廣東省廣雅中學(xué)2023-2024年高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含答案解析

絕密★啟用前廣東廣雅中學(xué)2023-2024年高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷）

試卷類型：A本試卷共5頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（本題5分）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．2．（本題5分）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．3．（本題5分）已知向量，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．4．（本題5分）已知銳角滿足，則（

）A． B． C．2 D．35．（本題5分）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值6．（本題5分）已知某種食品保鮮時(shí)間與儲(chǔ)存溫度有關(guān)，滿足函數(shù)關(guān)系（為保鮮時(shí)間，為儲(chǔ)存溫度），若該食品在冰箱中的保鮮時(shí)間是144小時(shí)，在常溫的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在高溫的保鮮時(shí)間是（

）A．16小時(shí) B．18小時(shí) C．20小時(shí) D．24小時(shí)7．（本題5分）在菱形中，，將沿對角線折起，使點(diǎn)A到達(dá)的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．（本題5分）函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)的和等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．（本題5分）2023年入冬以來，流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計(jì)了一周中連續(xù)5天的流感就診人數(shù)y與第天的數(shù)據(jù)如表所示．x12345y2110a15a90109根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知x，y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi) B．當(dāng)時(shí)，殘差為-2C．點(diǎn)一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上 D．第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測值為13010．（本題5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在單調(diào)遞減D．該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象11．（本題5分）已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說法正確的是（

）A．離心率的取值范圍為 B．當(dāng)時(shí)，的最大值為C．存在點(diǎn)，使得 D．的最小值為12．（本題5分）已知函數(shù)，的定義域均為R，它們的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，，若是偶函數(shù)，則下列正確的是（

）．A．B．的最小正周期為4C．是奇函數(shù)D．，則三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．（本題5分）若，且，則.14．（本題5分）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且是等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則．15．（本題5分）在中，，D為邊BC上一點(diǎn)，滿足且，則面積的最小值為．16．（本題5分）已知對，不等式恒成立，則的最大值是.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本題10分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的正三角形的面積依次為，，，且．(1)求角A；(2)若，D為線段BC延長線上一點(diǎn)，且，，求的BC邊上的高．18．（本題12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，等比數(shù)列的公比為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．19．（本題12分）如圖，在四棱錐中，，，，，，，．(1)求證：平面平面；(2)若為上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值．20．（本題12分）杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運(yùn)河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅(jiān)強(qiáng)剛毅的拼搏精神，海納百川的時(shí)代精神和精致和諧的人文精神．甲同學(xué)可采用如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個(gè)盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機(jī)放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個(gè)，只有打開才會(huì)知道買到吉祥物的款式，買到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接購買吉祥物，每個(gè)30元．(1)甲若以方式一購買吉祥物，每次購買一個(gè)盲盒并打開．當(dāng)甲買到的吉祥物首次出現(xiàn)相同款式時(shí)，用X表示甲購買的次數(shù)，求X的分布列；(2)為了集齊三款吉祥物，甲計(jì)劃先一次性購買盲盒，且數(shù)量不超過3個(gè)，若未集齊再直接購買吉祥物，以所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)一次性購買多少個(gè)盲盒？21．（本題12分）已知橢圓的短軸長為2，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)（均異于A，B兩點(diǎn)），直線AM，BN的傾斜角分別記為，試問是否存在最大值？若存在，求當(dāng)取最大值時(shí)，直線AM，BN的方程；若不存在，說明理由．22．（本題12分）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小值；(2)若，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).絕密★啟用前廣東廣雅中學(xué)2023-2024年高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷）答案詳解

試卷類型：A本試卷共5頁，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（本題5分）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解不等式求得集合B，再根據(jù)并集的概念計(jì)算即可.【詳解】由可得，即，而，所以.故選：B2．（本題5分）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得到，利用復(fù)數(shù)的除法求出即可.【詳解】由已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，所以.故選：A.3．（本題5分）已知向量，則在上的投影向量為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出的坐標(biāo)，然后利用投影向量的公式求解即可.【詳解】由已知，則在上的投影向量為.故選：D.4．（本題5分）已知銳角滿足，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，利用二倍角公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)的方程，化簡，然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得的值.【詳解】∵，∴，即，又∵為銳角，∴，∴，即，∴.故選：A5．（本題5分）設(shè)公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．?dāng)?shù)列無最大值【答案】B【分析】由題分析出，可得出數(shù)列為正項(xiàng)遞減數(shù)列，結(jié)合題意分析出正項(xiàng)數(shù)列前項(xiàng)都大于，而從第項(xiàng)起都小于，進(jìn)而可判斷出各選項(xiàng)的正誤.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，對任意的，，且有，可得，可得，此時(shí)，與題干不符，不合乎題意；故，故A錯(cuò)誤；對任意的，，且有，可得，此時(shí)，數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，則，結(jié)合可得，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可得故，，∴，故B正確；是數(shù)列中的最大值,故CD錯(cuò)誤故選：B.6．（本題5分）已知某種食品保鮮時(shí)間與儲(chǔ)存溫度有關(guān)，滿足函數(shù)關(guān)系（為保鮮時(shí)間，為儲(chǔ)存溫度），若該食品在冰箱中的保鮮時(shí)間是144小時(shí)，在常溫的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則該食品在高溫的保鮮時(shí)間是（

