23.3.3　相似三角形的性質(zhì)

第頁23.3.3相似三角形的性質(zhì)知識點1相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比1．若兩個相似三角形對應(yīng)角的平分線的比為5∶3，則這兩個三角形的相似比為()A．5∶3B．3∶5C．25∶9D.eq\r(5)∶eq\r(3)2．［2019·重慶］若△ABC∽△DEF，相似比為3∶2，則對應(yīng)邊上的高的比為()A．3∶2B．3∶5C．9∶4D．4∶93．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分別是△ABC和△A′B′C′的AC邊和A′C′邊上的高，且AB＝10，A′B′＝2，BD＝6，求B′D′的長．知識點2相似三角形周長的比等于相似比4．若△ABC∽△DEF，且eq\f(AB,DE)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(BC,（）)＝eq\f(AC,（）)＝________，則eq\f(AB＋BC＋AC,（）＋（）＋（）)＝________，所以△ABC與△DEF的周長之比為________．5．［2019·樂山］如圖23－3－38，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點，且DE∥BC.若△ADE與△ABC的周長之比為2∶3，AD＝4，則DB＝________。圖23－3－386．若兩個相似三角形的相似比為2∶5，它們周長的差為9，則較大三角形的周長為________．7．［教材練習(xí)第2題變式］已知△ABC∽△A′B′C′，它們的周長分別為60cm和72cm，且AB＝15cm，B′C′＝24cm，求AC和A′C′的長．知識點3相似三角形面積的比等于相似比的平方8．如果兩個相似三角形對應(yīng)邊的比為2∶3，那么這兩個相似三角形面積的比是()A．2∶3B.eq\r(2)∶eq\r(3)C．4∶9D．8∶279．若兩個相似三角形的面積之比為1∶4，則它們的周長之比為()A．1∶2B．1∶4C．1∶5D．1∶1610．如圖23－3－39，D，E分別為△ABC的邊AB，AC的中點，且DE∥BC，則△ADE的面積與四邊形BCED的面積比為()A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶1圖23－3－3911.如圖23－3－40所示，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，則eq\f(AD,AB)＝________．圖23－3－4012．已知△ABC∽△A′B′C′，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(1,2)，AB邊上的中線CD＝4cm，△ABC的周長為20cm，△A′B′C′的面積為64cm2，求：(1)A′B′邊上的中線C′D′的長；(2)△A′B′C′的周長；(3)△ABC的面積．13．［2019·永州］如圖23－3－41，在△ABC中，D是AB邊上的一點，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ACD的面積為1，則△BCD的面積為()A．1B．2C．3D．4圖23－3－4114．如圖23－3－42，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，連結(jié)AE，BE，BD，且AE，BD交于點F，S△DEF∶S△BAF＝4∶25，則DE∶EC等于()A．2∶3B．2∶5C．3∶5D．3∶2圖23－3－4215．如圖23－3－43，D是△ABC的邊BC上一點，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B.如果△ABD的面積為15，那么△DAC的面積為()A．15B．10C.eq\f(15,2)D．5圖23－3－4316．如圖23－3－44所示，在△ABC中，DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，且AE∶EC＝2∶1，連結(jié)DC，求S△ADE∶S△BDC的值．圖23－3－4417．如圖23－3－45，AD，BE分別是△ABC的角平分線和中線，A′D′，B′E′分別是△A′B′C′的角平分線和中線，已知∠BAC＝∠B′A′C′，AB·A′D′＝A′B′·AD.求證：AD·B′E′＝A′D′·BE.圖23－3－4518．如圖23－3－46，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，AD⊥BC于點D，交EH于點P.若矩形EFGH的周長為24，BC＝10，AP＝16，求S△BPC的值．圖23－3－461．A2．A3．解：由題意知eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BD,B′D′)，∴eq\f(10,2)＝eq\f(6,B′D′)，解得B′D′＝1.2.4．EFDFeq\f(1,2)DEEFDFeq\f(1,2)eq\f(1,2)5．26．157．解：因為△ABC∽△A′B′C′，所以eq\f(60,72)＝eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(BC,B′C′).又因為AB＝15cm，B′C′＝24cm，所以eq\f(5,6)＝eq\f(15,A′B′)＝eq\f(BC,24)，所以A′B′＝18(cm)，BC＝20(cm)，所以AC＝60－15－20＝25(cm)，A′C′＝72－18－24＝30(cm)．8．C9.A10.B11.eq\f(\r(2),2)[解析]∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∵S△ADE＝S四邊形BCED，∴eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\r(\f(1,2))＝eq\f(\r(2),2).12．解：(1)∵eq\f(CD,C′D′)＝eq\f(AB,A′B′)，∴eq\f(4,C′D′)＝eq\f(1,2)，∴C′D′＝8(cm)．(2)∵eq\f(C△ABC,C△A′B′C′)＝eq\f(AB,A′B′)，∴eq\f(1,2)＝eq\f(20,C△A′B′C′)，∴C△A′B′C′＝40(cm)．(3)∵eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,A′B′)))eq\s\up12(2)，∴eq\f(1,4)＝eq\f(S△ABC,64)，∴S△ABC＝16(cm)2.13．C[解析]∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴eq\f(S△ACD,S△ABC)＝(eq\f(AD,AC))2＝eq\f(1,4).∵S△ACD＝1，∴S△ABC＝4，S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝3.故選C.14．A[解析]∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴△DEF∽△BAF.∵S△DEF∶S△BAF＝4∶25，∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(2,5).∵AB＝CD，∴DE∶EC＝2∶3.故選A.15．D16．因為AE∶EC＝2∶1，所以AE∶AC＝2∶3，CE∶AC＝1∶3.因為DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以S△ADE∶S△ABC＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AE,AC)))eq\s\up12(2)＝4∶9.因為DE∥BC，所以eq\f(BD,AB)＝eq\f(CE,AC)＝eq\f(1,3).設(shè)△ABC中BA邊上的高為h，則△BDC中BD邊上的高也為h，所以S△BDC＝eq\f(1,2)BD·h，S△ABC＝eq\f(1,2)AB·h，所以S△BDC∶S△ABC＝BD∶AB＝1∶3，所以S△ADE∶S△BDC＝eq\f(4,9)S△ABC∶eq\f(1,3)S△ABC＝4∶3.17．[證明：∵∠BAC＝∠B′A′C′，AD，A′D′分別是∠BAC和∠B′A′C′的平分線，BE，B′E′分別是△ABC和△A′B′C′的中線，∴∠BAD＝∠B′A′D′，AC＝2AE，A′C′＝2A′E′.又∵AB·A′D′＝A′B′·AD，∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AD,A′D′)，∴△BAD∽△B′A′D′，∴∠ABC＝∠A′B′C′.又∵∠BAC＝∠B′A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)＝eq\f(2AE,2A′E′)＝eq\f(AE,A′E′)，∴△ABE∽△A′B′E′，∴eq\f(BE,B′E′)＝eq\f(AB,A′B′).又∵eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(AB,A′B′)，∴eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(BE,B′E′)，∴AD·B′E′＝A′D′·BE.18．解：設(shè)PD＝x，則EF＝x.