否可以引入中間量．(2)冪函數(shù)圖象問題解題原則解決冪函數(shù)圖象問題，需把握兩個(gè)原則：(1)冪指數(shù)a的正負(fù)打算函數(shù)圖象在第一象限的升降；(2)依據(jù)圖象確定冪指數(shù)a與0,1的大小關(guān)系，在第一象限內(nèi)，直線x＝1的右側(cè)，圖象由上到下，相應(yīng)的指數(shù)由大變?。e一反三的參考答案1.答案：解析：由＝1＋，得＝－1，＝1＋＝1＋＝1＋＝.2.答案：BC解析：對于A項(xiàng),，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤;對于B項(xiàng),，，所以B項(xiàng)正確;對于C項(xiàng),，所以C項(xiàng)正確;對于D項(xiàng),，，所以D項(xiàng)錯(cuò)誤．3.解：(1)∵＝a，∴＝＝－＝1－a.＝＝＝＋＝2＋＝2＋＝2a＋(1－a)＝.(2)＝lg45＝＝(lg9＋lg10－lg2)＝(2lg3＋1－lg2)＝lg3＋－lg2＝0.4771＋0.5－0.1505＝0.8266.4.答案：(－∞，0]解析：要使函數(shù)式有意義，則1－≥0，即≤1＝，由于函數(shù)＝在R上是增函數(shù)，所以≤0，故函數(shù)＝的定義域?yàn)?－∞，0]．5.答案：B解析：函數(shù)f(x)＝在R上是增函數(shù)，∵－1≤≤2，∴0≤||≤2，∴∈[0,2]，∴≤f(t)≤，即≤f(t)≤2，∴函數(shù)的值域是.6．答案：B解析：易知函數(shù)＝是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)，觀看圖象知B選項(xiàng)正確．7.解：設(shè)，，要使當(dāng)∈(1,2)時(shí)，不等式恒成立，只需在(1,2)上的圖像在圖像的下方即可．當(dāng)0<a<1時(shí)，明顯不成立；當(dāng)a>1時(shí)，如圖所示，要使∈(1,2)時(shí)的圖像在的圖像下方，只需，即(2－1)2≤，所以loga2≥1.于是a≤2,所以1<a≤2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2]．8.答案：A解析：∵＝＝4,∴∴f(x)＝＝.又f(x)在R上是偶函數(shù),在(0,+∞)上遞增,而＝,＝,且＞，∴＞.9.答案：＜a＜1＜＜解析：法一：當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時(shí)，圖象上升，且當(dāng)?shù)讛?shù)越大，圖