）A．16小時(shí) B．18小時(shí) C．20小時(shí) D．24小時(shí)【答案】A【分析】根據(jù)已知條件列出方程組，整體求得，然后整體代入計(jì)算即可.【詳解】由題意，得，即，于是當(dāng)時(shí)，（小時(shí)）.故選：A7．（本題5分）在菱形中，，將沿對角線折起，使點(diǎn)A到達(dá)的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，確定三棱錐的外接球的球心位置，再求出球半徑即可計(jì)算作答.【詳解】如圖所示：

由題意在菱形中，互相垂直且平分，點(diǎn)為垂足，，由勾股定理得，所以，即是等邊三角形，，設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，則外接圓的半徑為，，如圖所示：

設(shè)三棱錐的外接球的球心、半徑分別為點(diǎn)，而均垂直平分，過點(diǎn)，所以點(diǎn)在面，面內(nèi)的射影分別在直線上，不妨設(shè)點(diǎn)在面，面內(nèi)的射影分別為，即，由題意，且二面角為直二面角，即面面，，所以，即，結(jié)合可知四邊形為矩形，不妨設(shè)，則由以上分析可知，，由勾股定理以及，即，可得，解得，所以，所以三棱錐的外接球的表面積為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：畫出圖形，通過數(shù)學(xué)結(jié)合分析已知量與未知量的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)臉蛄宏P(guān)系即可得到球心的位置以及球的半徑，關(guān)鍵是首先去找，底面外接圓的圓心，綜合性較強(qiáng).8．（本題5分）函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)的和等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)在的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為的圖象和函數(shù)的圖象在交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖象，可得到兩圖象關(guān)于直線對稱，且在上有8個(gè)交點(diǎn)，即可求出.【詳解】因?yàn)?，令，則，則函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象在交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，可得和的函數(shù)圖象都關(guān)于直線對稱，則交點(diǎn)也關(guān)于直線對稱，畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，如圖所示.觀察圖象可知，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象在上有8個(gè)交點(diǎn)，即有8個(gè)零點(diǎn)，且關(guān)于直線對稱，故所有零點(diǎn)的和為.故選：D二、多選題（共20分）9．（本題5分）2023年入冬以來，流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計(jì)了一周中連續(xù)5天的流感就診人數(shù)y與第天的數(shù)據(jù)如表所示．x12345y2110a15a90109根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知x，y具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（

）A．樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi) B．當(dāng)時(shí)，殘差為-2C．點(diǎn)一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上 D．第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測值為130【答案】AD【分析】x，y具有較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，可判斷相關(guān)系數(shù)的范圍，判斷A；計(jì)算x，y的平均值，代入回歸直線方程求出a的值，即可求出時(shí)的預(yù)測值，求得殘差，判斷B；看是否適合回歸直線方程，判斷C；將代入回歸直線方程，求出預(yù)測值，判斷D.【詳解】由題意可知x，y具有較強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系，故樣本相關(guān)系數(shù)在內(nèi)，A正確；根據(jù)題意得，故，解得，故當(dāng)時(shí)，，殘差為，B錯(cuò)誤；點(diǎn)即點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)不在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，即第6天到該醫(yī)院就診人數(shù)的預(yù)測值為130，D正確，故選：AD10．（本題5分）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．函數(shù)在單調(diào)遞減D．該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象【答案】BD【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)對選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】由圖象得，，解得，所以的最小正周期為，故A錯(cuò)；，則，將代入中得，則，，解得，，因?yàn)?，所以，，，所以是的對稱軸，故B正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，所以在上不單調(diào)，故C錯(cuò)；該圖象向右平移個(gè)單位可得，故D正確.故選：BD11．（本題5分）已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，點(diǎn)在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說法正確的是（

）A．離心率的取值范圍為 B．當(dāng)時(shí)，的最大值為C．存在點(diǎn)，使得 D．的最小值為【答案】ABD【分析】A項(xiàng)中需先解出的范圍，然后利用離心率的定義進(jìn)行判斷；B項(xiàng)中根據(jù)橢圓定義轉(zhuǎn)化為求的最大值，從而進(jìn)而判斷；C項(xiàng)中先求出點(diǎn)的軌跡方程，再判斷該軌跡圖形與橢圓是否有交點(diǎn)，從而進(jìn)行判斷；D項(xiàng)中根據(jù)橢圓定義得，并結(jié)合基本不等式判斷.【詳解】對于A項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，得，，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)：，當(dāng)在軸下方時(shí)，且，，三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，由，得，，所以得，所以最大值，故B項(xiàng)正確；

對于C項(xiàng)：設(shè)，若，即：，則得，即點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓上，又由A項(xiàng)知，得，又因?yàn)?，得，所以得，所以該圓與橢圓無交點(diǎn)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.12．（本題5分）已知函數(shù)，的定義域均為R，它們的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，，若是偶函數(shù)，則下列正確的是（

）．A．B．的最小正周期為4C．是奇函數(shù)D．，則【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，兩邊求導(dǎo)得到，賦值得到；B選項(xiàng)，由題意條件推出，得到函數(shù)的最小正周期；C選項(xiàng)，假設(shè)為奇函數(shù)，推出矛盾；D選項(xiàng)，利用題目條件得到，結(jié)合函數(shù)的最小正周期得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，為偶函數(shù)，故，兩邊求導(dǎo)得，，令得，解得，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以①，因?yàn)?，所以②，則①②相減得，③，又④，則③④相減得，即，又，故的最小正周期為4，B正確；C選項(xiàng)，假如為奇函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，可得，但，當(dāng)可得，顯然不滿足要求，故不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，又，故，由B選項(xiàng)得，故，解得，且，由B選項(xiàng)知的一個(gè)周期為4，故，所以，則，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】設(shè)函數(shù)，，，．（1）若，則函數(shù)的周期為2a；（2）若，則函數(shù)的周期為2a；（3）若，則函數(shù)的周期為2a；（4）若，則函數(shù)的周期為2a；（5）若，則函數(shù)的周期為；（6）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線與對稱，則函數(shù)的周期為；（7）若函數(shù)的圖象既關(guān)于點(diǎn)對稱，又關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)的周期為；（8）若函數(shù)的圖象既關(guān)于直線對稱，又關(guān)于點(diǎn)對稱，則函數(shù)的周期為；（9）若函數(shù)是偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，則的周期為2a；（10）若函數(shù)是奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線對稱，則的周期為4a．三、填空題（共20分）13．（本題5分）若，且，則.【答案】【分析】利用二項(xiàng)分布的方差公式及方差的性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】由，得，而，所以.故答案為：14．（本題5分）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且是等比數(shù)列的前三項(xiàng)，則．【答案】1296【分析】首先由遞推關(guān)系算出，求出，再由等比中項(xiàng)得到，解出，最后由基本量法求出，求出最后結(jié)果即可.【詳解】依題意，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，依題意，兩式相減可得，，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，也滿足，所以，，故；因?yàn)?，，是等比?shù)列的前三項(xiàng)，所以，則，化簡得，，解得或（舍去）所以，，所以等比數(shù)列的公比，通項(xiàng)公式，故.故答案為：129615．（本題5分）在中，，D為邊BC上一點(diǎn)，滿足且，則面積的最小值為．【答案】【分析】先根據(jù)，結(jié)合正弦定理得到AD是的平分線，根據(jù)和面積公式得到，由基本不等式得到，從而求出.【詳解】因?yàn)?，所以，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，故，又，故，所以AD是的平分線．記，，，則，又因?yàn)?，由面積公式可得，化簡得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以．故答案為：【點(diǎn)睛】解三角形中最值或范圍問題，通常涉及與邊長，周長有關(guān)的范圍問題，與面積有關(guān)的范圍問題，或與角度有關(guān)的范圍問題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出答案；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值.16．（本題5分）已知對，不等式恒成立，則的最大值是.【答案】【分析】由不等式恒成立，求得，故，只需求的最大值即可.【詳解】下面證明當(dāng)時(shí)不成立：當(dāng)時(shí)，原不等式變形為，，若，則，而當(dāng)時(shí)，原不等式不成立；若，當(dāng)時(shí)，，取，則，，原不等式不成立，故當(dāng)時(shí)不成立，所以.不等式可化為，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以，令，則令可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，即，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的思路是將不等式可化為，然后再構(gòu)造函數(shù)，并對其進(jìn)行求導(dǎo)，求出函數(shù)的最小值為，即，然后求出目標(biāo)函數(shù)的最大值為，即，所以求出的最大值是．四、解答題（共70分）17．（本題10分）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的正三角形的面積依次為，，，且．(1)求角A；(2)若，D為線段BC延長線上一點(diǎn)，且，，求的BC邊上的高．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)等邊三角形面積公式，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦定理，結(jié)合銳角三角形的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題意得，，，則，所以，由余弦定理可得，又，所以；（2）設(shè)（為銳角），在和中，由正弦定理可得，，于是，又，，所以，化簡得．根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，可得：，解得，負(fù)值舍去，設(shè)，垂足為，故的BC邊上的高為．18．（本題12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，等比數(shù)列的公比為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前10項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)求出，可得通項(xiàng)與，由求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和法求數(shù)列的前10項(xiàng)和.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，，等比數(shù)列的公比為，則有，由，可得．當(dāng)時(shí)，．經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以．（2），設(shè)的前10項(xiàng)和為，．19．（本題12分）如圖，在四棱錐中，，，，，，，．(1)求證：平面平面；(2)若為上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助面面垂直的判定定理即可得；（2）由題意計(jì)算可得點(diǎn)所處位置，根據(jù)線面角的定義找到線面所成角后計(jì)算即可得.【詳解】（1），，，，，平面，平面，平面，平面平面；（2）取的中點(diǎn)．連接、，由（1）知平面，平面，，如圖，過點(diǎn)作，，，，，，，，，，由勾股定理可知，，平面，平面，，為的中點(diǎn)，，又，，平面，為直線與平面所成角，由（1）知，又，，，，，則，，，，直線與平面所成角的正弦值為．20．（本題12分）杭州亞運(yùn)會(huì)的三個(gè)吉祥物是琮琮、宸宸和蓮蓮，他們分別代表了世界遺產(chǎn)良渚古城遺址、京杭大運(yùn)河和西湖，分別展現(xiàn)了不屈不撓、堅(jiān)強(qiáng)剛毅的拼搏精神，海納百川的時(shí)代精神和精致和諧的人文精神．甲同學(xué)可采用如下兩種方式購買吉祥物，方式一：以盲盒方式購買，每個(gè)盲盒19元，盲盒外觀完全相同，內(nèi)部隨機(jī)放有琮琮、宸宸和蓮蓮三款中的一個(gè)，只有打開才會(huì)知道買到吉祥物的款式，買到每款吉祥物是等可能的；方式二：直接購買吉祥物，每個(gè)30元．(1)甲若以方式一購買吉祥物，每次購買一個(gè)盲盒并打開．當(dāng)甲買到的吉祥物首次出現(xiàn)相同款式時(shí)，用X表示甲購買的次數(shù)，求X的分布列；(2)為了集齊三款吉祥物，甲計(jì)劃先一次性購買盲盒，且數(shù)量不超過3個(gè)，若未集齊再直接購買吉祥物，以所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，甲應(yīng)一次性購買多少個(gè)盲盒？【答案】(1)分布列詳見解析(2)買個(gè)【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計(jì)算公式、排列組合數(shù)的計(jì)算公式求得的分布列.（2）根據(jù)甲一次性購買的吉祥物盲盒的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，通過計(jì)算各種情況下的總費(fèi)用來求得正確答案.【詳解】（1）由題意可知所有可能取值為，,所以的分布列如下：（2）設(shè)甲一次性購買個(gè)吉祥物盲盒，集齊三款吉祥物需要的總費(fèi)用為.依題意，可取.方案1：不購買盲盒時(shí)，則需要直接購買三款吉祥物，總費(fèi)用元.方案2：購買個(gè)盲盒時(shí)，則需要直接購買另外兩款吉祥物，總費(fèi)用元.方案3：購買個(gè)盲盒時(shí)，當(dāng)個(gè)盲盒打開后款式不同，則只需直接購買剩下一款吉祥物，總費(fèi)用，，當(dāng)個(gè)盲盒打開后款式相同，則需要直接購買另外款吉祥物，總費(fèi)用，所以元.方案4：購買個(gè)盲盒時(shí)，當(dāng)個(gè)盲盒打開后款式各不相同，則總費(fèi)用，，當(dāng)個(gè)盲盒打開后恰有款相同，則需要直接購買剩下一款吉祥物，則總費(fèi)用，當(dāng)個(gè)盲盒打開后款式全部相同，則需要直接購買另外兩款吉祥物，總費(fèi)用，所以元.對比個(gè)方案可知，第個(gè)方案總費(fèi)用的期望值最小，故應(yīng)該一次性購買個(gè)吉祥物盲盒.21．（本題12分）已知橢圓的短軸長為2，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)（均異于A，B兩點(diǎn)），直線AM，BN的傾斜角分別記為，試問是否存在最大值？若存在，求當(dāng)取最大值時(shí)，直線AM，BN的方程；若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)存在，直線AM的